Universelle Wellenfunktion

[AlTheKingBundy]

Ich wollte mal folgenden Gedanken diskutieren (Warnung, könnte über Anfängerwissen hinaus gehen):

Für Spin-0-Teilchen gibt es die Klein-Gordon-Gleichung

Für Spin-1/2-Teilchen gibt es die Diracgleichung

Für Spin-1-Teilchen gibt es die Maxwellgleichungen (oder die für die Gluonen oder Z,W+/- Bosonen)

Für Spin-2-Teilchen gibt es den Metriktensor

Meine Frage ist, kann man nicht eine universelle Wellenmatrix mit einer universellen Differentialgleichung aufstellen, ohne dass man Herumstringsen muss? Ein Ansatz könnte ja erst mal sein, 0 + 1/2 Spin zu fusionieren.

[wilfried]

Tag Al

das Thema, was Du hier ansprichst sehe ich sehr ähnlich der Thematik "Eichtheorie", die wir bereits mehrfach in unserer Diskussion haben und gerade auch wieder ventilieren.

Das größte Problem der von Dir angesprochenen gewünschten Vereinheitlichung ist doch die klassische Trennung:

- Materieteilichen mit Spin 1/2 = Fermionen (Leptonen, Quarks: Proton, Neutron = Baryonen)

- Wechselwirkungen als Kraftteilchen = Bosonen mit Spin 1:
starke Kraft g, EM Kraft gamme, schwache Kraft W,Z, Schwerkraft Higgs (??)

Ein Problem bei der starken WW ist daß die Quarks nebnen der elektrischen Ladung noch eine Frabladung besitzen. Sie sind auch nicht einzeln zu beoabchten (Stichwort: Quark confinement)

Die Theorie besagt (zumindest zur Zeit): Wir kennen 2 Möglichkeiten Teilchen zu bilden:
a) 3 Quarks mit je verschiedenen Farben = Baryonen
b) 2 Quarks mit je einer Farbe und einer Antifarbe = Mesonen

Diese sind im Standardmodell enthalten: pi+, K-, D+, gamma und Proton, Neutron, DELTA++ Delta0

Das war das Ausgangsscenario und es wurde festgestellt, daß dieses Standardmodell nur richtig sein kann, wenn noch ein anderes teilchen zum Zoo hizukommt: Higgs Boson. Siehe unsere Diskussion unter "tiefergehende physikalische Erkenntnisse -> Eichtheorie weitere Aspekte" (wird dorthin verschoben, steht noch unter "Relativität".

Schauen wir in die Theorie:

Photonen und Teilchen unterliegen dem Wellen-Teilchen Dualismus. Photonen: Ruhemasse=0 => es kann durch MWG beschreiben werden und wird es auch. Schrödinger DGL; skalares EM Potential, Überlagerungen usw. als Stichworte.

Klein-Gordon: wir verlassen die nicht relativistische Energie Impuls Beziehung E = p²/(2m) und nehmen die Wellenbeschreibung als Superposition ebener monochromatischer Wellen (PSI Fkt) als Ansatz her und darauf wenden wir die spezielle Relativitätstheorie an:
E²=(pc)²+m²c^4 und das für jede monochromatische Welle.
Nach doppelter Differentiation der Psi Fkt zur Zeit, Gradient und Divergenz (Quellefeld) Bildung der PSI Fkt und ein bischen Aufräumen erhalten wir schlussendlich die Klein-Gordon Gleichung.
Das ist auch die Einführung dieses neuen Operators mit dem Quadrat: "Quabla" benannt, auch bekannt als d'Alembert Operator. Schriftweise hier:
QUABLA = 1/c² partial²/partial t² - NABLA

Der Trick dieser Klein-Gordon ist, daß diese aber nur für masselose Teilchen gerade wieder die Wellenfunktion der Elektrodynamik beschreibt.

Im Gegensattz zur Schrödinger ist die Klein-Gordon zeigt sie keine erste Ordnung der Zeit!

