nachdem ich immer wieder über Pfadintegrale schreibe, wollte (sollte) ich mal kurz zusammenfassen, um was es dabei geht. Die Mathematik ist so knapp wie möglich, aber ganz ohne Formeln geht es nicht. Zur Interpretation können wir dann gerne diskutieren.
Die Bedeutung der Wirkung S[C]
Zuerst müssen wir uns mal die Lagrange-Formulierung der klassischen Mechanik anschauen. Dazu bezeichnen die kinetische Energie mit T und die potentielle Energie mit V. Üblicherweise ist T = T(v) mit v = dr/dt und T= mv² / 2. V ist üblicherweise eine Funktion V = V(r).
Dann definiert man die Energie E = T + V und die Lagrangefunktion L = T - V
Betrachten wir nun eine Kurve C(r) mit r=r(t), d.h. unser Testteilchen bewege sich (im Potential V) entlang dieser Kurve C. Die Geschwindigkeit entlang dieser Kurve sei v = dr/dt.
Nun können wir für jede gedachte Kurve C eine Größe, die sogenannte Wirkung S[C] berechnen:
S[C] hängt von der Form von C, sowie von der Geschwindigkeit, mit der C durchlaufen wird.
Wir können S[C] für jede beliebige Kurve C definieren, also unabhängig davon, ob C eine physikalisch reale Bahn ist, oder nur eine fiktive. Das Prinzip der minimalen Wirkung besagt nun, dass sich unser Teilchen aus allen Kurven C die Kurve C° für seine Bewegung aussuchen wird, für die obiges S[C] mit S[C°] = S° minimal wird. Nach diesem Prinzip sind alle heute gültigen Theorien (von der Newtonschen Mechanik über die ART hin zur Elektrodynamik, Quantenmechanik und allen Quantenfeldtheorien) aus einem geeigneten S ableitbar!
Das klingt zunächst ähnlich wie eine Aufgabe aus der Differentialrechnung: „finde das Minimum x° einer Funktion f(x)“. Hier handelt es sich jedoch um die wesentlich schwierigere Aufgabe: „finde das Minimum C° eines Funktionals S[C]“, d.h. die Lösung ist nicht ein Punkt x°, sondern eine Kurve C°.
Bei gegeben T und V kann man aus dieser Bedingung die sogenannte Euler-Lagrange-Gleichung ableiten. In der Praxis stellt man fest, dass die (allgemeinere) Euler-Lagrange-Gleichung im einfachen Fall der klassischen Mechanik äquivalent zur Newtonschen Bewegungsgleichung mit F= ma ist. Die Beschleunigung a ist die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit a = d²r / dt², die Kraft F(r) ist die erste Ableitung des Potentials nach dem Ort F = - dV/dr, d.h. man erhält je Problemstellung (V=0: freies Teilchen, V~1/r: Keplersche Gesetze, ...) die entsprechenden Gleichungen.
Hier interessiert lediglich das Konzept der Wirkung S[C], die Minimierung von S[C] und die Lösung C°.
Zur Quantenmechanik
Man definiert zunächst einen Zustand |x, t), in dem ein Teilchen zu einem Zeitpunkt t am Ort x lokalisiert ist; x = x(t) kann zeitabhängig sein. Dieses quantenmechanische Konzept kommt dem eines Punktteilchens in der klassischen Physik am nächsten.
Für zwei lokalisierte Zustände (= Ortseigenzustände) |xº, tº) und |x, t) definiert man die Übergangsamplitude
Klassisch bewegt sich ein Punktteilchen auf einer Bahn C°, die die oben diskutierte Euler-Lagrange-Gleichung löst. In der Q.M. ist ein Punktteilchen üblicherweise keine Lösung der Theorie, sondern man hat es mit komplizierteren Wellenfunktionen zu tun. Trotzdem kann man betrachten, wie die Zeitentwicklung eines Punktteilchens in der Quantenmechanik aussieht. Dabei passiert etwas Erstaunliches: ein lokalisiertes Teilchen |x, t) wird nicht punktförmig bleiben, sondern es wird „zerfließen“, also unscharf werden. Dieses „Zerfließen“ kann man an der genauen Form von (x, t| xº, tº) ablesen, es hängt wesentliche von der Form der Wechselwirkung bzw. des Potentials ab, in dem sich das Teilchen bewegt.
Man kann also die Frage stellen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass aus einem punktförmiges Teilchen |xº, tº) am Ort xº zum Zeitpunkt tº ein wiederum punktförmiges Teilchen |x, t) an einem neuen Ort x zu einem späteren Zeitpunkt t wird. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist das Betragsquadrat der (i.A. komplexen) Übergangsamplitude (x, t| xº, tº).
Die Übergangsamplitude (x, t| xº, tº) heißt auch Propagator, da man mit ihrer Hilfe die Zeitentwicklung einer beliebigen Wellenfunktion über die Zeit berechnen kann:
Insofern ist die Quantenmechanik eine vollständig deterministische Theorie!
Zum Pfadintegral
Man betrachtet nun als nächstes, wie ein Teilchen vom Ausgangszustand |xº, tº) über Zwischenzustände |x¹, t¹) in den Endzustand |x, t) übergeht. Man darf diese Zwischenzustände nicht fest vorgeben, sondern muss alle möglichen Orte x¹ für die gewählte Zeit t¹ zulassen. Formal schreibt man dies mittels eines Integrals dx¹ über alle möglichen Zwischenzustände |x¹, t¹)
Man betrachtet also, wie das Teilchen aus dem Ausgangszustand in alle möglichen Zwischenzustände übergeht und anschließend aus diesen Zwischenzuständen in den Endzustand.
