QM-Frage-Antwort

Beitrag von **tomS** » 13. Okt 2008, 23:56

Zwischenfrage(n):
- ist das Thema mit den ebenen Wellen geklärt?
- ist die Wahrscheinlichkeitsdichte klar?
- gibt es andere Fragen, die noch offen sind?

Beitrag von **breaker** » 14. Okt 2008, 20:16

Okay, ebene Wellen sind Wellen in einer Dimension mit einer festen Wellenlänge.
Was die Wahrscheinlichkeitsdichte ist, ist klar, nur nicht, warum man sie so definiert, aber damit kann ich glaub erstmal leben.

Beitrag von **tomS** » 14. Okt 2008, 21:03

Man hat das urspünglich nicht definiert, sondern nach Anwendung auf einige Probleme interpretiert.

Die zentrale Frage war: "was schwingt" in der Q.M. und "was bedeutet die Wellenfunktion"?

Die Antwort lautet - Wahrscheinlichkeitswellen.

Man kann die Schrödingergleichung (kommt später) aus einem Wirkungsintegral ableiten. Dieses hat eine Symmetrie (eine globale Symmetrie, nämlich die Multiplikation der Wellenfunktion mit einer ortsunabhängigen Phase). Zu einer Symmetrie gibt es einen Erhaltungssatz, d.h. eine erhaltene Ladung sowie (lokal) eine Kontinuitätsgleichung für Dichte und Strom - analog zu elektrischer Ladung und Strom.

Betrachtet man die Schrödingergleichung

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) = \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)\right]\psi(x,t)$

sowie Dichte

$\rho(x,t) = \psi^*(x,t) \psi(x,t)$

und Strom

$j(x,t) = \frac{\hbar}{2im}\left[\psi^*(x,t) \frac{\partial}{\partial x} \psi(x,t) - h.c. \right]$

so stellt man fest, dass die Ladung insofern erhalten ist, als immer ein Strom existiert, der lokal Ladung transportiert (sie verschwindet nicht einfach):

$\frac{\partial}{\partial t} \rho(x,t) + \frac{\partial}{\partial x}j(x,t) = 0$

Diese Kontinuitätsgleichung folgt (als Konsitenzbedingung) aus der Schrödingergleichung.

Die entsprechende Ladung wäre dann

$Q(t) = \int dx \rho(x,t)$

Integriert man linke und rechte Seite der Kontinuitätsgleichung über den Ort, so bleiben rechts nur die Randterme stehen. Wenn man Integroerbarkeit fordert, muss aber die Wellenfunktion im Unendlichen genügend schnell gegen Null gehen, so dass die Randterme ebenfalls zu Null werden.

Damit gilt

$\frac{\partial Q(t)}{\partial t} = 0$

Die gesamte Q.M. ist nun unabhängig vom Absolutbetrag der Wellenfunktion. Man kann diese mit einer beliebeigen Konstante multiplizieren, die Gleichungen bleiben immer noch gültig. Daher legt man diese Konstante so fest, dass Q=1 gilt.

Aufgrund dieser Tatsachen und weiterer Resultate (z.B. Doppelspaltexperiment) kann man die Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsamplitufe interpretieren.

Ich habe für diese Ableitung die Schrödingergleichung benutzt - hoffe, das ganze ist trotzdem einigermaßen klar geworden

Beitrag von **breaker** » 15. Okt 2008, 21:27

Etwas klarer als vorher, wobei jetzt die Größen Ladung und Strom drin sind, die ich nicht kenne.

Aber dabei hab ich immer das Gefühl, wir kommen recht weit vom Thema ab. Ich weiß nicht, wie Du's vorgesehen hast, aber ich würd jetzt nach den ebenen Wellen weitermachen. Es sei denn, die beiden Begriffe oben sind so grundlegend, dass man sie bald braucht...

Beitrag von **tomS** » 15. Okt 2008, 23:46

Du hast recht, eigentlich wollte ich diese Interpretationen erst später diskuteren - aber das ist ja kein fester Lehrplan, sondern darf sich ruhig etwas entwickeln.

