Der Einfluss der Physik auf die Mathematik und andersrum

[breaker]

Hi, mich gibt's auch noch!

Ich habe vor kurzem beim Kolloquium einen Vortrag zu einem sehr schönen Thema gehört und möchte es euch nicht vorenthalten.
Der Vortrag hieß im Original "The unreasonable effectiveness of quantum physics in modern mathematics" von dem niederländischen theoretischen Physiker Robbert Dijkgraaf. (Ich hab die Links hier zum Thema gefunden: http://www.math.leidenuniv.nl/~naw/seri ... kgraaf.pdf und http://www.ias.ac.in/currsci/feb102005/366.pdf)

Es ging darum, wie sich Mathematik und Physik gegenseitig beeinflussen und es gibt sehr schöne Ergebnisse.
Man kann von der Stringtheorie halten, was man will, aber sie wirft definitiv sehr brauchbare Ergebnisse ab. Ein Beispiel sei hier genannt:
Es gibt in der Stringtheorie bekanntermaßen mindestens 10 Dimensionen, also 6 mehr als wir wahrnehmen. Diese Zusatzdimensionen (Ich hoffe sehr, dass ich richtig übersetze und keinen Blödsinn erzähle) werden 'Calabi-Yau-Räume' genannt und bilden eine sechsdimensionale Mannigfaltigkeit.
Nun kann man sich fragen, wieviele komplexe Kurven vom Grad 1 (kann man sich wohl als Geraden vorstellen) man da durchlegen kann. Das ist eine komplizierte Rechnung; die Mathematiker haben im 19. Jahrhundert herausgrfunden, dass es N[down]1[/down]=2875 sind.
Schön. Man kann sich auch fragen, wieviele Kurven zweiten Grades durchpassen. Die Mathematiker haben gerechnet und gerechnet und sind im Jahr 1980 auf die Zahl N[down]2[/down]=609250 gekommen. Die Anzahl der Kurven dritter Ordnung (N[down]3[/down]=317206375) erforderte ein kompliziertes Computerprogramm und die Anzahl der Kurven vierter Ordnung ist praktisch unmöglich auszurechnen.
Nun gibt es in der Stringtheorie etwas, das 'Spiegelsymmetrie' heißt. Im wesentlichen sagt diese wohl, dass es noch eine Mannigfaltigkeit gibt, die eine völlig andere Topologie hat, als der Calabi-Yau-Raum, aber von stringtheoretischem Standpunkt aus von dieser praktisch nicht zu unterscheiden ist, weil sich Strings darin genau so verhalten wie vorher auch.
Was macht der Physiker? Er transformiert das Problem vom Calabi-Yau-Raum X in den "Spiegelraum" X' und auf einmal ist alles ganz einfach und er bekommt eine Formel heraus, die ihm praktisch alle N[down]i[/down] ohne großen Aufwand auf einmal ausspuckt.
Ein Mathematiker würde so eine Transformation niemals machen. Als Physiker wird man praktisch von der Natur auf die Lösung geführt.

[tomS]

Diese Mirror-Symmetrie verbindet zwei verschiedene Calabi-Yau Räume miteinander. Ich kenne sie nur aus Brian Greenes Buch The elegant universe.

In der Mathematik bedeutet sie, dass es eine Entsprechung von bestimmten mathematische Formen (die sogenannten Hodge-Zahlen = Dimensionen der entsprechenden Räume der sog. Hodge-Formen) in beiden Räumen gibt. Eine 1-Form entspricht dabei einer Art komplexen Gerade, das wäre aber eine Ebene in zwei reellen Dimensionen. Die Elemente der Vektorräume sind jedoch leider keine Vektoren, sondern sogenannte p-Formen (Differentialformen).

In der Physik entsprechen sich physikalische Größen, die man aus den in den Calabi-Yau-Räumen kompaktifizierten Stringtheorien ableitet. So sollten beide Calabi-Yau Räume Strings mit identischen Eigenschaften bzgl. Massenspektrum, Ladung etc. produzieren (obwohl die Topologie der beiden Räume völlig unterschedlich ist).

