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Gravitation einer Megaerde

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Frank
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Gravitation einer Megaerde

Beitrag von Frank » 26. Jul 2018, 19:15

Kann mir jemand anhand dieses Beispieles, die Fallgeschwindigkeit dieser Megaerde berechnen?
Danke im voraus :wink:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Mega-Erde?wprov=sfla1
Mit freundlichen Grüßen

Frank

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seeker
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Re: Gravitation einer Megaerde

Beitrag von seeker » 26. Jul 2018, 20:25

Das bekommst du auch selber hin, ich zeige dir genau wie du eine gute Näherung erhältst:

Die Fallbeschleunigung a (in m/s²) beträgt auf der Erdoberfläche etwa 9,81 m/s². Das ist sozusagen die Schwerkraft, die wir auf der Erde spüren
(genauer: Diese Fallbeschleunigung ist zur angreifenden Gravitationskraft direkt proportional, die auf eine kleine Masse an der Erdoberfläche wirkt).

Sie ergibt sich so:
a = G x m/r²
wobei G die Gravitationskonstante ist:
G = 6,674 x 10^-11 m³/(kg x s²)
= 0,00000000006674 m³/(kg x s²)
m ist die Masse des Planeten in kg
r ist der Radius des Planeten in Meter

Die Masse der Erde ist: 5,972 × 10^24 kg = 5.972.000.000.000.000.000.000.000 kg
Ihr Radius ist: 6371 km = 6.371.000 m

Für die Erde eingesetzt ergibt sich daraus:

a = G x m/r² = 6,674 x 10^-11 m³/(kg x s²) x 5,972 × 10^24 kg / (6.371.000 m)²

(Hier immer aufpassen, dass die Einheiten richtig sind, also z.B. km zuerst in Meter umrechnen.)

Die Einheiten können wir an der Stelle zuerst zusammenfassen. Damit sehen wir auch gleich, ob die gewünschte Einheit herauskommt, nämlich m/s² (= "Einheitenprobe"). Wenn das nicht der Fall ist, dann haben wir irgendwo einen Fehler gemacht.

Es ergibt sich bei den Einheiten: (m³/(kg x s²)) x (kg / m²) = m/s²
Das passt also.

Wir können nun auch schreiben:

a = 6,674 x 10^-11 x 5,972 × 10^24 / (6.371.000)² m/s²

Wenn wir das eintippen, ergibt sich:
a = 9,819 m/s²

Das passt recht gut, gut genug.
Der "offizielle" Wert ist 9,81 m/s², aber der ist ja eh immer etwas unterschiedlich, je nach dem ob man am Pol oder am Äquator ist, im Tal oder auf nem Berg.

Auf dieselbe Weise können wir a nun auch für irgendeinen anderen Planeten ausrechnen, wir müssen dazu nur seine Masse und seinen Radius in Erfahrung bringen.

Hier im Beispiel...
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Mega-Erde?wprov=sfla1
... finden wir einen Verweis auf den Planeten Kepler-10c. Den schauen wir uns an:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kepler-10c

Dort finden wir für Kepler-10c:

Masse = 17 Me
Radius = 2,4 Re

Blöd, falsche Einheiten! Wir wollten die Werte doch in kg und Meter haben...
Dafür gibt es zwei Lösungen:

1. Wir rechnen die Einheiten um:

Re = Radius Erde
Me = Masse Erde

d.h.:
17 Me = 17 x 5,972 × 10^24 kg = 101,524 × 10^24 kg
2,4 Re = 2,4 x 6.371.000 m = 15.290.400 m

Das können wir nun wie oben bei der Erde einsetzten:

a (Kepler-10c) = 6,674 x 10^-11 m³/(kg x s²) x 101,524 × 10^24 kg/(15.290.400 m)²

Eintippen! Es ergibt sich:

a (Kepler-10c) = 29,98 m/s²
... also etwa die dreifache Erdbeschleunigung.


