Abenteuer-Universum

Nehmen wir zwei punktförmige Löcher. Die S-Matrix S beschreibt, wie eine einlaufende ebene Welle von diesen beiden Löchern ausläuft. Sie tut dies in diesem Spezialfall als zwei Kugelwellen; entsprechend findet Interferenz statt; die Propagation der beiden Kugelwellen erfolgt dabei WW-frei.

Ja, ich denke, jetzt habe ich es verstanden.
Vielen Dank für Euere Mühe, Tom und Hawkwind!

Hallo,

bei der Betrachtung von Atomen verwendet man (immer?) ein Potential, in dem sich ein oder mehrere Elektronen befinden, aber welche Rolle spielt das Proton bzw. der Kern?
Wenn man das Coulomb-Potential über die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Grundzustands des Wasserstoffatoms integriert, erhält man eine potentielle Energie von etwa -27,2eV und die kinetische Energie soll hier etwa 13,6eV betragen. Man erhält also eine Bindungsenergie von 13,6eV. Und das ist doch alles, was beim Einfang eines Elektrons bzw. bei der Ionisation an Energie in Form von Photonen abgegeben bzw. aufgenommen wird, oder kommt dabei noch mehr vor?
Diese Rechnung berücksichtigt aber wegen der Verwendung eines Potentials dennoch nur das Elektron. Gleichzeitig gilt doch für das Proton ebenso: Es kommt in das Potential des Elektrons, verliert dadurch potentielle Energie... Fehlt denn das nicht bei der Rechnung?
Oder ist die Rechnung vollständig und die 13,6eV kommen aus Proton und Elektron insgesamt?

Gruss

positronium

Die Rechnung ist vollständig und korrekt (bis auf relativistische Effekte, QED usw.), allerdings wird sie in vielen (allen?) Büchern ungeschickt dargestellt.

Es handelt sich um ein quantenmechanisches Zweiteilchenproblem mit einem Zweiteilchenproblem- Hamiltonoperator sowie einer entsprechenden Wellenfunktion. Das Potential V(r) ist dabei die Wechselwirkungsenergie beider Ladungen, nicht das Potential eines Elektrons in einem externen Feld.

Nun kann man eine unitäre Transformation durchführen, so dass der Hamiltonoperator in neuen Koordinaten ausgedrückt wird: Relativkoordinate r und Schwerpunktskoordinate r. Für den Schwerpunkt separiert eine freie Schrödingergleichung, die durch eine ebene Welle im Gesamtimpuls gelöst wird. In der Relativkoordinate folgt die bekannte Gleichung mit der reduzierten Masse.

D.h. es handelt sich um eine vollständige Lösung, auch wenn das manchmal versteckt wird.

Vielen Dank für Deine Erklärung, Tom!
Demnach ist auch die Darstellung, das emittierte Photon käme vom Elektron falsch, nicht wahr?
Wo muss man dann die Quelle der Energie ansetzen? Elektrische Feldenergie, also erst einmal gar nicht direkt den Teilchen zugehörig? Welcher Ort ist dann dieser Energie zugeschrieben?

tomS hat geschrieben:Die Rechnung ist vollständig und korrekt (bis auf relativistische Effekte, QED usw.), allerdings wird sie in vielen (allen?) Büchern ungeschickt dargestellt.

Es gibt auch Bücher, in denen dieser Punkt (Reduktion des 2-Köper- auf 1-Körperproblem) nicht unterschlagen wird, z.B. Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2, S. 125ff
http://books.google.de/books?id=l7s90tl ... &q&f=false

Es ähnelt der Vorgehensweise beim Keplerproblem der klassischen Mechanik, wo man es ja ähnlich macht: Übergang zum Schwerpunktsystem und Relativkoordinaten ... .

Angesichts der verschwindenn kleinen Masse des Elektrons gegenüber der des Kerns lässt sich das Ignorieren dieses Schritts aber auch rechtfertigen ... ist eben eine exzellente Näherung, den Schwerpunkt des Systems mit dem Ort des Kerns zu identifizieren.