Konsequenz: Wir setzen die Kenntnins der Wellenfunktion zu einer Anfangszeit voraus. Wir können nicht das zeitlich spätere Verhalten aus der KG berechnen! Soll heißen: Ohne eine Neuinterpretation der Wellenfkt (PSI) ist die KG als dynamische Gleichung für Materiewellen unbrauchbar!

Ich denke, Al, das dies einer der Punkte ist, warum Du gerne eine geschlossene Wellenfkt für alles willst.

Wir kommen damit zur Frage der Beschreibung der Zustände eine physikalischen Systems

Das führt uns auf den Gedanken das Superpositionsprinzip aufzuwecken um damit die Elemente eines abstrakten vektorraums zuordnen zu können.

1. Postulat: Den Zust¨anden eines quantenmechanischen Systems werden die Elemente
eines abstrakten, linearen Vektorraums, des Zustandsraums, zugeordnet.

Der Zustand a wird zugeordnet |a> : Schreibweise: a -> |a>
Eine Überlagerung entspricht dann der Linearkombination von Zustandsvektoren.
|c >= alpha |a > +beta|b >
Eine Überlagerung eines Zustands mit sich selbst (Autosuperposition) ergibt wieder den gleichen Zustand. in oben angeführter Schreibweise sind die Überlagerungen durch die griechischen Buchstaben gekennzeichnet.
Um das Leben einfachr zu gestalten muß dabei auch die komplexe Zahlenwelt eingeschlossen werden. Damit sind diese Überlagerungen mit Phasenanteilen verbunden.
Dies ist die Schreibweise von Dirac der Zustandsvektor selber wird KET-VECTOR genannt: |a>.
In der Ortsdarstellung enspricht der Ket-Vektor der Ortswellenfkt PSI(x,t).

Dann gibt es noch einen Bra-Vektor. Jetzt berücksichtigen wir eine Metrik (Längen mit Winkeln). Das erfordert die Einführung einer von der Auswahl der Basis unabhängigen (invariant) Bilinearformulierung = skalares Produkts, das jedem Zustandsvektorpaar |a> sowie |c> eine komplexe zahl zuordnet.
Diese Zuordnung eforderteinen weiteren dualen Vektorraum:
Jedem Zustand entspricht in diesem neuen dualen Vektorraum ein neuer ustandsvektor, das ist dieser Bra-Vektor: <a|. Sowohl der Ket- als auch der Bra-Vektor sind Bilder desselben Zustands aber in verschiedenartigen Vektorräumen.

Wenn ich mir jetzt noch die verschiedenen Bilder der Quantendynamik Revue passieren lassen, dann wird es ganz abwechsulngsreich. Ich nenne nur die namen, das könnt ihr ja mal "googeln":
- Schrödinger-Bild: Lösen der Wellenfkt mit Anfangsbedingung Zeitliche Änderung eines Zustands wird beschrieben durch Zustandsänderung im gleichbleibenden Hilbertraum: <eigenvektoren zeitunabhängiger Operatoren

- Heisenberg-Bild: Zustand bleibt gleich, aber zeitliche Änderung der Eigenvektoren (Basisvektoren) dess Hilbertraums.

- Wechselwirkung-Bild: Nutzung des Hamilton Operators H=H0+W(t) als Summe eines zeitunabhängigen Anteils von H0 und eines zeitabhängigen Anteils von W. Nur zeitbegrenzte Dauer der Wechselwirkung.

SPIN Problemeatik

Hier müssen wir den Drehimpuls Operator bemühen. Hermitizität ist dabei für jeden Vektoroperator eine notwendige Voraussetzung. rxp ist ein Bahndrehimpuls, der Spin jedoch zeichnet sich als Drehimpiuls ohne klassisch korrespondierende Größe. Mittels der Eigenwerte lassen sich ordnugnsmerkmale beschreibe.
Diese Eigenwerte gehen einher mit h_quer m und dabei nimmt m folgende Werte an:
m= -j, -j+1, ...,j-1, j, dies verfahren läuft ab in N Schritten, worin N wiederum ganzzahlig ist. Insbesondere erkennen wir:
j = -j+N, und damit: j= N/2 und damit ist dies entweder ganzzahlig oder halbzahlig.

