Alexander hat geschrieben:Zu 3) Wenn der Ortsoperator auf ψ(x) nur als x wirkt, sollte seine Eigenfunktion
lauten, oder? Das k habe ich aus einem deiner oben stehenden Beiträge entnommen, wo es den Eigenwert des Operators bezeichnete. Beim Impulsoperator dann
und wenn h quer = 1, dann
.
Beim Impulsoperator hast du recht, denn
mit Eigenwert k.
Aber beim Ortsoperator stimmt das nicht, denn
funktioniert eben nicht für einen konstanten Eigenwert. Statt dessen gilt hier
d.h. man benötigt die Delta-Funktion für eine Lokalisierung bei x=x[down]0[/down]
Alexander hat geschrieben:Zu 4) Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist der Impulsoperator selbstadjungiert, denn wenn man deine Rechnung, als du den Operator auf den Ket-Teil der Klammer wirken ließest und anschließend durch partielle Integration zeigtest, dass der Operator nun genau auf den anderen Operator im Bra-Teil wirkt, für den Impulsoperator macht, sollte dasselbe bei herauskommen.
Damit zeigst du höchstens die Symmetrie, nicht die Selbstadjungiertheit. Letzteres setzt voraus, dass die beiden Wellenfunktionen bzw. die Bra's und Ket's im selben Hilbertraum leben, das tun sie hier explizit nicht,
wegen der Randbedingung ψ(0) = 0
Der Randterm im Unendlichen verschwindet, das muss so sein, da sonst die Integrale nicht existieren würden. Der Randterm bei 0 bereitet aber Probleme, da nämlich
für den Ket |g> bzw. g(0) = 0
unabhängig von f(0). D.h. der Bra <f| lebt in einem größeren Hilbertraum als der Ket |g>; wegen des Verschwindens beider Randterme ist der Operator tatsächlich symmetrisch, allerdings nicht selbstadjungiert, da der Raum der Ket's kleiner ist als der Raum der Bra's; letztere - bzw. ihre Darstellung durch Funktionen f(x) müssen die Randbedingung
nicht erfüllen.
Alexander hat geschrieben:Übrigens wolltest du noch sagen, was es genau mit dem L²-Hilbertraum auf sich hat, das hast du in einem der Beiträge angerissen und die Details auf später verlegt.
Man definiert einen Funktionenraum analog zu einem Vektorraum:
- man kann Funktionen addieren
- man kann Funktionen mit einer (komplexen) Konstanten multiplizieren
Diese Operationen führen nicht aus dem Raum der Funktionen hinaus. Damit hat man bereits einen Funktionenraum bzw. allgemein einen 'linearen Raum'.
Speziell in der QM benötigt man den Raum L²[a,b] der quadratintegrierbaren Funktionen (andere Räume wie Sobolevräume betrachte ich hier nicht). Man benötigt zum einen einen Normbegriff, d.h. eine Länge. Im Falle des L² gilt
Damit kann man eine Norm des Vektors f definieren, die die üblichen Eigenschaften aufweist: die Norm ist Null genau dann wenn f selbst Null ist; die Norm ist positiv; es gilt die Dreiecksungleichung
wie für Vektoren usw.
Mit der Norm existiert also ein Längenbegriff für einen Vektor f und damit auch ein Abstandsbegriff d(f,g) für zwei Vektoren, denn der Abstand ist einfach
Ein derart normierter Raum heißt Banachraum. Diese Funktionenräume sind Gegenstand der sogenannten Funktionalanalysis.
http://de.wikipedia.org/wiki/Banach-Raum
In der Quantenmechanik benötigen wir noch eine Erweiterung, nämlich den sogenannten Hilbertraum, in dem es zusätzlich noch ein Skalarprodukt gibt, d.h.
Dieses Skalarprodukt
induziert eine Norm; das sieht man sofort, wenn man f=g setzt, also
Auch bzgl. des Skalarproduktes gelten die bekannten Eigenschaften.