Ich sehe das eigentlich auch so: in der Stringtheorie steckt zu viel phantastische Mathematik und zu viele erstaunliche Querverbindungen zwischen eigentlich getrennten Teilbereichen der Mathematik, als dass diese Theorie einfach zufällig da aber für die uns umgebende Welt völlig bedeutungslos sein sollte. Dieses Argument alleine ist jedoch bedeutungslos, solange die Theorie keine physikalischen Vorhersagen produziert. Die Vorhersagen der Mirror-Symmetrie sind leider physikalisch unhaltbar: das Massenspektrum produziert nämlich zunächst eine Reihe masseloser Anregungen. Diee sollten das gesamte Standardmodell enthalten, wobei der Mechnanismus, über den die meisten Teilchen ihre geringe Masse erhalten (Leptonen, Quarks) völlig um Dunkeln bleibt (es müsste sich um eine Art Higgs-Mechanismus handeln, wobei die Details der Kopplung m.W.n. eben nicht vorhergesagt werden. Die massiven Anregungen entsprechen nicht den Teilchen aus dem Standardmodell, da die Massenskala im Bereich der Planckmasse liegt.

[tomS]

Die Physik hat die Mathematik in gewisser Weise schon lange "abgehängt":

1) Es gibt bis heute keinen mathematischen Beweis für die Existenz (Wohldefiniertheit) der wichtigsten Quantenfeldtheorien, z.B. QED, QCD usw. Diese Theorien bechreiben die reale Welt jedoch mit phantastischer Exaktheit, müssen also in gewisser Weise "wahr" sein. Der Beweis bestimmter Eigenschaften nichtabelscher Eichtheorien ist eines der Jahrtausendprobleme des Clay Instituts.
2) Witten hat in seinen Arbeiten über Donaldson-Invarianten viele physikalische Argumente verwendet, die die Mathematiker bis heute nur teilweise exakt nachvollziehen konnten. (Donaldson-Invarianten beschäftigen sich mit der topologischen und differentialgeometrischen Klassifizierung von 4-Mannigfaltigkeiten; ihre Berechnung ist extrem komplex; mit Seiberg und Wittens Methoden zu supersymmetrischen, abelschen Eichtheorien konnten zehn Jahre Mathematik innerhalb weniger Wochen - aber eben nur "physikalisch" = nicht streng beweisbar - nachvollzogen werden).
3) Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Strömungseigenschaften von realen Fluiden bis hin zur Entwicklung von Turbulenzen. Es ist bis heute nicht bewiesen, dass singularitätenfreie Lösungen existieren, die die Strömung für beliebig lange Zeiten beschreiben. Auch dies ist eine der Problemstellungen des Clay Instituts.

http://de.wikipedia.org/wiki/Millennium-Probleme

Auf der anderen Seite ist dies natürlich eines der Probleme der modernen Physik. Es gibt keinen Grund dafür, dass die Mathematik tatsächlich die reale Welt beschreiben sollte, außer natürlich dem experimentellen Erfolg. Diese bleibt z.B. in der Stringtheorie seit Jahrzehnten aus - trotzdem geht man davon aus, dass diese "Mathematik" auf eine tiefere physikalische Wahrheit hinweist. Ich neige auch zu dieser Ansicht, denn in der Stringtheorie stecken m.E. zu viele "Ergebnisse", die sich in gewisser Weise auf die reale Welt beziehen, als dass dies ein Zufall sein könnte. Trozdem fehlt uns heute mindestens eine fundamentale Erkenntnis bzw. ein zentrales Prinzip, das die Stringtheorie tatsächlich zu einer erfolgreichen physikalischen Theorie machen könnte.

Nach Peter Woit kann man sich fragen, ob die Stringtheorie überhaupt eine physikalische Theorie ist, da sie sich vom Prinzip der experimentellen Überprüfbarkeit bzw. Falsifizierbarkeit (vorüberghend ?) verabschiedet zu haben scheint. Ebenfalls nach Woit handelt es sich sicher nicht um Mathematik, da sie die zentralen Beweise schuldig bleibt. Um was handelt es sich aber dann?