Ich habe die exakte Vorgehensweise hier in Kapitel 2 beschrieben: http://abenteuer-universum.de/bb/userfiles/gauge.pdf
(Vergesst dabei die Eichsymmetrie)

@Hawkwind: ich kenne den Nolting nicht; beschreibt er wirklich einen Zweiteilchen-Hilbertraum mit Faktorisierung der Wellenfunktion in Schwerpunkt- und Relativbewegung? Oder führt er die Koordinatentransformation auf klassischer Ebene durch und unterschlägt die Schwerpunktsbewegung?

@positronium: deine Frage kann man in Rahmen der nicht-rel. QM nicht beantworten, da dort das Photonfeld kein dynamischer Freiheitsgrad ist. Insbs. kann der Emissionsprozess nur dadurch modelliert werden, dass man ein "künstliches" Photonfeld einführt, das den Übergang induziert, aber es gibt dennoch kein "echtes" Photon. Das künstliche Feld ist einfach ein periodischer Term im Hamiltonoperator, jedoch kein Freiheitsgrad im Hilbertraum (der eben nur Elektron und Proton beschreibt). Daher ist auch die Energie im Hilbertraum nicht erhalten, da kein Photon existiert, das Energie trägt. Man benötigt eine umfassende Theorie, in der Elektronenfeld und Photonenfeld beide quantisiert werden. Dies liefert erst die QED.

tomS hat geschrieben:Ich habe die exakte Vorgehensweise hier in Kapitel 2 beschrieben: http://abenteuer-universum.de/bb/userfiles/gauge.pdf
(Vergesst dabei die Eichsymmetrie)

@Hawkwind: ich kenne den Nolting nicht; beschreibt er wirklich einen Zweiteilchen-Hilbertraum mit Faktorisierung der Wellenfunktion in Schwerpunkt- und Relativbewegung? Oder führt er die Koordinatentransformation auf klassischer Ebene durch und unterschlägt die Schwerpunktsbewegung?

Ja, kannst du im obigen Link, S. 125ff auch nachlesen.
... es geht aber weniger um Hilbertraum ... mehr um die Lösung der Schrödingergl., was nach meinem Verständnis auch angemessen ist.

Da schau an. Elegant ist die Behandlung zwar nicht gerade, aber die wesentliche Botschaft ist klar.

Streng genommen, setzt die Lösung der Schrödingergleichung sowieso voraus, sie in einem Inertialsystem "hinzuschreiben"; das Ruhesystem des Kerns ist aber - wenn man ganz genau schaut - nicht inertial.

Aber ich rede nie über den Kern. Ich führe ein Koordinatensystem ein bzgl. dessen sich zwei eigenständige
quantenmechanische Freiheitsgrade beschreiben lassen. Die Separation in R und r ergibt sich aus dem Formalismus. Und R ist eben gerade die Schwerpunktskoordinate. Und das Ruhesystem des Kerns ist nur dadurch ausgezeichnet, dass ich nach der Quantisierung eine spezielle ebene Welle exp(iPR) mit P=0 auszeichne. Das ist aber nur eine spezielle Lösung, keine Voraussetzung.

Ich bezog mich jetzt auch gar nicht auf deinen Text.

OK.

tomS hat geschrieben:deine Frage kann man in Rahmen der nicht-rel. QM nicht beantworten...

Schade.

Danke Euch beiden, auch für die hilfreichen Links!

positronium hat geschrieben:Demnach ist auch die Darstellung, das emittierte Photon käme vom Elektron falsch, nicht wahr?

Zumindest hochgradig irreführend. Das Photon ist eine zusätzliche Anregung des el.-mag. Feldes und daher nicht lokalisierbar.

positronium hat geschrieben:Wo muss man dann die Quelle der Energie ansetzen?

Zur räumlichen Lokalisierung s.o.

positronium hat geschrieben:Elektrische Feldenergie, also erst einmal gar nicht direkt den Teilchen zugehörig?

Ja.

Gut, danke!
Ich seh' schon: ich muss mich ernsthaft an die QFT machen.

positronium hat geschrieben:Gut, danke!
Ich seh' schon: ich muss mich ernsthaft an die QFT machen.

