QM-Frage-Antwort

Beitrag von **breaker** » 31. Jan 2010, 10:58

Geht so, ist halt zum Großteil völliges Neuland.
Der eigentliche Grund, warum ich nicht schreibe, ist, dass ich bald Klausuren schreibe und wenig zeit hab.

Aber SU(N)-Symmetrie klingt interessant, mach mal weiter

Beitrag von **tomS** » 31. Jan 2010, 13:43

Ein einfaches Beispiel der SU(N) Symmetrie ist die SU(2). In dem Fall entsprechen die Generatoren

$t^a = \sigma^a / 2$

den Paulimatrizen (dividiert durch 2). Du kannst also alles explizit mit den Paulimatrizen nachrechnen. Im Allgemeinen gilt für die Generatoren der SU(N) eine Beziehung der FOrm

$[t^a, t^b] = if^{abc} t^c$

Die f's heißen Strukturkonstanten der Algebra su(N) und entsprechen für N=2 dem Epsilon-Symbol

$\epsilon^{abc}$

mit

$\epsilon^{123} = 1$

symmetrische bzw. anstisymmetrische Permutationen ergeben +1 bzw. -1.

Die Generatoren

$t^a$

sind hermitesche N*N Matrizen; der Index a läuft über

$a = 1 \dots N^2-1$

Letzteres entspricht der Dimension der Gruppe (und der Anzahl der "Drehwinkel"), während N der Dimension des Vektorraumes entspricht. Nun führen wir noch einen weiteren Generator

$t^0 = 1$

ein, d.h. die N*N Einheitsmatrix. Sie erzeugt die U(1) in einer N-dimensionalen Darstellung; wir vervollständigen somit die SU(N) zur SU(N)*U(1) = U(N).

Nun betrachten wir die Erzeuger und Vernichter des harmonischen Osszillator in N Dimensionen, also

$a^\dagger_i, \, a_i$

mit

$i = 1 \dots N$

Nun definieren wir die "Ladungen"

$Q^a = a^\dagger t^a a = a^\dagger_i (t^a)_{ik} a_k$

mit einer Summe über die Indizes i und k.

---------------------------------------

So, das waren die Vorbereitungen.

Nun solltest du mal versuchen, die Kommutatoren

$[Q^a, Q^b]$

und

$[Q^a, Q^0]$

auszurechnen. Außerdem solltest du dir überlegen, was denn eigentlich diese Ladung für a=0 bedeutet.

Zur Rechnung benötigst du nur die Kommutatorrelationen für die Erzeuger und Vernichter untereinander sowie für die Generatioren der SU(N).

Beitrag von **tomS** » 6. Feb 2010, 10:10

na, wie sieht's aus?

Beitrag von **breaker** » 6. Feb 2010, 19:27

Es sieht so aus, dass ich seit heit morgen meine Analysis3-Klausur hinter mir hab' und deshalb bald wieder viel Zeit für hier hab'

Beitrag von **tomS** » 7. Feb 2010, 01:53

Analysis 3 war bei mir hauptsächlich Vektoranalysis und mehrdimensionale Integration

Beitrag von **breaker** » 7. Feb 2010, 14:42

Ja, bei uns auch... Mannigfaltigkeiten, Differentialformen und Lebesgue-Theorie.

Beitrag von **breaker** » 10. Feb 2010, 14:03

So...
Es gilt offensichtlich $Q^0=N$ , das ist leicht, aber beim Rest hab' ich das Problem, dass ich eigentlich überhaupt keine Rechenregeln kenne.
Ich verstehe den mathematischen Zusammenhang überhaupt nicht. Bisher waren $a$ und $a^\dagger$ Operatoren auf einem Hilbertraum, d.h. sie haben einer Funktion (oder meinetwegen einem Ket) eine andere Funktion zugeordnet.
Jetzt ignorieren wir plötzlich Bra's und Kets und wenden die a's auf Matrizen aus der U(2) an...
Erste Frage: Was haben die Matrizen mit der Physik des harmonischen Oszillators zu tun? Gut, sie beschreiben meinetwegen Drehungen, aber das erklärt nicht, warum ich ein a auf ein t[up]a[/up] anwenden kann.
Zweite Frage: Welche Rechenregeln ergeben sich daraus für die Hintereinanderausführung von a unt t[up]a[/up]?

