Wellen-Teilchen-Dualismus in der Natur ?

[Addi]

Hallo Forum,
ich bin der Neue. Ich bin 50, Flugzeugbauer/Mechaniker und lese viel. ...ich meine wirklich viel. Ich weiß von allem ein bisschen, aber nie genug, um irgendwo tiefer in die Materie einzutauchen. Das heißt, zuviel um mit meinen Kumpels darüber zu reden, aber eindeutig zuwenig, um mit Experten mitreden zu können. Deshalb möchte ich meine Fundsachen bei euch abladen und hoffe, dass ich niemanden langweile oder mich nicht lächerlich mache. Soviel zu mir und meinem Backround.

Ich bin beim Schwarmverhalten über ein Zahlenverhältnis gestolpert, das sich möglicherweise in der Physik wiederholt. Leider kann ich nicht sagen, ob es wirklich das gleiche ist, oder ob es sich nur ähnelt.
Schaut euch mal bitte das verlinkte Video an. Es zeigt einfach nur Stare im Flug. Genauer gesagt, zeigt es einen Schwarm, in dem sich jedes Individuum an seinen 7 unmittelbaren Nachbarn orientiert. 7 finde ich schon deshalb interessant, weil durch die unrunde Zahl die äußeren (wechselseitigen) Einflüsse immer automatisch in Mehr- oder Minderheit eingeteilt werden.
https://www.youtube.com/watch?v=S4dRLomlTn4

Gesehen? Schaut man lange genug zu, findet man in den Flugmustern jede mögliche Wellenlänge wieder.
Mein erster Gedanke war nun, dass die Tatsache, das Teilchen in einer Wellenformation und nicht als Strahl daher kommen, vielleicht einfach dem Umstand geschuldet ist, dass sich ihr Verhältnis untereinander über eine ungerade Zahl definiert.
Idealer Weise wäre das sogar die Zahl 7. Die Natur wiederholt sich gern in ihren funktionalen Zahlen, Formen und Verhältnissen.

Es spricht noch etwas anderes für die 7, aber das ist der Teil, bei dem ich mir nicht sicher bin, ...außerdem war Bier im Spiel

Die Oktettregel ! Befinden sich genau 8 Elektronen in der äußeren Atomschale, ist die Elektronegativität =0.
8 bedeutet aber auch gleichzeitig, das jedes einzelne Elektron 7 unmittelbare Nachbarn hat, bei denen zumindest erstmal die Geschwindigkeit zueinander gleich ist. Das der Abstand sich auch reguliert, wäre anzunehmen, ist aber reine Spekulation.
Ist also ein stabiles Mikrosystem entstanden ?
Findet die Wechselwirkung zwischen mehr als 2 Teilchen statt und wenn die Relation zueinander nicht mehr stimmt, wird Korelation daraus?

Das wars erstmal. Das ist die Natur meines Halwissens. Es lässt sich wunderbar mit spekulieren, hat aber noch nie zu wirklicher Erkenntnis geführt.

[Frank]

Ein herzliches Willkommen hier im Forum.
Ich kann dir leider nicht helfen, bin mir aber sicher das du bei uns Hilfe bekommst.

[belgariath]

Hallo Addi, willkommen hier im Forum.

[...]
Schaut man lange genug zu, findet man in den Flugmustern jede mögliche Wellenlänge wieder.
Mein erster Gedanke war nun, dass die Tatsache, das Teilchen in einer Wellenformation und nicht als Strahl daher kommen, vielleicht einfach dem Umstand geschuldet ist, dass sich ihr Verhältnis untereinander über eine ungerade Zahl definiert.
[...]

Sorry aber ich verstehe nicht was du meinst. Wo findet man hier eine Wellenlänge?
Meiner Meinung nach, kann man eine Wellenlänge nur 'ner periodischen Funktion zuweisen. Aber wo ist in dem Schwarmverhalten der Stare was Periodisches? Meinst du die räumlichen Schwankungen der Flächendichte oder die Trajektorie des Schwarmschwerpunkts oder Trajektorien einzelner Individuen oder Abstände zwischen nächsten Nachbarn, oder.....?

