Gravitation und Renormierung

[tomS]

Hallo zusammen,

ein wesentliches Argument für die Untersuchung von Theorien wie Stringtheorie, Schleifenquantengravitation und anderen ist die Behauptung, dass sich die Allgemeine Relativitätstheorie nicht wie andere klassische Feldtheorien störunsgtheoretisch quantisieren und renormieren lässt. Bevor ich nun dazu komme, zu erklären, warum einige Forscher vermuten, dass dies in gewisser Weise doch möglich ist und somit die eingangs genannten Theorien evtl. überflüssig sind, möchte ich zunächst erklären, was es mit der Renormierbarkeit auf sich hat.

Das Problem der Renormierung tritt in allen Quantenfeldtheorien auf. Sichtbar wird es insbs. in der störungstheoretischen Quantisierung. Dazu betrachtet man die sogenannte Lagrangedichte sowie die Feynman-Diagramm der Theorie. Letztere beschreiben eigentlich die Wahrscheinlichkeitsamplitude für einen bestimmten Prozess, d.h. sie dienen als Buchhaltungstrick, kombiniert mit bestimmten Rechenregeln, die uns hier nicht im Detail interessieren. Man betrachtet nun die Eigenschaften eines Feynmandiagramms, insbs. seine graphische Struktur. Es besteht aus sogenannten äußeren Linien, inneren Linien, und Vertizes; äußere Linien entsprechen ein- und auslaufenden Teilchen; innere Linien entsprechen sogenannten virtuellen Teilchen, für die der Impuls nicht festliegt, sondern für die über alle möglichen Impulse integriert wird; Vertizes tragen immer eine Potenz der Kopplungskonstante sowie eine algebraiusche Struktur, die die an den Vertizes zusammentreffenden Linien miteinander verknüpft. Die Struktur bzw. die Regeln für diese Feynmandiagramme sind aus der Lagrangedichte der Theorie ableitbar.

Am Beispiel einer einfachen Lagrangedichte für ein wechselwirkendes Skalarfeld findet man z.B.
- äußere Linie entspricht einer ebene Welle
- innere Linie entspricht 1/(p² - m²) mit m = Masse des Teilchen und p = Viererimpuls
- Vertex entspricht einfach der Koplungskonstanten

Dimension der physikalischen Objekte

Um nun ermitteln zu könen, ob diese Terme endlich oder unendlich werden und welche Strukturen dabei auftreten, betrachtet man die Dimension des dabei auftreteten Integrals; zunächst beginnen wir aber mit der Dimensionsanalyse der Wirkung. Dabei verwenden wir die Einheiten h=c=1; damit entspricht [Energie] = [Impuls] = [Elektronenvolt] = 1und [Länge] = [1 / Impuls] = [1 / Elektronenvolt] = -1. Zunächst gilt [Wirkung] = 1. Für das Wirkungsintegral gilt [Integral über das vierdimensionale Raumzeitvolumen] = -4. Daraus bestimmt man die Dimension der auftretenden Felder sowie der Kopplungskonstanten; für das Skalarfeld gilt z.B. [Skalarfeld] = 1.

Struktur der Feynmandiagramme

Nun führt man genau das selbe für ein Feynmandiagramm durch. Betrachtet man eine Theorie, in der nur ein Vertextyp zwischen Skalarfeldern vorkommt, so führt man die folgendne Symbole ein:

n = Anzahl der Vertizes im Diagramm
b = Anzahl der am Vertex zusammnelaufenden Linien
d = Anzahl der Ableitungen am Vertex; im folgenden immer 0
B = Anzahl der äußeren Linien
I = Anzahl der inneren Linien

Nun kann man allgemeine Regeln für die Diagramme ableiten; z.B. findet man für die Anzahl der geschlossenen Schleifen



Derartige Regeln gelten unabhängig von der genauen physikalischen Theorie aufrgung der Graphenstruktur.

Nun geht es in den Feynmandiagranmmen ja um Integrale im Impulsraum. Diese sind vereinfacht gesproche von der Struktur



Setzt man nun die obere Integrationsgrenze Unendlich ein, so stellt man fest dass für zu kleines s das Integral divergiert, während es für genügend größes s konvergiert. Einen Spezialfall habe ich hier unterschlagen, denn für das Integral



mit logarithmischer Divergenz gilt eine andere Regel.

Struktur der Divergenzen

Wir werden nun aus der Struktur der Lagrangedichte ableiten, ob die Feynmandiagramnem konvergent oder divergent sind.

Für den Divergenzgrad findet man



mit



Für D größer Null ist das Diagramm divergent, für D kleiner Null konvergent. Uns interessieren nur divergente Diagramme, denn nur die machen Probleme. Hier spielt nun die Dimension der Kopplungskonstanten eine zentrale Rolle!

Renormierung der Feynmandiagramme, Counterterme

Ein Diagramm ist abhängig von den Impulsen der ein- und auslaufenden Teilchen. Man entwickelt nun formal dieses divergente Diagramm in eine Taylorreihe und schreibt



Letzteres steht für die konvergenten Terme.

Die divergente Taylorreihe muss über den Trick der Renormierung eliminiert werden. Dazu führt man nun sogenannte Counterterme in die Lagrangedichte ein, die wiederum die Felder enthalten, allerdings genau so gebaut sind, dass sie Taylorreihe exakt wegheben und somit nur noch endliche Terme übrigbleiben. Die Struktur dieser neuen Terme ergibt sich dabei aus den Koeffizienten der Taylorreihe.

In unserem Fall gibt es Strukturen der Form



D.h. formal werden hier nur die Zahl der Ableitungen sowie die Zahl der auftretenden Felder gezählt. Die Exponenten werden aus den Koeffizienten der Taylorreihe bestimmt.

Für den Index der Divergenz findet man



Wenn nun der Index größer Null ist, dann werden bei Hinzunahme von Vertizes, also bei komplizierteren Diagrammen, immer neuen Counterterme auftreten. Z.B. können in der von uns betrachteten Theorie Terme der Form



für ganzzahliges j,k auftreten.

Oben haben wir gesehen, dass der Index mit der Dimension der Kopplungskonstanten zusammenhängt. Wenn diese eine negative Massendimension hat, dann ist der Index positiv und wächst mit steigendem n über alle Grenzen. Was bedeutet das?

Renormierbare Wechselwirkungen

Nehmen wir an, in unserer ursprünglichen Lagrangedichte war ein Wechselwirkunsgterm



Dafür findet man



Berechnet man den Counterterm, so lautet dieser ebenfalls



Man argumentiert nun wie folgt: der ursprüngliche WW-Term ist mit einer Kopplungskonstanten multipliziert, die formal unendlich ist. Der Counterterm wird ebenfalls mit einer Konstanten multipliziert, die formal ebenfalls minus unendlich ist - und zwar genau so, dass die Unendlichkeit aus der o.g. Taylorreihe sich weghebt und nur die endlichen Terme übrigbleiben. Wenn dies für alle Unendlichkeiten so funktionuert, nennt man die Theorie renormierbar.