Damit bezeichnen die Eigenfuktionen Drehimpulsquantenzahlen j und m it:
j=0, 1/2, 1, 3/3, ..
m=-j, -j+1, .. j
Und für jeden Wert von j gibt es 2j+1 verscheidene Werte von m


Schlussendlich, leiber Al, kann ich Dein Anliegen sehr sehr gut nachempfinden, denn ich denke ähnlich wie Du auch, daß es eine einheitliche Beschreibung geben müßte -wiederum verweis auf die gerade laufende Diskussion Eichtheorie- aber die Hürden der Mathematik sind so enorm hoch aufgebaut wiorden im Zuge der zeit, daß diese Arbeit eine vollkommen neue grundlegende Überarbeitung des gesamten Gebietes der QM bedarf. Damit wird sich in Kosequenz auch ein neues Standardmodell ergeben.

Und ob das wirklich a) sinnvoll, b) zielführend und c) zu einer zufriedenstellenden Situation führen wird, ich vermag das nicht zu sagen.

Aber: ich denke auch, es ist der Mühe wert. Ich täte eine solche Arbeit aber erst einmal losgelöst von Bindungen in der Physik starten, als rein philosophisches Thema. Wisst Du da ran gehen? Wäre echt eine intressante Diss, tät mich sehr interessieren!!!!


Gruß

Wilfried

[tomS]

In der Supersymmetrie erhält man auch noch die Rarita-Schwinger- Gleichung für die Spin 3/2 SUSY-Parter.

Das Problem mit der vereinheitlichten Gleichung ist, dass man evtl. zunächst eine allgemeine Gleichung finden kann, die alle Multiplets der Poincare-Gruppe beschreibt. Aber dann muss man diese in Multiplets (irreduzible Darstellungen) mit festen Spin zerlegen. Und dabei entstehen dann diese so unterschiedlichen Gleichungen.

Ein Ansatz wäre evtl. die Bargmann-Wigner Gleichung.

Ich hab mal gelesen, dass die Quantisierung von Teilchen mit Spin größer 2 inkonsistent ist.

[wilfried]

Tag Tom

das ist eine tolle idee mit der Bargmann-Wigner. Die BW beschreibt ja Skalrprodukte speziell ausgerichtet für die Verwendung des Impulsraums.
Literatur: V. Bargmann and E. P. Wigner, Group theoretical discussion of relativistic wave equations, Proc.
Nat. Acad. Sci. USA 34, 211 (1948).

Anmerkung: Ich behandelte hier im Forum bereits einmal die Winger-Ville Trafo. Leider ist dieser Beitrag wenig beachtet worden, hat er doch unmittelbar mit diesem Thema zu tun.

In oben zitiertem paper berechnen bzw. zeigen die Autoren die Standardform dieses Produkts.
Es beschreibt eine implizite Wahl eines einzigen, zeitlich in die Zukunft weisenden und Impuls unabhängigen Vektor. Dieser Vektor zeigt eine Zerlegung des Minkowski Raums in Zeit und Raum auf. Diese Zerlegung wird beispielsweise verwandt um die SL(2,C) Trafo in "boosts" und Drehungen zu zerlegen.

Nehmen wir ein Feld der Masse >0, das einen Rotationsprozess endlkicher Dimensionen beinhaltet, dann können diese "boosts" durch Impuls friese Drehungen ersetzt werden. Diese werden Wigner Drehungen genannt. Die Impuls Abhängigkeit dieser Wigner Umdrehungen bewirkt, daß deren Repräsentationen unendlich dimensional werden.
Die Annahme, daß es Generatoren gibt, die eine vereinheitlichte Darstellung der Symmetrie Gruppen beschreiben ist eines der heersten Ziele. Al möchte das ja auch erreichen, deshalb fragt er hier nach den Möglichkeiten.