Kurz zu Ladung und Strom: die Begriffe kannst du sehr allgemein verwenden; das kann etwas elektrisches sein, oder eine Teilchendichte (z.B. Wasserdampf in Wolken), oder eben Wahrscheinlichkeiten. Wichtig ist nur die Idee, dass die zeitliche Änderung einer Dichte mit der räumlichen Änderung eines Stromes verknüpft ist. Wenn die Dichte weniger wird, trägt der Strom eben etwas weg.

Zurück zu den Materiewellen. Bisher war ja alles zeitunabhängig:
Wie lauten denn die zeitabhängigen Ausdrücke für die ebenen Wellen?
Wie kommt neben dem Impuls auch die Energie (und die Frequenz ins Spiel)?

Beitrag von **tomS** » 20. Okt 2008, 23:42

Also zur zeitabhängigen eben Welle folgendes:

$\psi(x,t) = \psi_0 e^{i(kx-\omega t)}$

Die Frage nach Impuls, Energie und der Interpretation lasse ich noch mal stehen

Beitrag von **tomS** » 7. Nov 2008, 19:20

Leider kann man eine gute Idee nicht so leicht kopieren - jedenfalls kommt das QM Q&A Spiel nicht so recht voran - oder mach ich was falsch?

Also hier die nächste Antwort:

Für die Energie eines Teilchens, das durch eine ebene Welle repräsentiert wird, gilt

$E = \hbar \omega$

Also kann man auch schreiben

$e^{-i\omega t} = e^{-iEt / \hbar}$

und damit

$E e^{-iEt / \hbar} = i\hbar \frac{d}{dt} e^{-iEt / \hbar}$

Damit hat man so etwas wie den "Energieoperator" definiert. Ich schreibe das bewusst in Anführungszeichen, denn der eigentliche Energieoperator (= Hamiltonoperator) wird später anders definiert werden.

Eine Art Postulat der Quantenmechanik lautet damit, dass ein Teilchen mit fester Energie (aber nicht notwendigerweise festem Impuls!) die allgemeine Form

$\psi_E(x,t) = \phi_E(x) e^{-iEt / \hbar}$

hat. Auch für dieses allgemeine Wellenpaket (fester Energie) gilt dann wiederum

$E\psi(x,t) = i\hbar \frac{d}{dt}\psi(x,t)$

Nachdem wir nun die Operatoren beisammen haben, hier die nächste Fragenrunde

- ist soweit alles klar? oder irgendwas übersprungen, zu schnell, zu langweilig, ... ?)
- könnt ihr euch vorstellen, wie man den Energieoperator richtig definiert? (Tip: vor ca. einem Monat stand schon mal was dazu da)
- könnt ihr euch vorstellen, wie man auf der Basis die Nichtvertauschbarkeit von x und p diskutieren kann?

Grüße
Tom

Beitrag von **breaker** » 7. Nov 2008, 20:12

Du machst nix falsch, was mich angeht, hab ich in letzter Zeit einfach recht wenig Zeit. Die Analysis-Übungszettel beschäftigen einen immer ne ganze Weile...

Beitrag von **tomS** » 7. Nov 2008, 20:24

Gut, freut mich, wenn'snicht an mir liegt.

Kannst du schon beweisen, dass 0+1=1 ist?
(ist am Anfang ziemlich öde - musst du aber durch - es kommen auch bessere Zeiten)

Beitrag von **breaker** » 7. Nov 2008, 21:17

Ja, das fand ich eigentlich ganz toll.
In Analysis sind wir momentan bei Reihen, in LA bei linearen Abbildungen und Gleichungssystemen (was ich eigentlich viel interessanter finde, als Analysis).
Physik läuft irgendwie etwas unstrukturiert ab.

Beitrag von **gradient** » 8. Nov 2008, 19:28

Hallo Tom,

ich hab eine Frage zur Vorgehensweise:
Sind deine Fragen dazu ausgelegt, dass wir aus dem bisher geschriebenen diese beantworten sollen, oder dass wir in Eigenrecherche auch mit anderen Quellen Antworten finden? Denn ersteres ist m.E. nicht bei jeder Frage möglich gewesen, auch wenn meine Vermutung zur zeitabhängigen Wellenfunktion richtig gewesen wäre...