Nicht-renormierbare Wechselwirkungen

Nehmen wir an, in unserer ursprünglichen Lagrangedichte war ein Wechselwirkunsgterm



Dafür findet man



Berechnet man den (die) Counterterm(e), so findet man u.a.



D.h. man muss einen neuen Term in die Lagrangedichte einführen, um die Unendlichkeiten für n=1 loszuwerden. Dummerweise produziert dieser Term für n=2 eine neue Sorte von Unendlichkeit in der o.g. Taylorreihe (jetzt für n=2) und man muss wieder einen neuen Counterterm einführen (die möglichen Terme habe ich oben bereits angegeben).

Zusammenfassung

D.h. letztlich, dass man zum Wegheben der Unendlichkeit in derTaylorreihe für n neue Counterterme einführt, die selbst wiederum neue Unendlichkeiten in (n+1) produzieren, die wiederum neue Counterterme erfordern - ad infinitum! Die zentrale Ursache dafür ist die Gleichung



Hier steht b für die Anzahl der an einem Vertex zusammenstoßenden Linien, 4 stammt aus der Zahl der Raumdimensionen. Der zugehörige WW-Term in der Lagrangedichte lautet genau



D.h. dass b=4 auf einen Index Null mit dimensionsloser Kopplungskonstante führt und dass diese Theorie noch renormierbar ist. Für Potenzen größer b>4 stoßen mehr Linien zusammen, die Dimension der Kopplungskonstanten wird negativ und die Theorie nicht-renormierbar. Umgekehrt kann man allgemein zeigen, dass für eine Kopplungskonstante mit negativer Massen-Dimension die Theorie (gemäß dem hier gezeigten sogenannte Power-Counting) nict-renormierbar ist!

Ähnliche Analysen kann man für Theorien mit Fermionen und Eichbosonen durchführen; die Struktur wird komplizierter, das wesentliche Verfahren ist allerdings identisch. Insgs. findet man, dass es nur eine endliche Klasse von Theorien (d.h. WW-Termen) gibt, die auf renormierbare Theorien führen.

[wilfried]

Tag zusammen


Tom spricht hier eine Ecke an, welche die Renormierungstheorie genannt wird.

Ist diese Theorie bekannt, soll diese näher erläutert werden?

Netten Gruß

Wilfried

[gravi]

@Wilfried:
Das wäre nicht schlecht! Ich habe nämlich so gut wie nichts verstanden...

Gruß
gravi

[tomS]

Das habe ich befürchtet.

Ich wollte eigentlcuh auf uzweierlei hinaus:
- zum einen mal die Theorie der Reormierung etwas besser erklären, also nicht nur den Zauber mit den Unendlichkeiten ...
- zum anderen etwas genauer erklären, warum hier die Quantisierung der ART scheitert

Also nur zu, was soll ich denn nochmal erklären; am besten, ihr zerpflückt meinen Beitrag ...

[wilfried]

Tag zusammen

ganz ganz ganz ganz kurz:

Insbesondere in der Quantenfeldtheorie gibt es (bekanntlich) eine Menge an relativistischen Effekten, so z.B. :
- Umwandlung von Lichtquanten in Elektronen
- Umwandlung von Lichtquanten in Positronen
- beide obigen auch umgekehrt
- Streuung des Lichts an Elektronen

und noch so einige Dinge der komplizierteren Art...

Darin finden wir einige divergente Ausdrücke., die mit der Renormierung schrittweise in jeder Näherung beseitigt werden können.

Viele dieser Divergenzen entstehen bei der Anwendung der Feynman Regeln (Berechnung von Schleifengrafen). Gelöst werden diese eben mit dieser Renormierung, wobei in diesem Fall renormierte Parameter eingeführt werden.

In der Quanten Elektrodynamik (QED) ist das noch ein wenig anders. Hier wird eine Feld-Renormierung durchgeführt und man erhält schlussendlich eine neue Skalierung der vorhandenen Konstanten, wie beispielweise der Masse des Elektrons und auch der relativistischen Ladung.

Schaut man in die Yukawa Theorie, stellt man fest, dass all dies noch nicht ausreicht um auch heri zum Erfolg zu gelangen. Hier müssen spezielle skalare Wechselwirkungen eingeführt werden, bevor die Renormierbarkeit erreicht werden kann.

Ganz allgemein befasst sich die Renornierungstheorie mit den Green Funktionen. Diese werden neu parametriert, erreicht werden dabei:
Neuskalierung der Felder, der Kopplungskonstanten und der Massen

Dadurch erreicht, dass

alle Greenfunktionen endlich "gemacht" werden.

Probleme dahinter

- alles andere als ein trivialer Akt. Grund: die Theorie hält nur eine endliche Zahl solcher Konstanten zur Verfügung
- Frage: Welche Theorie besitzt solche Eigenschaft und was passiert bei NICHT Renormierbarkeit?

Auch befasst sich die RT mit dem Formalbeweis, dass dieses Renormierverfahren, angewandt auf dem Einschleifenniveau zur Renormierbarkeit der Greenfunktion, in ALLEN Ordnungen der Störungstheorie endliche Ergebnisse hervorbringt.

Ihr seht: harter, sehr harter, äußerst harter Tobak.

Das ist Stoff, der weit über unseren U Bereich herausgeht. Das ist Stoff, der voll in einem Bereich liegt, wo ich mal sage:
Disserationsstudium

An Tom:

Ich möchte damit ernsthaft die Frage stellen, ob wir dieses dem Forum antun wollen. Ich fürchte, dass uns in diesem speziellen Fall keiner mehr folgen wird, es sei denn wir haben andere Leute hier, die so weit in der Theorie bereits fortgeschritten sind.

Bitte, das soll keinerlei Spott oder Arroganz sein, wirklich nicht. Aber gerade diese enormierungstheorie beinhaltet allerhöchsten Schwierigkeitsgrad und deshalb vermke ich das in diesem Fall so ausdrücklich.

Gerne aber können wir -Tom ( Du hast das ja angezettelt) und ich- dieses Thema aufgreifen.

Mal hören, was wir dazu für Antworten erhalten.

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Ich möchte wirklch viele der Detaildiskussionen vermeiden und im wesentlichen die Ideen dahinter sowie die Effekte erklären. Es soll nicht mehr komplizierter werden ...

[tomS]

Wir gehen nochmal einen Schritt zurück und betrachten einige Feynmandiagramme in der QED:

Feynman_2.PNG

Das Beispiel a) zeigt die niedrigste Ordnung für die Elektron-Elektron-Streuung, d.h. man hat zwei einlaufende Elektronen, zwei auslaufende Elektronen sowie ein virtuelles Photon. Dabei trägt zunächst jede Linie einen eigenen Viererimpuls. Insgs, muss aber für das gesamte Diagramm die Impulserhaltung gelten, d.h. man kann einen der vier Impulse durch die anderen drei ausdrücken. In der Praxis währen die einlaufenden Elektronen-Impulse durch den experimentellen Aufbau festgelegt, ein auslaufendes Elektron würde man messen, den Impuls des zweiten könnte man dann exakt ausrechnen (in Wirklichkeit misst man beide und bestimmt daraus des Messfehler).