[seeker]

Willkommen auch von mir!

Also:
Hmm... das Video mit den Staren, das ist schon toll.
Also, gewisse Zahlen wiederholen sich in der Natur, ja... besonders wenn Geometrie im Spiel ist...

Genauer gesagt, zeigt es einen Schwarm, in dem sich jedes Individuum an seinen 7 unmittelbaren Nachbarn orientiert.

Ist das so? Also gesichert? Ich weiß darüber nichts, mir kommt nur die Szene in dem ersten Stargate Film in den Sinn, wo darüber gesprochen wurde, dass man 6+1 = 7 Koordinaten bräuchte, um dort zu einem Zielstern navigieren zu können: 6 um einen herum, um zu wissen, wo man ist (oben/unten + rechts/links + vorne/hinten), der siebte, um die Richtung zu definieren, wo man hin will.

Die Oktettregel ! Befinden sich genau 8 Elektronen in der äußeren Atomschale, ist die Elektronegativität =0.
8 bedeutet aber auch gleichzeitig, das jedes einzelne Elektron 7 unmittelbare Nachbarn hat, bei denen zumindest erstmal die Geschwindigkeit zueinander gleich ist. Das der Abstand sich auch reguliert, wäre anzunehmen, ist aber reine Spekulation.

Die Verhältnisse sind hier andere und die Oktettregel ist eine Vereinfachung (für die Hautpgruppenelemente ab der 2. Schale).
Tatsächlich finden wir max. 8 Außenelektronen nur in der 2. Schale (Li, Be, B, C, N, O, F, Ne).
Und selbst dort sind die 8 Elektronen meist nicht zueinander gleich, auch nicht in der mittleren Geschwindigkeit bzw. dem Energiezustand, weil es dort ein s-Orbital gibt (2s, kugelförmig) und 3 p-Orbitale (2px, 2py, 2pz, hantelförmig, eine Hantel pro Raumrichtung), wobei in jedes Orbital immer max. 2 Elektronen hineinpassen: 2 + 3x 2 = 8

In der ersten Schale (1s) haben nur 2 Elektronen Platz und ab der dritten Schale haben wir zusätzliche Orbitale (d, ab der 4. dann noch f) und daher mehr als max. 8 Außenelektronen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Elektronenkonfiguration

Von daher... diese Idee scheint mir wahrscheinlich zu weit hergeholt zu sein...
Bei dem Starenschwarm haben wir eher ein komplex-deterministisch-chaotisches System, das nach einfachen Verhaltensregeln läuft (für die relativ intelligenten Vögel im Schwarm, die sozusagen einen Algorithmus ausführen können), bei den Elektronen in den Atomen haben wir zunächst eher nur Wahrscheinlichkeit + Geometrie + niedrigste Energiepotentiale (für die relativ dummen Elektronen, die sozusagen nur allereinfachste Algorithmen ausführen können), soweit ich das sehe.

[Siebenstein]

@Addi
Willkommen im Forum auch von mir!

Also der 'Wellen-Teilchen-Dualismus' in der Natur hat nichts mit Schwarmverhalten zu tun (egal ob von Vögeln, Heuschrecken, Fischen etc.).

Diese 'Terminologie' ist schon für andere Phänomene und Gesetzmäßigkeiten in der sog. 'Quantenmechanik' reserviert.

"Ist Gott Mathematiker? Gewiss kann die Mathematik auch als ein Schlüssel zum Verständnis des Universums dienen. Die Natur ist Mathematik. So lässt sich etwa die Anordnung von Sonnenblumensamen mithilfe der Fibonacci-Zahlen erschließen. Die Köpfe von Sonnenblumen weisen wie die anderer Blumen auch Samen in versetzt angeordneten Spiralen auf, wobei eine Spiralengruppe im Uhrzeigersinn verläuft und die andere gegen ihn. Sowohl die Anzahl der Spiralen, als auch die der Blütenbläter, ist sehr oft eine Fibonacci-Zahl."
(Auszug aus: Clifford A. Pickover, DAS MATHEBUCH)

Der Wissenschaftsautor, Philosoph und Physiker Harald Lesch hat die Fibonacci-Zahlen in einer seiner Wissenschaftssendungen im Fernsehen (Terra X) als Bauplan der Natur und sogar als eine Art 'Weltformel' bezeichnet.

