Wasserstoffatom - Grundzustand

[tomS]

Hallo,

an anderer Stelle im Forum kam die Frage auf, warum es im Wasserstoffatom, in dem das Elektron sich im Potential des Protons bewegt, ein Grundzustand mit endlicher Energie existiert. Es könnte doch auch sein, dass das Elektron immer tiefer in das Potential V(r) ~ 1/r "hineinfällt".

Ehrlich gesagt fällt mir dazu keine vernünftige physikalische Erklärung ein, außer der, dass es einfach so sein muss, weil sonst zum einen die Quantenmechanik mathematisch inkonsistent wäre und - was viel schlimmer wäre - die Atome instabil wären und quasi kollabieren würden.

Mathematisch reduziert sich die Frage auf die Lösung der Schrödingergleichung [H - E]u(r) = 0. H ist dabei der Hamilton- bzw. Energieoperator, E der Energieeigenwert und u die Wellenfunktion. Beim Lösen dieser Differentialgleichung findet man, dass E(n) ~ 1/n² ist, wobei n quasi die Energieniveaus durchnumeriert. D.h. es gibt ein tiefstes Energieniveau für n=1. Die Wellenfunktion im Grundzustand ist u(r,n=1) ~ exp(-r/a), d.h. die "Dichte der Elektronenwolke" fällt exponentiell mit dem Radius ab.

Auf kompliziertere Wellenfunktionen muss ich hier wohl nicht eingehen.

Man kann nun den Erwartungswert für den Aufenthaltsort des Elektrons berechnen. Der Erwartungswert für r ist dabei größer Null, d.h. man trifft das Elektron wahrscheinlich eben in endlichem Abstand von der Singularität und nicht exakt bei r=0 an.

Im Endeffekt ist dies eine Besonderheit des Potentials V(r) ~ 1/r. Würden wir in einem Universum mit einer höheren Zahl an Raumdimensionen leben, dann hätten wir auch ein anderes Potential V(r) ~ 1/r², 1/r³, ... und demnach andere Eigenschaften der Atomem und der Planetenbahnen sowie (wenn auch nicht offensichtlich) der starken WW also der Atomkerne. Im wesentlichen wären diese Systeme instabil und uns bekannte Materieformen könnten nicht existieren.

[Maclane]

Ja, dass die Elektronen nicht einfach reinfallen, kann man ja sehen. Sonst wären wir gar nicht da.

Könnte denn eine TOE, nach der wir alle suchen, auch erklären, warum das nicht passiert? Also ich mein, nicht nur zu sagen "es gibt gewisse Erhaltungsgrößen" oder ähnliches, sondern auch zu sagen, warum es diese Erhaltungsgrößen gibt? Es muss doch eine Ursache dafür geben, oder nicht? Wäre denn die Ursache für uns jemals erfahrbar?

Gruß Mac

Edit: Aha, ich sehe, du hast noch ein wenig mehr erklärt.

Man kann nun den Erwartungswert für den Aufenthaltsort des Elektrons berechnen. Der Erwartungswert für r ist dabei größer Null, d.h. man trifft das Elektron wahrscheinlich eben in endlichem Abstand von der Singularität und nicht exakt bei r=0 an.

Leuchtet ein.
Du schreibst "wahrscheinlich"... Gibt es denn nun eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei r=0 oder nicht? Müsste es doch eigentlich, oder nicht?
Ich überleg mir dabei immer, dass ein Elektron, was um einen Kern "kreist" und ein freies Elektron, was einfach nur dicht dran vorbei fliegt, ja immer noch ein und dasselbe Elektron sind.
Warum fliegt ein freies Elektron nicht eigentlich direkt in den Kern? Das weiß doch nichts von Energieniveaus und dergleichen.

Gruß Mac

[tomS]

Ja, eine TOE Sollte das schon erklären. Also sie müsste m.E. nicht nur einige Formeln hinzaubern, sondern es müsste auch klar sein, warum gerade diese und keine anderen. Also wenn dann eine Gleichung sagt: es gibt diesen stabilen Grundzustand (das tut sie ja schon heute bzw. schon ca. 80 Jahre lang), dann müsste die TOE auch sagen, warum gerade diese Formel und keine andere.

Genau das war ja jahrelang die Hoffnung der Stringtheorie: man formulierte diese Theorie (Fäden statt Punktteilchen) und fand heraus, dass sie mit nur einem freien Parameter auskommt, dass nur die Supersymmetrische Version keine Tachyonen aufweist (instabiler Grundzustand = instabiles Vakuum = eben kein Grundzustand wie oben), dass sie nur eine Anzahl an Dimensionen (10) erlaubt (da sonst Inkonsistenzen = sog. Anomaliene auftreten), dass nur ganz bestimmte WWs erlaubt sind (da sonst andere Anomalien auftreten) u.ä.