Nun gibt es Regeln, was man mit den einzelnen Elementen des Diagrams tun muss: für jede außere Linie wird ein mathematisches Objekt eines freien Teilchens eingesetzt, für jeden Vertex eine WW-Konstante und ein paar algebraische Objekte, und für jede innere Linie ein sogenannter Propagator, in unserem Falle ein Photon-Propagator, der beschreibt, wie sich das Photon zwischen den beiden WW-Punkten (= den Vertizes) bewegt. Wenn ein Impuls einer inneren Linie nicht festgelegt ist, wird über diesen integriert (das kommt im nächsten Beispiel; hier liegen alle Impulse fest).

Bezogen auf die obige Buchhaltung (etwas erweitert) ergibt sich für das Diagramm a)

n = Anzahl der Vertizes im Diagramm = 2
b = Anzahl der am Vertex zusammenlaufenden Eichboson-Linien = 1
b = Anzahl der am Vertex zusammenlaufenden Fermion-Linien = 2
d = Anzahl der Ableitungen am Vertex = 0 (das ergibt sich aus der Lagrangedichte der QED)

F = Anzahl der äußeren Fermion-Linien = 4
B = Anzahl der äußeren Eichboson-Linien = 0

F[up]I[/up] = Anzahl der inneren Fermion-Linien = 0
B[up]I[/up] = Anzahl der inneren Eichboson-Linien = 1

Die Regeln sind hier wesentlich komplizierter, da wir Fermionen und Eichbosonen vorliegen haben, aber letztlich funktioniert die Abzählerei genauso.

Die Formeln für Index und Divergenzgrad lauten





Aus der ersten Geichung folgt, dass die Kopplunsgkonstante dimensionslos ist und dass im folgenden der Divergenzgrad der Feynmandiagramme nicht von der Anzahl der Vertizes abhängen wird, da der entsprechende Faktor immer mit Null multipliziert wird. Aus der zweiten Gleichung folgt sofort, dass das Diagramm konvergent ist.

Nun kommen wir zu einem divergenten Diagramm, z.B. d):

Es handelt sich um die sogenannte Photon-Selbstenergie; das Photon zerfällt dabei virtuell in ein Elektron-Positron-Paar. Man kann es an jeder Stelle, an der ein Photon-Propagator existiert, einfügen. Damit können die gezeigtne Diagramm natürlich (beliebig oft) geschachtelt auftreten, d.h.auch in sich selbst eingesetzt werden. Wir machen wieder unser Abzählspielchen für d)

n = Anzahl der Vertizes im Diagramm = 4
b = Anzahl der am Vertex zusammenlaufenden Eichboson-Linien = 1
b = Anzahl der am Vertex zusammenlaufenden Fermion-Linien = 2

F = Anzahl der äußeren Fermion-Linien = 4
B = Anzahl der äußeren Eichboson-Linien = 0

F[up]I[/up] = Anzahl der inneren Fermion-Linien = 2
B[up]I[/up] = Anzahl der inneren Eichboson-Linien = 2

Die Anzahl der Loops liest man direkt ab



Der Index lautet natürlich wieder



Als nächsten muss man den Divergenzgrad des Diagramms bestimmen.



Was bedeutet dies? Warum ist das Diagramm angeblich konvergenz (D<0) wenn es doch eine Schleife enthält? Der Grund liegt darin, dass nur ein Teil-Diagramm die eigentliche Divergenz trägt. Hier zeigt sich, dass in einer renormierbaren Theorie ein komplizierteres Diagramm tatsächlich keine neue Divergenz erzeugt, die nicht schon in einfacheren Diagrammen enthalten ist. Dies liegt daran, dass der Index und die Dimension der Kopplungskonstanten Null sind, d.h. dass mehr Vertizes nicht zu einer Verschlechterung des Divergenzverhaltens führen.Letztlich bedeutet dies, dass die hier vorliegende Divergenz der Photon-Selbstenergie konsistent renormiert werden kann.

Wir betrachten dazu die elementaren Diagramme, die überhaupt Divergenzen verursachen können. Zwei davon sind in der obigen Graphik als farbige Kästen markiert.

Das erste Diagramm entspricht der Vakuum-Polarisation oder Photon-Selbstenergie in Diagramm d) Die Divergenz des Teildiagramms lautet mit B=2 und F=0:



Das Diagramm ist zunächst quadratisch divergent, allerdings findet man durch Analyse der Eichsymmetrie, dass sogar nur eine logarithmische Divergenz vorliegt (dies kann über die naive Abzählmethode nicht ermittelt werden).

Das zweite Diagramm entspricht der Femrion-Selbstenergie in Diagramm j) Die Divergenz des Teildiagramms lautet mit B=0 und F=2:



Das Diagramm ist zunächst linear divergent, wiederum findet man durch Analyse der Eichsymmetrie, dass sogar nur eine logarithmische Divergenz vorliegt.

Renormierbarkeit bedeutet nun, dass in beliebig komplizierten Feynmandiagrammen nur endlich viele Typen dieser Divergenzen vorliegen, so dass alle Divergenzen in komplizierteren Diagrammen automatisch verschwinden, wenn man ein konsistenten Schema für die elementaren Diagramme zur Anwendung bringt.

[wilfried]

Tag Tom

die Dateianhänge kommen bei mir nicht als Grafik an

Gruß

Wilfried

[tomS]

Sollte jetzt klappen; Grund ist wohl, dass man nach Speichern eines Entwurfs und späterem Verwenden die Dateianhänge ein zweites mal hochladen muss. Will heißen, bei einem Entwurf werden diese Anhänge nicht mitgespeichert.

[wilfried]

Tom

ok und Danke

Wilfried

[tomS]

Mein letzter Beitrag soll nochmal eine Erläuterung des ersten Teils meines Eingangspostings darstellen. Falls dazu Fragen auftreten, beantworte ich diese gerne.

Später geht es dann mit dem zweiten Teil Renormierung der Feynmandiagramme, Counterterme weiter.

Ziel des ganzen ist, zu zeigen, warum diese Mechanismen bei der Gravitation nicht (bzw. nicht in dieser Form) funktionieren. Dazu brauche ich aber noch zwei Beiträge

[tomS]

Da wir ja über Gravitonen sprechen wollen, sollten wir evtl. einen Ausflug in die QCD unternehmen. Dort liegt nämlich eine Selbstwechselwirkung der Eichbosonen vor, wie wir sie auch in der ART finden. Ich verzichte dabei auf die vollständige QCD und lasse alle Quark-Beiträge weg, d.h. ich beschränke mich auf eine Theorie, die ausschließlich Gluonen enthält. Eine derartige Vereinfachung würde in der QED aufgrund der fehlenden Selbstwechselwirkung der Photonen zu einer trivialen Theorie führen.

Als erstes betrachten wir mal einen Teil der Lagrangedichte der QCD, um zu verstehen, wie die Feynmanregeln entstehen.

