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QM-Frage-Antwort

Quantenmechanik, Unschärfenrelation, Welle-Teilchen-Dualismus, Rechenmethoden sowie Interpretation der Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie
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QM-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 14. Sep 2008, 17:11

Also dann mal los.

Ich hatte ja folgende Struktur für das Thema vorgeschlagen:
- experimenteller Hintegrund: Experimente, die zur Einführung der QM beitrugen / diese notwendig machten
- erste Ansätze: deBroglie: Materiewellen, Bohr-Sommerfeld Quantisierung, Probleme
- Wellenfunktionen, Ort, Impuls und Energie
- Quantisierung, Operatoren, Vertauschungsrelationen, Unschärferelation, Fouriertransformation, Interpretation
- Schrödingergleichung
- Beispiele (I) freies Teilchen = ebene Wellen, einfache Potentiale, Tunneleffekt, harmonischer Oszillator
- hier ggf. etwas zum modernen q.m. Formalismus: harm. Osz.: Dirac-Notation, Symmetriegruppen, ...
- Beispiele (II) Wasserstoffatom (Drehimpuls)
- Näherungsmethoden: Bornsche Näherung, Störungstheorie
- Beispiele (III) Wasserstoffatom (Stark-Effekt)
- ...

wenn wir so weit kommen:
- Streutheorie
- relativistische Q.M.: Klein-Gordon-Gl., Dirac-Gl.
- Beispiele (IV) Wasserstoffatom (Feinstruktur)
- Verschränkung, Bellsche Ungleichung, Dekohärenz, ...

Daher zum ersten Themenkomplex experimenteller Hintegrund die Fragen:
Welche Experimente zur Quantenmechanik kennt ihr? Welche Erkenntnisse führten dazu, die klassische Physik aufzugeben bzw. zu erweitern? Welche Experimente zeigen bis heute die rätselhafte bzw. noch unvollständige Interpretation der Quantenmechanik auf?
Zuletzt geändert von tomS am 26. Nov 2008, 20:35, insgesamt 2-mal geändert.
Gruß
Tom

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Beitrag von Maclane » 14. Sep 2008, 17:46

Na gut, fangen wir mal an:

Doppelspalt-Experiment: zeigt den Welle-Teilchen-Dualismus auf.
Ob Licht aus Wellen oder Teilchen besteht, war vorher nicht ganz klar. Im Doppelspaltexperiment kann man zeigen, dass Licht sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften hat.
Außerdem zeigt sich das Prinzip der Superposition, also der Überlagerung von Zuständen und es zeigt sich die Bedeutung des Beobachters bzw. des Messvorgangs. Die Art des Messvorgangs legt nämlich fest, ob wir Wellen- oder Teilcheneigenschaften beobachten.

Soweit richtig?

Tja und dann kenn ich noch:
Streuexperimente: diese zeigen z.B. dass der Atomkern aus positiv geladenen Protonen und neutralen Neutronen aufgebaut ist und sie zeigen, dass Protonen und Neutronen ihrerseits aus noch kleineren Teilchen, den Quarks, aufgebaut sind.
Eine Abart der Streuexperimente sind die Kollisionsexperimente in Teilchenbeschleunigern, bei denen Teilchen mit hoher Energie auf einander prallen. Durch die hohe Energie können Teilchen erzeugt werden, die man sonst nicht beobachten kann. Auf diese Weise wird das Standardmodell der Teilchen (der Teilchenzoo) erforscht oder z.B. auch die elektroschwache Wechselwirkung "bewiesen".

Tunnelexperimente: es zeigt sich, dass Teilchen einen "Potentialwall" (z.B. ein magnetisches Feld) überwinden können, obwohl sie es "eigentlich" nicht überwinden können dürften. Sie tunneln also quasi hindurch. Sie können das, weil die dazugehörige Wellenfunktion auch eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit hinter dem Potentialwall zulässt und mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit "materialisieren" sie sich dort.

Verschränkungsexperimente: sie zeigen, dass Teilchen verschränkt sein können. Zwei verschränkte Teilchen muss man wie eine Einheit betrachten, selbst wenn sie räumlich weit voneinander entfernt sind. -> spukhafte Fernwirkung

Casimir-Effekt: es zeigt sich, dass das Vakkum nicht leer ist. Im scheinbar leeren Raum entstehen ständig für eine verdammt kurze Zeit Teilchen-Antiteilchen-Paare, die sich anschließend wieder vernichten. Das Casimir-Experiment, bei dem zwei Metallplatten ganz nahe aneinander gebracht werden, zeigt diesen Effekt, weil außerhalb der Platten mehr virtuelle Teilchen entstehen als zwischen den Platten (dort sind nur ganz bestimmte Wellenfunktionen erlaubt). Dadurch entsteht ein Druck bzw. eine Kraft, die von außen auf die Platten wirkt.