Leider hat sich diese Hoffnung zerschlagen, da man inzwischen weiß, dass es sich eben doch um eine sehr große Klasse von jeweils konsistenten Theorien handelt. Trotzdem ist seither der Begriff TOE etwas klarer geworden, da man festgestellt hat, dass die Mathematik tatsächlich sehr restriktiv aussiebt und eben große Klassen von Theorien auch einfach verbietet.

[AlTheKingBundy]

zu beachten ist, dass V ~ 1/r modifiziert werden muss. die energieniveaus werden nicht vollständig richtig durch das coulombpotential alleine beschrieben. man muss den hamiltonoperator aus verschiedenen gründen modifizieren und kann die energie des wasserstoffatoms als reihenentwicklung betrachten, wo die näherung nullter ordnung gerade die mit 1/r alleine berechneten eigenwerte sind. für die feinstruktur (erster näherungszusatzterm) ergeben sich z.b. folgende zusatzbeiträge zum hamiltonoperator, die von der größenorndung (z*alpha)^2 sind, d.h. ca. 10 000 mal kleiner als die terme nullter ordnung, wobei Z die kernladungszahl und alpha die feinstrukturkonstante ist:

- ~ p^4 relativistischer beitrag des elektrons (impuls hoch 4)
- ~ 1/r dV/dr s*L wobei s der spin und L der bahndrehimpuls des elektrons ist, verschwindet aber im grundzustand wegen L = 0
- ~ laplace V darwin-term, der für die grundzustände nicht verschwindend ist. der term hat seine ursache darin, dass das elektron am kernort nicht das coulombpotential sieht, sondern näherungsweise das potential einer homogen geladenen kugel.

die hyperfeinstruktur wäre der nächste term in der energieentwicklungsreihe, der u.a. die wechselwirkung zwischen elektronenspin und kernspin beinhaltet und die lambshift, welche primär ihre ursache in der vakuumfluktuation hat, wo ständig virtuelle teilchen-antiteilchenpaare erzeugt werden, die zu einer zitterbewegung des elektrons führen. auch wird das vakuum durch die geladenen virtuellen teilchen-antiteilchen polarisiert, d.h. das coulombfeld quasi abgeschirmt.

[tomS]

Alles richtig, wollte ich aber bei der Frage des Grundzustandes alles weglassen.

Die erste Vereinfachung, die ich durchgeführt habe ist, dass ich nur Energien zu Drehimpuls = 0 betrachte. Zum einen weiß ich, dass der Grundzustand Drehimpuls Null haben muss, zum zweiten weiß ich, dass ohne die von Al genannten Terme die Energien zu selber Hauptquantenzahl n aber unterschiedlichem Drehimpuls l entartet, d.h. identisch sind.

[tomS]

Zur Wahrscheinlichkeit. Ich lasse mal die ganze Herleitung weg. Es gibt eine charakteristische Länge im Wasserstoffatom, das ist der Bohrsche Radius a. In der QM gilt, dass die Wellenfunktion des Grundzustandes wie folgt aussieht:



N ist so gewählt, dass für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im gesamten dreidimensionalen Raum gilt



Für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons in einer winzigen Kugel mit Radius R (viel kleiner als a) um den Mittelpunkt gilt



Damit ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einer Kugel um das Zentrum anzutreffen proportional zum Volumen der Kugel und somit größer Null. (Die Näherung versagt natürlich, wenn die Kugel größer wird).

Wenn man aber den Erwartungswert für r berechnet, dann gilt



Zum einen heißt das, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron in einer winzigen Kugel um das Zentrum anzutreffen, ungleich null ist, d.h. das Elektron "sitzt mit endlicher Wahrscheinlichkeit in der Singularität", zum anderen bedeutet es jedoch auch, dass der "wahrscheinlichste Abstand des Elektrons vom Zentrum" eben nicht Null ist.

[AlTheKingBundy]

@tom

ich weiß doch, dass du das weißt. aber andere wissen es wahrscheinlich nicht

[Skeltek]

Selbst bei einer vollkommen homogenen Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit pro Volumen, wuerde die Aufenthaltswahrscheinlichkeit fuer r gegen 0 auch gegen 0 gehen.
Ein Elektron bei r=0 anzutreffen ist unmoeglich, genauso unmoeglich, beim zufaelligen Ziehen einer reelen Zahl ausgerechnet exakt die ganze Zahl NULL zu ziehen.. Andererseits kann man sagen, dass die Chance einen bestimmten Menschen in meinem Kleiderschrank anzutreffen auch viel kleiner ist, als in Norddeutschland.
Ich habe hier einen nett geschriebenen Artikel gefunden dazu: http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe ... ast/22.pdf.