Trotzdem versuche ich's wieder nach der ersten Methode, allerdings nur ein paar Ansätze, Gedanken.
Zum Energieoperator:
Vielleicht sieht der so aus, dass Zeit- und Ortsableitungen vorkommen?
Oder vielleicht eine Ergänzung des Operators für kinetische Energie um ein Potential V?

Zur Nichtvertauschbarkeit von x und p:
Man könnte vielleicht einen Ortsoperator definieren, etwa $X:=-i \hbar \frac{\partial}{\partial p}$ . Wie man aber auf die Nichtvertauschbarkeit kommt, weiß ich nicht...

Beitrag von **tomS** » 9. Nov 2008, 14:32

Also die Antworten ergeben sich nicht automatisch aus dem vorher geschriebenen, wäre doch zu langweilig, oder?

Zur Herleitung / Bedeutung der Vertauschungsrelationen ein Tip:

Was wir bisher immer betrachtet haben ist die sogenannte Ortsdarstellung:
Wellenfunktion, Orts- und Impulsoperator lauten (^ bezeichnet den Operator)

$\psi(x,t)$
$\hat{x} = x$
$\hat{p} = -i \hbar \partial_x$

also

$\hat{x} \psi(x,t) = x \psi(x,t)$
$\hat{p} \psi(x,t) = -i \hbar \partial_x \psi(x,t)$

Die Idee mit der Definition des Ortsoperators als Ableitung nach dem Impuls gibt es tatsächlich, aber das wäre dann die Impulsdarstellung.

Vom Orts- in die Impulsdarstellung gelangt man mittels Fouriertransformation:

$\psi(p,t) = \int dx e^{-ipx} \psi(x,t)$

Für die Vertauschungsrelationen benötigt man jedoch die Operatoren in der selben Darstellung (es ist dabei egal, in welcher Darstellung).

Also, es geht um die Vertauschungsrelation

$\hat{x}, \hat{p}$

wie lautet die? wie kommt man drauf?

Beitrag von **gradient** » 9. Nov 2008, 18:19

Die Schreibweise in den eckigen Klammern erinnert mich an den Kommutator:
$[a,b]=ab-ba$ .
Ist dann etwa $[\hat{x},\hat{p}]=\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}$ ?
Wenn ja, dann wäre zumindest schonmal die Nichtvertauschbarkeit geklärt, denn offensichtlich ist $[\hat{x},\hat{p}]=-[\hat{p},\hat{x}]$ .

Beitrag von **tomS** » 9. Nov 2008, 18:28

Die Idee mit dem Kommutator ist richtig.

Die Nichtvertauschbarkeit besagt aber etwas anders (so einfach mit Minus geht das nicht), nämlich

$\[a,b\]\neq 0$

Für gewöhnliche Zahlen würde man ja =0 erwarten.

Also muss es sich bei a, b (in unserem Fall x und p) um etwas anderes als um gewöhnliche Zahlen handeln.

Also, wie kann man aus der Operatordarstellung für x und p die Nichtvertauschbarkeit ableiten?

Beitrag von **gradient** » 9. Nov 2008, 18:46

Ah, ok, ich glaube, jetzt hab ich's:
$[\hat{x},\hat{p}]\psi=\hat{x}\hat{p}\psi-\hat{p}\hat{x}\psi=-i \hbar x \partial_x \psi+i \hbar \partial_x(x\psi)=i \hbar \psi \neq 0$ nach der Produktregel.

Beitrag von **tomS** » 9. Nov 2008, 19:32

Ja!

und kriegst du auch raus, wie du daraus die Unschärfenrelation ableiten kannst ... ?

Beitrag von **gradient** » 16. Nov 2008, 11:19

Hallo Tom,

von alleine sicher nicht. Und ich weiß auch nicht, ob es Sinn macht, eine Herleitung einfach abzuschreiben.
Aus meiner Sicht wäre es besser, den Weg zur Unschärferelation in kleinere Etappen zu zerlegen, wenn es für dich auch ok ist.

Beitrag von **tomS** » 16. Nov 2008, 11:23

natürlich ist das OK, dafür ist das ganze ja da - bitte etwas Geduld

Beitrag von **tomS** » 16. Nov 2008, 12:25

OK, fangen wir mal an: Bis jetzt kennen wir ja die Operatoren x und p sowie ihre Darstellung

$\hat{x} = x$
$\hat{p} = -i\hbar\partial_x$

d.h. wie sie auf Wellenfunktionen im Ortsraum wirken.

