Das bekommst du auch selber hin, ich zeige dir genau wie du eine gute Näherung erhältst:
Die Fallbeschleunigung a (in m/s²) beträgt auf der Erdoberfläche etwa 9,81 m/s². Das ist sozusagen die Schwerkraft, die wir auf der Erde spüren
(genauer: Diese Fallbeschleunigung ist zur angreifenden Gravitationskraft direkt proportional, die auf eine kleine Masse an der Erdoberfläche wirkt).
Sie ergibt sich so:
a = G x m/r²
wobei G die Gravitationskonstante ist:
G = 6,674 x 10^-11 m³/(kg x s²)
= 0,00000000006674 m³/(kg x s²)
m ist die Masse des Planeten in kg
r ist der Radius des Planeten in Meter
Die Masse der Erde ist: 5,972 × 10^24 kg = 5.972.000.000.000.000.000.000.000 kg
Ihr Radius ist: 6371 km = 6.371.000 m
Für die Erde eingesetzt ergibt sich daraus:
a = G x m/r² = 6,674 x 10^-11 m³/(kg x s²) x 5,972 × 10^24 kg / (6.371.000 m)²
(Hier immer aufpassen, dass die Einheiten richtig sind, also z.B. km zuerst in Meter umrechnen.)
Die Einheiten können wir an der Stelle zuerst zusammenfassen. Damit sehen wir auch gleich, ob die gewünschte Einheit herauskommt, nämlich m/s² (= "Einheitenprobe"). Wenn das nicht der Fall ist, dann haben wir irgendwo einen Fehler gemacht.
Es ergibt sich bei den Einheiten: (m³/(kg x s²)) x (kg / m²) = m/s²
Das passt also.
Wir können nun auch schreiben:
a = 6,674 x 10^-11 x 5,972 × 10^24 / (6.371.000)² m/s²
Wenn wir das eintippen, ergibt sich:
a = 9,819 m/s²
Das passt recht gut, gut genug.
Der "offizielle" Wert ist 9,81 m/s², aber der ist ja eh immer etwas unterschiedlich, je nach dem ob man am Pol oder am Äquator ist, im Tal oder auf nem Berg.
Auf dieselbe Weise können wir a nun auch für irgendeinen anderen Planeten ausrechnen, wir müssen dazu nur seine Masse und seinen Radius in Erfahrung bringen.
Hier im Beispiel...
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Mega-Erde?wprov=sfla1
... finden wir einen Verweis auf den Planeten Kepler-10c. Den schauen wir uns an:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kepler-10c
Dort finden wir für Kepler-10c:
Masse = 17 Me
Radius = 2,4 Re
Blöd, falsche Einheiten! Wir wollten die Werte doch in kg und Meter haben...
Dafür gibt es zwei Lösungen:
1. Wir rechnen die Einheiten um:
Re = Radius Erde
Me = Masse Erde
d.h.:
17 Me = 17 x 5,972 × 10^24 kg = 101,524 × 10^24 kg
2,4 Re = 2,4 x 6.371.000 m = 15.290.400 m
Das können wir nun wie oben bei der Erde einsetzten:
a (Kepler-10c) = 6,674 x 10^-11 m³/(kg x s²) x 101,524 × 10^24 kg/(15.290.400 m)²
Eintippen! Es ergibt sich:
a (Kepler-10c) = 29,98 m/s²
... also etwa die dreifache Erdbeschleunigung.
2. Wenn wir das öfters ausrechnen wollen und andauernd die "falschen" Einheiten angegeben bekommen, lohnt es sich die Berechnungsformel enstprechend umzustellen, sodass man direkt Me und Re eintragen kann. Das geht so:
a (Erde) = G x m/r² = 6,674 x 10^-11 m³/(kg x s²) x 5,972 × 10^24 kg / (6.371.000 m)² = 9,81 m/s²
Wir sagen nun aber einfach, dass 9,81 m/s² = 1g ist, g ist dann eben der Wert der Erdbeschleunigung. Wir setzen ihn als Einheit, er ist 1.
Alles andere (G, m, r) setzen wir auch einfach gleich 1 und können dann schreiben:
a (Erde) = 1g = 1 x 1Me/1Re² = Me/Re²
wobei 1g = 9,81 m/s² = 1 Erdbeschleunigung, Me = 1 Erdmasse, Re = 1 Erdradius
In diese vereinfachte Formel können wir nun genauso die Werte von Kepler-10c eintragen (nur diesmal direkt, das ist der Clou dabei
) , es ergibt sich:
a (Kepler-10c) = 17 Me/ (2,4 Re)²
a (Kepler-10c) = 17/5,76
a (Kepler-10c) = 2,95g
Da 1g = 9,81 m/s² ist, sind 2,95g = 28,95 m/s²
Passt! (Die geringen Unterschiede sind Rundungsfehler bzw. durch die o.g. Abweichungen vom offiziellen Wert der Erdbeschleunigung herrührend).
So geht's also auch...
Allgemeiner geschrieben:
a (Planet) = x Me/(y Re)²
(in diese Formel müssen Masse und Radius in den Einheiten Me und Re eingegeben werden, das Ergebnis, das herauskommt, ist immer ein Vielfaches der Erdbeschleunigung g.)
Vernachlässigen tun wir bei all der Rechnerei natürlich die Fliehkraft durch die Rotation des Planeten, je nach Fragestellung (-> Gewicht?) auch noch den Auftrieb durch den Atmosphärendruck, aber diese Einflüsse sind i.d.R. wirklich so klein, dass man sie auch vernachlässigen kann (außer man will es halt ganz genau wissen).