Als nächstes teilt man das Intervall zwischen tº und t in unendlich viele Zeitpunkte t¹, t², t³, ... ein, die jeweils um eine infinitesimale Zeit dt voneinander getrennt sind: t² - t¹ = t³ - t² = ... = dt. Dann betrachtet, wie das Teilchen über alle diese Zwischenzustände vom Ausgangszustand in den Endzustand übergeht:
Dabei treten nun unendlich viele einzelne Übergangsamplituden auf.
auf.
Die Auswertung der Übergangsamplituden erfordert einige Tricks, die schließlich dazu führen, dass aus dem Produkt der einzelnen Übergangsamplituden die e-Funktion.
wird.
Für Experten: man beschreibt zuerst die Zeitentwicklung der Ortseigenzustände durch den Zeitentwicklungsoperator U(dt) = {exp i H dt}; dann projiziert man die Ortseigenzustände auf Impulseigenzustände |p), d.h. man „schiebt jeweils die Eins ein“. Dadurch erhält man eben Wellen, für die man die Wirkung des kinetischen Terms T berechnen kann, um so den Impulsoperator loszuwerden. Üblicherweise tritt hier p quadratisch auf und man kann das entstehende gaußsche Integral über dp explizit berechnen. In der resultierenden Amplitude kann man nun die Terme entsprechend sortieren und findet statt E = T+V nun L = T-V im Exponenten.
Man erhält schließlich
mit
und
Die Proportionalitätskonstante ist unerheblich, da in der Praxis immer Quotienten auftauchen, so dass sie sich wegkürzt (Gott sei Dank, sie ist nämlich häufig unendlich).
Interpretation des Pfadintegrals
Die rechte Seite der letzten Formel ist nun das sogenannte Pfadintegral. Die Herleitung soll die Interpretation motivieren:
Man betrachte einen beliebigen Ausgangspunkt und einen beliebigen Zielpunkt. Man fragt nun nach der Wahrscheinlichkeit, dass ein punktförmiges Teilchen, das zum zu Beginn am Ausgangspunkt lokalisiert ist, als wiederum punktförmiges Teilchen zu einem späteren Zeitpunkt am Zielpunkt auftaucht. Z.B. kann man dies durch das Aussenden eines Elektrons und die spätere Messung auf einem Bildschirm messen.
Das Pfadintegral besagt nun, dass man zunächst die Menge aller Pfade C vom Ausgangspunkt zum Zielpunkt betrachten muss. Ein Pfad muss dabei keine gewöhnliche glatte Kurve mehr sein, sondern darf auch (beliebig viele) Knicke oder Sprünge aufweisen, rückwärts laufen, sich selbst überkreuzen usw. Für jeden dieser unendlich vielen möglichen Pfade berechnet man nun die Wirkung S[C]. Anschließend integriert man über die Menge aller Pfade. Formal könnte man daher auch schreiben
Jeder Pfad C trägt zum Integral mit einem exponentiellen Gewichtungsfaktor bei. Je größer entlang eines Pfades also S wird, desto stärker oszilliert die e-Funktion. Pfade mit jeweils vielen Oszillationen interferieren destruktiv miteinander und heben sich im Mittel gegenseitig weg.
Man kann das Pfadintegral wie folgt interpretieren: Ein q.m. Teilchen legt alle Pfade zwischen gegeben Start- und Zielpunkt zurück. Die Pfade interferieren miteinander mit der o.g. exponentiellen Amplitude. Pfade mit kleinem S in der Nähe des oben berechneten klassischen Pfades C° dominieren, Pfade mit großen S sind dagegen unterdrückt, aber kein Pfad ist von vorneherein ausgeschlossen.
Diese Interpretation der Q.M. geht auf Feynman zurück. Sie ist für die Quantenmechanik tatsächlich mathematisch zu der bekannten Schrödingergleichung äquivalent bzw. kann aus ihr abgeleitet werden und umgekehrt. Man benutzt die Formulierungen jeweils in Abhängigkeit davon, in welcher sich bestimmte Rechnungen einfacher durchführen lassen, allerdings kann man an jeder Stelle zwischen den beiden Formulierungen hin- und herwechseln.
Für die obige Ableitung benötigt man zunächst die kanonische Formulierung, d.h. man muss aus der klassischen Energiefunktion E den Hamiltonoperator H konstruieren (haben wir ausgelassen). Dieser Schritt ist oft äußerst kompliziert, so gelang in der QCD die Pfadintegralquantisierung Anfang der siebziger Jahre, die kanonische Quantisierung erst ca. 20 Jahre später! In allen Fällen, in denen beide Konstruktionen möglich waren, haben sich beide Formalismen als äquivalent erwiesen (wobei beide in Quantenfeldtheorien von den bekannten Unendlichkeiten geplagt sind). Dies hat dazu geführt, dass man häufig auch ohne explizite Konstruktion von H das Pfadintegral auf Basis der klassischen Wirkung direkt als Definition der quantisierten Theorie heranzieht.
Dazu ist zu sagen, dass sich die Komplexität im Pfadintegral in dem unscheinbaren Kürzel DC, dem sogenannten Maß verbirgt. Im obigen Fall haben wir DC über die dx eindeutig konstruiert, in Quantenfeldtheorien ist dies teilweise nicht eindeutig möglich! So ist z.B. die Quantisierung der ART über ein Maß im Raum aller Metriken inkonsistent (Wheeler-deWitt Gl., Hawkingsche keine-Grenzen-Formulierung), die Quantisierung der QCD über ein Maß im Raum aller Eichfelder hat ähnliche Probleme (Gribov-Copies, FP-Ghosts). Man kann also festhalten, dass die Pfadintegralquantisierung immer über eine kanonische Quantisierung abgesichert werden sollte.