Schrödingers-Katze: ein Gedankenexperiment, das zeigt, wie bekloppt es in der Quantenmechanik manchmal zugeht. :mrgreen:
Ähem.. nagut... es zeigt auf, dass kohärente Zustände durch Messprozesse dekohärent werden -> der Übergang von der mikroskopischen zur makroskopischen Welt, wie wir sie kennen.

Noch was? Och bestimmt noch viel viel mehr. Aber ich hab jetzt genug geschrieben, finde ich. Außerdem weiß ich gar nicht, ob bis hierhin alles richtig war. :oops:

Gruß Mac
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Beitrag von tomS » 15. Sep 2008, 07:13

Beschränken wir uns (für den Einstieg) doch auf einige fundamentale Experimente:

- Hohlraumstrahlung => Planckschs Strahlungsgesetz
- Photoelektrischer Effekt => Teilcheneigenchaften von Licht (Einstein)
- Compton-Effekt => Teilcheneigenchaften von Licht
- Spektroskopie => diskrete Energieniveaus in Atomen & Molekülen (Bohrsches Atommodell)
- Franck-Hertz-Versuch => quantisierte Absorption von Energie in Atomen; diskrete Energieniveaus
- Doppelspaltexperiment => Wellen- und Teicheneigenschaften von Licht bzw. Elektronen

Ich denke, die ersten fünf Experimente haben überhaupt zur Entwicklung der Quantenmechanik geführt.

Das Doppelspaltexperiment kann man da nicht dazurechnen, denn die Idee mit den Materiewellen und dem Teilchencharater kam erst später. Trotzdem spielt es natürlich eine herausragende Rolle.

Wollen wir die Experimente mal im einzelnen diskutieren?

Gruß
Thomas
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 16. Sep 2008, 01:09

Ich bin wohl noch ein paar Antworten schuldig:

Doppelspalt-Experiment - ja, so kann man das interpretieren

Streuexperimente - ja, passt soweit; dazu muss man jedoch nicht immer die QM bemühen; der klassische Rutherfordstreuquerschnitt und die q.m. Beechnung der Streuung an einem 1/r Potential ergeben das selbe Ergebnis; aber natürlich gibt es Streuexperimente, die sich nur q.m. erklären lassen.

Ich weiß nicht genau, was du mit "Tunnelexperiment" meinst; es gibt sicher den Tunneleffekt; aber wie sieht eine Versuchsanordnung dazu aus?

Verschränkungsexperimente - ja, das sind sicher mit die interessantesten Experimente und Deutungen - werde ich oben in meine Liste noch aufnehmen

Casimir-Effekt - dazu muss man berets die Quantenfeldtheorie bemühen; das lassen wir mal beiseite für später.

Schrödingers-Katze - würde ich im weitesten Sinne unter "Verschränkung" einsortieren
Gruß
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Beitrag von Koschi » 16. Sep 2008, 08:27

tomS hat geschrieben: Ich weiß nicht genau, was du mit "Tunnelexperiment" meinst; es gibt sicher den Tunneleffekt; aber wie sieht eine Versuchsanordnung dazu aus?
Naja ich weiß nicht ob man das als Experiment für den Tunneleffekt laufen lassen kann aber für Kernfusionsreaktoren wird dieser Tunneleffekt genutzt genauso wie es die ganze Zeit auf der Sonne passiert.
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Beitrag von tomS » 16. Sep 2008, 19:29

Aso was der Tunneleffekt bedeutet ist mir schon klar. Es ist richtig, er spielt bei einigen Kernreaktionen eine wesentliche Rolle, z.B. Fussion oder alpha-Zerfall.

Nur, dabei gehen Annahmen über das Kern-Potential der starken WW ein.

Gibt es ein Experiment, das eine saubere Versuchsanordnung mit klar definierter (evtl. steuerbarer!) Potentialbarriere definiert, die dann durchtunnelt wird?
Gruß
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Beitrag von Koschi » 17. Sep 2008, 07:30

Ich habe hier das im Netz gefunden. Hier Klicken ist ne PDF datei.
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Beitrag von tomS » 17. Sep 2008, 22:53

Die Idee, den q.m. Tunneleffekt durch die Messung an klassischen el.-mag. Wellen zu belegen, ist gut. Man muss jedoch zuvor die mathematische Äquivalenz der Schrödingergleichung und der (durch die Geometrie) eingeschränkten Maxwellgleichungen zeigen. Ich kenne einen ähnlichen Ansatz aus dem Quantenchaos, wo man tatsächlich zeigen kann, dass ein (idealisiert) zweidimensionaler Mikrowellenresonator zu einer Gleichung führt, die mathematisch der (stationären) Schrödingergleichung für ein einfaches Quantensystem äquivalent ist.

