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Heisenberg's Unschärferelation radikal herunterdestilliert?

Quantenmechanik, Unschärfenrelation, Welle-Teilchen-Dualismus, Rechenmethoden sowie Interpretation der Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie
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Pippen
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Heisenberg's Unschärferelation radikal herunterdestilliert?

Beitrag von Pippen » 25. Okt 2016, 00:01

1. Quantenphysiker postulieren einen kleinst-möglichen (W)ert für jedes quantenmechanische Phänomen.
2. Daher gilt für jede (quantenmechanische) (G)röße: G >= W, d.h. G kann nie beliebig genau ("perfekt") bestimmt werden.

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Re: Heisenberg's Unschärferelation radikal herunterdestilliert?

Beitrag von tomS » 25. Okt 2016, 00:32

Pippen hat geschrieben:1. Quantenphysiker postulieren einen kleinst-möglichen (W)ert für jedes quantenmechanische Phänomen.
Nein.

Erstens nicht für jedes Phänomen (z.B. kann eine Energie auch kontinuierliche, beliebe kleine, positive Werte annehmen).
Zweitens folgen die tatsächlich quantisieren bzw. diskreten Eigenschaften beweisbar aus den Axiomen der QM und werden nicht postuliert; diese Axiome enthalten kein Postulat, dass irgendwelche Werte diskret wären.
Pippen hat geschrieben:2. Daher gilt für jede (quantenmechanische) (G)röße: G >= W, d.h. G kann nie beliebig genau ("perfekt") bestimmt werden.
Was soll G >= W sein?

Die Tatsache, dass diskrete Größen auftreten, hat nichts mit der Unschärfe zu tun u.u. Diskrete Größen können prinzipiell exakt bestimmt werden, lediglich für eine Kombination bestimmter Größen funktioniert das nicht. Und in der genannten Kombination sind auch kontinuierliche Größen unbestimmt. Die Tatsache, dass die Unschärfe in diesen Kombinationen auftritt, hat nichts mit den Werten in einem speziellen System zu tun.

Die Unschärfenrelation folgt generisch für beliebige Systene aus den Axiomen.
Die Diskretheit für bestimmte Größen folgt für spezielle Systene, nicht für alle.
Gruß
Tom

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Re: Heisenberg's Unschärferelation radikal herunterdestilliert?

Beitrag von deltaxp » 25. Okt 2016, 11:24

Das ist wichtig den Unterschied zu verstehen , pippen.

Nimm ein klassisches Elektron. ein freies Elektron kann jeden beliebigen energiewert annehmen, kontinuierlich, das sind alles (Eigen)Lösungen der schrödingergleichung,

jetzt packst du ein potential dazu, z.b. das eines atomkerns, dann kriegst du diskrete (Eigen)Lösungen der schrödingergleichung , eben die energie-Niveaus.
eigen-Lösungen müssen es sein, weil du nur so die Observable ; einen bestimmten (zeitunabhängigen) wert zuweisen kannst (sonst kannst du ja nicht sagen: DIE Energie)
ob das eigenwert-Spektrum des Hamilton (Energie)-Operators) nun kintinuierlich oder diskret ist, hängt vor allem vom Potential ab. Soweit erinenre ich mich noch aus meinem Studium vor, oha,vor über 20 jahren. ich hoffe das stimmt noch so mit meier Erinnerung, Tom wird das sonst sicher richtigstellen :P

Und auch das zweite was Tom, sagt, ist wichtig zu verstehen. Unschärfe gilt für Kombinationen von bestimmten Observablen, z.B. komplementäre größen wi ort und impuls, Energie und zeit (impuls/Energie sind die fouriertransformierten von ort und zeit). du kannst eine der größen beliebig genau messen, aber dann nicht die zweite. Es gibt aber auch Kombinationen von zwei Grössen, die man beliebig genau messen kann. wie zb, Ladung und impuls. welche Kombination von grössen man gleichzeitig beliebig genau messen kann, kann man an den verhalten der Kommutatoren der zugehörigen Operatoren sehen, sind die 0, geht's, sind sie ungleich 0 , dann nicht.

Bei Energie und zeit holft z.b der wellenaspekt zu Veranschaulichung. die unschärfe kennt man nämlich auch in der signalverarbeitung. Wenn du z.B. die Frequenz eines Sinus-signals (frequens aka Energie, Sinus aka ebene welle) müsstest du unendlich viel zeit aufwenden um die Frequenz exakt zu bestimmen. wenn du aber nur endlich viel zeit afwendest, wird die Frequenz die du misst immer unschärfer, wenn du unendlich wenig zeit verwendes (zeit ganz genau kennst) erwischst du das Signal an irgendeinem amplitudenwert, aber kannst nix darüber aussagen wie es sich verhält, also keine aussage über seine Frequenz machen.