Wenn ich das weiß, sollte es kein Problem sein, die [Q[up]a[/up],Q[up]b[/up]] auszurechnen. Wenn man es ausschreibt, hat man da stehen:
$[Q^a,Q^b]=(a^\dagger_i(t^\alpha)_{ik} a_k)(a^\dagger_j(t^\beta)_{jl}a_l)-(a^\dagger_j(t^\beta)_{jl}a_l)(a^\dagger_i(t^\alpha)_{ik} a_k)$
Und damit kann ich nix anfangen, solange ich nicht weiß, was ich wie vertauschen darf.

Beitrag von **tomS** » 10. Feb 2010, 14:39

Zunächst gelten die Vertauschungsrelationen

$[a_i, a_k] = [a^\dagger_i, a^\dagger_k] = [a_i, a^\dagger_k] = 0; i \neq k$

Für gleiche Indizes gelten die normalen Kommutatorrelationen

$[a_i, a_i] = [a^\dagger_i, a^\dagger_i] = 0$
$[a_i, a^\dagger_i] = 1$

man schreibt letzteres auch als

$[a_i, a^\dagger_k] = \delta_{ik}$

Nun musst von den jeweils vier Operatoren (je Summand) zwei über den Kommutator zum Verschwinden bringen. Dazu verwendest du die Regel

$[A, BC] = [A,B]C + B[A,C]$

Die Gültigkeit dieser Regel erkennt man, in dem man formal die linke und die rechte Seite ausschreibt

$[A, BC] = ABC - BCA$
$[A,B]C + B[A,C] = ABC - BAC + BAC - BCA = ABC - BCA$

Die linke Seite mit dem Operator BC (bei dir wäre das ein Term mit Operatoren a usw) kannst du nicht direkt berechnen. Aber auf der rechten Seite hast du einen Kommutator mit elementaren Operatoren a usw und das kannst du berechnen. Eine analoge Regel gilt auch für den Kommutator [AB,C]. Wenn du die Regel zum erstenmal anwendest, reduzierst du die Anzahl der Operatoren von vier auf drei, beim zweiten mal noch auf zwei, und jetzt kannst du wieder zusammenfassen ...

Beitrag von **tomS** » 10. Feb 2010, 23:48

breaker hat geschrieben:Jetzt ignorieren wir plötzlich Bra's und Kets und wenden die a's auf Matrizen aus der U(2) an...

Nein, wir wenden sie nicht auf diese Matrizen an, sondern wir konstruieren Bilinearkombinationen mittels der u(2) Matrizen

breaker hat geschrieben:Erste Frage: Was haben die Matrizen mit der Physik des harmonischen Oszillators zu tun?

Nichts! Die Bilinearkombinationen haben keinen anderen Stellenwert als der Operator N; der kommt dir doch auch nicht komisch vor, oder?

Beitrag von **breaker** » 11. Feb 2010, 23:14

Ok, nochmal zum grundsätzlichen Verständnis:
So wie ich das jetzt gerade sehe, sind sowohl Erzeuger, Vernichter und Co. UND die Paulimatrizen (bzw. die U(2)) alle Operatoren und wenn man a t[up]a[/up] schreibt, meint man nicht "a auf t[up]a[/up] anwenden", sondern "Hintereinanderausführung von t[up]a[/up] und a".
Richtig?

Beitrag von **tomS** » 11. Feb 2010, 23:28

Nein. Ein Erzeuger a ist ein Operator, der auf einen Ket wirkt. Das gilt auch für den Operator a[down]i[/down], nur dass i eben für eine Dimension i=1..Dim steht. Dagegen sind die t[up]a[/up] Matrizen, d.h. Sammlungen von Zahlen. (t[up]a[/up])[down]ik[/down] sind dagegen einfach Zahlen!

Betrachten wir das Beispiel (t[up]a[/up])[down]ik[/down]a[down]k[/down]

Wählen wir für die SU(2) die Pauli-Matrix a=3 mit den Diagonalelementen diag(1, -1). Dann liefert

(t[up]a[/up])[down]ik[/down]a[down]k[/down]

für i=1

(t[up]3[/up])[down]11[/down]a[down]1[/down] = a[down]1[/down]

und für i=2

(t[up]3[/up])[down]22[/down]a[down]2[/down] = -a[down]2[/down]

D.h. Man summiert über alle Elemente der Matrix a (die meisten sind gleich Null) und betrachtet jedes einzelne Element einfach als Zahl. Insgs, erhält man also eine Bilinearform der Erzeuger und Vernichter. Am Beispiel von a=0 hast du das Ergebnis ja schon dastehen: t[up]0[/up] hat auf der Hauptdiagonale, d.h. für i=k immer den Eintrag 1, d.h. Q[up]0[/up] ist lediglich die Siumme der Teilchenzahloperatoren je Dimension, d.h.