In der Unschärfenrelation kommen jedoch andere Größen vor, nämlich

$\Delta x$

und

$\Delta p$

Fragen:
- wie lautet die Darstellungen des Erwartungswertes irgendeines Operators?
- wie lauten die Darstellungen dieser speziellen Größen ausgedrückt durch die Operatoren für x und p?

Beitrag von **breaker** » 16. Nov 2008, 12:55

Okay, Erwartungswert ist ja $\int | \psi(x,t) |^2\, dx=\int \psi(x,t)\psi(x,t)* \, dx$ .
Laut Wikipedia ist der für x gleich $\langle x\rangle= \int \hat x| \psi(x,t) |^2\, dx$ .
Okay, von mir aus.

Aber gibt es eine anschauliche Erklärung, warum man beim Impuls
$\langle p\rangle =\int \psi^*(x,t)\hat p \psi(x,t)\,dx$
den Operator nur auf $\psi$ anwendet?

Beitrag von **tomS** » 16. Nov 2008, 20:38

Also zu deiner letzten Frage: ich versuch mal, das praktisch ohne Formeln zu erklären, vielleicht kommst du drauf.

Du schreibst für den Impulserwartungswert unter dem Integral Impulsoperator * Wellenfunktion.

Jetzt mach mal eine Fouriertransformation von x nach p für die Wellenfunktion. Die Fouriertransformierte hängt dann nicht mehr von x sondern von p ab. Die Ortsableitung vor dem Fourierintegral wirkt auf die e-Funktion der Fouriertransformation. Die Anwendung holt einfach ein p aus dem Exponenten runter.

Jetzt machst du für die komplex konjugierte Wellenfunktion ebenfalls eine Fouriertransformation von x nach q.

Dann vertauschst du die Integrale: inneres Integral über dx ausführen ergibt die delta-Funktion; dq Integral ausführen ist dann trivial. Übrig bleibt ein Integral über dp über p mal der Dichte im Impulsraum, also dp * p * |Wellenfunktion im Impulsraum|².

Das ist formal das selbe wie für x im Ortsraum dx * x * |Wellenfunktion im Ortsraum|².

Damit ist mittels der Fouriertransformation gezeigt, dass man formal alle Gleichungen aus dem Orts- in den Impulsraum transportieren kann und dass dabei x und p quasi ihre Rollen vertauschen.

Solltest du das nicht hinkriegen - einfach fragen, dann helfe ich bei den Formeln weiter.

Gruß
Tom

Beitrag von **breaker** » 16. Nov 2008, 22:20

Okay, ich hab keine Ahnung, was eine Fouriertransformation ist...
Aber ich versuch mich mal schlau zu machen. Kann gut sein, dass ich diese Woche tatsächlich mal Zeit finde.

Beitrag von **Xathan** » 16. Nov 2008, 22:44

Die Fouriertransformation nehme ich erst nächste Woche durch, aber ich weiß schonmal, worum es dabei geht:
Es handelt sich dabei um die Addition von sinusförmigen Wellen, die wiederum als Summe eine Sinuswelle ergeben. Das kommt bei uns in Elektrotechnik dran, aber warum und wieso, das kann ich erst später beitragen, wenn es als Thema durchgenommen wurde.

Beitrag von **tomS** » 17. Nov 2008, 00:12

OK, ohne Verständnis der Fouriertrafo ist das schwer zu erklären; darum hier mal kurz die Idee:

$u(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dp}{2\pi} e^{ipx}v(p)$

$v(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} dx e^{-ipx}u(x)$

Die FT ist eine Integraltransformation. Dabei kann man u und v gewissermaßen als "dual" zueinander bezeichnen. Sie beinhalten beide dieselbe Information, denn die FT zweimal angewendet bildet zuerst u auf v und dann wieder v auf u ab. Dabei ist u eine Funktion im Orts- und v eine Impulsraum.

In der QM ist die Interpretation wie folgt: die komplexe e-Funktion ist eine "kontinuierliche Basis eines unendlichdimensionalen Vektorraumes". D.h. jede ebene Welle zu festem p bezeichnet einen Basisvektor. Die Funktion v(p) ist dann die Koordinate bzgl. dieses Vektors.