Ich wiederhole mich nochmal: Die kovariante Formulierung der klassischen Relativitätstheorie ist so fest etabliert, und es wird sehr schwer dies zu ändern. und der Grund leigt in der so tiefgehenden Aufdröselung von Raum und Zeit in unseren Ansätzen, daß ich es als nahezu unmöglich ansehe, diese Formulierung auf die Zustandsebene zu bringen. Aber wer weiß???

Was müssen wir tun? Wir müssen so etwas wie Spinor Wellen Funktionen finden und diese sollten keine statistische Terme besitzen.Dann wäre eventuell eine kovariante Formulierung des Standard Modells denkbar.
Und wenn das nicht geht, müssen wir halt mit statischtische Amplitudenfunktionen leben, dann aber weg von der Spinor Formulierung und hin zur BW Amplituden Darstellung, die nicht-kovariant ist.

Das haben Bargmann und Wigner 1948 bereits getan, zumindest haben sie uns den Weg dahin geebnet.
Ich denke auch, daß wir diesen Ansatz auf die Poincaré Gruppe anwenden können.

In diesem paper wird das ja auch so diskutiert:
http://arxiv.org/abs/quant-ph/9602008

Aber ein paper finde ich noch bemerkenswerter, das von Gomis und Pons "Bargmann-Wigner Methode für Wellenfunktionen von 6s+a Komponenten :
http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.22.2564

Tom, das war eine sehr interessante Information, mal sehen, was Al auf unsere Beiträge antwortet, wie er das sieht.

Netten Gruß

Wilfried

[AlTheKingBundy]

ich würde einen einfacheren ansatz wählen. schauen wir mal auf dirac und klein-gordon. dirac ist ja gerade so aufgebaut, das man bei "operatorquadratur" wieder auf die klein-gordon-gleichung kommt, d.h. in dirac steckt quasi klein-gordon drin. vielleicht ließe sich dieser mechanismus fortführen oder allgemeiner formulieren, so dass auch die anderen spinzustände daraus resultieren.

ich könnte mir auch eine wellenmatrix n x n z.b. vorstellen, auf die eine operatormatrix wirkt. nur sollte die konstruktion dieser beiden größen so zwanglos wie möglich sein.

[wilfried]

Tag Al

nun die Überführung der Dirac in die KG ist bekannt. Jedoch liegt das Problem in der Definition der Wahrscheinlichkeitsdichte, die bei KG in ihrer Interpretation eben als Wahrscheinlichkeitsdichte nicht oder nur äußerst ungenügend erklärt werden kann. Grund: KG ist zeitlich gesehen eine Fkt. 2. Ordnungund deshalb muß PSI(x,t) also auch die erste Ableitung davon zu einem gegebenen Zeitpunk bekannt sein.

Das ist ja die Motivation von Dirac, der 1928 die kovariante Wellengleichung in Schrödinger Form anschreib. Diese konstatierte er mit positiver Wahrscheinlichkeitsdichte. Diracs vorteil war, daß eben diese Formulierung eine DGL erster Ordnung ist, soll heißen bzgl der Zeitzuordnung linear ist. Damit ließ sich dann ein Hamilton Operator aufbauen, der ebenfalls in den räumlichen Ableitungen linear ist.

Die Nähe zur KG ist natürlich überall erkennbar, aber eben nur als Nähe. Ich verwies ja bereits auf das Eigenwertspektrum der Dirac (freie Drirac, um genau zu sein) Gleichung. Und das ist der Punkt: hier sind die die Zustände Eigenfkts des Impulses.

Bei der Einteilcheninterpretation der freien Dirac Wellen existiert das Problem der Interpretation nur ganz bedingt möglich ist.

