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QM-Frage-Antwort

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 15. Jan 2014, 22:06

Meine fehlende Mathematik-Ausbildung wieder mal :cry: : Lässt sich jede Lösung der Schrödingergleichung und auch die der anderen Bewegungsgleichungen der QM/QFT durch ebene Wellen ausdrücken? Auch die gebundener Zustände, unter Berücksichtigung der Potentiale natürlich?

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 16. Jan 2014, 10:11

positronium hat geschrieben:Meine fehlende Mathematik-Ausbildung wieder mal :cry: : Lässt sich jede Lösung der Schrödingergleichung und auch die der anderen Bewegungsgleichungen der QM/QFT durch ebene Wellen ausdrücken? Auch die gebundener Zustände, unter Berücksichtigung der Potentiale natürlich?
Mathematisch gesehen im Prinzip ja: per Fourier-Analyse lässt sich jede Funktion in ein kontinuierliches Spektrum ebener Wellen zerlegen, z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation
In der Physik sind ebene Wellen die Energie-Eigenzustände zu freien Teilchen; bei gebundenen Problemen z.B. empfehlen sie sich nicht wirklich als Basisvektoren.
Bei Streuproblemen sind sie auch sehr nützlich: man approximiert die ein- und auslaufenden Teilchen in großer Entfernung von Streuzentrum als ebene Wellen.

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 16. Jan 2014, 11:40

Vielen Dank für Deine Antwort!
Hawkwind hat geschrieben:...bei gebundenen Problemen z.B. empfehlen sie sich nicht wirklich als Basisvektoren.
Dass man Atomorbitale in Radial- und Kugelflächenfunktionen zerlegt statt eine Überlagerung ebener Wellen zu verwenden ist also rein durch rechentechnisch praktischeres Vorgehen begründet?
Müsste man demnach zur Darstellung durch ebene Wellen so vorgehen, dass man (stehende) Ebene Wellen aus allen Raumrichtungen additiv überlagert, durch das Potential gewichtet und normiert?

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 16. Jan 2014, 12:46

positronium hat geschrieben:Vielen Dank für Deine Antwort!
Hawkwind hat geschrieben:...bei gebundenen Problemen z.B. empfehlen sie sich nicht wirklich als Basisvektoren.
Dass man Atomorbitale in Radial- und Kugelflächenfunktionen zerlegt statt eine Überlagerung ebener Wellen zu verwenden ist also rein durch rechentechnisch praktischeres Vorgehen begründet?
Man löst ein Eigenwertproblem, sucht Eigenfunktionen und v.a. Eigenwerte des Hamilton-Operators. Diese Eigenfunktionen haben eine scharfe Energie (eben die Eigenwerte). Beim Wasserstoffatom ergeben sich als Eigenfunktionen die von dir geschilderten Funktionen. Sie dienen als Basis-Zustände für die Erzeugung allgemeiner Lösungen desselben Problems via Linearkombination über diese Basiszustände; diese allgemeinen Lösungen haben dann i.a. keine scharfen Energien mehr.

Ebene Wellen ergeben sich nicht als Lösungen des Wasserstoffatom-Problems, aber man könnte die gefundenen Eigenfunktionen als Fourierintegrale darstellen. Ich wüsste nur spontan nicht, wozu man so etwas machen sollte.

positronium hat geschrieben: Müsste man demnach zur Darstellung durch ebene Wellen so vorgehen, dass man (stehende) Ebene Wellen aus allen Raumrichtungen additiv überlagert, durch das Potential gewichtet und normiert?
Denke nicht, du müsstet "einfach" die Fourier-Integrale lösen, d.h.

Bild

das natürlich in 3 Dimensionen und für f(x) die gefunden Lösungen des Wasserstoffatom-problems einsetzen (die Eigenfunktionen). Dann bekämst du pro Eigenfunktion deren spektrale (kontinuierliche) Zerlegung in ebene Wellen.

___
Formel geborgt aus http://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 16. Jan 2014, 13:57

Hawkwind hat geschrieben:Ebene Wellen ergeben sich nicht als Lösungen des Wasserstoffatom-Problems, aber man könnte die gefundenen Eigenfunktionen als Fourierintegrale darstellen. Ich wüsste nur spontan nicht, wozu man so etwas machen sollte.
Es geht mir darum, die Schrödingergleichung zu verstehen, und sie nicht nur hinzunehmen und zu berechnen. Die SG ist ja schliesslich nur eine Bewegungsgleichung, aber für was bzw. genauer: welche Eigenschaften hat dieses "Objekt", auf welches sie wirkt? Und um die Fragestellung zu vertiefen: Wie viel der SG gehört in Wirklichkeit sogar noch zu diesem "Objekt"?
Beim freien Teilchen liegt als reales Objekt in etwa so etwas wie eine Überlagerung ebener Wellen vor. Jetzt ist meine Vermutung, dass das auch beim gebundenen Zustand ohne grossartige Änderungen der Fall sein sollte (beim harmonischen Oszillator ohne Drehimpuls ist das ja auch so); es müsste also Forderungen an das Objekt geben, welche dieses einerseits im Potential zu dem macht, was die Orbitale liefert, und andererseits im freien Fall vom freien Wellenpaket ununterscheidbar lässt. Eine Eigenschaft ist natürlich, dass die Zustände stationär sein müssen. Vielleicht ist das der einzige wirkliche Unterschied.

