So, dann machen wir weiter im Text.
Als naechstes soll es um Hilbertraeume und Operatoren gehen. Wir werden beides anhand von Beispielen einfuehren und einige Bemerkungen dazu machen.
1. Hilbertraeume.
Ein Hilbertraum ist ein (vollstaendiger) Vektorraum mit Skalarprodukt. Wer mit Vektorraeumen nicht vertraut ist, stelle sich einen
oder
vor. Elemente aus einem Vektorraum heissen Vektoren und man kann sie addieren und mit Zahlen multiplizieren.
Ein Skalarprodukt ist eine Art, Vektoren zu multiplizieren, sodass eine Zahl herauskommt. Das Skalarprodukt zweier Vektoren v und w wird in der Regel
geschrieben.
Es muessen gewisse Rechenregeln erfuellt sein, fuer die ich hierauf verweise:
http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprod ... iomatik.29
Beispiel:
Nehmen wir
. Die Elemente von
sind Paare reeller Zahlen (x,y). Man kann sie wie folgt addieren und mit reellen Zahlen
multiplizieren:
.
Ein Skalarprodukt kann man auf
wie folgt definieren:
(man bemerke: Man ist mit zwei Zahlen
paaren gestartet und endet mit einer
Zahl.
Mit dem Raum
kann man analog vorgehen. Er besteht aus Paaren
komplexer Zahlen; man kann sie mit komplexen Zahlen multiplizieren und addieren.
Ein Skalarprodukt auf
ist z.B. gegeben durch
,
wobei
fuer komplexe Konjugation steht.
Ein weiteres Beispiel sei angegeben, um aufzuzeigen, dass Vektorraeume auch ganz anders aussehen koennen als
oder
.
Wir betrachten die Menge
aller Funktionen
, fuer die
existiert. Dann ist
ein Vektorraum (denn Funktionen kann man addieren und mit Zahlen multiplizieren) und man kann sogar ein Skalarprodukt auf
definieren. Wir koennen naemlich setzen
.
(bemerke wieder: Man startet mit Elementen des Vektorraums f,g und macht daraus eine
Zahl.)
Wer ein bisschen ueben will, kann versuchen zu zeigen, dass die oben angegebenen Skalarprodukte tatsaechlich die Axiome aus dem Wikipedia-Link erfuellen.
2. Operatoren
Es liegt nahe, auch
Abbildungen zwischen Vektorraeumen zu untersuchen (d.h. Zuordnungsvorschriften, die aus einem Vektor einen anderen Vektor machen). Besonders interessant sind sog.
lineare Abbildungen, weil sie besonders einfach sind. Lineare Abbildungen sind Abbildungen
, fuer die gilt
1)
und
2)
.
Warum sie so besonders einfach sind, kann man sehen, wenn man sich zunaechst einen Spazialfall anschaut. Lasst uns mal versuchen, alle linearen Abbildungen von
nach
zu bestimmen. (
mit der gewoehnlichen Addition und Multiplikation ist natuerlich ein Vektorraum.)
Nehmen wir uns also irgendeine lineare Abbildung A. Wir bemerken
Fuer jede reelle Zahl x muss A(x)=x A(1) gelten (auch wegen 2)).
Damit haben wir gezeigt, dass lineare Abbildungen auf
nur eine extrem einfache Form haben koennen. Sie sind allesamt gegeben durch Multiplikation mit irgendeiner Konstanten (die Konstante hiess oben A(1))! Anders ausgedrueckt: Sie haben die Form hh
.
Fuer lineare Abbildungen auf
oder
kann man auf aehnliche Weise zeigen, dass jede lineare Abbildung durch Multiplikation mit einer Matrix gegeben ist. D.h. wenn wir einen Vektor
aus
oder
nehmen (den wir uns jetzt als Spaltenvektor vorstellen), dann gibt es zu jeder linearen Abbildung
eine Matrix
, sodass
.
Fuer
beliebige Vektorraeume muss das aber nicht richtig sein.
Ein Beispiel für eine lineare Abbildung auf einem Vektorraum, der nicht
ist, kann man z.B. auf dem Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen finden. Die Abbildung
erfüllt die Eigenschaften 1) und 2), aber ist nicht als Matrix darstellbar.
Lineare Abbildungen zwischen allgemeinen Vektorraeumen bezeichnet man auch als (lineare)
Operatoren. Sie spielen in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle.
Fragen?