Q[up]0[/up] = N = N[down]1[/down] + N[down]2[/down] + ... N[down]Dim[/down]

Beitrag von **breaker** » 12. Feb 2010, 13:12

So, jetzt aber:
$[Q^a,Q^b]=(a^\dagger_i(t^\alpha)_{ik} a_k)(a^\dagger_j(t^\beta)_{jl}a_l)-(a^\dagger_j(t^\beta)_{jl}a_l)(a^\dagger_i(t^\alpha)_{ik} a_k)$
Soweit waren wir. Da die t's Zahlen sind, kommutieren sie, und man kann schreiben:
$=(t^\alpha)_{ik}(t^\beta)_{jl}a^\dagger_i a_ka^\dagger_ja_l-(t^\beta)_{jl}(t^\alpha)_{ik}a^\dagger_ja_la^\dagger_i a_k$
$=(t^\alpha)_{ik}(t^\beta)_{jl}\left[a_i^\dagger a_k\, ,\,a_j^\dagger a_l\right]$
Wegen [A,BC]=[A,B]C+B[A,C] wird das zu:
$=(t^\alpha)_{ik}(t^\beta)_{jl}\left( [a_i^\dagger a_k\, ,\,a_j^\dagger]+a_j^\dagger[a_i^\dagger a_k\, ,\,a_l]\right)$
Andererseits gilt auch [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B.
$=(t^\alpha)_{ik}(t^\beta)_{jl}\left( \left(a_i^\dagger [a_k\, ,\,a_j^\dagger]+[a_i^\dagger\, ,\,a_j^\dagger]a_k\right)a_l+a_j^\dagger\left(a_i^\dagger [a_k\, ,\,a_l]+[a_i^\dagger\, ,\,a_l]a_k\right)\right)$
Wegen den Kommutatorrelationen ist der zerite Term in der ersten Klammer und der erste Term in der zweiten Klammer Null und der Rest wird zu:
$=(t^\alpha)_{ik}(t^\beta)_{jl}\left(a_i^\dagger\delta_{kj}\,a_l-a_j^\dagger\delta_{il}\,a_k \right)$
$=(t^\alpha)_{ij}(t^\beta)_{jl}a_i^\dagger a_l-(t^\alpha)_{ij}(t^\beta)_{ki}a_j^\dagger a_k$
Kurze Umbenennung zeigt, dass hier zwei unabhängige Summen stehen:
$=a_i^\dagger T_{il} a_l - a_j^\dagger \tilde T_{jk} a_k$
Deshalb kann man dies auch schreiben als:
$a^\dagger t^\alpha t^\beta a-a^\dagger t^\beta t^\alpha a$

$=a^\dagger [t^\alpha,t^\beta]a$

$=a^\dagger i\varepsilon^{\alpha\beta\gamma}t^\gamma a$

$=i\varepsilon^{\alpha\beta\gamma}a^\dagger t^\gamma a$

$=i\varepsilon^{\alpha\beta\gamma}Q^\gamma$

So in der Art?

Beitrag von **tomS** » 12. Feb 2010, 14:22

Ja!

Lass uns das mal zusammenfassen: Du startest mit der su(n) Lie-Algebra mit den Generatoren und ihrer Algebra

$[t^a, t^b] = if^{abc}t^c$

Dann definierst du die Ladungsoperatoren und findest identisch die selbe Algebra:

$[Q^a, Q^b] = if^{abc}Q^c$

Der wesentliche Unterschied ist, dass die algebraischen Generatoren auf einem n-dimensionalen Vektorraum wirken, während die Ladungsoperatoren auf dem Hilbertraum operieren. D.h. du hast eine quantenmechanische Darstellung der su(n) im Hilbertraum konstruiert.