Offenbar enthüllen die Fibonacci-Zahlen das Bestreben der Natur minimalistisch zu arbeiten, d.h. mit möglichst wenig Aufwand das maximal mögliche zu erreichen.

Die Zahlenfolge der Fibonacci-Zahlen ergibt sich dadurch, dass sich jede ihrer Zahlen - abgesehen von den beiden ersten - durch Addition des vorhergehenden Zahlenpaares ergibt:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ... usw.

"Die Fibonacci-Zahlen treten häufig in der Natur auf und spielen in erstaunlich vielen mathematischen Disziplinen eine Rolle."

"Ist Gott Mathematiker?"
Diese Frage würde ich noch viel radikaler und umfassender umformulieren:
"Ist Gott 'von selbst' aus der Mathematik entstanden, d.h. war schon immer da und gültig?"

In einem anderen Thread hatte ich z.B. auch darüber diskutiert, ob die Kreiszahl pi schon immer da war, d.h. existent war und ist, unabhängig von der Existenz eines Universums? Das Ergebnis der Diskussion war, diese Frage unbedingt mit 'ja' zu beantworten.
Dasselbe gilt wohl auch für die sog. Euler'sche Zahl e.

Bemerkenswert (oder Zufall?) ist, dass das Ergebnis der Zahl (e hoch -pi) = 0,1234... ist.
Aus dieser Ziffernfolge 0,1234... kann man vermutlich alle Zahlen auf der Zahlengeraden konstruieren, und auch die Natürlichen Zahlen 1,2,3,4... usw. ohne dabei die Peano'schen Axiome bemühen zu müssen.

Zufallswellen
Erwin kann mit seinem Psi
Rechnen wie sonst niemand, nie.
Aber eines kann ich nicht verstehen:
Mit welcher Bedeutung das Psi versehen?
(Felix Bloch)

Gruß Siebenstein

[Siebenstein]

Sorry für den "Fehlerteufel" (Schreibfehler), der sich bei mir oben eingeschlichen hatte...

Die transzendente Zahl e hoch (-pi) = 0,04321...
Genauer betrachtet: e hoch (-pi) = 0,04321391826...
mit e = Eulersche Zahl und pi = Kreiszahl

Fragen an den Mathematiker:

Wenn die Menge R aller irrationalen Zahlen (Zahlen mit unendlich vielen nichtperiodischen Ziffern hinter dem Komma, wie z B. Wurzel(2), e, pi usw.) den reellen Zahlenstrahl (reelle Achse) wirklich 'lückenlos' ausfüllen sollten, kann dann die transzendente Zahl e hoch (-pi) quasi als 'Funktion' von e und pi noch 'Platz' haben auf der reellen Achse?!

Oder bräuchte die Mathematik hier (nicht) mindestens zwei oder mehr (parallele) reelle Achsen, und dann entsprechend natürlich auch (nicht) mindestens zwei oder mehr (parallele) imaginäre Achsen, um alle 'vorstellbaren' Zahlen grafisch erfassen bzw veranschaulichen zu können?

Ich weiß es nicht...!

[seeker]

Ich bin zwar kein Mathematiker, aber warum sollte hier ein Problem entstehen?
Wenn du zwei irrationale Zahlen miteinander verwurstelst, dann ergibt das einfach irgendeine weitere irrationale Zahl, die ebenso Element R ist.
Wo ist das Problem?

[Siebenstein]

Genau darüber bin ich mir eben noch nicht vollständig im klaren, deshalb erst mal eine kleine Rekapitulation:

Die Menge der reellen Zahlen
Wie aus dem Algebraunterricht bekannt, sind die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen, die ihrerseits wieder einen Teilbereich im System der reellen Zahlen darstellen, welche die Grundlage der Infinitesimalrechnung bilden.