Mein Einspruch kommt von zwei Seiten:
Zum Einen ersetzt die mathematische Äquivalenz nicht das Experiment. Ich vermisse also immer noch ein q.m. Experiment zum Tunneleffekt.
Zum zweiten bezweifle ich die strenge mathematische Äquivalenz, da es sich hier (im Gegensatz zum Quantenchaos) um ein nichtstationäres mathematisches Problem handelt. Das bedeutet jedoch, dass in der Schrödingergleichung immer die erste Zeitableitung, in der Maxwellgleichung jedoch die zweite Zeitableitung vorkommt. Das bedeutet, dass man möglicherweise bei stehenden Wellen auf eine Äquivalenz schließen kann, nicht jedoch bei realen, nichtstationären Vorgängen

Folgende Experiment, bei denen der Tunneleffekt eine Rolle spielt, sind mir bekannt:
- Alpha-Zerfall
- Kernfusion
- Tunneldiode
- Josephson-Effekt (an Supraleitern)

Leider sind es in allen Fällen keine Experimente, die direkt den Tunneleffekt nachweisen, sondern i.A. kompliziertere Aufbauten / Anordnungen oder Randbedingungen. Es handelt sich eher um die Anwendung als um den Nachweis des Tunneleffekte.

Insgs. kann man sagen, dass sich eine ganze Reihe von Phänomenen (in der Physik, Biologie, Chemie) zwanglos über den zugrundeliegenden Tunneleffekt erklären lässt.

Zurück zu den Fragen:

Inwiefern erzwingen die folgenden Effekte, dass man den klassichen Begriff von "entweder Welle oder Teilchen" aufgeben muss?
Inwiefern führen die Effekte im Rahmen der klassischen Physik zu Widersprüchen und erzwingen die Einführung der Quantenmechanik?
- Hohlraumstrahlung
- Photoelektrischer Effekt
- Compton-Effekt
- Spektroskopie
- Franck-Hertz-Versuch
- Doppelspaltexperiment
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 21. Sep 2008, 18:26

Also, ich geb mal ein paar Tips als Anschub:

Hohlraumstrahlung: wenn man die Gleichung für die klassische Energiedichte des el.-mag. Feldes verwendet, dann erhält man als Ergebnis für den Energieinhalt eines Hohlraumstrahler unendlich.

Photoelektrischer Effekt: wenn man wiederum auf Basis der klassischen Energiedichte argumentiert, dann skaliert die Energie der Photoelektronen mit der Beleuchtungsstärke; tatsächlich skaliert jedoch die ist Anzahl der Photoelektronen mit der Beleuchtungsstärke, die Energie dagegen mit der Frequenz des Lichtes.

Compton-Effekt: wenn man auf Basis der klassischen Wellengleichungen argumentiert, dann ist nicht erklärbar, wieso das an Elektronen gestreute Licht eine geringere Wellenlänge hat als das einfallende Licht.
Gruß
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Beitrag von Maclane » 22. Sep 2008, 09:34

Naja, ich bin vielleicht nicht der Richtige für dieses Frage-Antwort-Spiel, aber wenn keiner will... nehm ich alle Peinlichkeiten auf mich. :lol:

Also was ein Hohlraumstrahler genau ist, weiß ich immer noch nicht. Aber war das nicht diese Geschichte damals mit Max Planck? Irgendwie war das doch so, dass wenn man versucht hat, mit der Physik des 19. Jahrhunderts diese Hohlraumstrahlung zu berechnen, dann kam da ein unendlicher Wert raus, weil man Energie als kontinuierlich angenommen hat. Und Max Planck kam dann zu dem Schluss, dass man dieses Dilemma nur auflösen kann, wenn man annimmt, dass Energie immer in Paketen, also "gequantelt" (zu deutsch "gestückelt"), übertragen werden kann. Er führte damit auch gleich das Planck'sche Wirkungsquantum h ein.