Um das zu verstehen ist es eben nicht ausreichend die "normale" Lösung des Wasserstoffproblems zu betrachten, sondern die Grundlagen zu erkennen. Von daher meine Frage, ob sich jeder Zustand prinzipiell durch ebene Wellen beschreiben lässt. Du schreibst ja, aber das ist wohl zu kompliziert. Ich dachte halt ganz naiv: Nehme ich ein freies Wellenpaket, nagele das in der Mitte fest und schaue, dass die Teilwellen aussen nicht zappeln. Eigentlich müssten doch die Zustände ohne Drehimpuls so darstellbar sein. Aber der Drehimpuls macht das wohl schwierig.

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 16. Jan 2014, 14:34

Nur hierzu:
positronium hat geschrieben: ...
Beim freien Teilchen liegt als reales Objekt in etwa so etwas wie eine Überlagerung ebener Wellen vor. Jetzt ist meine Vermutung, dass das auch beim gebundenen Zustand ohne grossartige Änderungen der Fall sein sollte (beim harmonischen Oszillator ohne Drehimpuls ist das ja auch so);
Nein, die Eigenzustände beim harmonischen Oszillator in der Quantenmechanik sind keine ebenen Wellen:

Bild

aus
http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonisch ... echanik%29

und auch nicht leicht in ebene Wellen zerlegbar (höchstens über das ewrähnte Fourier-Integral).

Du verwechselst das vielleicht mit dem Kasten-Potential-Problem der Quantenmechanik (http://de.wikipedia.org/wiki/Kastenpotential); dort sind die Lösungen stehende Wellen, die man ja als Überlagerung 2er in entgegengesetzten Richtungen propagierenden ebenen Wellen darstellen kann.

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 16. Jan 2014, 15:52

Hawkwind hat geschrieben:Nein, die Eigenzustände beim harmonischen Oszillator in der Quantenmechanik sind keine ebenen Wellen:
Oh, ja. Danke.

Der Unterschied dieser Funktion im Vergleich zur ebenen Welle sollte aber nur durch die Potentialfunktion und die Stationärität entstehen...

Dann sollte ich meine Eingangsfrage anders formulieren: Kann man jede Lösung der SG etc. durch Funktionen f darstellen? Eine mathematisch korrekte Bezeichnung für das, was ich mir unter f vorstelle, kenne ich nicht; ich meine damit schwingende Funktionen, die "geradlinig" verlaufen. Mit geradlinig meine ich, dass die Wellenmaxima bei konstantem Potential stets die gleichen Abstände haben und in der gleichen Richtung liegen - bei den Kugelflächenfunktionen ist ja das nicht der Fall.

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 16. Jan 2014, 19:31

Ja, kann man.

Die SGL ist auf dem Abschluss des Hilbertraumes der quadratintegrablen Funktionen definiert, d.h. jede Lösung ist eine geeignete Funktion von x und t.
Gruß
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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 16. Jan 2014, 19:59

Vielen Dank für Deine Antwort!

Bis zu
tomS hat geschrieben:Ja, kann man.
verstehe ich das, aber ab hier nicht mehr so recht. ;-)
tomS hat geschrieben:Die SGL ist auf dem Abschluss des Hilbertraumes der quadratintegrablen Funktionen definiert, d.h. jede Lösung ist eine geeignete Funktion von x und t.
Bedeutet das "Abschluss", dass jedes Ergebnis aus nur von einer räumlichen Koordinate abhängigen Funktionen (also, x steht nur für x, nicht für {x,y,z}) zusammengesetzt ist? - Das würde ja dem "geradlinig" entsprechen.

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 16. Jan 2014, 20:32

Quadratintegrabel bedeutet, dass das Integral



existiert.

Für ebene Wellen existiert dieses Integral nicht, allerdings kann man diese als Grenzübergang aus quadratintegrablen Funktionen ableiten. Dies nennt man Abschluss.
Gruß
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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 16. Jan 2014, 21:32

tomS hat geschrieben:...allerdings kann man diese als Grenzübergang aus quadratintegrablen Funktionen ableiten. Dies nennt man Abschluss.
Heisst das, dass in Wirklichkeit alles auch aus quadratintegrablen Funktionen konstruiert werden kann, und nicht umgekehrt, wie ich oben gefragt habe? Ich sehe jetzt aber nicht, warum solche Funktionen automatisch meine obigen Bedingungen erfüllen sollten.

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 16. Jan 2014, 21:36

Dass quadratintegrable Funktionen verwendet werden ist eine Folge dessen, dass man eine Wahrscheinlichkeitsdichte einführen möchte. Dies kann als ein Axiom der QM angesehen werden.
Gruß
Tom

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 16. Jan 2014, 21:46

Ja, schon.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich meine Frage verständlich herüber bringen konnte.
Vielleicht besser so: Sind alle Zustände durch Wellenfunktionen beschreibbar, deren Wellenfronten stets parallel verlaufen, es sei denn, das Potential verändert die Geschwindigkeit und damit je nach Ort die Frequenz? Kann man vom Prinzip auch ohne Kugelwellen, Kugelflächenfunktionen und dergleichen alles formulieren?

