Twistor-Theorie

[tomS]

Da das Thema immer wieder angesprochen wurde, hier einige kurze Anmerkungen zur Twistor-Theorie.

Die Theorie wurde von Sir Roger Penrose und einem immer relativ kleinen Kreis entwickelt. Die zentrale Idee war es, eine Theorie zu formulieren, in der die Raumzeit nicht mehr als fundamentale Struktur verstanden wird, sondern in der sie als abgeleitete Struktur entsteht. Damit ergibt sich in gewisser Weise eine duale Theorie, in der bekannten Größen wie Raumzeit, Punkte, Lichtstrahlen, Felder und Feldgleichungen duale Objekte im sogenannten Twistorraum zugeordnet werden.

Ausgangspunkt sind die nicht-lokalen, geometrischen Entsprechungen
Lichtstrahl = Twistor
Raumzeitpunkt = Familie von Lichtstrahlen, die sich in einem Punkt treffen = Riemannsche Zahlenkugel im Twistorraum
Während in der gewöhnlichen QFT die Quantisierung „auf“ einer existierenden Raumzeit vorgenommen wird, findet die Quantisierung im Twistorraum ohne zugrundeliegende Mannigfaltigkeit statt. Diese entsteht ja erst durch die duale Beschreibung des Twistorraumes. Die Quantisierung führt nun zu einer „Verschmierung“ der Punkte im Twistorraum, so dass sich im dualen Bild die entsprechenden Lichtstrahlen eines Lichtkegels nicht mehr in einem zentralen Punkt treffen. Damit verschwinden auf der fundamentalen Ebene die Konzepte des Punktes in der Raumzeit sowie die Raumzeitmetrik sowie weitere abgeleitete Konstrukte.

Ein Twistor Z = (zª), a=1..4, zª komplex, wird dabei wie folgt konstruiert:

Z = (z[up]0[/up], z[up]1[/up], z[up]2[/up], z[up]3[/up])

(z[up]0[/up], z[up]1[/up]) = R(t, x, y, z) (z[up]2[/up], z[up]3[/up])

R ist dabei eine 2*2 Matrix, die von den Koordinaten (t, x, y, z) abhängt. Dabei ist R so konstruiert, dass

det R = t² - x² - y² - z²


Anstelle nun eine Quantisierung in den Raumzeitvariablen (t, x, y, z) sowie den zugeordneten Ableitungen (d/dt, d/dx, d/dy, d/dz) durchzuführen, erfolgt diese im Twistorraum in den Variablen (zª) sowie den partiellen, holomorphen Ableitungen (d/dzª). Wellenfunktionen f(Z, Z*) im Twistorraum sind nun holomorphe Funktionen in den Variablen (zª), d.h. sie erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

d/dz*ª f(Z, Z*) = 0

Für den Helizitäts- bzw. Spinoperator S gilt

S = -½ (2 + zª d/dzª)

Ein Photon mit den zwei möglichen Spinzuständen s = +1 und s = -1 wird demnach beschrieben durch die beiden Wellenfunktionen

f(Z) = 1; S f(Z) = f(Z)
f(Z) = 1/z[up]4[/up]; S f(Z) = -1 (hier steht z für eine Variable der möglichen zª)


Man sieht, dass die bekannten ebenen Wellen in der gewöhnlichen Raumzeit durch Potenzfunktionen ersetzt werden. Außerdem erkennt man, dass die Twistortheorie eine gewisse Rechts-Links-Asymmetrie einführt. Man gewinnt die Lösungen von Wellengleichungen in der Raumzeit durch komplexe Linienintegrale über geeignete holomorphe Twistorfunktionen f(Z). An dieser Stelle sei angemerkt, dass die f(Z) eigentlich nicht einfache holomorphe Funktionen in vier komplexen Variablen sind, sondern dass es sich hier um Elemente einer sogenannten Garbenkohomologie handelt.

Bisher handelt es sich bei der Twistortheorie nur um eine duale Beschreibung von Feldern in der Minkowski-Raumzeit durch Twistorfunktionen f(Z) im Twistorraum. Um die Gravitation zu beschreiben, muss jedoch die Krümmung der Raumzeit durch eine geeignete Deformation im Twistorraum eingeführt werden. Dazu später mehr …

[wilfried]

Tag Tom

ich habe hier:

http://online.itp.ucsb.edu/online/gravity99/penrose/

eine Ausführung von Penrose himself.

Auch dieser Beitrag zeigt "recht knackig" die mathematischen Strukturen der Twistor Theorie.

Cartan hat ja bereits 1920 eine für damalige Zeiten eigenartige Formulierng der Raumzeit gebracht: er hat die Torsion darin eingeführt. Und das war quasi der Hauptzeiger auf den Zusammenhang mit Spin. Hehl hat das in seiner Habil Arbeit erst 1970 veröffentlicht! So lange kann eine Idee "garen".

Mielke dann mit seiner Habil 1982: Geometriesierung der Yang-Mills Eichtheorien

Seit 1988 Schleifen-Quanten und darin eben Roger Penrose mit seiner Twistor Theorie, wober er 1967 und 1971 bereits einen Vorgänger aufzeigte: Knoten Theorie.

Das tolle daran ist das feine darin:

Die Spinnetzwerke bilden eine vollständige Orthonormalbasis; soll heißen, daß die Eigenwerte dieses Flächenoperators ein diskretes Spektrum und einen Minimalwert besitzen!
Konseqeunz davon:

Es gibt weder Singularitäten noch Unendlichkeiten

Ich denke, daß dies ein bahnbrechende Erkenntnisgewinn auf dem Wege des Verständnisses war und den Ansätzen von Ashtekar, Smolin, Rovelli, Bojowald eine deutliche Note mitgab.

Netten Gruß

Wilfried