----------------------------------

Für die U(n) = U(1)*SU(n) gilt

$H = N +\frac{n}{2} = Q^0 + \frac{n}{2}$

Nun vertauschen aber die Ladungen mit N, also H, d.h. es handelt sich um Erhaltungsgrößen. Zählt man diese Ladungen, so findet man dim SU(n) = n²-1, d.h. es existiert eine extrem große Symmetriegruppe auf dem Hilbertraum. Symmetrie bedeutet dabei, dass die SU(n) Rotationen mit H vertauschen, dass also ein Eigenzustand zu H wieder in einen Eigenzustand überführt wird:

$H|n_1, n_2, \ldots\rangle = E(n_1, n_2, \ldots) |n_1, n_2, \ldots\rangle = (n_1 + n_2 + \ldots n_n + \frac{n}{2}) |n_1, n_2, \ldots\rangle$

$|n_1, n_2, \ldots\rangle^\prime = e^{i\phi^a Q^a} |n_1, n_2, \ldots\rangle$

$H|n_1, n_2, \ldots\rangle^\prime = E(n_1, n_2, \ldots) |n_1, n_2, \ldots\rangle ^\prime$

Der SU(N) Rotationsoperator ist dabei letztlich einer SU(N) Drehmatrix äquivalent; wieder findet man eine Entsprechung der Strukturen der SU(n) Gruppe (als Matrixgruppe) und den Operatoren.

----------------------------------

Man kann nun außerdem den Hilbertraum in Darstellungen der SU(n) zerlegen. Betrachten wir als Beispiel die SU(2) ~ SO(3). Statt dass man die Teilchenzahlen "je Dimension" in einen Ket schreibt (so wie ich das oben getan habe), schreibt man die Drehimpulse auf; es gibt also eine Entsprechung

$|n_1, n_2, n_3\rangle \to |N = n_1+n_2+n_3,l, l_3\rangle$

Das ist einfach eine andere Basis, nur dass man sofort die l-Darstellung der SU(2) ~ SO(3), also den Drehimpuls l sowie m=l[down]3[/down] sieht. Ich habe eine dritte Zahl reinbasteln müssen, nämlich die Gesamtteilchenzahl; also reden wir eigentlich wieder über die U(2) - egal.

Das kann man nun für die SU(n) allgemein durchführen; aus der SU(2) Darstellung

$|l, l_3\rangle$

wird dann

$|l, l^\prime, l_3, l_8, ...\rangle$

Die Numerierung ist etwas willkürlich; man hat sich eben darauf geeinigt, dass man in der SU(3) die achte Matrix nimmt.

Was bedeutet das nun? Neben dem Drehimpuls l und der der m-Quantenzahl existieren weitere Quantenzahlen, die den Zustand weiter beschreiben. Betrachtet man die Generatoren, so sind dies immer die Eigenwerte der diagonalen Generatoren, bei der SU(2) also der dritten Pauli-Matrix; SU(2) mit l=1/2 entspricht m=-1/2 und m=+1/2. Bei der SU(3) nennt man die Matrizen Gell-Mann-Matrizen, die zweite Diagonalmatrix ist die achte. Wieviele derartige Quantenzahlen gibt es? Für die SU(n) ist die Anzahl der diagonalen Matrizen = die Anzahl der weiteren Quantenzahlen n-1; man nennt dies den Rang der Gruppe SU(n)

$\text{rang} SU(n) = n-1$

Die Gesamtzahl der Generatoren ist dagegen die Dimension, also

$\text{dim} SU(n) = n^2-1$

----------------------------------

Was ist nun eigentlich der Witz an dieser Symmetrie?

Der Witz ist, dass sie nicht aus der Lagrangedichte d.h. nicht über das Noethertheorem ableitbar ist!

Betrachten wir den n-dimensionalen harmonischen Oszillator. Er hat offensichtlich eine Rotationssymmetrie im n-dimensionalen Raum, das ist die SO(n); diese hat die Dimension

$\text{dim} SO(n) = \frac{1}{2}n(n-1)$

Wir haben hier aber eine „dynamische“ Symmetrie, die über die Erzeuger und Vernichter Orte und Impulse „mischt“. Deren Dimension ist wesentlich größer, nämlich

$\text{dim} SU(n) = n^2-1$

Die dynamische Symmetrie liegt letztlich darin begründet, dass kinetische Energie und Potential strukturell zueinander "passen", d.h. dass beide mit ^2 in die Lagrangedichte (und damit in den Hamiltonoperator) eingehen. D.h. dass nicht jede Theorie in n Dimensionen diese Symmetrie "hat", aber eine Klassifizierung erscheint dennoch sinnvoll.