[wilfried]

Tag zusammen

zuallererst möchte ich Dir breaker sagen, daß es mich sehr freut, mal wieder von Dir zu hören.

Wie geht es Dir, was machst Du so?

Dann zu Deinem Thema

Tom und tensor haben ja fachlich bereits alles dazu ausgesagt, ich kann nur eines sagen:

es ist mittlerweile offensichtliche Gepflogenheit mathematische Formulierungen den physikalischen Problemen anzupassen ohne die neuartige Mathematik wirklich überprüft zu haben.

So hat es Tom ja auch gesagt.

Ich sehe das so:

die modernen Rechnerhilfsmittel MAPLE, MATLAB, etc ermöglichen es heutzutage Formulierungen zu "erfinden", die zu Zeiten der "Alten" Physiker völlig undenkbar waren. Wir verlassen uns darauf, wir haben eine Rechnergläubigkeit entwickeln, wir sind auf einem Weg, wo wir uns in derartig abstrakten Formalismen bewegen und diese nahezu monatlich erneuern, ergänzen....

Ja und wer eigentlich soll dies noch unter Kontrolle haben, wer sorgt sich darum, ob die Mathematik wirklich so anzuwenden ist, ob sie je defineirt ist....

Darin sehe ich eines der größten Probleme unserer aktuellen Wissenschaft. Aber ich weiß auch nicht, wie man dies gelöst bekommt. Ich weiß nicht, welche Chancen ein Mathematiker heute hat die neuartigen Theorien auf ihre mathematische Existenztauglichkeit zu prüfen und wie sicher diese Prüfungen dann noch sind...

Ja, breaker, das was Du hier ansprichst ist nicht nur ein Problem, ich möchte das einmal das Desaster unserer Ära benennen.

Gruß

Wilfried

[tomS]

Mathematisch mögliche aber unphysikalische Lösungen stellen ein Problem dar; wer entscheidet, dass sie unphysikalisch sind? welche Prinzipien legt man zugrunde? was passiert nach der Quantisierung, wenn alle theoretisch möglichen Konfigurationen im Pfadintegral beitragen - auch unphysikalische?

[tomS]

Mit unphysikalisch meine ich etwas anderes. Wenn du eine klassisch verbotene bzw. unrealistische Konfiguration identifiziert hast, dann kann diese trotzdem in der Quantenmechanik im Pfadintegral beitragen. Beispiel: zum q.m. Pfadintegral des freien Elektrons tragen auch Pfade bei, in denen das Elektron eben nicht geradeaus fliegt, sondern z.B. 'zig Loopings dreht; genauso könnte z.B. das Gödeluniversum zum Pfadintegral einer QG beitragen.

[tomS]

das sehe ich auch so; nur was bedeutet das jetzt für das Gödel-Universum oder Wurmlöcher in der Quantengravitation?

[tomS]

Und würdest du jetzt von einer vollständigen Theorie der QG erwarten, dass sie diese Lösungen bzw. Mannigfaltigkeiten mit im Pfadintegral einschließt oder nicht?

[tomS]

Aber in der CDT sind sie bereits mathematisch ausgeschlossen.

IN anderen Theorien sind sie das evtl. nicht. D.h. wenn die Theorie diese Lösung nicht explizit ausschließt, dann ist sie erstmal zulässig, und dann muss sie q.m. und somit auch klassisch in Betracht gezogen werden.

Es gibt m.E. folgende AUsschlusskriterien für bestimmte "Lösungen" bzw. Konfigurationen
- mathematische Inkonsistenz
- dynamische Unmöglichkeit (z.B. wg. Erhaltungssätzen verboten)
- physikalische Randbedingungungen (dies ist schon eine Grauzone, da hier bereits Bedingungen von außen vorgegeben werden)

Alles was nicht explizit verboten ist, ist erlaubt.