Braucht man m.E. nicht unbedingt, um die Atomphysik zu verstehen.
Das Atom (Kern + Elektron) ist ein Quantensystem, das unterschiedliche diskrete, gebundene stationäre Zustände ("Orbitale") annehmen kann: Sprünge von einem Zustand zu einem anderen geschehen unter Absorption oder Emission eines Photons, welches aus Gründen der Energieerhaltung gerade die Energiedifferenz der beiden Zustände transportiert.

Effekte der Quantenfeldtheorie erzeugen in der Atomphysik eher nur kleine Korrekturen (z.B. "Lamb-Shift") zu den Energieniveaus, wie sie sich aus der Schrödingergleichung ergeben.

Ja, dass diese Effekte relativ klein sind, ist mir bewusst. Meine Fragen (4. Jan 2014, 14:10) entstanden aber aus dem Bedürfnis mehr darüber zu erfahren, wo die Energie herkommt, wo sie hingeht und was dabei passiert, also die Begriffe Photon, Feldenergie, potentielle Energie und was damit zusammenhängt einordnen zu können. Besonders letztere beiden erscheinen mir noch sehr abstrakt, eigentlich konstruiert. Offenbar kommt man hier wohl um die QED nicht herum.

positronium hat geschrieben:Ja, dass diese Effekte relativ klein sind, ist mir bewusst. Meine Fragen (4. Jan 2014, 14:10) entstanden aber aus dem Bedürfnis mehr darüber zu erfahren, wo die Energie herkommt, wo sie hingeht und was dabei passiert, also die Begriffe Photon, Feldenergie, potentielle Energie und was damit zusammenhängt einordnen zu können. Besonders letztere beiden erscheinen mir noch sehr abstrakt, eigentlich konstruiert. Offenbar kommt man hier wohl um die QED nicht herum.

Sehe ich nicht so.
Wo kommt die Energie her? ... aus der Differenz der Energie-Eigenwerte der Orbitale!
Wo geht sie hin? ... sie wird zu Bewegungsenergie des Photons.

Oder umgekehrt. Ich finde, das sind recht zufriedenstellende Antworten.

Ich sehe spontan nicht, dass die QED da befriedigendere Antworten geben könnte.
Im Gegenteil: die Rechnungen werden massiv komplizierter und auch entsprechend komplizierter zu interpretieren ("Regularisierung", "Renormierung", ...).

Wenn es dir um die "Natur" des Photons geht, dann musst du freilich über die Lösung der Schrödingergleichung im Potential hinausgehen. Die Theoretiker sind sich nicht mal einig, ob eine Wellenfunktion des Photons überhaupt konsistent definierbar ist: in der Ortsdarstellung aufgrund der Masselosigkeit und der daraus folgenden Nichtlokalisierbarkeit eines Photons wohl sicher nicht (Ortsoperator existiert nicht).

Arbeiten wie die von Bialynicki-Birula
http://www.proselex.net/Documents/On%20 ... Photon.pdf
oder
http://www.physics.utoronto.ca/~sipegro ... 2_1875.pdf
könnten hilfreich sein. Diese Themen sind "Forschungsgegenstand".

Hawkwind hat geschrieben:Wo kommt die Energie her? ... aus der Differenz der Energie-Eigenwerte der Orbitale!
Wo geht sie hin? ... sie wird zu Bewegungsenergie des Photons.

Oder umgekehrt. Ich finde, das sind recht zufriedenstellende Antworten.

OK. Ich weiss nicht, was die QED in puncto Interpretation oder Hilfe bei der Interpretation des Geschehens in der Natur bietet. Aber um auf die potentielle Energie zu sprechen zu kommen: Ist E[down]neu[/down]-E[down]alt[/down] nicht ein bisschen wenig? Ich habe halt den Eindruck, dass die QM nur ein Rechenmodell bietet und die Natur tiefer interpretierbar sein muss. So weit ich zu wissen glaube, sagt sie doch z.B. nichts über die Emissionsrichtung eines Photons aus, über die Polarisation schon. Bei solchen Dingen müsste es doch noch genaueres geben.

Hawkwind hat geschrieben:Die Theoretiker sind sich nicht mal einig, ob eine Wellenfunktion des Photons überhaupt konsistent definierbar ist: in der Ortsdarstellung aufgrund der Masselosigkeit und der daraus folgenden Nichtlokalisierbarkeit eines Photons wohl sicher nicht (Ortsoperator existiert nicht).