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 16. Jan 2014, 21:51

I.A. kannst du über du Form der Wellenfunktionen nichts sagen. Aber eine Zerlegung nach Orthonormalsystemem ist immer möglich.
Gruß
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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 16. Jan 2014, 21:56

OK. Vielen Dank!

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 17. Jan 2014, 06:52

Ach ja, und die Lösung der SGL, d.h. die Eigenfunktionen des Hamiltonoperators stellen immer ein Orthonormalsystem dar.
Gruß
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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 14. Nov 2014, 18:59

Lassen sich die Ursachen der natürlichen/homogenen Linienbreite vollständig auf Störungen und Ungenauigkeiten der Messapparatur zurückführen, oder könnte da noch ein wesentlicher Teil z.B. auf leicht variable Bindungsenergien (etwa Energieniveaus im Wasserstoffatom) zurückführbar sein?

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 20. Nov 2014, 08:13

Folgt die Linienbreite nicht einfach via Unschärferelation aus der endlichen Lebensdauer des Zustands?
Linienbreite

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 20. Nov 2014, 11:54

Hawkwind hat geschrieben:Folgt die Linienbreite nicht einfach via Unschärferelation aus der endlichen Lebensdauer des Zustands?
Linienbreite
Ich habe den Eindruck, dass das nur in manchen Fällen und zum Teil so ist. Auf dieser Wikipedia-Seite steht: "Nach der Quantenmechanik kann ein physikalisches System, wenn es eine scharf definierte Energie besitzt, sich zeitlich nicht verändern. Systeme, die spontan zerfallen oder eine Strahlung erzeugen, besitzen daher eine prinzipielle Energieunschärfe..." Wenn ich das richtig verstehe, bezieht sich das z.B. auf Tunneleffekte, so dass dabei einmal etwas mehr, einmal etwas weniger Energie über die Barriere mitkommt. Aber gebundene Elektronen stellen ja keinen instabilen Zustand dar, und besitzen eine feste Energie. Und eigentlich entwickelt sich so ein Zustand auch gar nicht, sondern es wird nur die Phase der Wellen verschoben.

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 20. Nov 2014, 12:21

positronium hat geschrieben:Aber gebundene Elektronen stellen ja keinen instabilen Zustand dar, und besitzen eine feste Energie.
Mal abgesehen vom Grundzustand sind das doch alles angeregte Zustände mit endlicher Lebensdauer und daher mit einer Breite > 0.

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von seeker » 20. Nov 2014, 13:06

Hinzu kommt, dass die beobachteten Teilchen eine Temperatur haben, also ungeordnet schwingen.
Das sorgt für eine weitere Linienverbreiterung (Dopplereffekt, Stoß-Wechselwirkungen).

Grüße
seeker
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 20. Nov 2014, 13:07

Hawkwind hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Aber gebundene Elektronen stellen ja keinen instabilen Zustand dar, und besitzen eine feste Energie.
Mal abgesehen vom Grundzustand sind das doch alles angeregte Zustände mit endlicher Lebensdauer und daher mit einer Breite > 0.
Ja, Du hast Recht. Jetzt ordnet sich das gerade bei mir. Man muss sich den Zustandsübergang soz. auch als eine Schwingung vorstellen. Und die Übergangswahrscheinlichkeit in alle Zustände spielt eine Rolle, sodass bei gebundenen Elektronen es auch eine Rolle spielt, wie viele innere Zustände besetzt sind... Danke!

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 20. Nov 2014, 14:45

Die QM hat da etwas Probleme, das exakt zu beschreiben, weil sie kein Photon kennt; stattdessen behilft man sich mit einem äußeren Feld. In der QED würde man dagegen ein Übergangsmatrixelement

<A*|U(t)|A,gamma>

U(t) = exp(-iHt)

berechnen
Gruß
Tom

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 20. Nov 2014, 15:37

Vielen Dank, seeker und Tom!
tomS hat geschrieben:In der QED würde man dagegen ein Übergangsmatrixelement

<A*|U(t)|A,gamma>

U(t) = exp(-iHt)

berechnen
Folgt daraus dann ganz selbstverständlich eine Energieverteilung?

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Re: QM-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 28. Jul 2015, 21:21

Hallo,

man kann ja die zeitunabhängige SG so umschreiben:

Spricht etwas dagegen (oder dafür), darin das v nicht mit dem m als Impuls zu betrachten, sondern bereits als Teil der SRT? Dann wären also Wellen nicht p-abhängig, sondern abhängig von einer m- bzw. m*gamma-Welle, deren Phasenverschiebung 1/v beträgt, bzw. würde eben die Relativität der Gleichzeitigkeit in bewegten Systemen widerspiegeln.

Gruss

positronium

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