Man kann nun eine Abbildung in einen zweiten Vektorraum durchführen, indem man die Basisvektoren nun bzgl. x betrachtet. Dann ist die Funktion u(x) die Koordinate bzgl. dieser Vektoren.

Man bezeichnet dies als Zerlegung in eben Wellen. Man stellt sich eine beliebige Wellenfunktion u(x) als "kontinuierliche Summe" über ebene Wellen mit der Amplitude v(p) vor. Umgekehrt kann man ebenso v(p) als Überlagerung ebener Wellen begreifen, allerdings im Impulsraum. D.h. im ersten Integral numeriert p die Basisvektoren im Impulsraum, im zweiten Integral numeriert x die Basis im Ortsraum.

Folgendes ist noch extrem wichtig: Was passiert, wenn man eine ebene Welle einer Fouriertransformation unterwirft? Sei also

$u(x) = e^{ip_0x}$

Dann ist

$v(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} dx e^{-ipx}u(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} dx e^{-ipx}e^{ip_0x}$

Die Auswertung dieses Integrals führt auf die sogenannte Delta-Funktion

$v(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} dx e^{-ipx}e^{ip_0x} = 2\pi \delta(p-p_0)$

Dabei handelt es sich um eine sogenannte Distribution mit folgender Eigenschaft: sie ist an der Stelle p_0 unendlich, sonst Null, und zwar so, dass

$u(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dp}{2\pi} e^{ipx}v(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} dp e^{ipx} \delta(p-p_0) = e^{ip_0x}$

Allgemein ist immer

$\int_{-\infty}^{+\infty} dp f(p) \delta(p-p_0) = f(p_0)$

D.h. die Delta-Funktion projiziert gewissermaßen den Wert von f an der Stelle p_0 heraus.

Damit kann man wiederum die beiden Darstellungen im Orts- sowie im Impulsraum vergleichen. Eine ebene Welle

$u(x) = e^{ip_0x}$

im Ortsraum ist nirgendwo lokalisiert, d.h. der Ort des Teilchens ist maximal unbestimmt, während im Impulsraum

$v(p) = 2\pi \delta(p-p_0)$

Das Teilchen an exakt einer Stelle lokalisiert ist, d.h. festen Impuls hat.

Nun gibt es aber noch einige Probleme mit dieser Delta-Distribution, denn z.B. ist ihr Quadrat nicht definiert. So sind die oben eingeführten Integrale

$\int_{-\infty}^{+\infty} dx u^\ast (x) u(x)$

und

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dp}{2\pi} v^\ast (p) v(p)$

für ebene Wellen u(x) bzw. Delta-Funktion v(p) nicht definiert.

Mathematisch liegt dies daran, dass diese Funktionen nicht mehr in dem urpsrünglichen Vektrorraum liegen, sondern in dessen Abschluss, d.h. man erhält sie durch einen geeigneten Grenzprozess. Im Falle der Delta-Funktion darf man sich vorstellen, dass man eine Gaußkurve nimmt, deren Fläche immer Eins ist, die aber immer spitzer und dabei schmaler wird, so dass ihre Höhe gegen Unendlich, ihre Breite gegen Null geht. Man kann die Delta-Distribution jedoch auch ohne diesen Grenzprozess formal definieren.

Diese beiden Integrale haben übrigens eine einfache Bedeutung: sie entsprechen dem Quadrat der Norm der Vektoren bzw. Funktionen u und v. Die Fouriertransformation ist eine sogenannte unitäre Transformation, d.h. die Abbildung des Vektors u auf v erhält die Norm, d.h. die Werte der beiden Integrale für u(x) bzw. v(p) sind für beliebig vorgegebenes u(x) und dazugehöriges v(p) immer identisch!

In der QM sind ebene Wellen, FTs und die Delta-Funktion das tägliche Brot. Man gewöhnt sich sehr schnell daran. Am besten mal ein paar Kapitel in einem Buch "Mathe für Physiker" lesen, oder in Wikipedia entsprechend nachschlagen.

Beitrag von **tomS** » 21. Nov 2008, 23:36

Hat das etwas weitergeholfen?