Alles nicht so einfach.
Also Flächen- und Volumina sind mathematisch nachweisbar gequantelt, und zwar so ähnlich wie der Drehimpuls in der Quantenmechanik. Der Drehimpuls nimmt die Werte
)
an, wobei j die Werte 0, 1/2, 1, 3/2, ... annehmen kann.
Die Differenz zweier Eigenwerte ist von der Größenordnung h und damit bei Kopplungen in der QM z.B. Spin-Bahnkopplung, Feinstruktur etc. in Spektren von Atomen gut messbar.
In der LQG kann man nun für ein Spinnetzwerk einen Flächenoperator definieren:
Zunächst betrachtet man eine Fläche S und eine (dreidimensionale, räumliche) Metrik mit Determinante h. Die Fläche berechnet sich zu
Das ist ganz gewähnliche Differentialgeometrie.
Nun kann man die Ashtekar-Variablen einführen. Diese entsprechen einer Art Eichfeld (der Verwirrung halber ebenfalls A) und eine zugehörige "Feldstärke" E. Diese "Feldstärke" hat eine geometrische Interpretation, man kann aus ihr u.a. die Metrik rekonstruieren. Außerdem benötigen wir noch sowas wie Normalenvektoren n. Damit wird aus dem o.g. Integral:
Nun konstruiert man die Spinnetzwerk-Zustände. Dabei stellt sich heraus, dass ein Knoten eine Art Volumenquant und eine Verbindungslinie zweier Knoten ein Flächenquant ist. Geometrisch bedeutet dies, dass die Verbindungslinie senkrecht durch eine gedachte Fläche geht und dass alle diese gedachten Flächen gemeinsam eine Art Zelle bilden, in deren "Mitte" der Knoten sitzt und das Volumen der Zelle repräsentiert. Die Verbindungslinien tragen Spins j, in den Knoten sind alle Spins zusammengekoppelt und erfüllen gewisse Verträglichkeitsbedingungen (hier uninteressant).
Man darf sich nicht vorstellen, dass dieses Spinnetzwerk
im Raum lebt; der Raum dient hier nur der Veranschaulichung. Das Spinnetzwerk
ist selbst der Raum. (Andernfalls wäre das so, wie wenn man das Wasser zwischen den Wassermolekülen suchen würde)
Nun konstruiert man Eigenzustände zu den Flächenoperatoren (Längen und Volumenoperatoren sowie Eigenzustände sind schwieriger zu konstruieren).
} |\psi>)
Die Summe bedeutet, dass über alle Spins, d.h. alle o.g. gedachten Flächen in einemSpinnetzwerk summiert wird.
Beispiel Ereignishorizont eines SLs: man definiert eine Art "Oberfläche" (wie das im Detail funktioniert geht ist erstmal egal) und bestimmt alle Verbindungslinien, die diese durchstoßen. Verbindungslinien weiterer Knoten, die eben nicht diese Fläche durchstoßen, tragen nicht bei. Nun wird über alle durchstoßenden Verbindungslinien und damit über alle Flächenquanten, die den EH bilden, summiert.
Die Ähnlichkeit zu der Drehimpulsformel liegt daran, dass die Spinnetzwerke eben auch aus soetwas wie elementaren Spins konstruiert sind; es gibt in beiden Fällen eine zugrundeliegende SU(2) Algebra, die für das j(j+1) verantwortlich ist.
Man sieht, dass jedes Flächenquant von der Größenordnung Planck-Länge zum Quadrat ist! Außerdem kann jedes Flächenquant unterschiedlichen Spin tragen - dafür gibt es keine einfache Interpretation - aber man kann z.B. versuchen, ein Spinnetzwerk nur aus möglichst niedrigen Spins zu konstruieren. Dann erhält man aus der oberen Formel mit j=1/2:
N zählt dabei die Anzahl der Verbindungslinien also die Anzahl der elementaren Flächenquanten in der Fläche S. Ein Flächenquant hat also den Wert
So, und da haben wir ein zentrales Problem der LQG, nämlich das Auftreten des neuen Parameter gamma, des sogenannten Barbero-Immirzi-Parameter. Dieser Parameter tritt bei der Quantisierung auf, er existiert nicht in der klassischen Theorie. (Besser gesagt, er existiert schon, aber er tritt in den relevanten Gleichungen nicht auf). Man müsste seinen Wert experimentell festlegen, allerdings kennt man natürlich keine Experimente, die bis hinunter zur Größenordnung der Planck-Länge funktionieren. Es gibt einige theoretische Überlegungen, wie man den Wert bestimmen kann, jedoch kenne ich keine, die allgemein akzeptiert ist.