Lieber Al, vieleicht hat der Tom noch einen Rat, aber sehe in Deinem Anstz so recht keine Chancen auf eine allgemein gültige Beschreibung. Folge mal dem Tipp vom Tom mit dem Bargmann-Wigner Ansatz. Dieser erscheint mir zumindest auf den zweiten Blick deutlich vielversprechender zu sein.

Gruß

Wilfried

[AlTheKingBundy]

hi wilfried,

ich sehe in der unterschiedlichen interpretation der wellenfunktionbetragsquadrate kein problem. der energie-impulstensor hat auch unterscheidliche komponenten mit unterschiedlicher bedeutung.

[wilfried]

Tag Al

was hält Dich noch davon ab, diesen Weg mal zu gehen? Wie geagt, leicht ist das Vorhaben nicht, aber ich finde die Idee ist es wert!

Ich kann mit den jetzt vorhanden Infos ja auch nur spekulieren, da diese Arbeit ja noch nicht gemacht ist. Aber wie bereits mehrfach gesagt: schau Dir mal die BW an. Ich denke damit hast Du ein sehr gutes Startplateau.

********* Neben Info ****************************************
Schwerpunkt hier: Kurzzeit Frequenzanalyse .. hatte ich hier ja bereits vorgestellt.

Zu Wigner (ganz kurz):
1932 von Eugene Wigner als zweidimensionale Dichtefunktion in der Quantenmechanik vorgestellt. Keine Fensterung!
1948 zeigte J. Ville ihren Nutzen in der Signalanalyse

Bei bilinearen Transformationen: Auftreten von Interferenztermen
Die Transformation der Summe zweier Signale ergibt sich aus der Summe der Transformationen der Einzelsignale (Kreuzterminterferenz) sowie einem Interferenzterm 1946 erstmals von König und Mitarbeitern angewandt als gefensterte Fourier-Trafo oder Sonogramm -> Gabor Trafo
***********************************************************

Noch gerade entdeckt -extra für Dich:

http://www.physik.uni-oldenburg.de/Docs ... dirac.html

Wirklich gutes Seminar, das Dein Thema beinhaltet.

Gruß

Wilfried

[tomS]

Ihr solltet euch von der Interpretation der Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsamplitude oder Ladungsdichteamplitude verabschieden - das gilt in der relativistischen Quantenmechanik. In der Quantenfeldtheorie sind alle beteiligten Größen Operatoren, Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus geeigneten Skalarprodkten in der Hilberträumen. Diese Weiterführung der relativistischen Quantenmechanik ist aber zwingend notwendig zur Formulierung des Standardmodells - das Gebäude der relativistischen Quantenmechanik ist nicht ausreichend.

[AlTheKingBundy]

so sehe ich das auch

[wilfried]

Tag zusammen

Al sagt:

so sehe ich das auch

; ich bin nicht so schnell dabei!

Tom, wenn Du sagst:

ihr solltet euch von der Interpretation der Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsamplitude oder Ladungsdichteamplitude verabschieden - das gilt in der relativistischen Quantenmechanik.

, dann antworte ich:

iAl´s Frage, nach einer universellen Wellenmatrix mittels einer universellen DGL aufstellen zu können, ist doch nicht beschränkt auf Quantenfeldtheorie!

Klar hast Du recht, wenn wir QFT sehen, daß es hier einen unterschied zur relativistischen QM gibt. Aber Al´s Frage geht doch zunächst in die Richtung der Wellenfkt. besser des Findens einer universellen Wellenmatrix.

Und da verstehe ich Al´s Antwort nun gar nicht, denn wenn er das will, so folgt doch das, was ich (wir) schrieben oder sehe ich das völlig falsch???

Das es auf dem Weg dorthin einige Einschränkungen geben mag, die dann mit dem Gebäude der Quanten selber zu tun haben und deshalb wieder einmal zu Einschränkungen führen, das ist doch klar.