Und der Photoelelektrische Effekt wurde doch von Einstein erklärt, glaub ich. Es war zuvor bekannt, dass man mit Licht bzw. mit elektromagnetischer Strahlung aus einer Metallplatte Elektronen herauslösen kann. Komischerweise gelang das immer nur ab einer bestimmten Frequenz des Lichts, die Intensität des Lichtes also die Helligkeit spielte keine Rolle. Das war insofern komisch, weil man ja zu dem Zeitpunkt annahm, dass Licht aus Wellen besteht. Von Schallwellen oder auch von Wasserwellen weiß man ja, dass umso mehr Energie übertragen wird, je größer die Amplitude ist (Schall mit großer Amplitude ist lauter und Wasserwellen mit großer Amplitude können ganze Städte wegspülen). Warum war das beim Licht nicht auch so?
Einstein nahm nun an, dass Licht aus Teilchen besteht (bzw. er griff damit eine frühere Idee wieder auf). Und die Energie dieser Photonen hängt von der Frequenz ab, während die Amplitude für die Anzahl der Teilchen steht. Damit wurde der photoelektrische Effekt erklärbar, weil das Photon eben eine ganz bestimmte Energie und damit eine ganz bestimmte Frequenz haben muss, um ein Elektron herausschlagen zu können. Die Anzahl der Photonen spielt keine Rolle. Wenn die Frequenz zu gering ist, passiert nix.

Compton-Effekt: No idea. Erklär's mir bitte. :)

Gruß Mac
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Beitrag von tomS » 22. Sep 2008, 10:16

Hohlraumstrahlung

Die Hohlraumstrahlung heißt im englischen "black body radiation", das ist sicher der bessere Begriff.

Es geht um einen Körper, der ein rein thermischen Spektrum aussendet, d.h. er darf keine Lichtquelle mit Energiezufuhr besitzen, keine Reflexion aufweisen o.ä.. Realisieren kann man dies z.B. durch einen mit Ofenruß geschwärzten Körper oder durch einen großen Hohlraum, aus dem durch ein sehr kleines Loch Strahlung austritt. Im Hohlraum werden Reflexionen einfallender Strahlung unterdrückt (daher der Name).

Ich hab ja schon geschrieben, dass man klassich erwartet, dass die Energiedichte der Strahlung mit der Quadrat der Feldstärke skaliert und dass sich daraus die sogenannte Ultraviolett-Katastrophe ergibt.

Klassisch erwartet man, dass die spektrale Energiedichte (Energie je Volumen und Frequenz) in einem Hohlraum wie folgt berechnet wird



Dabei ist n die Zahl der Moden mit einer bestimmten Frequenz und E die mittlere Energie. Man bestimmt n geometrisch, indem man die Anzahl der Moden berechnet, die sich in einem Würfel als stehende Wellen realisieren lassen. Diese Zahl skaliert mit dem Quadrat der Frequenz. Die mittlere Energie eines Freiheitsgrades im thermodynamischen Gleichgewicht ist gegeben durch kT, wobei k die Boltzmann-Konstante ist. Einsetzen liefert bis auf einen Proportionalitätsfaktor A bereits die spektrale Energiedichte



Die Energiedichte ergibt sich aus dem Integral über alle Frequenzen und ist natürlich divergent.

Damit muss also an der Herleitung dieses Gesetzes irgendwas falsch sein (die Annahme bzgl. der Zahl der Moden im Hohlraum ist es nicht!)
Die naheliegende Frage ist also: welche Annahme kann so nicht stimmen und welchen Ausweg fand Max Planck?

Photoeffekt

Gut erklärt. Man findet, dass lediglich die Anzahl der herausgelösten Elektronen mit der Beleuchtungsstärke skaliert, dass jedoch für die Energie gilt



Dabei ist W die Austrittsarbeit, unterhalb der keine Elektronen herausgelöst werden. Damit tritt wieder die Plancksche konstante auf, die jedem "Wellenquant" einer bestimmten Frequenz eine Energie zuordnet.

Comptoneffekt

Ist eine nette Übungsaufgabe und kann mit Mathe / Physik 11. Klasse berechnet werden.

Man erzeugt monoenergetische Photonen (in der Praxis gebeugte Röntgenstrahlung), die man auf Elektronen (in der Praxis Elektronen in einem Festkörper / einer Folie) schießt. Die Photonen werden dabei gestreut und übertragen einen gewissen Teil ihrer Energie auf die Elektronen. Misst man nun unter bestimmten Winkeln die Energie die in diesen Winkel gestreuten Photonen, so stellt man eine charakteristische Energie-Winkel-Abhängigkeit fest (klassisch würde man erwarten, dass die el.-mag. Welle mit der selben Frequenz jedoch geringerer Intensität gemessen wird). D.h. man führt wiederum das Teilchenbild für Photonen ein, berücksichtigt jedoch wiederum auch ihre Wellennatur, indem man ihnen eine Frequenz zuordnet.