Die Feldstärke ist definiert als



Die ersten zwei Terme ehen so ähnlich aus wie der Feldstärketerm in der Maxwellschen Elektrodynamik. Der dritte Term enthält die eigentliche nicht-triviale Struktur über die sogenannten Strukturkonstanten f. Diese entstammen der nicht-abelschen SU(N) Liegruppe. Setzt man N=2, so entspricht dieser Term einer Art Vektorprodukt der Potentiale, allerdings wird dieses Vektorprodukt im Farb-Raum in den Indizes a, b, c ausgeführt! In diesem Term steckt die Selbstwechselwiwkung der Gluonen.

Die Lagrangedichte enthält nun dieses Term quadriert, d.h.



Dabei wird über a sowie über die Raumzeit-Indizes summiert.

Aus diesem komplizierten Gebilde kann man nun die Feynmanregeln ableiten. Ich will mal versuchen zu zeigen, wie das funktioniert

Quadratische Terme in A

Multipliziert man das Quadrat in F aus, so erhält man eine komplizierte Summe verschiedener Terme, man kann sich aber vorstellen, dass in einigen dieser Terme soetwas wie multipliziert mit einem Term der selben Sorte auftritt. D.h. man erhält einige Terme, die zwei Ableitungen und zwei Eichfelder enthalten. Dies ist der kinetische Energie-Term des Eichfeldes; er liefert uns den freien Propagator. Als Faustregel kann man sich merken, dass ein term der Form



im Propagator zu



wird, wobei k hier den Viererimpuls des Gluons bezeichnet. Die quadratischen Terme haben natürlcih noch einige Matrizen mit a,b,c Indizes usw., aber das interessiert hier nicht.

Kubische Terme in A

Multipliziert man das Quadrat in F aus, so erhält man in einigen Termen soetwas wie multipliziert mit einem Term der einen bereits quadratischen Term enthält. D.h. man erhält einige Terme, die nur eine Ableitungen, dafür jedoch drei Eichfelder enthalten. Dies ist ein Selbstwechselwirkungsterm in den Eichfeldern.

bi-quadratische Terme in A

Multipliziert man das Quadrat in F aus, so erhält man zuletzt in einigen Termen soetwas wie multipliziert mit einem Term der selben Sorte. D.h. man erhält einige Terme, die keine Ableitungen, dafür jedoch vier Eichfelder enthalten. Dies ist ein weiterer Selbstwechselwirkungsterm in den Eichfeldern.

Die zugehörigen Feynmanregeln für die letzten beiden terme sehen wie folgt aus

Feynman_QCD.PNG

Im 3-Gluon-Vertex findet man den Impuls wieder (rot markiert).

Für diese beiden Vertizes kann man nun wieder die Abzählemthode zur Anwednung bringen. Wir haben nun jedoch zwei verschiedene Vertizes, daher müssen wir einen neuen Index i=(3),(4) einführen, wobei hier angedeutet wird, dass es sich um einen 3- bzw. 4-Gluon-Vertex handelt.

Wir berechnen die beiden Indizes gemäß (f für die Fermionen setze ich gleich Null)

b[down]3[/down] = Anzahl der am Vertex zusammenlaufenden Eichboson-Linien = 3
d[down]3[/down] = Anzahl der am Vertex existierenden Implse = 1 (dies entspricht dem Auftreten des einen k-Faktors im Vertex)



b[down]4[/down] = Anzahl der am Vertex zusammenlaufenden Eichboson-Linien = 4
d[down]4[/down] = Anzahl der am Vertex existierenden Implse = 0 (am 4-Gluon-Vertex steht kein Faktor k)



Der Index ist in beiden Fällen Null, die Kopplungskonstante der QCD ist dimensionslos, wir erwarten daher, dass die Theorie ebenfalls renbormierbar ist, genauso wie die QED.

[wilfried]

Tag Tom

ich möchte zu dem gesamten Komplex einige mehr mathematisch philosophische Anmerkung machen:

Wozu diese Neu-Normierung = Renormierung, haben Tom und ich in unseren Artikeln erläutert.


Aber ist das nicht sehr absurd, erregt das denn bei niemand ein schreckliches Bauchkribbeln???

Hier wird der mathematische Apparat in all seiner Schönheit und Eleganz ausgenutzt um Dinge der normalen physikalischen Logik auf den Kopf zu stellen.
Und warum denn? Nur um Fehler -die man nicht einmal erkennt (oder nur sehr schwer erkennt)- quasi am Leben zu erhalten!

Warum sage ich das so aggressiv?

Es sind beliebig grosse Differenzen zwischen der Theorie und den gemessenen Werten einer Größe, eben wenn diese den Grenzübergang gegen unendlich durchführen soll.

In der "normalen" Mathematik hilft uns dabei die Regel "vom Krankenhaus": de L´Hospital weiter. Nur ist sie in diesen Gebieten nicht anwendbar.

Diese Renormierungen führen uns zu Lösungen, die bereits in den Eichtheorien verankert sind.

Tom zeigt es ja in seinem letzten Beitrag sehr schön auf

man kann sich aber vorstellen, dass in einigen dieser Terme soetwas wie multipliziert mit einem Term der selben Sorte auftritt

... und man erhält den Selbstwechselwirkungsterm in den Eichfeldern. usw.

Das ist schon alles richtig. ich will ja auch nichts gegen die Korrektheit dieser Ausführungen sagen.

Was ich will ist:

Ich möchte die Leser dieser Beiträge dazu ermuntern gerade die Anwendungen von Eichungen udn hier die der Renormierungen so zu lesen, dass wir es hierbei mit einem äußerst sensiblen mathematischen Werk zu tun haben.
Ganz schnell kann gerade der wenig erfahrene Physiker hier in die Irre geleitet werden und Dinge aus Gleichugnen gestalten, die letztlich nicht in das theoretische Gebäude passen.

Mit anderen Worten:

Hier ist sehr große Vorsicht oder soll ich besser sagen Sorgfalt mit sher großem Hintergrundwissen angesagt!

Dirac selber sagte dazu:

„Die Renormierungstheorie hat allen Versuchen des Mathematikers, sie fehlerfrei zu beschreiben, widerstanden. Ich möchte annehmen, daß die Renormierungstheorie etwas ist, das in der Zukunft nicht überleben wird“

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

So, jetzt haben wir eigentlich alles beisammen, um mal einen Ausblick auf die Gravitation wagen zu können. Ich fasse mal kurz zusammen

In einer Lagrangedichte treten Terme mit Feldern und Ableitungen auf. Jeder Term mit d Ableitungen und b Feldern führt dabei zu einem Wechselwirkunsgvertex in den Feynmandiagrammen mit d Impulsen und b einlaufenden Linien. Der Index eines Vertex i mit d[down]i[/down] Impulsen und b[down]i[/down] Linien ist gegeben durch



Ist dieser Index größer Null, so ist die Theorie nicht-renormierbar, da bei komplizierteren Feynmandiagrammen immer mehr Potenzen der Kopplungskonstanten und somit immer höhere Potenzen von Energie bzw. Masse auftreten.