Unter anderem auch deshlab schrieb ich in einer meiner Antworten:

Lieber Al, vieleicht hat der Tom noch einen Rat, aber sehe in Deinem Anstz so recht keine Chancen auf eine allgemein gültige Beschreibung. Folge mal dem Tipp vom Tom mit dem Bargmann-Wigner Ansatz. Dieser erscheint mir zumindest auf den zweiten Blick deutlich vielversprechender zu sein.

Und damit bist Du selber ja auch wieder auf dem Weg der QM und nicht auf dem der QFT.

Ihr habt mich verwirrt! Sorry!


Gruß

Wilfried

[AlTheKingBundy]

betrachte die wellenmatrix als grenzfall für dirac, klein gordon usw. die quantenfeldtheorie sollte in einem allgemeinen operatormechanismus und funktionsvektorraum enthalten sein. natürlich könnte man mit wahrscheinlichkeitsdichten und ladungsdichten starten, aber ich finde den allgemeineren ansatz besser.

[wilfried]

Tag Al

die KG läßt sich natürlich als ebene Welle anschreiben. Das wird z.B. hier gezeigt:
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq-pdf/S ... _Teil1.pdf

die quantenfeldtheorie sollte in einem allgemeinen operatormechanismus und funktionsvektorraum enthalten sein

Darin sehe ich eine Herausfoderung. Ich bin nun nicht der Quantenfeldtheoretiker, ergo kann ich jetzt auch nicht mehr weiter diskutieren. Hier ist halt mein Horizont auch zu Ende, aber ich sehe Deine Arbeit als äußerst interessanten Ansatz an und werde ihn mit viel Freude weiterverfolgen.
Ich hoffe Du bleibst da bei der Stange.

Sorry, daß ich Dir ab hier nicht mehr weiterhelfen kann!

Gruß

Wilfried

[AlTheKingBundy]

macht doch nichts, wer weiß schon alles. aber danke für deine ideen und hinweise.

ich werde mal versuchen, einen einfachen ansatz zu stricken, kann aber etwas dauern....

[tomS]

Ich sehe noch ein Problem (ohne dass ich mir die Bargmann-Wigner Gleichung daraufhin näher angeschaut hätte): man muss noch verschiedene Felder aneinader koppeln, d.h. z.B. einen Skalar an einen bilinearen Spinorterm oder ein Eichfeld an einen bilinearen Spinorterm plus Gamma-Matrix oder (noch komplizierter) eine Eichfeldstärke an einen bilinearen Spinorterm plus zwei Gamma-Matrizen.

Fragen:
- wer gibt die Struktur dieser Kopplung vor?
- gibt es eine Art universelles Konstrukt für die Einführung der kovarianten Ableitung

- wer entscheidet, ob diese Gleichungen physikalisch sinnvoll sind
- wer entscheidet, ob diese Gleichungen mathematisch konssitent sind, wenn sie quantisiert werden?

Ich denke, ohne eine Antwort auf diese Fragen ist das zunächst mal nur nette Algebra

[AlTheKingBundy]

Vielleicht nicht ganz die Richtung, die ich angedacht habe, aber es zeigt, dass sich über Operatorformulismen durchaus Gemeinsamkeiten zwischen den verschiedenen Feldstärketensoren bzw. Bewegungsgleichungen der verschiedenen Spin-Felder finden lassen:

Für Maxwell findet man:



Über denselben Kommutator findet man aber auch die Gravitation, wenn man den Kommutator nur auf die Basisvektoren des R4 wirken lässt:




Es scheint, dass es sich beim Elektromagnetismus um eine kommutatorinterne Angelegenheit mit minimaler Kopplung handelt und bei der Gravitation um eine externe.

[tomS]

Hallo Al,

Ich denke, das gilt allgemein: Wenn man eine kovariante Ableitung D definieren kann, dann ist die Krümmung in einem geeignet definierten Tangentialraum immer sowas wie [D,D] = F.

Ich unterdrücke dabei bewusst Indizes, da sie ja durchaus unterschiedlich aussehen können. Genauso macht man das z.B. für nichtabelsche Eichtheorien.