2. Wenn wir das öfters ausrechnen wollen und andauernd die "falschen" Einheiten angegeben bekommen, lohnt es sich die Berechnungsformel enstprechend umzustellen, sodass man direkt Me und Re eintragen kann. Das geht so:

a (Erde) = G x m/r² = 6,674 x 10^-11 m³/(kg x s²) x 5,972 × 10^24 kg / (6.371.000 m)² = 9,81 m/s²

Wir sagen nun aber einfach, dass 9,81 m/s² = 1g ist, g ist dann eben der Wert der Erdbeschleunigung. Wir setzen ihn als Einheit, er ist 1.
Alles andere (G, m, r) setzen wir auch einfach gleich 1 und können dann schreiben:

a (Erde) = 1g = 1 x 1Me/1Re² = Me/Re²

wobei 1g = 9,81 m/s² = 1 Erdbeschleunigung, Me = 1 Erdmasse, Re = 1 Erdradius

In diese vereinfachte Formel können wir nun genauso die Werte von Kepler-10c eintragen (nur diesmal direkt, das ist der Clou dabei :wink: ) , es ergibt sich:

a (Kepler-10c) = 17 Me/ (2,4 Re)²
a (Kepler-10c) = 17/5,76
a (Kepler-10c) = 2,95g

Da 1g = 9,81 m/s² ist, sind 2,95g = 28,95 m/s²
Passt! (Die geringen Unterschiede sind Rundungsfehler bzw. durch die o.g. Abweichungen vom offiziellen Wert der Erdbeschleunigung herrührend).
So geht's also auch... :)

Allgemeiner geschrieben:
a (Planet) = x Me/(y Re)²
(in diese Formel müssen Masse und Radius in den Einheiten Me und Re eingegeben werden, das Ergebnis, das herauskommt, ist immer ein Vielfaches der Erdbeschleunigung g.)

Vernachlässigen tun wir bei all der Rechnerei natürlich die Fliehkraft durch die Rotation des Planeten, je nach Fragestellung (-> Gewicht?) auch noch den Auftrieb durch den Atmosphärendruck, aber diese Einflüsse sind i.d.R. wirklich so klein, dass man sie auch vernachlässigen kann (außer man will es halt ganz genau wissen).
Grüße
seeker


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Frank
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Re: Gravitation einer Megaerde

Beitrag von Frank » 26. Jul 2018, 21:10

Vielen Dank Seeker :sup:
Das wird gleich in einem neuen Thema verwendet.
Mit freundlichen Grüßen

Frank

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Re: Gravitation einer Megaerde

Beitrag von seeker » 26. Jul 2018, 21:18

Vielen Dank! :D

Kontrollfrage an dich: :)

Wie groß ist die Gravitationsbeschleunigung auf der Oberfläche des Exoplaneten Trappist-1 e?
https://de.wikipedia.org/wiki/Trappist-1_e

(bitte nicht abschreiben, ausrechnen!)
Grüße
seeker


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ralfkannenberg
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Re: Gravitation einer Megaerde

Beitrag von ralfkannenberg » 26. Jul 2018, 21:26

Frank hat geschrieben:
26. Jul 2018, 21:10
Vielen Dank Seeker :sup:
Diesem Lob schliesse ich mich im vollen Umfang an: was eine Fleissarbeit !

Herzlichen Dank, dass ich das nicht zu tun brauchte, ich hätte mich unterwegs ohnehin mit grösster Wahrscheinlichkeit irgendwo verrechnet.

;th

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Re: Gravitation einer Megaerde

Beitrag von Frank » 27. Jul 2018, 20:16

Frank hat geschrieben:
26. Jul 2018, 19:15
Kann mir jemand anhand dieses Beispieles, die Fallgeschwindigkeit dieser Megaerde berechnen?
seeker hat geschrieben:
26. Jul 2018, 20:25
Die Fallbeschleunigung a (in m/s²) beträgt auf der Erdoberfläche etwa 9,81 m/s².
ralfkannenberg hat geschrieben:
26. Jul 2018, 21:26
Herzlichen Dank, dass ich das nicht zu tun brauchte, ich hätte mich unterwegs ohnehin mit grösster Wahrscheinlichkeit irgendwo verrechnet.
Bin ich der Einzige dem auffällt dass nach der Fallgeschwindigkeit gefragt, und die Fallbeschleunigung als Antwort gegeben wurde?
Ich sehe da mal zunächst keinen Unterschied, oder?
Mit freundlichen Grüßen

Frank

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Re: Gravitation einer Megaerde

Beitrag von Frank » 27. Jul 2018, 20:34

Du hast bestimmt recht, aber ich brauche diese Zahl für einen Thread, den ich noch in der Vorbereitung habe, aber noch fertig schreiben muss. Ich wollte wissen, im welchen Faktor die Gravitation auf so einer Megaerde"grösser ist und vorallem was für Konsequenzen das hat....
Mit freundlichen Grüßen