Körpereigenschaft
Je zwei reellen Zahlen a und b ist genau eine reelle Zahl (a + b) als Summe und genau eine reelle Zahl (ab) als Produkt zugeordnet.
Daraus folgen: Kommutatives Gesetz, Assoziatives Gesetz, Distributives Gesetz, Erfüllungsgesetz.

Anordnungseigenschaft
Für je zwei reelle Zahlen a und b gilt immer genau eine der folgenden drei Relationen: a < b, a = b, a > b.
Daraus folgen: Transitives Gesetz, Monotoniegesetz

Vollständigkeitseigenschaft
Man betrachte eine beliebige Menge reeller Zahlen x mit mit der Eigenschaft x <= k (kleinergleich), wobei k eine feste reelle Zahl sein soll. Eine solche Menge heißt 'nach oben beschränkt' und die Zahl k eine 'obere Schranke' der Menge.
Beispiel: Die Menge der Flächenmaßzahlen aller dem Kreis mit Radius 1 eingeschriebenen Rechtecke stellt eine solche nach oben beschränkte Zahlenmenge dar.
Die Flächenmaßzahl Pi des Einheitskreises ist eine obere Schranke dieser Menge.

Allgemein gilt: Jede nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen hat eine kleinste obere Schranke.

Die Intervallschachtelung
Die monotonen Zahlenfolgen spielen eine wichtige Rolle bei der so genannten 'Intervallschachtelung', die wir bereits im Algebra- und Geometrieunterricht kennengelernt haben.

Definition:
Zwei Zahlenfolgen a1; a2; a3;... und b1; b2; b3;... bestimmen eine Intervallschachtelung, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Die Folge a1; a2; a3;...; an;... ist monoton wachsend;
2. Die Folge b1; b2; b3;... ; bn;... ist monoton fallend;
3. Die Differenzfolge mit dem allgemeinen Glied (bn - an) ist eine Nullfolge.

Daraus folgt:
Die Differenzfolge (bn - an) einer Intervallschachtelung ist monoton fallend, so dass für alle n gilt: (bn - an) >= 0.

Bei den reellen Zahlen reden wir von Zahlen wie z B.
1, 2, 3,...
Wurzel (2) = 1,41... Wurzel (3) = 1,73...
Wurzel (3) / Wurzel (2) = 1,22...
Pi = 3,14... Pi / Wurzel (3) = 1,81... und deren Vielfachen
e = 2,71... e / Wurzel (3) = 1,56... und deren Vielfachen

Mit der Zahl e hoch ( - Pi ) = 0,04321... und deren Vielfachen habe ich tatsächlich ein Problem, zum einen wegen der auftauchenden Zahlen 0 und der Zahl -1 (negatives Vorzeichen im Exponenten).

Ich bezweifle, dass man für diese spezielle 'transzendente' Zahl e hoch ( - Pi) eine Intervallschachtelung mit der Differenzfolge ( bn - an) als Nullfolge für n - > unendlich angeben kann, in derselben Weise wie für e und Pi.
Denn die 'Konvergenzgeschwindigkeit' ist langsamer (vermutlich um die Hälfte) als jeweils für e und Pi alleine, so dass sich für die Zahl quasi kein Platz mehr auf der reellen Achse befindet... Beweis:... (?)

Wenn dies wahr wäre, dann wäre in der Tat 'parallel' eine zweite reelle Achse und parallel eine zweite imaginäre Achse notwendig, um den Zahlenraum vollständig geometrisch zu veranschaulichen und abzubilden.

Ich würde dann notwendigerweise noch unterscheiden zwischen den speziellen transzendenten Zahlen -0; 0; +0; sowie -unendlich; unendlich; + unendlich;

Die komplexe Zahlenebene, aufgespannt mit den rechtwinkligen Achsen, geht dann über in eine mit doppelten (parallelen) rechtwinkligen Achsen, wobei die jeweiligen entstehenden vier Eckpunkte jeweils die Zahlen +0 und -0 markieren, und der undefinierte punktförmige oder quadratischer Bereich im Mittelpunkt des 'Doppelkreuzes' die neutrale (nicht vorzeichenbehaftete) Zahl 0.