Frage zu der Gleichung mit den Christoffelsymbolen; ich sehe nicht, wie das gehen soll; ich dachte, auch da müsste man die kovariante Ableitung bzgl. der Vierbeine verwenden, und die beinhaltet ja bereits eine Krümmungsform bzw. die Christoffelsymbole.

Dann noch ein Problem: ich dachte, es ginge um eine allgemein gültige Gleichung für unterschiedliche Spins. In dem obigen Beispiel muss man die Spinstruktur jedoch bereits vorher festgelegt haben. Im Falle der kovarianten Ableitung D in einer Eichtheorie kann man ja entweder die kovariante Ableitung
für die adjungierte Darstellung benutzen, dann hat man sich jedoch bereits auf die Spin-1 Darstellung festgelegt. Wie soll das verallgemeinerbar sein?

[AlTheKingBundy]

hi tom,

ich weiß, ich bezog diesen zwischeneinschub auch nicht auf meinen ursprünglichen gedanken. es zeigt nur die artverwandheit der generierung von feldstärketensoren. in den eichtheorien ist das ein normaler vorgang, nur dass man die gravitation elegant damit einbeziehen kann, ist mir jedenfalls in der art und weise der formulierung neu.

ich habe einige zwischenschritte weggelassen. betrachte einfach die rückführung der ableitung einer basis auf die basis selbst mit hilfe der christoffelsymbole, dann kommst du auf das gewünschte ergebnis. bei wunsch werde ich das hier ausführlicher in formeln darstellen.

gruß al

[tomS]

Hi,

ja, du hast recht, man kann grundsätzlich immer eine Krümmung über eine entsprechende kovariante Ableitung formulieren; letztere = ein affiner Zusammenhang ist der fundamentalere Begriff. Was mir fehlt (auch nach deiner Erläuterung) ist die kovariante Ableitung für die Herleitung der Riemannschne Krümmung - oder ich sehe sie nicht; also wären Formeln oder ein Link nicht schlecht.

Gruß
Tom

[AlTheKingBundy]

Ich habe die Herleitung mal in ein kleines PDf gesteckt


http://www.einsteins-erben.de/tensorrechnung.pdf

Achso, wenn dort steht Komma (Index) bedeutet dies die kovariante Ableitung nach dem Index.

[tomS]

Sorry Al, aber das verstehe ich immer noch nicht.

Bei mir ist



D.h. die kovariante Ableitung enthält bereits die Christoffel-Symbole.

Damit gilt dann allerdings



D.h. ich erhalte den Riemannschen Krümmungstensor aus dem Kommutator der kovarianten Ableitung, nicht der gewöhnlichen Ableitung.

Bei Antisymmetrisierung gilt



wegen der Symmetrie der Christoffelsymbole; dies hilft mir jedoch nichts beim Kommutator der kovarianten Ableitung.

Wieso kannst du bei deiner Herleitung sofort zur gewöhnlichen Ableitung übergehen? Nutzt du dazu aus, dass du im Tangentialraum statt mit einem Vektorfeld rechnest?

[AlTheKingBundy]

hi tom,

mein ansatz ist ein anderer, ich leite einfach nur die basisvektoren partiell ab, es ist keine (vollständige) kovariante ableitung, die ja eine ableitung einer vektorkomponente und der basis beinhaltet. ich lasse den kommutator der partiellen ableitungen nicht auf einen vollständigen vektor, sondern nur auf die basis wirken, das kann man durchaus machen.

gruß al

hier eine herleitung der christoffelsymbole:

www.einsteins-erben.de/christoffel.pdf

[tomS]

Interessant. Ich bin noch nie auf die Idee gekommen, das über den Tangentialraum zu betrachten.

Ich habe aber trotzdem das Gefühl, da fehlt noch was, ich kann's aber nicht genau benennen ... ich melde mich wieder

Grüße
Tom