Zur Rechnung:
Man nimmt einlaufende Photonen einer bestimmten vorgegeben Frequenz (und damit auch Impuls und Energie). Die einlaufenden Elektronen haben Energie = Ruheenergie und Impuls = 0.
Energie und Impuls der auslaufenden Photonen (unter einem bestimmten Winkel) ergeben sich aus der Erhaltung von Energie und Impuls.

Die ist also: wie sieht diese Rechnung aus?
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 24. Sep 2008, 21:43

Ich gebe mal einen Hinweis:
Man benötigt die relativistischen Gleichungen für E, E', p, p' sowohl für Elektron als Photon jeweils vor und nach dem Stoß. Man stellt die Impulse von Elektron und Photon nach dem Stoß über die Streuwinkel dar. Außerdem stellt man Energie und Impuls des Photons über die Frequenz bzw. die Wellenlänge dar. Man nutzt die Energie- und Impulsbilanz und eliminiert einige Unbekannte.
Zuletzt erhält man die Formel von Compton, in der die Änderung der Wellenlänge des Photons beim Stoß mit seinem Streuwinkel in Beziehung gesetzt wird.
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 29. Sep 2008, 22:23

Also, den Compton-Effekt liefere ich bei Bedarf nach.

Lasst uns mal ein bisschen weiter gehen:

wie lauten denn die ersten Ansätze zur Quantenmechanik: Stichwort Materiewellen, Bohr-Sommerfeld Quantisierung, Bohrsches Atommodell?

und

was sind die größten Probleme dieser Theorien?
Gruß
Tom

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Beitrag von Koschi » 30. Sep 2008, 13:48

tomS hat geschrieben:Bohrsches Atommodell?
Das einzige was mir auf anhieb aus meiner Schulzeit was sagt.

Das Bohrsche Atommodell besagt das sich die Elektronen auf Schalen um den Kern befinden.
Und es gibt eine Bestimmte Reihenfolgen wie diese Schalen mit den Elektronen zu besetzen sind aber das bekomme ich aus dem Kopf nimmer hin. Und diese Bestimmte reihenfolge rührt von Energienivea der Elektronen her.
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Beitrag von Xathan » 30. Sep 2008, 16:18

Zuerst komm das s-Niveau mit 2 Elektronen, danach das p-Niveau mit ich glaube 6 und danach das d- und f-Niveau mit jeweils 8.
Das Bohrsche Atommodell wurde mit der Elektronenwolke dargestellt, um die Wahrscheinlichkeit des Augenthaltsorts von Elektronen aufzuzeigen.

Fehler kann ich für dieses Modell aus dem Kopf nicht nennen.

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Beitrag von tomS » 1. Okt 2008, 01:08

Nicht so schnell mit dem Bohrschen Modell. Eins nach dem anderen.

Zunächst zu den Materiewellen. Gemäß der Lichtquantenhypothese hat ein Photon die Energie



und den Impuls



mit



Umgekehrt postuliert man nun für Materiewellen, dass auch Partikel wie Elektronen eine Wellennatur besitzen und sich die Frequenz gemäß



ergibt.

Betrachtet man dann ein Teilchen fester Energie, so postuliert die Existenz einer Materiewelle gemäß



D.h. man ordnet jedem Teilchen auch eine Welle zu!

Das Bohrsche Atommodell geht nun davon aus, dass Elektronen in festen Kreisbahnen um den Kern umlaufen, wobei die zugeordnete Wellenlänge ein ganzzahliges Vielfaches des Bahnumfangs ist, also



Man setzt nun die Zentrifugalkraft gleich der el.-mag. Anziehungskraft auf das Elektron, d.h.



mit



Eliminiert man Frequenz bzw. Wellenlänge so kann man nach dem Radius auflösen



und Energie = Summe aus potentieller und kinetischer Energie berechnen:



Das Bohrsche Atommodell besagt also:
- das Elektronen auf kreisförmigen, stabilen Bahnen um den Kern laufen
- dass diese Bahnen stabil sind und dass es entlang dieser Bahnen eine Materiewelle gibt, deren Wellenlänge exakt auf die Bahn passt
- dass sich daraus diskrete Energieniveaus ergeben (die den experimentell gemessenen Niveaus entsprechen)
- dass Differenzen der Energieniveaus den Absorptions- bzw. Emissionspektren entsprechen

Der Begriff der Orbitale kommt erst im echt quantenmechanischen Atommodell vor!

Das grundlegende Postulat, das Bohr nicht erklären kann ist, warum es diese kreisförmigen, stabilen Bahnen gibt, denn nach der klass. El.-dyn. müssten die Elektronen Energie (gemäß der Umlauffrequenz) abstrahlen und in den Kern stürzen. Das Modell kann also die Stabilität der Atome nicht erklären - es muss sie fordern. Ein wichtiger Input ist dabei die stehende Welle entlang der Elektronenbahn. Diese stehende Welle wird man in der Quantenmechanik wiederfinden.