Wenn wir schon bei wellen sind. wenn du am strand bist und ne lange ebene welle auf den strand zuläuft, kannst du ziemlich genau ihren impuls (Richtung) bestimmen, aber nicht sagen wo sie ist, sie zieht sich von links nach rechts lang hin, du kannst schon gar nicht sagen wo ihr Ursprung war. wirfst du eine stein in den Teich, kannst du genau sagen wo ihr Ursprung war, aber du kannst nicht sagen sie geht in die Richtung, sie geht kreisförmig in alle richtungen.

aber nicht vergessen, dass sind klassische Analogien, die auf dem wellenaspekt beruhen. hilft dir z.b wenig bei drehimpulsalgebra.

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Re: Heisenberg's Unschärferelation radikal herunterdestilliert?

Beitrag von positronium » 25. Okt 2016, 11:49

deltaxp hat geschrieben:ob das eigenwert-Spektrum des Hamilton (Energie)-Operators) nun kintinuierlich oder diskret ist, hängt vor allem vom Potential ab.
Es hängt von der Potentialhöhe ab: An den Orten, an denen die kinetische Energie im Potential negativ wird, "kippt" die Wellenfunktion von der Drehung in der komplexen Zahlenebene hin zu einer asymptotischen Annäherung an Null. Ist ein solcher Punkt in alle Richtungen vorhanden, kommt es zum Übergang vom kontinuierlichen ins diskrete Spektrum.
deltaxp hat geschrieben:Es gibt aber auch Kombinationen von zwei Grössen, die man beliebig genau messen kann. wie zb, Ladung und impuls.
Ladung ist doch keine Observable - oder doch so darstellbar?

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Re: Heisenberg's Unschärferelation radikal herunterdestilliert?

Beitrag von deltaxp » 25. Okt 2016, 11:50

Observable ist das was ich messen kann, Ladung kann ich messen durch Ablenkung im Magnetfeld. aber ist in diesem zusammenhang vielleicht kein gutes Beispiel. zwei Impulse in x und y Richtung müssten auch gehen, oder sogar ort in x und impuls in y Richtung, oder ort in x und ort in y, da sind die Kommutatoren auch alle 0

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Re: Heisenberg's Unschärferelation radikal herunterdestilliert?

Beitrag von Pippen » 25. Okt 2016, 15:23

Aha, danke erstmal.

1. Mich interessiert die grundlegende Herleitung der Unschärferelation (UR). Kann man sagen: Die UR ergibt sich aus anderen Gleichungen (Annahmen) der Quantenphysik? Wieso war es dann so eine besondere Leistung von Heisenberg, denn wenn man sich auf YT die Herleitung anschaut, dann erscheint diese doch recht einfach: 2 Gleichungen miteinander verknüpfen, umformen und fertig ist delta_x * delpa_p = h/2, woraus sich ergibt, dass delta_x (Ort) und delta_p (Implus) nicht beide beliebig sein können.

2. Kann die UR experimentell getestet (widerlegt) werden?

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Re: Heisenberg's Unschärferelation radikal herunterdestilliert?

Beitrag von tomS » 25. Okt 2016, 17:02

Pippen hat geschrieben:Mich interessiert die grundlegende Herleitung der Unschärferelation (UR). Kann man sagen: Die UR ergibt sich aus anderen Annahmen der Quantenphysik?
Die HUR folgt allein aus der Tatsache, dass ein Hilbertraum für Zustände mit selbstadjungierten Operatoren als Observablen verwendet wird. Mehr benötigt man nicht. Insbs. benötigt man kein spezifisches System; der Beweis gilt für alle Systeme, die sich an diese Axiome halten.
Pippen hat geschrieben:Wieso war es dann so eine besondere Leistung von Heisenberg, denn wenn man sich auf YT die Herleitung anschaut, dann erscheint diese doch recht einfach: 2 Gleichungen miteinander verknüpfen, umformen und fertig ist delta_x * delpa_p = h/2, woraus sich ergibt, dass delta_x (Ort) und delta_p (Implus) nicht beide beliebig sein können.
Die axiomatische Formulierung der QM sowie das Konzept des Hilbertraumes waren den Physikern 1925-27 nicht bekannt; die Formalisierung erfolgte erste später, insbs. durch Dirac und von Neumann, ca. 1929.
Pippen hat geschrieben:Kann die UR experimentell getestet (widerlegt) werden?
Man kann sich wahrscheinlich Experimente ausdenken, die theoretisch die HUR könnten. Ich bin aber kein Experimentalphysiker und kann das nicht beurteilen.
Gruß
Tom

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Re: Heisenberg's Unschärferelation radikal herunterdestilliert?