Die 'Riemansche Zahkenkugel' könnte dann übergehen in eine 'Kugelschale' mit Außenseite und Innenseite (vgl. wie die Schale eines Apfels) mit jeweils zwei Nordpolen und zwei Südpolen, wobei die jeweiligen Nordpole die Zahlen +unendlich und -unendlich vereinigen und die jeweiligen Südpole die Zahlen +0 und -0 vereinigen.
Die nicht vorzeichenbehaftete 'neutrale Zahl' 0 würde ich im geometrischen Mittelpunkt dieses Kugelgebildes verorten und die neutrale Zahl 'unendlich' stellt dann den gesamten Außenbereich der Kugelstruktur dar...

Geometrische Veranschaulichung:
Zum Beispiel Schale eines Apfels oder s-Orbital um das Wasserstoffatom.
Zwischen den Oberflächen außerhalb und innerhalb der Kugelschale gibt es keine Verbindung, das heißt keine Zahlen, die ein Mensch sich aus denken kann...

Damit sollten die bisher gewohnten konformen Abbildungen auch weiterhin möglich sein...

Mir gefällt noch folgende Idee:
So wie für 0! = x (hoch 0) = 1 definiert ist (aus mathematisch ästhetischen Gründen),
würde ich gerne e hoch ( - Pi) = i (hoch i) = 0,04321... definieren wollen, mit i = Wurzel (- 1) = imaginäre Einheit.

[Siebenstein]

Kleine Ergänzung:
Versuchen Sie mal die 'Volumenmaßzahl' eines Rotationskörpers zu ermitteln bzw herzuleiten, nämlich des Einheitswürfels mit. der Kantenlänge 1, der um eine seiner Raumdiagonalen rotiert...

Der entstehende Rotationskörper ist einigermaßen kompliziert, er besteht aus zwei Prismenkegeln links und rechts, die mittig durch einen Hyperpoloid verbunden sind...
Die Berechnung ist sehr kompliziert, aber das Ergebnis erstaunlich einfach:
Volumenmaßzahl = Pi / Wurzel(3)

[Siebenstein]

Mathematik
Eine neue Formel für die Kreiszahl Pi
Physiker entdecken bei String-Berechnungen zufällig eine neue Reihen-Repräsentation für Pi

24. Juni 2024, Lesezeit: 3 min

Die Kreiszahl Pi hat unendlich viele Nachkommastellen und lässt sich daher nur über Näherungen berechnen und beschreiben.

Kreiszahl mal anders: Physiker haben einen neuen mathematischen Weg zur Kreiszahl Pi entdeckt - durch puren Zufall. Eigentlich waren sie auf der Suche nach einer Formel, mit der sich die Amplitude schwingender Strings berechnen lässt. Doch dabei stießen sie auch auf eine neue mathematische Reihenfolge zur Berechnung von Pi. Diese Formel erlaubt eine relativ schnelle Annäherung an den Wert der Kreiszahl.

Die Kreiszahl Pi ist eine universelle Naturkonstante.
Sie beschreibt nicht nur das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser, sondern spielt auch bei vielen physikalischen Phänomen eine Rolle
- von Schwingungen bis zur Heisenbergschen Unschärferelation.
Mathematisch ist Pi ebenfalls nahezu allgegenwärtig, aber gleichzeitig zu fassen. Denn die irrationale, transzendente Zahl hat unendlich viele, scheinbar willkürlich aufeinander folgende Nachkommastellen.

Annäherung an Pi
Berechnet werden die Nachkommastellen der Kreiszahl meist über verschiedenene Näherungen beispielsweise in Form mathematischer Summenformeln (Reihen).
Eine der ältesten Reihen- Repräsentationen von Pi wurde vor mehr als 600 Jahren vom indischen Mathematiker Sangamagrama Madhava entwickelt.
Seine Summenformel nähert sich der Kreiszahl durch eine abwechselnd addierte und subtrahierte Abfolge aller Brüche mit ungeraden Nennern - allerdings benötigt sie Millionen Brüche, um den Wert von Pi nahezukommen.