Ein weiteres Problem ist die Einbeziehung Auswahlregeln (manche Übergänge zwischen Energieniveaus sind verboten - es gibt keine zugehörige Emission oder Absorption). Das Modell kann dies nicht erklären.

Atome mit mehren Elektronen sowie die chemische Bindung in Molekülen kann im Rahmen dieses Modells nicht verstanden werden.

Trotzdem hat das Modell einige Erfolge zu verzeichnen, insbs. die Reproduktion der einfachsten Spektren. Es stellt jedoch nur ein Modell des Übergangs dar, das bereits einige Elemente der QM berücksichtigt (stehende Wellen), ohne dafür die Begründung zu liefern.

So nächste Frage: Welche Konzepte mussten denn nun über Bord geworfen werden, um zu der letztlich bis heute gültigen Formulierung der QM zu kommen?
Gruß
Tom

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Beitrag von breaker » 2. Okt 2008, 15:32

So, ich hab schon n ganze Weile nix mahe geschrieben, weil vor kurzem mein Studium angefangen hat und ich seitdem relativ wenig Zeit und auch in meiner Wohnung noch kein Internet habe.

Zur Frage:
Man muss sicherlich das mit den Kreisbahnen über Bord werfen und zu den Orbitalen übergehen.
Von Herrn Lesch habe ich noch im Kopf, dass man das Elektron innerhalb eines Atoms überhaupt nicht als Teilchen sieht, sondern als Welle und dass es deshalb nicht in den Kern fällt.

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Beitrag von tomS » 2. Okt 2008, 23:25

Hi, viel Spaß an der Uni - hoffe, die Erwartungen werden erfüllt.

Zu den Orbitalen und Bahnen:

Zunächst sollte man mal verstehen, was an der klassischen Physik nicht funktioniert und warum man überhaupt was Neues braucht. Deswegen die Diskussion mit den Bahnen und dem Bohrschen Modell.

Du hast recht: genau dieses Bild muss man über Bord werfen.

Zu den Orbitalen bzw. Elektronenwellen: das sagst du so einfach! Aber in der Nebelkammer oder einem Zähler ist das Elektron eben keine Welle sondern ein Teilchen - also hilft diese Erkenntnis nicht wirklich weiter. Es hängt vom Phänomen / Experiment / der Fragestellung ab, als was das Elektron in Erscheinung tritt, d.h. es gibt eben diesen Welle-Teilchen-Dualismus.

Extrem phänomenologisch formuliert "ist" das Elektron sicher keine Welle, es "erscheint" nur unter bestimmten Umständen als Welle. Im Atom "erscheint" es aber gar nicht, es ist lediglich ein Hilfskonstrukt! Daher plädiere ich dafür, noch mehr über Bord zu werfen, nämlich in gewisser Weise den Realismus!

Am besten beschreibt man das Elektron über einen abstrakten Zustandsvektor |Elektron). Daraus kann ich nun eine Wellenfunktion konstruieren, indem ich nämlich den Zustand |Elektron) auf den Zustand |Elektron ist lokalisiert im Punkt x) projiziere; das Ergebnis ist meine Wellenfunktion in Abhängigkeit von x.

D.h. aber dass diese Konstruktion der Wellenfunktion auf den Begriff des lokalisierten Punktteilchens zurückgreifen muss. Demnach sind beide untrennbar verbunden. Aus dem obigen "ist" wird dann "lässt sich beschreiben durch".
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 3. Okt 2008, 09:56

Hi,

ich bin noch die Formeln Berechnung des Compton-Effektes schuldig:

Ein Photon der Frequenz ν falle entlang der x-Achse ein und werde unter einem Winkel θ gestreut; Gesamt-Energie und -Impuls vor und nach dem Stoß lauten







Quadrieren und Auflösen der Energie-Impuls-Beziehung für E' liefert



Auflösen der Impulsbeziehung für p' nach den Anteilen für den Streuwinkel des Elektrons, Quadrieren und Addieren liefert



Durch das Quadrieren und Addieren fallen alle Terme, die den Streuwinkel des Elektrons enthalten, wegen sin² + cos² = 1 weg.

Subtrahieren der letzten beiden Gleichungen sowie Kürzen liefert sofort



Statt der Frequenz ν betrachtet man die Wellenlänge λ = c/ν. Außerdem definiert man die sogenannte Comptonwellenlänge des Elektrons



Damit erhält man für die Wellenlängendifferenz



die Beziehung



Damit sind die messbaren Größen Streuwinkel und Wellenlängen direkt zueinander in Beziehung gesetzt.