Der Grad der Divergenz eines Diagramms ist dabei durch Betrachtung des Graphen gegeben. Für eine Theorie mit maaselosen Eichfeldern (und ohne weitere Materie) gilt für die Divergenz D eine Graphen mit B äußeren Linien



Dabei bemerkt man, was in den Feynmanregeln einer Theorie "böse" ist, nämlich
A) zu viele ein- und auslaufende Linien an einem Vertex
B) zu viele ein- und auslaufende Impulse an einem Vertex
Diese führen zu positivem Index und damit zu immer höheren Divergenzen bei komplexeren Graphen.

Nochmal: wichtig ist, dass die Linien von den Feldern in der Lagrangedichte stammen, die Impulse dagegen von Ableitungen.

So - und wie sieht das ganze nun in der Gravitation aus? Katastrophal! Warum?

Wir betrachten dazu die Einstein-Hilbert-Wirkung und stellen fest, dass sie sich nicht als Polynom in der Metrik schreiben lässt. Dies liegt an dem Auftreten von . Wie findet man nun die einfachsten Feynmanregeln dieser Theorie? Man zerlegt g in einen konstanetn teil, der dem flachen Minkowski-Vakuum entspricht, und Fluktuationen h, d.h. sowetwas wie



h(x) entspricht dabei den Fluktuationen. Setzt man diese Entwicklung in die Einstein-Hilbert-Wirkung ein, so erkennt man, dass beliebig hoihe Potenzen von h(x) auftreten, d.h. Feynmandiagramme mit beliebig vielen einlaufenden Gravitonlinien an einem Vertex. D.h. diese Theorie ist "böse" im Sinne von A)

Außerdem kan man natürlich die Aauf die Felder wirkenden Ableitungen zählen. Betrachtet man den 3-Graviton-Vertex, so stellt man im Vergleich zur QCD fest, dass eine Ableitung und daher ein Impuls mehr vorkommt, der aus dimensionalen Gründen von einer dimensionsbehafteten Kopplungskonstanten kompensiert wird. D.h. die Theorie ist auch "böse" im Sinne von B) Im Folgenden der Graviton-Propagator sowie der 3-Graviton-Vertex; die Impulsfaktoren sind rot gekennzeichnet

Feynman_EH.PNG

Führt man für diesen Vertex die Dimensionsbetrachtung durch, so findet man



Der Index ist also positiv. Für Feynmandiagramme, die nur diesen Vertex enthalten, gilt für den Divergenzgrad



wobei n für die Anzahl der Vertizes steht. Mit wachsendem n wird der Divergenzgrad beliebig groß (hier sei nochmals angemerkt, dass es außerdem noch weitere Vertizes in der Theorie gibt, deren Verhalten teilweise noch schlimmer ist).

Generell gilt für den Divergenzgrad eines Feynmandiagramms mit L Graviton-Loops die Formel



d.h. die Divergenz wächst mit der Abzahl der Schleifen.

Damit ist die Gravitation sicherlich auf diese Art und Weise nicht renormierbar, die quantenfeldtheoretische Beschreibung, wie man sie von QED und QCD kennt, bricht zusammen.

[wilfried]

Tom

Super Beitragsserie! Mein allergrößtes Kompliment!!

Du schaffst es einmal mehr komplizierte Dinge gut aufbereitet und auch verständlich darzulegen.

Willst Du Dich nicht beruflich verändern und auch Prof werden? Das wäre doch gewiss eine tolle Sache für Dich oder?

Gruß
Wilfried

[tomS]

„Die Renormierungstheorie hat allen Versuchen des Mathematikers, sie fehlerfrei zu beschreiben, widerstanden. Ich möchte annehmen, daß die Renormierungstheorie etwas ist, das in der Zukunft nicht überleben wird“

So, an der Stelle ist es wohl mal Zeit, etwas innezuhalten und das bisher geschriebene nochmal kritisch zu durchleuchten.

Generell ist die Renormierungstheorie zunächst eine vernünftige Vorgehensweise; sie besagt nämlich einfach folgendes: Angenommen, ich habe eine Theorie, die eine WW bis zu einer bestimmten Längenskala beschreibt. Was muss ich nun tun, dass ich Fluktuationen unterhalb einer bestimmten Länge weglassen kann, d.h. nicht mehr berücksichtigen muss? Die Antwort lautet, man kann diese Fluktuationen nicht weglassen, sondern man muss die Theorie geeignet renormieren, d.h. die Felder, Kopplungskonstanten usw. neu normieren. Dann kann man Fluktuationen weglassen, ihre Effekte sind durch die neu Normierung implizit mit berücksichtigt. Das funktioniert z.B. bei Flüssigkeiten und Gasen: der Reibungskoeffizient versteckt die mikroskopischen WWs zwischen einem größeren Körper und den Wasseratomen; zur Berechnung der Strömung um ein Flugzeug oder ein Schiff muss ich mich nicht um die einzelnen Luft- bzw. Wassermoleküle scheren.

Tatsache ist aber auch, dass in der oben beschriebenen Vorgehensweise (und da haben wir noch gar keine Renormierung im eigentlichen Sinne durchgeführt!) etwas anderes mit dazugemischt wird, nämlich die Eliminierung von Unendlichkeiten. Die Frage ist, ob die Renormierung auch dann noch zulässig ist, wenn wir Fluktuationen mit unendlichen Werten weglassen wollen. Der Trick besteht ja darin, nicht (wie oben beim Wasser), kleinere Fluktuationen in Koeffizienten wie dem Reibungskoeffizienten zu verstecken, sondern unendliche Werte in bereits vorliegenden unendlichen Werten zu verstecken, so dass die Differenz endlich wird. Das ist natürlich mehr als fragwürdig! Interessanterweise funktioniert es aber bei den bekannten Eichtheorien wie QED, QCD, el.-schw. Theorie hervorragend. Insbs. ergeben sich aus der Renormierungstheorie sogar neue physikalische Effekte, die man experimentell nachweisen kann.

In diesem Sinne stimme ich Dirac zu (wer bin ich denn, dass ich ihm widersprechen wollte?) dass die Renormierung zukünftig durch ein allgemeineres, mathematisch konsistentes Prinzip ersetzt werden muss.

Welche Auswege kennt die Physik? Da gibt es mehrere Ansätze, die jedoch allesamt noch nicht zum Ziel geführt haben
- Konstruktion einer Theorie, die keine Unendlichkeiten produziert (die Stringtheorie nimmt dies für sich in Anspruch)
- Konstruktion einer Theorie, die zumindest keine Unendlichkeiten produziert, wenn es um physikalische Größen geht (die Supergravitation scheint auf diesem Weg zu sein)
- nicht-störunsgtheoretische Quantisierung, d.h. Abkehr von den Feynmandiagrammen bzw. den ihnen zugrundeliegenden Rechenmethoden

-----------------------------

Letzteres will ich nochmal an einem Beispiel verdeutlichen. Die geometrische Reihe



konvergiert für

und liefert den Wert



Dieser Term ist nun für alle q definiert, mit Ausnahme des einen Wertes q=1. D.h. der exakte Ausdruck Z(q) weist nicht den selben Defekt auf wie die Reihe.