Eine beruht darauf, dass man die Temperatur bzw. Entropie für schwarze Löcher mit dem Ergebnis von Hawking bzw. Bekenstein vergleicht und den Wert von gamma dadurch festlegt.
Ein Problem dabei ist, dass das Ergebnis von Hawking nus aus der Quantenfeldtheorie auf einer klassischen Raumzeit berechnet wurde. D.h. es enthält keine echten Effekte der Quantengravitation und ist daher mit Vorsicht zu genießen. Man erwartet nämlich, dass die echte Quantengravitation dem rein thermischen Spektrum der Hawkingstrahlung noch eine Struktur aufprägt.
Das zweite Problem ist, dass die Hawkingstrahlung grundsätzlich nicht gemessen werden kann, da man a) nicht nahe genug an ein schwarzes Loch herankommt und b) bereits die 2.7K Hintergrundstrahlung um viele Größenordnungen heißer ist als die Strahlung eines SLs, d.h. ein SL absorbiert mehr Energie aus der Hintergrundstrahlung als es durch Hawkingstrahlung emitiert (gilt nicht für Mini-SHs - wenn es sie gibt).
Die zweite Überlegung beruht darauf, ein klassisches Pendant zu den q.m. Oszillationen zu finden, d.h. makroskopische Eigenschwingungen eines SLs zu identifizieren. Dies entspricht im wesentlichen der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung in der "alten" Q.M. (Zwar gibt es in den Atomen keine periodischen Bahnen, aber interessanterweise führt die Betrachtung in bestimmten Fällen, insbs. im klassischen Grenzfall, zu - näherungsweise - korrekten Ergebnisen).
Man kennt seit einiger Zeit Schwingungen von Schwarzen Löchern, d.h. diese (bzw. ihre Metrik oder ihr EH) können oszillieren, wenn sie leicht von der exakt sphärischen Symmetrie abweichen. Diese Schwingungen sind exponentiell gedämpft; man hat also eine komplexe Frequnz, wobei der Realteil der eigentlichen Schwingsfrequenz und der Imaginärteil der Dämpfung entspricht. Diese Rechnungen beruhen ausschließlich auf der ART und kommen ohne QM / QFT / LQG aus.
Nun versucht man, die q.m. Oszillationen und die klassischen Schwingungsmoden in Beziehung zu setzen. Das geling ganz gut, führt jedoch letztlich auf einen anderen Wert für den Barbero-Immirzi-Parameter als der Weg über die Hawkingstrahlung.
Dabei zeigt sich, dass die obige Annahme, dass nur der niedrigste j-Wert 1/2 beiträgt, so wohl nicht richtig ist. Außerdem ergibt sich die Problematik, dass man bei der Konstruktion der LQG offensichtlcih eine gewisse Freieit hat, wenn man die Spins bzw. die zugrundeliegende Symmetriegruppe festlegt. Man kann nämlich die gewöhnliche SO(3) Rotationsymmetrie oder die komplexe SU(2) Symmetrie heranziehen. Beide haben lokal identische Eigenschaften, insbs. sind die algebraischen Beziehungen identisch, in der SO(3) gibt es jedoch nur ganzzahlige Spins 1, 2, 3, ..., wohingegen in der SU(2) auch halbzahlige Spins auftreten.
Zusammenfassend:
Die Flächenquanten sind von der Größenordnung Planck-Länge zum Quadrat und damit nicht messbar.
Die Flächenquanten sind echte Quanten und nicht unscharf.
Ob die obigen Zustände und ihre Quantisierungseigenschaften so in einem semiklassichen Zustand "sichtbar" sind ist heute noch nicht klar. Die Konstruktion dieser semiklassichen Zustände ist ebenfalls noch Gegenstand aktueller Forschung.