Wieso nun letztendlich ein Elektron nicht in den Kern faellt koennte deutlicher werden(muss eigentlich heissen: dass es nicht dort bleibt), wenn man sich das Elektron nicht punktfoermig vorstellt, sondern sich die dazugehoerige Elektronenwolke ansieht. Diese braucht einfach ein Mindestvolumen in dem sie existieren kann. Der Kern allein ist zu klein dafuer, deshalb haelt sich das Elektron nicht nur dort auf sondern auch in der Umgebung.
Fasst man ein Elektron trotzdem als punktfoermig auf, muss man trotzdem sagen, dass es kein statisches Objekt ist, das in jeder Entfernung zum Kern dieselben Eigenschaften besitzt, sondern ein hochdynamisches. Es veraendert seinen Zustand usw je nachdem wie nahe es dem Kern kommt und fuehlt sich im Kern vermutlich von allen ziellosesten.

Das Elektron haelt sich am liebsten in der Naehe des Kerns auf und ist im Kern am wahrscheinlichsten anzutreffen(Aufenthaltswahrscheinlichkeit pro Volumen ist dort am hoechsten.
siehe hierzu http://www.quantenwelt.de/atomphysik/mo ... tal_s.html und
http://www.quantenwelt.de/faq/aufenthal ... hkeit.html

Die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit zu betrachten ist sehr truegerisch, da die Kurve dort den Eindruck erweckt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit pro Volumen wuerde gegen null gehen.
Wie oben bereits erwaehnt: Selbst die Stadt mit der groessten Bevoelkerungsdichte hat weniger Wohnungen in denen sich jemand aufhalten kann als das restliche Staatsgebiet. Trotzdem ist die Chance dort einen Bekannten zufaellig zu treffen groesser als in jeder mit der Entfernung r entfernten zufaellig ausgewaehlten Wuestenstadt.

Man kann die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an einem PUNKt nicht mit der Aufenthaltswahrscheinlichkeit auf einer unendlich viel groesseren KugelFLAECHE vergleichen. Es is vollkommen klar, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an einem ganz bestimmten Punkt unendlich viel kleiner ist als auf einer Linie, Flaeche oder Volumen.

Viele Gruesse, Skel

[Maclane]

Auch ne schöne Erklärung.
Dass die Elektronenwolke nicht in den Kern "reinpasst", kann man sich sogar bildlich gut vorstellen.
Und das nehm ich mir dann auch einfach mal als Erklärung dafür, warum ein freies Elektron (z.B. in einem Plasma) nicht zufällig grad mal in einen Kern hineinfliegt, dort aus einem Helium-Kern ein Wasserstoff-Isotop zu machen.
Die Frage hab ich mir ja tatsächlich gestellt und mit so einer Erklärung kann ich gut leben. Es sei denn natürlich, sie wäre grundfalsch. Dann bitte ich um eine bessere Erklärung.

Gruß Mac

[tomS]

Hallo Skeltek,

Ein Elektron bei r=0 anzutreffen ist unmoeglich, genauso unmoeglich, beim zufaelligen Ziehen einer reelen Zahl ausgerechnet exakt die ganze Zahl NULL zu ziehen

Die Aussage ist eigentlich trivial. Ein Elektron an exakt einem Punkt anzutreffen ist natürlich Null, egal, welchen Punkt du wählst. Das habe ich aber auch nicht getan! Ich habe die Wahrscheinlichkeit innerhalb einer kleinen Kugel vom Radius R berechnet und gesagt, dafür ist die Wahrscheinlichkeit eben größer Null; sie skaliert sogar exakt mit dem Volumen der Kugel.

...wenn man sich das Elektron nicht punktfoermig vorstellt, sondern sich die dazugehoerige Elektronenwolke ansieht.

Genau das habe ich getan. Die Wahrscheinlichkeitsdichte u(r) ~ exp(-r/a) ist genau die Dichte der Elektronenwolke.

Zu deinen zwei Links: u(r) ist wiederum genau die Dichte des 1s-Orbitals.

Man kann die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an einem PUNKt nicht mit der Aufenthaltswahrscheinlichkeit auf einer unendlich viel groesseren KugelFLAECHE vergleichen

Das habe ich doch auch nicht gemacht. Ich habe |u(r)|² über ein Volumen integriert und über die Wahrscheinlichkeit, das Elektron innerhalb des Volumens anzutreffen, gesprochen. Der Begriff "Aufenthaltswahrscheinlichkeit an einem Punkt" ist tatsächlich falsch, es muss eben heißen "Wahrscheinlichkeitsdichte an einem Punkt". Deswegen unterscheide ich auch zwischen u und P.