Die Renormierung ist nun eine Methode, einer Reihe der Form



einen Sinn zu geben, auch wenn gilt: Haben wir z.B. die Reihe



so können wir diese mit umschreiben zu



Natürlich ist diese Reihe ebenfalls divergent, aber wir können sie ja einfach mal als



schreiben.

-----------------------------

Blödsinn? Vielleicht! Tatsache ist, dass man in der Quantenfeldtheorie derartige Tricks immer wieder durchführt und dies konsistent "definieren" kann. Die physikalischen Ergebnisse sind jedenfalls hervorragend, so dass man die unterlagerte Theorie einfach "glauben muss". Zwar ist man sich einig, dass man noch nicht die letztgültige Formulierung der Theorie , aber dennoch bereits ein Körnchen Wahrheit gefunden hat.

[wilfried]

Tom

ein anderes auch interessantes Beispiel eines Renormierungsansatzes ist folgendes (unter Vernachlässigung des eineitenden theoretischen Hintergrunds der klassischen Elektrodynamik):

Wir schauen auf ein Elektron und kümmern uns um die Selbstenergie desselben. Diese stellt eine durch Emission und Reabsorption von Photonen bestimmte Emissionsverteilung dar, welche sich in einer spezifischen Spektrallinie ausprägt. Für alle, die es genauer wissen wollen: diese wird Breit-Wigner Verteilung genannt. Nun stellt sicher heraus -ohne näher darauf einzugehen-, dass eben diese Linie auf Grund der Selbstenergie desElektrons durch Emission und Reabsorption von Photonen um einen bestimmten Betrag verschoben ist.
Man kann desweiteren im Verlaufe detailreicherer Untersuchungen erkennen und herleiten, dass diese Selbstenergie unendlich gross ist.

Die Eigenmasse dieses Elektrons besteht aus zwei Teilen:

Teil 1 ist die Masse, welche ncht feldbezogen ist. Anders ausgedrückt: Diese Masse ist an keine Feldenergie gebunden.

Teil 2 ist die Masse, welche eben feldgebunden ist. Wir kennen sie unter dem Namen elektromagnetische Masse.

Die Gesamtmasse ist die Addition der beiden Teilmassen.

Naja...auch nicht ganz so richtig, denn ein kleiner Proportionalitätsfaktor kommt noch hinzu: 3/4. Hat damit zu tun, dass es sich um eine Ladungsverteilung im inneren einer Kugel handelt und wenn man dieses pingelig berücksichtigt, dann kommt es halt zu diesem Proporportionalitätsfaktor.

Das führte übrigens Lorentz weiter und konnte damit schlussendlich die relativistische Masse durch seine Lorentztrafo darstellen.

Nun es wurde weiter geforscht und man beschritt hier den Weg, dass man sich den nichtrelativistischen Wechselwirkungsoperator des Elektrons anschaute. Genauer schaute man auf seine transversale Komponente des Strahlungsfelds. Ein Term darin erhält Glieder, welche diese simultanen Erzeugungs- und Vernichtungsprozesse beschreiben. Diese Beschreibung letztlich führt zu einer recht komplizierten energieformel, die dann vereinfacht werden kann und folgendes aussagt:

Diese Energie des freien Elektrons ist a) unendlich groß und b) unabhängig vom Impuls dieses Elektrons.

Wow! Das ist ein erstaunliches Ergebnis. Erstaunlich insoweit, als dass bei einer Differenzbildung dann eben dieser Term wegfällt.

Dann gibt es noch einen zweiten Term: einen Beitrag mit zweiter Ordnung in dieser Wechselwirkung, welcher einen Energiebeitrag liefert. Dieser ist endlich. Und wie es sich gehört: nach etwas Geduld mit Rechnererei erweist sich, dass dieser den Realteil der Selbstenergie darstellt.

Man stellt dies gerne auch als Graphen dar: Ein einlaufendes Elektron mit einem endlichen Impuls streut unter Emission eines Photons in einen bestimmten Zwischenzustand und von dort aus wieder zurück unter Reabsorption eben dieses Photons.

Es wird weitergerechnet ... man kommt zu einem Integral der Energie, welches sich als logarithmisch divergent erweist. Daraus leitet die Fachwelt ab:

Die Selbstenergie ist divergent.

Na fein! Wir kombinieren dieses Integral mit der Energie der nullten Ordnung des freien Teilchens und erhalten eine nette Gleichung, in welcher ein gößerer Klammerausdruck den besagten divergenten Part liefert.

In vielen Lehrbüchern findet man darauf aufbauend über eine extreme nichtrelativistische Näherung einen Ausdruck für diesen Divergenzteil. Ich schreib ihn mal hin:



Das ist -und ich betone das ausdrücklich-: eine Näherung!!! Eine extrem nichtrelativistische Näherung!!

Aber mit dieser Näherung erweist sich die hier betrachtete Divergenz als linear und kann wiederum vereinfacht werden.

Und jetzt kommt der nächste "Hammer" vieler Lehrbücher:

Die Masse m der Energie nullter Ordnung ist die Masse des nackten Elektrons. Desjenigen Elektrons, weches nicht mit EM Feldern wechselwirkt.

Diese masse kann dann nur fiktiv sein. Begründung: Die EM Wechselwirkung ist nicht abschottbar.

Dummerweise jedoch ist die beobachtete Masse stets die bei Vorhandensein eines EM Feldes.

Ergo muss gelten:



D ist der besagte Divergenzterm.

Notwendige Aussage, damit die ganze Theorie wieder stimmt:

Die fiktive Masse (unbekannter Wert) des Elektrons muss so dargestellt sein, dass sie divergent ist. Es muss also gelten:



Damit wird stets ein endlich Wert für das Elektron gefunden, ein Wert, der dem des Experiments entspricht.

Das hier vorgestellte Verfahren ist die Renormierung der Masse.

Die divergente Selbstenergie wird interpretiert als Änderung der fiktiven Masse des Elektrons hin zur real vorhandenen Masse.

Tom schrieb:

Generell ist die Renormierungstheorie zunächst eine vernünftige Vorgehensweise

Da kann ich nicht mitgehen. Die Renormierung versucht häufig Wege zu gehen, so dass Dinge aus der Theorie denen der Messungen nachträglich angepasst werden.

Auch werden dazu häufig gewisse Annahmen, Vernachlässigungen durchgeführt -ich habe das ja oben exemplarisch gezeigt- die zwar gemacht werden dürfen, jedoch von mir stets als "lässig" gewertet werden.

Bei Prüfungen habe ich stets solche Darstellungen hinsichtlich der durchgeführten Vernachlässigungen und damit auch deren Berechtigung hinterfragt.

Die Berechtigung ist nämlich nur unter Voraussetzungen oder Ausgrenzungen gegeben.