Wichtig bei der Ableitung ist, dass wir ständig im Teilchenbild gerechnet haben, d.h. wir haben angenommen, dass zwei Teilchen mit fester Energie und Impuls aneinander streuen. Der Rückgriff auf Frequenzen und Wellenlängen erfolgt lediglich, um eine Beziehung zu einem anderen Teil des Experiments, nämlich der Erzeugung bzw. Detektion von monoenergetischen und damit monochromatischen Photonen herzustellen. D.h. bzgl. Erzeugung und Detektion verhalten sich die Photonen wie Wellen, bzgl. des eigentlichen Stoßprozesses jedoch wie Teilchen - wir haben keine Wellengleichung für Elektronen im el.-mag. Feld verwendet!

Würde man die „Streuung“ klassisch im el.-mag. Feld berechnen, so würde man erwarten, dass das Elektron kontinuierlich Energie aus dem el.-mag. Feld aufnimmt. Für das el.-mag. Feld erwartet man dann nach der „Streuung“, dass es bei identischer Wellenlänge eine geringere Intensität hat. In der Praxis beobachtet man jedoch das davon völlig verschiedene Verhalten gemäß der obigen Herleitung.

Bisher haben wir den eigentlichen Compton-Effekt = die Streuung hochenergetischer Photonen an ruhenden Elektronen betrachtet. Man kennt auch den sogenannten inversen Compton-Effekt = die Streuung hochenergetischer Elektronen an Photonen. Er spielt eine Rolle in der Astrophysik, insbs. in Akkretionsscheiben aktiver Galaxienkerne, Supernovae sowie bei der inversen Compton-Streuung von Protonen an der kosmischen Hintergrundstrahlung. Letztere beschränkt die Maximalenergie nachweisbarer Protonen in der kosmischen Strahlung und führt zu genauen Tests bzgl. der Lorentzinvarianz von Quantengravitationstheorien, double-SRT u.a.

Der inverse Comptoneffekt kann natürlich über eine Lorentztransformation aus dem normalen Comptoneffekt abgeleitet werden. Man transformiert in das System, in dem die Energie der Photonen (z.B.) der Energie aus der kosmischen Hintergrindstrahlung entspricht. Ebenso müssen dann Impulse sowie Wellenlängen bzw. Frequenz und Streuwinkel transformiert werden.

Der Comptoneffekt kann in einer erweiterten Theorie QED) genauer berechnet werden. Dabei findet man, dass die sogenannte klassische Näherung (ohne die Beteiligung virtueller Teilchen) die obigen Resultate exakt reproduziert. Zusätzliche Beiträge erhält man aufgrund der virtuellen Photonen und Elektronen; diese liefern jedoch nur „kleine“ Korrekturen.
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 5. Okt 2008, 14:44

Wenn soweit alles klar ist, dann hier die nächste Frage:

Wie definiert man die Wellenfunktionen eines Teilchens, z.B. bei einer ebenen Welle?
Was sagt diese dann bzgl.Ort, Impuls und Energie aus bzw. wie definiert man diese?
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 11. Okt 2008, 16:31

also ich helfe mal etwas nach:

eine eben Welle beschreibt man durch eine komplexe e-Funktion:



mit



Der Ort ist dann x, der Impuls p wird jedoch zum Impulsoperator P!



Angewandt auf die Wellenfunktion erhält man



Damit ist die ebene Welle eine sogenannte Eigenfunktion zum Impulsoperator P. Ein Teilchen, das durch eine ebene Welle beschrieben wird, hat damit einen festen Impuls p.

Die Interpretation ist dann im wesentlichen die Folgende:

Die Wahrscheinlichkeit, bei der Messung dieses Teilchens den Impuls p zu finden ist 1; die Wahrscheinlichkeit einen anderen Impuls p' zu finden ist 0.

Hilft das weiter?
Gruß
Tom

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Beitrag von breaker » 11. Okt 2008, 21:25

Ja, die Energie bekommt man dann auch mit einem entsprechenden Operator. Ich hab gerade in ein PDF zur Quantenmechanik geschaut, aber da ist die Wellenfunktion leider nicht komplex und es gibt irgendwie zwei Versionen. Eine, in der der Impuls vorkommt und eine, in der die kinetische Energie vorkommt.
Diese lautet:

Daraus ergibt sich ohne große Probleme als Operator für die kinetische Energie: .
Aber eben nur, weil in dieser Wellenfunktion die kinetische Energie schon drinsteckt.
Zuletzt geändert von breaker am 21. Dez 2009, 17:30, insgesamt 1-mal geändert.