Eigentlich wollten wir ja aber was andeers diskutieren, nämlich die Frage, warum das Elektron nicht in den Kern fällt. Dazu ist folgendes zu bemerken: Das Potential V(r) ~ 1/r hat die interessante Eigenschaft, dass klassisch stabile, periodische Bahnen existieren und dass die quantenmechanischen Wellenfunktionen / Eigenzustände die Eigenschaft der Stabilität erben. Es wäre mal interessant, die Schrödingegleichung für ein anderes Potential (z.B. ~ 1/r²) hinsichtlich ihrer Stabilität zu untersuchen.

Mathematisch muss dazu die Eigenschaft des Hamiltonoperators H untersucht werden. Dazu betrachtet man zunächst die Eigenzustände
[H-E]|E) = 0
Es gibt nun zwei Sorten von Eigenzuständen, nämlich freie Teilchen (bei V(r) ~ 1/r mit E größer 0), wobei E jeden beliebigen positiven Wert annehmen kann; man spricht hier vom kontinuierlichen Spektrum. Dann gibt es noch die gebundenen Zustände (mit E kleiner 0), wobei E nur diskrete Werte annehmen kann; man spricht hier vom diskreten Spektrum.

Mathematisch muss ein Hamiltonoperator nun die Eigenschaft haben, dass für die Menge aller Energieeigenwerte aus diesen Spektren gilt, dass es ein kleinstes E° gibt. Dies ist der Grundzustand. Der Operator H heißt dann "von unten beschränkt".

Die Argumentation, dass das Teilchen "nicht in den Kern reinpasst", ist anschaulich schon klar, muss aber mathematisch untermauert werden, z.B. durch die o.g. Betrachtung für von unten beschränkte Spektren.

[wilfried]

Tag zusammen

in diesem Zusammenhang möchte ich die Internetseite von Dr. Michael Komma, Uni Tübingen, anführen:
http://www.mikomma.de/

Kollege Komma hat sehr schöne Skripte und auch MAPLE Programme. U.a. auch eines, dass das H2 Verhalten aufzeigt.

Lohnt sich mal einen Blick auf seine zu werfen.

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Die Darstellungen sind wirklich gut, weil man nicht nur die Form der Orbitale, sondern auch die Dichten in den Orbitalen sieht.

Zu empfehlen ist auch Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Orbital sowie die dort angegebene Links am Ende des Artikels.

[Skeltek]

Hallo tomS
Natuerlich hast du vollkommen recht und deine mathematischen Formulierungen sind ganz klar sehr gut. Ich wollte dir hierbei nicht widersprechen, sondern noch eine alternative Antwort bereit stellen, da ich das Gefuehl hatte, dass nicht alle in den Formeln sofort erkennen koennen was fuer uns wie du sagst trivial ist.

[tomS]

OK - verstanden :-)

[tomS]

Nochmal zum Grundzustand in Zentralpotentialen.

Dazu betrachtet man zunächst mal die Eigenschaften der Wellenfunktion am Ursprung. Sie muss dort regulär (d.h. endlich) sein, do sonst die Differentialoperatoren nicht definiert sind. Um eine maximal negative Energie zu bekommen, muss das Teilchen möglichst tief im Potentialtopf sitzen, d.h. wir nehmen an, dass die Wellenfunktion um den Ursprung (bis zum Abstand A) näherungsweise konstant ist und weiter außen dann abfällt.

Für den Erwartungswert der potentiellen Energie gilt dann



Dabei habe ich die Rotationssymmetrie ausgenutzt.

Setzt man jetzt für das Potential eine Funktion



So erhält man



Das Integral ist endlich, wenn 2-s größer oder gleich -1 ist:



Das Integral divergiert logarithmisch, wenn sich der Integrand wie 1/r verhält, also 2-s = -1, bzw. s = 3 ist.

Gemäß dieser Abschätzung ist die potentielle Energie also für vernünftige Potentiale immer negativ, aber endlich. Über die kinetische Energie kommt außerdem noch ein positiver Beitrag hinzu.

Zusammenfassend: das Problem ist mathematisch unproblematisch; das liegt im Wesentlichen an den Faktor r², der aus dem Volumenelement d³x = dr r² in Kugelkoordinaten stammt. Die QM sorgt somit selbst dafür, das ssie mathematisch und physikalisch sinnvoll bleibt.

Gruß
Tom