Damit haben wir zunächst einen sogenannten Prä-Hilbertraum.
http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4hilbertraum
Zu einem Hilbertraum fehlt uns noch die Eigenschaft der Vollständigkeit, die über sogenannte Cauchy-Folgen definiert ist. Betrachten wir eine Funktionenfolge f[down]n[/down](x) für die gilt, dass
D.h. für wachsendes m und n geht der Abstand der Folgenelemente gegen Null. In den reellen Zahlen wäre so eine Cauchy-Folge z.B. einfach x[down]n[/down] = 1+1/n. Üblicherweise konvergiert eine Cauchyfolge gegen einen Grenzwert, d.h.
Im Falle der Folge x[down]n[/down] = 1+1/n ist dieser Grenzwert einfach x=1.
Und genau das muss i.A. nicht mehr gelten! Der einfachste Fall ist die Folge
Probier's aus, diese Folge konvergiert gegen
Schränkt man nun die Folgenelemente q[down]n[/down] auf die rationalen Zahlen ein, so hat man ein Problem, da zwar alle Folgenelemente rationale Zahlen sind, das Grenzelemente
jedoch explizit nicht. D.h. die Folge ist zwar eine Cauchy-Folge und die Abstände zwischen Folgengliedern gehen gegen Null,
aber die Folge konvergiert nicht innerhalb der rationalen Zahlen. D.h. die rationalen Zahlen sind nicht vollständig,da es in ihnen Cauchy-Folgen gibt, deren Grenzelement außerhalb der rationalen Zahlen liegt.
Sowas gibt es auch für Prä-Hilberträume.
Ein einfaches Beispiel ist der Raum der stetigen Funktionen C[up]0[/up] auf [0,1]. Man kann eine Basis (dazu später mehr) finden, so dass jede derartige Funktion geschrieben werden kann als
Jede der komplexen e-Funktionen ist sicher stetig, aber es gibt Funktionen, die man als derartige Fourierreihen darstellen kann und die explizit nicht stetig sind!
http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe
Damit ist der so definierte Funktionenraum C[up]0[/up][a,b] nicht vollständig, da es Cauchy-Folgen stetiger Funktionen gibt, deren Grenzelemente unstetig sind und die deshalb nicht mehr in C[up]0[/up][a,b] liegen. Eine Vervollständigung unter Hinzunahme der unstetigen Funktionen wäre z.B. der L²[a,b]. Diese Vervollständigung macht dann aus einem Prä-Hilbertraum einen Hilbertraum.
http://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum
Eine letzte Spezialität ist die sogenannte Separabilität. Diese garantiert, dass es ein abzählbares, vollständiges Orthonormalsystem gibt, also einen Satz von Basisvektoren, mittels dessen jeder Vektor im Hilbertraum geschrieben werden kann. Ein Beispiel hatten wir schon: im Falle von L²[a,b]
ist die abzählbare Basis durch die e-Funktionen gegeben; jede Funktion f(x) in L²[a,b] ist so darstellbar. Insbs. kann man die Fourier-Koeffizienten bzgl. dieser Basis auch eindeutig berechnen:
Man schreibt in derartigen Fällen in der Quantenmechanik oft abstrakt
wobei aus dieser Notation noch nicht hervorgeht, welchen konkreten Raum und welche konkrete Basis man meint; das muss explizit dazugesagt werden.
Zum Abschluss noch eine zentrale Aussage, der sogenannte Spektralsatz:
Die Eigenfunktionen eines selbstadjungierter Operator bilden vollständiges Orthonormalsystem. D.h. die Lösungen der Schrödingergleichung beschreiben den jeweiligen Raum vollständig! Und man kann bzgl. derartiger Orthonormalsysteme ähnlich wie mit endlichdimensionalen Vektoren bzw. einer gewöhnlichen Basis rechnen (es gibt Subtilitäten, die wir aber an dieser Stelle nicht betrachten müssen)
Man kann damit zwei grundlegende mathematische Konstrukte für die Quantenmechanik postulieren:
- ein separabler Hilbertraum
- ein selbstadjungierter Hamiltonoperator
Diese beiden Objekte definieren ein Quantensystem eindeutig!