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Beitrag von tomS » 11. Okt 2008, 21:48

OK, wenn du schon damit angängst, dann eben gleich jetzt.

In der klassichen Mechanik gilt für Impuls und Energie:





Wenn man nun q.m. den Impulsoperator definiert als



Dann findet man durch quadrieren sofort



Der Grund für dir Form den Operators der kinetischen Energie resultiert also aus der klassischen Beziehung zwischen Impuls und kinetischer Energie sowie aus dem Impulsoperator selbst.

Nächste Frage: gilt diese Beziehung allgemein oder nur für ebene Wellen?
Gruß
Tom

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Beitrag von breaker » 12. Okt 2008, 14:48

Ich verstehe nicht ganz den Zusammenhang zwischen Operatoren, Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeit.

Heißt 'ebene Welle', dass man eine Dimension hat?
Dann wäre der Unterschied zu mehreren Dimensionen schonmal, dass man Bereichs- bzw. Volumenintegrale für die Wahrscheinlichkeit benötigt. Das steht zumindest bei Wikipedia.

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Beitrag von tomS » 12. Okt 2008, 16:55

Lass mal die mehreren Dimensionen gut sein.

Eine ebene Welle ist im einfachsten Fall eine Schwingung in einer räumlichen Dimension mit einer festen Wellenlänge - so wie ich es oben hingeschrieben habe. Die zeitliche Schwingung mit der entsprechenden Frequenz habe ich noch nicht hingeschrieben, die kommt später.

In mehreren Dimensionen müsste man noch die Ausbreitungsrichtung der Welle angeben, aber das kommt ebenfalls später.

Zur Wahrscheinlichkeit: Die Wellenfunktion ψ gibt die Amplitude einer Welle an; das Quadrat der Amplitude ist dann sowas wie eine Dichte ρ - im Falle der Q.M. eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Da die Wellenfunktion komplex ist, muss man nun noch den Absolutbetrag nehmen.



Für einen Erwartungswert einer Messgröße A(x) bei einer Wahrscheinlichkeitsdichte ρ ergibt sich im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung



Im einfachsten Fall - nämlich für A(x) = x ergibt sich:



Für andere Messgrößen = Operatoren A wird dies etwas komplizierter. Z.B. gilt die obige Formel nicht mehr für den Impuls p, denn was soll dann p(x) sein? Man schreibt dazu:



und erhält mittels der Darstellung für den Impulsoperator



die Gleichung


Dabei ist p jetzt der Impulsoperator in Ortsdarstellung, also keine Funktion von x sondern ein Operator, der auf Wellenfunktionen wirkt, die von x abhängen.

Damit kann man nun für allgemeine Wellenfunktionen ψ den Ewartungswert des Impulses p ausrechnen.

Dummerweise funktioniert dies nun gerade für die o.g. ebene Welle nicht so einfach, denn man erhält ja



Das Problem ist, dass die ebene Welle selbst nur mit Tricks zu bändigen ist. Für eine Wahrscheinlichkeitsdichte muss gelten



denn damit ist due Gesamtwahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo zu finden exakt gleich 1.

Für die ebene Welle gilt wegen



jedoch



Deswegen war es von mir wohl etwas voreilig, mit den Wahrscheinlichketen anzufangen. Diese sind i.A. gut definiert und man kann vernünftig mit ihnen rechnen; im Falle der ebenen Wellen benötigt man jedoch sogenannte Distributionen (ein verallgemeinerter Funktionsbegriff) um mit ihnen umgehen zu können.

Zusammenfassend:

Die Wellenfunktion ist eine Wahrscheinlichkeitsamplitude; das Absolutquadrat eine Wahrscheinlichkeitsdichte.
Für jede Messgröße (z.B. x, p, E, ...) kann man einen Operator A konstruieren.
Der Erwartungswert der Messgröße für ein Teilchen, das zur eine bestimmte Wellenfunktion beschrieben wird, lautet



Ein Teilchen, für das der Operator A angewandt auf die Wellenfunktion einen festen Wert a ergibt, ist in einem Eigenzustand zu A. Damit ist der Wert der Messgröße festgelegt. Dies entspricht dem Eigenvektorbegriff in der linearen Algebra.



In diesem Sinne ist die ebene Welle eine Eigenfunktion zu p (nicht jedoch zu x, den x ψ(x) ist keine Konstante * ψ(x), sondern eine neue Funktion).

Die ebenen Wellen dienen dazu, die Darstellung des Impulsoperators als Ableitung nach x zu motivieren. Der Impulsoperator multipliziert die ebene Welle einfach mit einer Konstanten, nämlich dem Impuls p, den die ebene Welle trägt.
Gruß
Tom

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