Beitrag von **breaker** » 12. Feb 2010, 20:30

Oh gott, das hört sich unglaublich kompliziert an (aber auch unglaublich cool)...
Ich fang mal vorne an mit fragen:
Die t[up]a[/up] waren vorher die Generatoren der Gruppe SU(N), jetzt hast Du damit die Elemente der Lie-Algebra su(N) bezeichnet. Wann braucht man genau die Gruppe und wann die Algebra und was beschrieben ihre Elemente?

Beitrag von **tomS** » 13. Feb 2010, 09:47

Die Generatoren der Gruppe treten immer mit den "Drehwinkeln" im Exponenten auf. Die Gruppe benötigt man, wenn man etwas tatsächlich transformieren ("drehen") will. Man erhält die Generatoren formal, in dem man ein Gruppenelement "in der Umgebung der Eins" nach den Parametern ableitet. Das sieht man sofort, wenn man die e-Funktion bis zur ersten Ordnung in den Parametern in eine Taylorreihe entwickelt. Die Generatoren der Gruppe und die Matrizen als Basis der Algebra sind identisch, d.h. die Algebra ist die lokale Version der Gruppe; die Algebra ist ein Vektorraum mit den Generatoren als Basisvektoren, die Gruppe ist dagegen eine tolopologische Mannigfaltigkeit mit den Parametern als Koordinaten.

Die Klassifizierung der Gruppe erfolgt häufiug über ihre Darstellungen. Im Falle der SU(2) werden diese Darstellungen mit einer Zahl l = 0, 1/2, 1, 3/2, ... bezeichnet; diese erhält man als Eigenwert des sogenannten ersten Casimiroperators, in unserem Falle ist dies der Drehimpulsoperator L², der nicht direkt auf l sondern auf l(l+1) führt. Gruppen höheren Rangs haben mehr Casimiroperatoren. Man kann also in der QM den Hilbertraum in Unterräume zerlegen, wobei jeder Unterraum durch das Label l gekennzeichnet wird. Außerdem erhält man noch die Dimension des Unterraums, in Fall der SU(2) ist das 2l+1, gemäß der erlaubten m-Werte m=-l, m=-l+1, ... m=+l. Auch dies fiunktioniert für höhere Gruppen, allerdings wird die Unterraumstruktur komplizierter.

Im Falle der SU(2) hat man eine lokale Abbildung auf die SO(3), d.h. man schreibt

so(3) = su(2)
SO(3) = SU(2) / Z[down]2[/down]

D.h. dass die Algebra tatsächlich identisch ist, dass die SU(2) aber "doppelt so groß" ist wie die SO(3), d.h.man hat eine zwei-zu-eins Abbildung von der SU(2) auf die SO(3). Die SU(2) liefert deswegen zusätzlich noch die halbzahligen Spinordarstellungen.

Lies doch etwas dazu durch: viewtopic.php?f=55&t=1061

Beitrag von **tomS** » 14. Feb 2010, 09:50

Für die SU(3) kann man viele Eigenschaften des "naiven Quarkmodells" - d.h. SU(3)[down]Flavor[/down] noch ohne Color - verstehen. Die erste Quantenzahl - noch aus der SU(2) - ist der Isospin, die zweite die Strangeness.

Alexander · Beitrag von **Alexander** » 17. Okt 2011, 16:59

Ich habe mal eine Frage zu dem, was man in der Quantenmechanik Ortsoperator nennt.

Schon des Öfteren haben ich nun gelesen, dass dieser als selbstadjungierter Operator dargestellt wird. Zwar ich nun zu wissen, was selbstadjungiert bedeutet, aber ich bekomme den Bezug zum Ortsoperator nicht ganz. Können wir diesen Operator hier mal besprechen?

Beitrag von **tomS** » 17. Okt 2011, 20:08

Ein Operator ist zunächst mal nur die unendlich-dimensionale Verallgemeinerun einer endlich-dimensionalen Matrix. Einen selbstadjungierten Operator benötigt man, wenn man eine Observable beschreiben möchet, denn für diese müssen zwingend reellwertige Eigenwerte vorliegen. Im Falle von unendlich-dimensionalen Hilberträumen (anstelle endlich-dimensionaler Vektorräume) kommt erschwerend hinzu, dass der Definitonsbereich ("= Spaltenvektor") eines Operators ("= Matrix") nicht unbedingt mit dem Definitonsbereich ("= Zeilenvektor") des adjungierten Operators ("= transponierter & komplex konjugierter Matrix") übereinstimmen muss. Im Falle eines selbstadjungierten Operators ist auch das der Fall.