Die Renormierung ist kein allgemeingültiger Ansatz, sie ist ein mathematischer Trick! Ich bin kein Freund davon ... wie man unschwer erkennen kann.


netten Gruß

Wilfried

[gradient]

Letzteres will ich nochmal an einem Beispiel verdeutlichen. Die geometrische Reihe



konvergiert für

und liefert den Wert



Dieser Term ist nun für alle q definiert, mit Ausnahme des einen Wertes q=1. D.h. der exakte Ausdruck Z(q) weist nicht den selben Defekt auf wie die Reihe.

Die Renormierung ist nun eine Methode, einer Reihe der Form



einen Sinn zu geben, auch wenn gilt: Haben wir z.B. die Reihe



so können wir diese mit umschreiben zu



Natürlich ist diese Reihe ebenfalls divergent, aber wir können sie ja einfach mal als



schreiben.

-----------------------------

Ich dache, wir Physikstudenten hören deshalb Analysis 1 mit den Mathematikern, damit wir später in der theoretischen Physik, von der ich bisher glaubte, dass sie auf weitgehend sauberer Mathematik basieren würde, nicht zu solchen schmutzigen Methoden greifen.

MfG
Patrick

[tomS]

@Wilfried:
ich stimme dir insofern zu, als die Renormierung in der von mir genannten Form (wie sie üblicherweise in der Quantenfeldtheorie verwendet wird), zwei Dinge miteinander kombiniert, nämlich a) die Eliminierung von unphysikalischen Divergenzen mit b) der echten "physikalischen" Re-Normierung, d.h. der Berechnung der Änderung von physikalischen Effekten bei Änderung einer Bezugsskala für Energien oder Längen.Letzteres kommt ohne Unendlichkeiten aus und führt zu neuen, tatsächlich nachweisbaren Effekten! Dazu später mehr ...

@gradient:
Die Moral von der Geschicht' ist folgende: Wann immer du ein Objekt wie Z(q) berechnen möchtest, musst du darauf gefasst sein, dass dies nicht ohne Näherung erfolgen kann. Wenn du dann nach erfolgter Näherung das Ergebnis zusammenfassen kannst (also hier aus der unendlichen Summe wieder einen endlichen Term erzeugst), machst du nur einen Fehler rückgängig, der sich im Rahmen deiner Näherung "eingeschlichen" hat. Die Renormierungstheorie sowie der Erfolg dieser Rechenmethoden besagt also, dass die zugrundeliegende Theorie physikalsich sinnvoll ist, dass jedoch die Rechenmethoden teilweise unzulässig sind. Im vorliegenden Fall ist bekannt, dass es sich um die Störungstheorie handelt, die eigentlich so nicht zulässig ist. Auch dazu später mehr ...

[tomS]

... ich greife nochmal meine letzte Bemerkung bzgl. der Störunsgtheorie auf.

In der Quantenfeldtheorie wird sehr häufig eine Art Taylor-Entwicklung nach der Kopplunsgkonstanten der Theorie durchgeführt. Dabei betrachtet man eine Größe A(p[down]1[/down], p[down]2[/down], ...), z.B. die Streuamplitude, die von den Impulsen p[down]i[/down] der ein- und ausaufenden Teilchen abhängt. Die Quantenfeldtheorie liefert dabei Größen A, deren analytische Eigenschaften als Funktionen komplexer (!) Variablen p[down]i[/down] sehr aufschlussreich ist. Z.B. hat die einfachste Funktion



der sogenannte Propagator, einen Pol bei der physikalischen Masse m des Teilchens. Dabei wird m i.A. abhängig von der Impulsskala sein, bei der die WW stattfundet, so dass man unter der Berücksichtigung der Selbstenergie des Teilchen häufig auch



schreibt. Es verbleibt weiterhin ein Pol, allerdings ist dessen Position nicht mehr fest.

Nun analysiert man wie gesagt die Struktur derartiger Amplituden in der komplexen Zahlenebene. Eine Eigenschaft analystischer Funktionen ist, dass Taylorentwicklungen und Konvergenzverhalten gut bekannt sind. Man entwickelt A(p) in eine Potenzreihe in der Kopplungskonstanten g der Theorie und setzt dabei stillschweigend voraus, dass g klein genug ist, so dass die Taylorreihe in g konvergiert. D.h. man erhält für



Der erste Term liefert den Beitrag der freien Theorie.

Auch den Propagator kann man so schreiben, d.h. man setzt



für die Selbstenergie.

Diese Störungsreihe kann man als Summe über Feynmandiagramme darstellen, d.h.



Diese Darstellung enthält einige Geburtsfehler:
- es gibt Amplituden A(p), die schlichtweg nicht in eine Taylorreihe entwickelbar sind, weil sie Beiträe der Form 1/g² enthalten, die für kleine g divergieren
- die einzelnen Feynmandiagramme divergieren (was wir oben bereits betrachtet haben)
- selbst wenn jedes einzelne Feynmandiagramm konveriert, muss man davon ausgehen, dass die gesamte reihe divergiert (so wie das Beispiel 1 + 2 + 4 + ...)

Die Physiker sind sich dieser drei Probleme sehr wohl bewusst. Die erste Problematik trifft auf einige wohlbekante Phänomene zu, z.B. spontane Symmetriebrechung / Higgs-Effekt, Solitonen / Instantonen / theta-Vakua. Diese Effekte können zwar berechnet werden, aber eben nicht über die Störungsreihe. Die zweite Problematik kann man über die Renormierung in den Griff bekommen. Die letzte Problematik bedeutet, dass die Konvergenz über die Störunsgreihe nach einigen (vielen) Termen wieder divergieren wird, d.h. dass die Störungsreihe ab einer bestimmten Ordnung sinnlos wird, obwohl sie Ordnung für Ordnung nur endliche Terme enthält; dies hat nichts mit der zweiten Problematik zu tun.

Die Schlussfolgerungen lauten:
- man benötigt alternative, sogenannte nicht-störungstheoretische Methoden
- evtl. liegen Anzeichen vor, dass man die "falschen" Freiheitsgrade quantisiert

Letzteres bedeutet, dass z.B. das Gravitationsfeld (die Metrik) oder das Photonfeld nicht die "richtigen" Freiheitsgrade sind; evtl. muss man neue, fundamentalere Größen identifizieren. Dies war u.a. einer der Ansatzpunkte der Stringtheorie. Diese liefert möglicherweise eine Lösung der zweiten Problematik (obwohl dafür ein Beweis noch aussteht), nicht jedoch für die erste Problematik (auch in der Stringtheorie gibt es nicht-störungstheoretische Effekte, z.B.die Branen, die die Störungstheorie nicht reproduzieren kann), sowie wohl auch nicht für die letzte Problematik (auch in der Stringtheorie scheint die Störungsreihe als ganzes zu divergieren).

[wilfried]

Tag Patrick

Ich dache, wir Physikstudenten hören deshalb Analysis 1 mit den Mathematikern, damit wir später in der theoretischen Physik, von der ich bisher glaubte, dass sie auf weitgehend sauberer Mathematik basieren würde, nicht zu solchen schmutzigen Methoden greifen.