Frank

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Re: Gravitation einer Megaerde

Beitrag von seeker » 27. Jul 2018, 22:20

Die Fallbeschleunigung auf der Oberfläche eines Planeten entspricht der Schwerkraft dort und auf demselben. Mit Fallgeschwindigkeit ist meist die Aufschlaggeschwindigkeit gemeint, allgemein die Geschwindigkeit die ein fallender Körper irgendwann/irgendwo beim Fallen hat. Die ist auch von der Gravitation abhängig, aber zusätzlich noch von anderen Dingen, wie der Fallhöhe, dem Bewegungszustand zu Beginn, dem Zeitpunkt beim Fallen, dem aktuellen Ort beim Fallen usw. Deshalb ist der letztere Wert nicht gut geeignet, wenn wir die Schwerkraft von verschiedenen Planeten vergleichen wollen.

Aber nochmal Leute:

Damit...
a (Planet) = x Me/(y Re)²

(in diese Formel müssen Masse und Radius in den Einheiten Me und Re eingegeben werden, das Ergebnis, das herauskommt, ist immer ein Vielfaches der Erdbeschleunigung g.)
... könnt ihr jetzt (und ich jetzt auch) in kürzester Zeit mit dem Taschenrechner die Fallbeschleunigung als Vielfaches der Erdbeschleunigung von allen möglichen Planeten und Exoplaneten ausrechen. Ich mein, diese Angabe fehlt ja öfters und das hatte mich manchmal auch schon gestört, z.B. in der Liste hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_ext ... r_Planeten

Da können wir das jetzt z.B. ratzfatz für den Planeten "2M1207 b" ausrechen:

Masse = 1300 Me
Radius = 17 Re

--> a = 1300/17²
a = 4,5 g, also das 4,5-fache wie auf der Erdoberfläche.

Ist doch cool - oder? :D
Grüße
seeker


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Re: Gravitation einer Megaerde

Beitrag von Skeltek » 28. Jul 2018, 21:36

Mich würde viel eher die Orbitalgeschwindigkeit interessieren die nötig ist, um den Fall 'auszugleichen' :)
Die Fluchtgeschwindigkeit wäre auch noch interessant als auch das minimale delta-V welches man zur 'Flucht' aufbringen müsste :-D
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Re: Gravitation einer Megaerde

Beitrag von seeker » 29. Jul 2018, 09:43

Hier noch etwas detaillierter zur Fluchgeschwindigkeit und Kreisbahngeschwindigkeit:
https://de.wikipedia.org/wiki/Fluchtges ... Raumfahrt)

Damit man ein besseres Gefühl dafür bekommt, könnte es sich auch dort lohnen das auf ein Vielfaches der Verhältnisse von der Erde umzurechnen.
Grüße
seeker


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Re: Gravitation einer Megaerde

Beitrag von ralfkannenberg » 30. Jul 2018, 13:36

Frank hat geschrieben:
27. Jul 2018, 20:16
Frank hat geschrieben:
26. Jul 2018, 19:15
Kann mir jemand anhand dieses Beispieles, die Fallgeschwindigkeit dieser Megaerde berechnen?
seeker hat geschrieben:
26. Jul 2018, 20:25
Die Fallbeschleunigung a (in m/s²) beträgt auf der Erdoberfläche etwa 9,81 m/s².
ralfkannenberg hat geschrieben:
26. Jul 2018, 21:26
Herzlichen Dank, dass ich das nicht zu tun brauchte, ich hätte mich unterwegs ohnehin mit grösster Wahrscheinlichkeit irgendwo verrechnet.
Bin ich der Einzige dem auffällt dass nach der Fallgeschwindigkeit gefragt, und die Fallbeschleunigung als Antwort gegeben wurde?
Ich sehe da mal zunächst keinen Unterschied, oder?
Hallo zusammen,

zu diesem Beitrag ist anzufügen, dass sich ein ehemaliger dauerhaft gesperrter User unter fremder Identität ins Forum einzuschleichen versucht und Beiträge verfasst hat. Inhaltlich in diesem Fall zutreffend, da die Frage des Threaderöffners die Fallgeschwindigkeit, also eine erste Ableitung, betraf, die Antwort darauf indes die Fallbeschleunigung, also eine zweite Ableitung, die auch m.E. besser geeignet ist, die Fragestellung zu erörtern, hergeleitet hat.


Freundliche Grüsse, Ralf

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