Das ist ja interessant.
Ich werde mir die verlinkten Arbeiten ansehen.

Hawkwind hat geschrieben:

positronium hat geschrieben:Ja, dass diese Effekte relativ klein sind, ist mir bewusst. Meine Fragen (4. Jan 2014, 14:10) entstanden aber aus dem Bedürfnis mehr darüber zu erfahren, wo die Energie herkommt, wo sie hingeht und was dabei passiert, also die Begriffe Photon, Feldenergie, potentielle Energie und was damit zusammenhängt einordnen zu können. Besonders letztere beiden erscheinen mir noch sehr abstrakt, eigentlich konstruiert. Offenbar kommt man hier wohl um die QED nicht herum.

Sehe ich nicht so.
Wo kommt die Energie her? ... aus der Differenz der Energie-Eigenwerte der Orbitale!
Wo geht sie hin? ... sie wird zu Bewegungsenergie des Photons.

Oder umgekehrt. Ich finde, das sind recht zufriedenstellende Antworten.

Ich sehe spontan nicht, dass die QED da befriedigendere Antworten geben könnte.

Die QM enthält kein Photonfeld, d.h. kein Photon als dynamischen Freiheitsgrad.
Strahlungsübergänge können nur durch zeitabhängige Störungstheorie und induzierte Emission beschrieben werden.
Man verwendet einen zeitabhängigen Hamiltonopetator; es gilt keine Energieerhaltung!!

Damit ist die QM intrinsisch unvollständig.

Hawkwind hat geschrieben:Die Theoretiker sind sich nicht mal einig, ob eine Wellenfunktion des Photons überhaupt konsistent definierbar ist: in der Ortsdarstellung aufgrund der Masselosigkeit und der daraus folgenden Nichtlokalisierbarkeit eines Photons wohl sicher nicht (Ortsoperator existiert nicht).

Ich denke, die Theoretiker sind dich einig, dass man vollständig anders vorgehen muss. Stichwort: Axiomatische Quantenfeldtheorie

Die beiden Veröffentlichungen sind recht interessant, aber jeweils nicht vollständig.

In einem Artikel wird die Frage der spontanen Emission diskutiert. Der dabei verwendete Hamiltonoperator wird heuristisch motiviert, enthält für das Elektron einen nicht-relativistischen Term, und ist sicher insgs. nicht Lorentz-Kovariant. Es ist aber spannend, dass man offensichtlich in der Lage ist, eine einfache Betrachtung der Emission mit explizitem Photonen-Freiheitsgrad durchzuführen, ohne gleich die QED zu bemühen. Im anderen Artikel wird lediglich das freie el.-mag. Feld ohne Kopplung an Materie diskutiert.

Mir fehlt die Betrachtung der lokalen Eichinvarianz, die relativistische Verallgemeinerung einschließlich Kopplung an Materiefreiheitsgrade, sowie natürlich find darauf aufbauende, renormierbare Quantenfeldtheorie. Wird daran gearbeitet? Liefert diese Theorie neue Erkenntnisse? Oder ist die äquivalent zur QED?

tomS hat geschrieben: ... Wird daran gearbeitet? Liefert diese Theorie neue Erkenntnisse? Oder ist die äquivalent zur QED?

Habe da leider keine Ahnung, Tom ... verfolge dieses Thema nicht wirklich.
Bialynicki-Birulas Papier ist jedenfalls ein sehr häufig zitiertes Papier und es gibt etliche Nachfolge-Arbeiten von ihm.

Faszinierend fand ich an seinem Papier auch die herausgestellte Analogie zwischen Maxwell- und Dirac-Gleichung, die mich überraschte. Wenn ich recht vestehe, erfüllt eine entsprechend aus E und H-Feld konstruierte Wellenfunktion des Photons (D+iB) die Dirac-Gleichung. So gesehen hätte Maxwell, ohne es zu Wissen, die erste quantenmechanische Wellengleichung formuliert.

___
BTW, ein neueres Review der Thematik:
http://arxiv.org/abs/0708.0831

Schau mal den letzten Abschnitt in der Zusammenfassung an - sehr viele offene Punkte