Beitrag von deltaxp » 26. Okt 2016, 10:38

Impuls misst man bei geladenen Teilchen durch die Ablenkung im Magnetfeld (konstant, dann hat man nen schönen Kreis) , du kannst also bevor das Teilchen, sagen wir Elektron, in das Magnetfeld eindringt einen sehr engen spalt positionieren durch den das Elektron durchmuss und dann impuls messen durch Ablenkung im Magnetfeld. das machst du immer und imemr wieder und wirst eine streung im impuls messen.

letzlich macht man das ohnehin in jedem Hochenergiephysik experiment, aber die Messungenaigkeiten sind ejh vieel größerer als das für die HU eine rolle spielt, denn h ist nunmal sehr sehr klein. aber so könnte man es machen, dann könntest du noch die spalt größe varieren und die variation der impulsverteilungen messen.

aber man darf eines nicht vergessen, wenn man versucht komplementäre größen zu messen. das ist letzlich ein sogenanntes Heisenberg-Mikroskop: durch den versuch der Messung beeinflusse ich das System so, dass das was ich messen will direkt durch die Messung selbst erzeugt wird, self-fullfilling prophecy.

denn letzlich heist die Position eines Elektrons zu messen, ein photon drauf zu schiessen, je genauer ich den ort messen will, desto kürzer muss die Wellenlänge des photons sein, deto mehr Energie hat es, die Energie übetrage ich zumindest teilweise aufs zu messende Elektron, lenke es dadurch ab und ändere seinen impuls. Das kann man bei der Interpretation der Messergebnisse rein klassisch entgegenhalten, die HU ist aber unabhängig davon, sie ist inhärent eine direkte Folge der QM.

das Problem hast du z.b auch bei der Komplementarität beim fall in ein schwarzes loch. die niedrige Temperatur eines schwarzen loches , die wir messen ist nur deshalb so niedrig, weil die hawking-strahlung, die am Horizont erzeugt wird so stark gravitativ rot verschoen ist. dort selbs ist es sehr heiss (von weit weg runtergerechnet). wenn alic ins loch fällt und bob von weit weg zu guckt, sieht er sie also verbrennen, bevor sie direkt am EH ist (dort gibs ja dne zeitfreeze). Alice jedoch merkt gar nix und fällt durch. wer hat recht ? beide, die grössen sind komplementär, man kann nicht beide zustände gleichzeitig messen. Alice kann nie sagen zu bob sie hat den eh problemlos überschritten, da es ja ein EH ist. Wenn BOB jetzt auf die Idee kommt Alice anzufunken und durch das reflektionsbild darauf zu schliessen, ob Alice noch heil ist, gewinnt die Strahlung soviel an Energie auf dem weg zum black whole, dass sie Alice verbrennt, wenn sie getroffen wird.

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Re: Heisenberg's Unschärferelation radikal herunterdestilliert?

Beitrag von tomS » 26. Okt 2016, 12:00

Man darf natürlich die beiden notwendigen Messungen nicht am selben Objekt durchführen, sondern man muss getrennte Messungen an mehreren identisch präparierten Objekten durchführen.

Evtl. ist das ein grundsätzlicher Einwand, denn die HUR besagt, dass zwei komplementäre Eigenschaften in einem ungestörten Quantensystem eine gewisse Unschärfe haben, während man im Zuge der Messung eine Unschärfe findet, die (teilweise) durch die störende Messung = Wechselwirkung verursacht wird; das ist nicht das selbe! Zu letzterem gibt es Experimente (müsste ich raussuchen), aber diese sind prinzipbedingt ungeeignet, um die Unschärfe gemäß HUR darzustellen.

Ich weiß, die beiden Unschärfen werden in vereinfachten Darstellungen gerne vermischt, auch Heisenberg selbst hat so argumentiert, aber es handelt sich um zwei verschiedene Paar Schuhe.
Gruß
Tom

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Re: Heisenberg's Unschärferelation radikal herunterdestilliert?

Beitrag von deltaxp » 26. Okt 2016, 12:19

tomS hat geschrieben: Evtl. ist das ein grundsätzlicher Einwand, denn die HUR besagt, dass zwei komplementäre Eigenschaften in einem ungestörten Quantensystem eine gewisse Unschärfe haben, während man im Zuge der Messung eine Unschärfe findet, die (teilweise) durch die störende Messung = Wechselwirkung verursacht wird; das ist nicht das selbe!
Das wollt ich damit sagen, die Unschärfe ist inhärent, egal ob ich messe oder nicht. Aber wie man das messen soll, ohne dass ich das System beeinflusse, weiß ich nicht.

Vielleicht muss man das so ausdrücken, bei komplementären Größen, die der Unschärferelation unterliegen führt ein messversuch (eine Wechselwirkung) zu einer Störung des Systems derart, daß die Messergebnisse mindestens der Unschärfebedingung genügen. Somit erzeugt die Messung der komplementären Größen kein Widerspruch zur Unschärfebeziehung, aber kann auch nicht als deren experimenteller Beweis dienen.

ich sag ja, Quantenmechanik ist und bleibt auch nach hundert jahren voll schräg für unseren klassisch evolutionierten geist.

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