Doch jetzt haben zwei indische Physiker (Aninda Sinha und Arman Saha) eine weit kürzere, einfachere Reihenformel entdeckt, mit der man Pi ermitteln kann
- durch Zufall.
"Unser Ziel war es nie, eine neue Sicht auf Pi zu erhalten. Stattdessen haben wir die Quantentheorie genutzt, um ein Modell mit weniger und präzisieren Parametern für die Interaktion von Teilchen zu entwickeln", erklärt Aninda Sinha vom indischen Zentrum für Hochenergiephysik in Bangalore.

Schwingende Strings und die Betafunktion
Konkret suchten Sinhan und sein Kollege Arnab Piiva Saha nach einem We, um die Schwingungsamplituden von Strings zu berechnen - den hypothetischen "Fädchen", die der Stringtheorie nach die Basis aller Elementarteilchen im Kosmos bilden. Wie diese Strings schwingen, bestimmt dabei die Merkmale der Teilchen, wie ihre Energie und Masse.
"Die String-Feldtheorie deutet auf die Existenz einer feldähnlichen Repräsentation der Stringamplituden hin, die nicht nur bei niedrigeren Energien funktioniert, sondern auch bei höheren Massen", erklären die Physiker.

Auf der Suche nach dieser Gleichung griffen Sinha und Saha auf zwei physikalisch-mathematische Werkzeuge zurück. Das erste ist die Eulersche Betafunktion, eine Funktion zweier komplexer Zahlen, mit der sich auch einfachere Schwingungsamplituden berechnen lassen, wie die Forscher erklären.
Diese kombinierten sie mit dem Feynman-Diagramm, das den Energieaustausch zwischen zwei interagierenden Teilchen beschreibt.
Im Laufe ihrer komplexen mathematischen Berechnungen gelang es den Physikern schließlich, die gesuchte Lösung für die String-Beschreibung zu finden.

Eine neue Reihe für Pi
Doch das war nicht alles: Saha und Sinha entdeckten dabei auch eine neue Formel für die Kreiszahl Pi.
Diese Summenformel oder Reihe ist verwandt mit der Madhava-Reihe, aber weit effizienter.
"Während die Madhava-Reihe fünf Milliarden Terme benötigt, um auf zehn Dezimalstellen zu kommen, schafft es diese für Lambda-Werte zwischen 10 und 100 in 30 Termen", schreiben die Physiker.
Die Kombination der Parameter in dieser Summenformel ermöglicht es, den Wert von Pi schnell zu ermitteln und in die Gleichungen einzufügen.

"Physiker (und Mathematiker) haben dies bisher übersehen, weil sie nicht die richtigen Berechnungswerkzeuge hatten", erklärt Sinha.
Auch er und sein Team haben diese erst im Laufe der letzten drei Jahre entwickelt.
"In den frühen 1970er Jahren hatten Forscher sich diesen Ansatz schon einmal angeschaut, ihn aber schnell wieder aufgegeben, weil er zu kompliziert war."
Inwieweit die neue Formel in der Praxis Vorteile bringt, muss sich noch zeigen. In jedem Fall ist sie aber ein weiterer Weg, um sich dieser irrationalen Zahl anzunähern.
(Physical Review Letters, 2024;
doi: 10.1103./PhysRevLett. 132.221601)

Quelle: Indian Institute of Science (IISc)

24. Juni 2024 - Nadja Podbregar

Eigene Anmerkung zur Bedeutung Kreiszahl Pi
Die Zahl Pi ist ebenfalls notwendig, um unter Anwendung des Durchflutungsgesetzes das Ampere'sches Gesetz in der zweiten Maxwell'schen Gleichung zu formulieren und die Magnetische Feldkonstante (Induktionskonstante) mue0 zu definieren:

mue0 = 4 Pi × 10 hoch (-7) Vs/Am

Zusammen mit der Dieelektrizitätskonstante (Influenzkonstante) epsilon0 definiert sie immerhin den Betrag der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum:

mue0 × epsilon0 × c(hoch2) = 1

Das ist meines Erachtens ein weiterer Hinweis, um die Zahl Pi auch als 'Naturkonstante' zu begreifen...