Phasordiagramme

[wilfried]

Liebe Freunde der Astrophysik

mal wieder -wie kann es denn auch anders sein- eine Spezialität aus der Quantentheorie:

PHASORDIAGRAMME

Wer von Euch hat diese bereits angewandt? Wenn hier jemand sein sollte, so interessiert mich, wie die Parameter der Wigner Verteilung gewählt wurden und ob die fensterfreie Wigner eigentlich so "nackt" überhaupt anwendbar ist.

Kurzer Hintergrund für diejenigen, welche mit diesem Begriff gar nichts anfangn können:

Wir haben es hier zu tun mit Vielphotonenzuständen. Diese lassen sich über das elektrische Feld mittels des Hamilton Operators beschreiben. Im Gegensatz zur klassischen Optik, worin die EM Wellen mit Amplitude und Phase (bezogen auf eine Eich- oder Referenzwelle) erklärt werden können, ist das in der Quantenmechanik nicht machbar. Es wird eine Quadraturoperation durchgeführt. Das ist so ähnlich wie die Beziehung sinus zu cosinus, welche ebenfalls einen 90 Grad Phasenversatz -eine Quadratur- besitzt. Es ist mal wieder eine Eigenschaft der Quantenmechanik, daß es hier ein Problem mit der Kommutator Eigenschaft, denn die Observablen dieser Quadratur kommutieren nicht, sondern sie folgen der Heisenberg'schen Unschärfe.

Die Klasse von quantenmechanischen Zuständen, die eine klassische EM Welle beschreiben, sind die kohärenten Zustände. Der Erwartungswert entspricht der Feldamplitude und besitzt minimale Unschärfe (Messungenauigkeit). Ein kohärenter Zustand entsteht aus dem Grundzustand des harmonischen Oszillators, wobei er im Ort verschoben und selbigem ein mittlerer Impuls zugeteilt wird.

Für die Kohärenzbedingung findet man auch, daß es der einzige Zustand ist, bei dem die Unschärfen symmetrisch sind, d.h. auf beiden Quadratursignalen gleichmäßig verteilt vorliegen und sogar noch unabhängig vom Verschiebeoperator sind.

Detektoren können die Intensität des Feldes messen. DIese ist proportional zu den Photonenzahlen. Interessant ist es, eine Information über die Verteilungsfunktion dieser Photonen zu erhalten, also eine Photonenstatistik.

Eine gute Darstellung für solche quantenmechanischen Vielphotonendarstellungen sind Phasordiagramme. Diese sehen etwa so aus:

Gemalt wird ein Einheitkreis, wobei die beiden senkrecht aufeinanderstehenden Achsen die Feldquadraturkomponenten bilden. Der sich bildende Summenvektor vollführt eine Kreisbahn mit Radius R. Am Ortspunkt des Vektorpfeils könnt ihr Euch einen Verteilungskreis -eine kreisförmige Phasenwahrscheinlichkeit- vorstellen. Das ist das Phasordiagramm.

Nur ist dieser Phasenoperator sehr schwer zu definieren oder vieleicht muß ich sogar sagen (Al Du weißt das vieleicht besser als ich) er ist schlichtweg unzureichend definiert. Damit ergibt sich die Schwierigkeit Amplituden- als auch Phasenoperatoren direkt anzuwenden.

Haben wir -als Ausnahme einmal gesehen- helle, d.h. energiereiche Lichtstrahlen, so kann dann die Amplitude und Phase zumindest in erster Näherung gut betrachtet werden. So etwa 10^9 Photonen pro Lichtpuls sind da schon ein ganz guter Wert.

Behaltet bitte im Fokus: Der Vektor rotiert, wir haben hier eine Drehmatrix vorliegen. Diese habe ich ja im Forum in einem MAPLE Beispiel bereits gezeigt.

Eine ganz brauchbare Beschreibung der Quantenstatistik eines Lichtfelds ist die Wigner-Verteilung, die Eugenie Wigner 1932 veröffentliche hat.

Siehe:
http://en.wikipedia.org/wiki/Wigner-Ville_distribution

Es werden hier die Komponenten der komplexen Amplitude verwendet. In der klassischen Mechanik sind das die kanonischen Parameter: Ort und Impuls.

In der Quantenmechanik sind jedoch die konjugiert komplexen Variablen nicht gleichzeitig exakt bestimmbar und eine gemeinschaftliche Wahrscheinlichkeitrechnung ist folglich nicht durchführbar! Deshalb bedient man sich der Quasiwahrscheinlichkeitsberechnungen. Die Wignerverteilung gehört in diese Klasse.

Letztlich stellen die Phasor-Diagramme einen Schnitt auf halber Höhe durch den 3-dimensionalen Plot einer Wigner-Verteilung dar. Wird diese Wigner-Verteilung projiziert auf einen Konturenplot, so kann das zugehörige Phasor-Diagramm mit der Amplitudenauslenkung sowie der Konur erstellt werden.

Klar, es gilt für die Amplituden- als auch für die Phasen-Quadratur die unschärfe Bedingung oder Relation.

Es ist jedoch möglich, die Unschärfe einer Quantenvariablen auf Kosten der Unschärfe der konjugierten Quantenvariablen zu ändern!!
Dazu muß die Varianz der konjugierten Quadratur unter der zugehörigen Varianz des konjugierten Zustandes liegen. Dann wird im Phasor-Diagramm die Fläche des Unschärfebereichs für alle Zustände minimaler Unschärfe gleich bleiben. Im Phasor Diagramm wird man dies dann als elliptische Kurven sehen. Der zugehörige Tensor zeigt damit symmetrische Verzerrungen.


Netten Gruß und gute Nacht

Wilfried