Soweit klar?

Alexander · Beitrag von **Alexander** » 17. Okt 2011, 21:45

Also ist ein adjungierter Operator die Transponierte einer Matrix? Und beim selbstadjungierten Operator sind sowohl Spalten als auch Zeilen identisch, und diese Identität ergibt sich durch identischen Definitionsbereich?

Vielleicht könntest du noch eine Bemerkung machen, warum man so gerne Hilberträume für Formalismen, also auch hier, benutzt?

Ansonsten ist alles klar.

Beitrag von **tomS** » 17. Okt 2011, 22:49

Ein adjungierter Operator ist die unendlich-dimensionale Verallgemeinerung der Transponierten einer Matrix. Und beim selbstadjungierten Operator sind nicht Spalten als auch Zeilen identisch, sondern (im Bild der Matrix) die adjungierte Matrix ist mit der Matrix identisch, d.h. bei komplexen Einträgen gilt

${A^\ast}^t = A$

Dabei steht das * für die komplexe Konjugation, das t für die Transposition, also die Spiegelung der Matrix an der Hauptdiagonalen.

In Komponenten:

${a_{ki}^\ast = a_{ik}$

und diese Identität ergibt sich nicht durch identischen Definitionsbereich; im endlichdimensioanen Fall der Matrix sind Definitionsbereich des adjugierten Operators und des ursprünglichen Operators identisch (das ist so trivial, das man gar nicht sieht, wo das Problem sein soll). Im unendlich-dimensionalen Fall ist es dagegen wiederum so kompliziert, dass ich es hier gerne weglassen würde ...

Alexander · Beitrag von **Alexander** » 17. Okt 2011, 23:06

OK, dann ist es bisher klar.

Beitrag von **tomS** » 18. Okt 2011, 01:19

OK, warum also Hilberträume.

Man stößt auf sie bei der Untersuchung von Differentialgleichungen; Lösungen eines selbstadjungierten Differentialoperators bilden i.A. ein vollständiges Orthonormalsystem, d.h. man kann sie als Basisvektoren in einem unendlich-dimensionalen Vektorraum betrachten.

Bsp.: der Operator

$-i \partial/\partial x$

hat die 'Eigenvektoren' = Eigenfunktionen

$u_k(x) = e^{ikx}$

mit den Eigenwerten k, d.h.

$\left(-i \partial/\partial x - k\right)u_k(x) = 0$

Beschränkt man x auf das Intervall [0,L] bzw. fordert Periodizität

$u_k(x+L) = u_k(x)$

also

$e^{ikL} = 1$

so gilt dies nur unter der Bedingung, dass

$kL = 2n\pi$

und das bedeutet wiederum

$k_n = 2n\pi / Lx$

D.h. die Werte für k sind diskret.

Man kann nun jede periodische Funktion f(x) auf dem Intervall [0,L] als Fourierreihe darstellen:

$f(x) = \sum_n f_n u_n(x)$

In diesem Sinne stellen die Funktionen u[down]n[/down] die Basisvektoren, die Koeffizienten f[down]n[/down] die Komponenten des 'Vektors' f dar.

Tatsächlich spricht man hier von dem Hilbertraum L²[0,L]; zur Bedeutung des L² später mehr.

Hilberträume sind die einfachsten Verallgemeinerungen von endlichdimensionalen Vektorräumen, da die meisten (aber nicht alle!) Eigenschaften erhalten bleiben, insbs. gibt es ein Skalarprodukt von Vektoren (dazu später mehr) sowie eine Norm = eine Länge eines Vektors (die aus dem Skalarprodukt abgeleitet werden kann). In der Quantenmechanik interessieren speziell sogenannte separable Hilberträume. Die genaue Definiton ist unwichtig, wichtig ist nur, dass dies in einer geeigneten Darstellung bedeutet, dass immer eine diskrete Summe über eine diskrete (aber unendliche) Menge an Basisvektoren existiert. Dies muss für allgemeinere Hilberträume nicht zwingend der Fall sein. Es gibt allgemeiner Funktionenräume (Banachräume, Gelfand-Triples, ... - siehe Funktionalanalysis)

Man kann die Fouriertransformation (schau dazu mal in die Wikipedia) auch invertieren, d.h. aus einer beliebigen Funktion f(x) die Koeffizienten f[down]n[/down] bzgl. der o.g. Basis u[down]n[/down](x) konstruieren. Damit hat man eine eins-zu-eins Beziehung zwischen den Funktionen f(x) und den Koeffizienten f[down]n[/down]. Und damit sieht man sofort, dass es zwei äquivalente (der Mathematiker soricht von isomorphen) Hilberträumen gibt, nämlich den L²[0,L] sowie den l²; der l² ist ein spezieller Folgenraum und besteht aus den unendlich-dimensionalen Vektoren (f[down]n[/down]).