Ich darf Dich beruhigen:

1. ist die Physik, bis auf ganz wenige Ausnhamen wirklich deterministisch geprägt und auf sauberste Weise mathematisch formulierbar. Du musst Dir inklusive Masterstudium keine Sorgen machen, "schmutzige" Methoden lernen zu müssen.

2. Was Du unter

schmutzigen Methoden

benennst ist eine Hilfsbrücke, die man anwenden darf, wenn man weiss was man tut. Gerade in der RT ist diese sehr ausgeprägt durch gewisse Vereinfachungen, von denen wir -besser Tom- reden / redet.

Auch die Eichtheorie lebt zum Teil von Näherungen. Im Grundstudium lernt ihr in der EM Theorie zwei Grundneichungen:

Lorentz Eichung


Was hier passiert ist nichts anderes, als dass mathematisch eine elegenatere und auch letzlich besser anwendbarer Formalismus gefunden wird: das Vektorpotenzial und das skalare Potential
Warum machen wir das?
Weil eben die Beschreibung eiens EM Feldes nur über Potentiale nicht eindeutig ist..

Die Coulomb Eichung

Hier wird das für die LE eingeführte Vektorpotenzial nochmals vereinfacht. Es wird eine Strahlungseichung so eingeführt, dass eben nur die longitudinale Komponente eine Rolle spielt.

So weit so gut.

Frage an Dich:

Ist as falsch? Ist die Mathematik hier vergewaltigt worden?

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Die Eichfixierung und die Regularisierung (im Rahmen der Renormierung) würde ich nicht in einen Topf werfen; die Eichsymmetrie sowie die Eichfixierung sind mathematisch exakt verstand im Rahmen der Theorie von sogenannten Faserbündeln (engl.: fibre bundle).

[gradient]

Lorentz Eichung


Was hier passiert ist nichts anderes, als dass mathematisch eine elegenatere und auch letzlich besser anwendbarer Formalismus gefunden wird: das Vektorpotenzial und das skalare Potential
Warum machen wir das?
Weil eben die Beschreibung eiens EM Feldes nur über Potentiale nicht eindeutig ist..

Die Coulomb Eichung

Hier wird das für die LE eingeführte Vektorpotenzial nochmals vereinfacht. Es wird eine Strahlungseichung so eingeführt, dass eben nur die longitudinale Komponente eine Rolle spielt.

So weit so gut.

Frage an Dich:

Ist as falsch? Ist die Mathematik hier vergewaltigt worden?

Hallo Wilfried,

ich kenne mich da zwar nicht wirklich gut aus, was ich bisher weiß, ist, dass man mit dem Vektorpotential und mit dem skalaren Potential die Maxwell-Gleichungen auf eine kurze kompakte Form bringen kann. Nirgendwo musste ich mich fragen "darf ich das von der Mathematik her?". Daher beantworte ich deine Fragen mit "nein".

MfG
Patrick

[tomS]

Ich zitiere mich ungern selbst, aber ich möchte das (ohne auf Details eingehen zu wollen) nochmal unterstreichen.

... die Eichsymmetrie sowie die Eichfixierung sind mathematisch exakt verstand im Rahmen der Theorie von sogenannten Faserbündeln.

[tomS]

Weil wir über mathematische Kuriositäten sprechen, hier noch ein Nachschlag: es geht um die sogenannte dimensionale Regularisierung. Vorab jedoch eine kurze Beschreibung, wie die Renormierung insgs. aussieht:
- Identifizieren der physikalischen Größe, die zu berechnen ist (Selbstenergie, Streuquerschnitt, ...)
- Für alle Feynmandiagramme, die zu diesem Prozess beitragen:
Isolieren der Divergenz, d.h. jedes Feynmanintegral wird geschrieben als I(p) = I[down]div[/down](p) + I[down]phys[/down](p)
wichtig: das Isolieren der Divergenz muss konsistent und einheitlich für alle Diagramme erfolgen
Festlegung der Renormierungsskala / des Cutoffs
...

Im Folgenden möchte ich skizzieren, wie man die Divergenzen identifiziert und eliminiert. Dazu gibt es verschiedene Methoden. Zunächst könnte man die divergenten Integrale



mittels eines Cutoffs = des Einführens einer Obergrenze für Impuls und Energie regularisieren. Die Idee dabei ist, dass diese Ausdrücke immer dann näherungsweise gültig sind, wenn die Prozesse bei Energieen stattfinden, die deutlich unterhalb des Cutoffs liegen. Das Problem ist aber, dass diese Form der Regularisierung Symmetrien wie Eichinvarianz und Lorentzinvarianz bricht. Man braucht also etwas besseres.

Betrachten wir den Propagator für ein massives Skalarfeld



und ein Feynmandiagramm für die Streuamplitude bei Impuls p



Wir schreiben dieses Integral zunächst für eine allgemeine Dimensionszahl D um, d.h. wir ersetzen 4 durch D!



Dieses Integral kann man mathematisch wie folgt umformen



mit



und der Gamma-Funktion; diese stellt im wesentlichen eine Verallgemeinerung der Fakultät für beliebige, komplexe Werte dar. Mit einem (wohldefinierten!) mathematischen Trick kann man das Integral also für beliebige (komplexe!) D formulieren. Wozu? Nun, die so gewonnenen Integrale sind exakt für D=4 divergent, allerdings für andere, nicht ganzzahlige D konvergent!

Damit findet man letztlich eine Darstellung der Singularität des Integrals wie folgt



D.h. die Divergenzen der Integrale äußern sich als Polstellen der Gamma-Funktion. Man regularisiert die Integrale, indem man zu komplexer Dimension D übergeht und die Singularitäten als Pole in (4-D) separiert. Die Renormierung selbst bedeutet dann, dass man über alle Feynmanintegrale diese Polstellen "einheitlich konsistent weglässt" und nur noch den endlichen Anteil betrachtet. Wichtig dabei ist, dass man ein einheitliches Schema benutzt, so dass Klarheit darüber herrscht, was in dem unendlichen und was in dem endlichen Term enthalten ist. Dazu gibt es nun sogenannte Renormierungsgruppengleichungen, die im wesentlichen folgende unphysikalische Problematik eliminieren:

A(p) = [unendlicher Term + endlicher Term][down]Schema 1[/down] = [unendlicher Term + endlicher Term][down]Schema 2[/down]

wobei sich die endlichen Terme

endlicher Term[down]Schema 1[/down] und endlicher Term[down]Schema 2[/down]

unterscheiden. Das darf eigentlich nicht sein, denn in den endlichen Termen steckt ja die Physik. Die Renormierungsgruppe besagt jedoch, dass die Unterschiede in den endlichen Termen durch Festlegungen in freien Parametern (Kopplungskonstanten) kompensiert werden können. Und diese Renormierungsgruppengleichungen gelten auch, wenn man von vorneherin mit endlichen Größen operiert.