Damit kann man jedes Problem, das man mittels Funktionen f(x) auf [0,L] beschrieben kann, auch mittels der Vektoren (f[down]n[/down]) in l² formulieren. Insbs. kann man auch den o.g. Operator -i d/dx auf eine unendlich-dimensionale Matrix im l² abbilden. Das sieht man wie folgt: der Operator

$-i \partial/\partial x$

bildet eine beliebige Funktion f(x) auf -if'(x) ab.

Angewandt auf die Summendarstellung gilt

$-i \partial/\partial x f(x) -if'(x) = \sum_n f_n (-i \partial/\partial x) u_n(x) \sum_n (-inf_n) u_n(x)$

D.h. aber dass der entsprechende Operator im Raum l² einfach durch eine unendlich-dimensionale Matrix mit den Diagonaleinträgen (0, -i, -2i, -3i, ...) dargestellt wird!

In der Quantenmechanik spielen im wesentlichen selbstadjungierte Operatoren (oder weniger restriktiv symmetrische Operatoren - im endlich-dimensionalen Fall ist das das selbe) sowie unitäre Operatoren eine Rolle. Letztere sind Operatoren, die die Norm = Länge eines Vektors invariant lassen, also unendlich-dimensionale Verallgemeinerungen von Drehungen.

Wenn das soweit klar ist, dann können wir beim nächstenmal Norm, Skalarprodukt usw. für L² und l² definieren.

Alexander · Beitrag von **Alexander** » 18. Okt 2011, 18:30

tomS hat geschrieben: Bsp.: der Operator

$-i \partial/\partial x$

hat die 'Eigenvektoren' = Eigenfunktionen

$u_k(x) = e^{ikx}$

Warum schreibt man die Eigenfunktionen als e-Funktion? Und warum kommen hier komplexe Zahlen vor?

Beitrag von **tomS** » 18. Okt 2011, 20:42

Zunächst musst du mir glauben, dass es sinnvoll ist, den Operator

$-i \partial/\partial x$

zu untersuchen, weil der eben selbstadjungiert ist, aber das kommt später.

Die Eigenfunktionen "schreibt man nicht als e-Funktion", sondern die Eigenfunktion ist eine Lösung der Eigenwertgleichung

$(-i \partial/\partial x - k)\,u_k(x) = 0$

Diese Gleichung besagt, dass der Operator angewandt auf die Funktion diese bis auf eine Konstante k unverändert lässt. Wir prüfen das nach:

$(-i \partial/\partial x - k)\,e^{ikx} = -i \partial/\partial x \, e^{ikx} - k\,e^{ikx} = -i (ikx)\,e^{ikx} - k\,e^{ikx} = (k-k)\,e^{ikx} = 0$

Warum kommen komplexe Zahlen vor? Nun, du hast recht, man könnte auch den Operator

$\partial/\partial x$

mit der Eigenwertgleichung

$(\partial/\partial x - \lambda)\,u_\lambda(x) = 0$

und der Lösung

$u_k\lambda(x) = e^{\lambda x}$

untersuchen. Die komplexe e-Funktion lässt sich auch schreiben als

$e^{ikx} = \cos(kx) +i\,\sin(kx)$

und dies entspricht einer Schwingung. In unserem speziellen Fall ist genau dies genau die Schwingung eines freien Teilchens, eine sogenannte Materiewelle. Außerdem ist der von mir gewählte Operator eben selbstadjungiert, der reelle dagegen nicht.

Beitrag von **rick** » 18. Okt 2011, 21:33

Hey Tom, nur ein kleiner Vorschlag von meiner Seite : Da wir hier alles in 1-D betrachten kannst du doch die partiellen Ableitungen weglassen und normale nehmen, dann wird die ganze Sache vielleicht ein bisschen übersichtlicher.

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