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Was bedeutet "Quantisierung?"

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von seeker » 13. Aug 2013, 14:27

Die Aussagen über die Poissonklammer muss ich hinnehmen, ohne das im Moment richtig nachvollziehen zu können. Dazu müsste ich einige Übungsaufgaben mit rechnen.
Das ist aber im Moment nicht so schlimm.

Wo ich hänge bzw. Fragen habe:



OK. Das "H" ist doch E(kin) -oder? Wieso nimmt man hier andere Buchstaben?
Ich könnte also auch so schreiben (?):
E = 1/2 m V^2 + V(0) = p^2 /2m + V(0)

Weiter:



Da hänge ich.
Dann gilt doch ? Wie das?

V ist doch eine Geschwindigkeit bzw. , H eine Energie?

Wenn ich p = mV zu ableite komme ich außerdem zu , nicht zu .
Hab ich mich verrechnet? Wie kommt das?

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 13. Aug 2013, 16:45

H ist nicht die kinetische sondern die Gesamtenergie.

Man benutzt einen anderen Buchstaben, da man nicht für eine gegebene Bewegung die zugehörige Energie E bestimmt, sondern aus H selbst die zulässige Bewegung ableitet.

V ist das Potential V(x), nicht die Geschwindigkeit v.

Im folgenden wird dann H bzw. V partiell nach x abgeleitet.

Und damit ist auch nicht p=mV, denn V ist das Potential.
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von seeker » 13. Aug 2013, 17:29

Ok. Danke.
Ich glaub das wird schwierig, weil ich noch nicht mit Potentialfeldern gerechnet habe (bzw. vergessen habe, ist lange her).
Mir fehlen da (wie man sieht) z.T. die Grundlagen.
Wenn man die newtonsche Mechanik noch nicht sauber in Vektorfeldern etc. rechnen kann, wirds vermutlich schwer die rechnerische Quantisierung zu verstehen?

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 13. Aug 2013, 18:46

Geht. Was klassische Mechanik angeht, ist der Post vom 7. Aug 2013, 18:09 eigentlich alles was Du verstehen musst. Ich habe geplant, als naechstes (nachdem alle Fragen geklaert sind) mit Operatoren auf Hilbertraeumen und Quantenmechanik weiterzumachen (d.h. es kommen keine Rechnungen mit Poissonklammern mehr).

Das Potential ist wirklich nichts kompliziertes. Es ist lediglich (bis auf Vorzeichen) eine Stammfunktion zur Kraft F.
(Ich hab ja auch in einer Rechnung die Beziehung F=-dV/dx benutzt. Dadurch wird V definiert.)

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Hawkwind » 13. Aug 2013, 20:43

breaker hat geschrieben:Hallo allerseits!

Zu den letzten paar Beitraegen:
Ich denke, man sollte einfach nicht zu hoch stapeln. Ich glaube nicht, dass die Pfadintegralformulierung einem Laien irgendeinen Vorteil bringt,...
Das glaube ich auch nicht; darum ging es mir auch nicht: mir war nur aufgefallen, wir steigen hier in die mathematischen Methoden der Quantisierung ein, ohne ein Wort darüber zu verlieren, was überhaupt quantisiert ("gequantelt") werden soll. Es geht dabei um die Wirkung.
Aber das müssen wir nicht weiter vertiefen und ich "höre" gespannt zu. :)

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von seeker » 14. Aug 2013, 19:50

breaker hat geschrieben:Was klassische Mechanik angeht, ist der Post vom 7. Aug 2013, 18:09 eigentlich alles was Du verstehen musst.
Das habe ich teilweise verstanden.

Ich merke mir:
breaker hat geschrieben:1) p generiert Translationen
2) H generiert Zeittranslationen
3) Die Poissonklammer spielt bei beidem eine wesentliche Rolle.
(Alles mithilfe der Poissonklammer ausdrückbar.)

Wie man auf die Formel für die Possonklammer kommt und warum ist mir unklar. Wie man damit rechnet müsste ich üben (und mit dem totalen Differential anfangen, habe vergessen wie das genau war).
Aber gut, wenn du sagst, dass man das nicht unbedingt verstehen muss, können wir probieren weiterzumachen.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 14. Aug 2013, 23:12

Wichtig ist, dass ihr die Rechnungen nachvollziehen könnt. Eigene Berechnungen anstellen zu können, ist nicht notwendig.

Den Grund für die Definition der Poissonklammer kann man relativ schlecht erklären (muss man aber auch nicht UNBEDINGT. Dann fehlt halt eine Motivation. Das kann man hinnehmen.)

Wenn es keine weiteren Fragen gibt, werde ich morgen weiter machen.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 15. Aug 2013, 16:42

So, dann machen wir weiter im Text.

Als naechstes soll es um Hilbertraeume und Operatoren gehen. Wir werden beides anhand von Beispielen einfuehren und einige Bemerkungen dazu machen.

1. Hilbertraeume.

Ein Hilbertraum ist ein (vollstaendiger) Vektorraum mit Skalarprodukt. Wer mit Vektorraeumen nicht vertraut ist, stelle sich einen oder vor. Elemente aus einem Vektorraum heissen Vektoren und man kann sie addieren und mit Zahlen multiplizieren.
Ein Skalarprodukt ist eine Art, Vektoren zu multiplizieren, sodass eine Zahl herauskommt. Das Skalarprodukt zweier Vektoren v und w wird in der Regel geschrieben.
Es muessen gewisse Rechenregeln erfuellt sein, fuer die ich hierauf verweise: http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprod ... iomatik.29

Beispiel:
Nehmen wir . Die Elemente von sind Paare reeller Zahlen (x,y). Man kann sie wie folgt addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren:

.

Ein Skalarprodukt kann man auf wie folgt definieren:


(man bemerke: Man ist mit zwei Zahlenpaaren gestartet und endet mit einer Zahl.

Mit dem Raum kann man analog vorgehen. Er besteht aus Paaren komplexer Zahlen; man kann sie mit komplexen Zahlen multiplizieren und addieren.

Ein Skalarprodukt auf ist z.B. gegeben durch
,
wobei fuer komplexe Konjugation steht.

Ein weiteres Beispiel sei angegeben, um aufzuzeigen, dass Vektorraeume auch ganz anders aussehen koennen als oder .

Wir betrachten die Menge aller Funktionen , fuer die

existiert. Dann ist ein Vektorraum (denn Funktionen kann man addieren und mit Zahlen multiplizieren) und man kann sogar ein Skalarprodukt auf definieren. Wir koennen naemlich setzen
.

(bemerke wieder: Man startet mit Elementen des Vektorraums f,g und macht daraus eine Zahl.)

Wer ein bisschen ueben will, kann versuchen zu zeigen, dass die oben angegebenen Skalarprodukte tatsaechlich die Axiome aus dem Wikipedia-Link erfuellen.


2. Operatoren

Es liegt nahe, auch Abbildungen zwischen Vektorraeumen zu untersuchen (d.h. Zuordnungsvorschriften, die aus einem Vektor einen anderen Vektor machen). Besonders interessant sind sog. lineare Abbildungen, weil sie besonders einfach sind. Lineare Abbildungen sind Abbildungen , fuer die gilt
1) und
2) .

Warum sie so besonders einfach sind, kann man sehen, wenn man sich zunaechst einen Spazialfall anschaut. Lasst uns mal versuchen, alle linearen Abbildungen von nach zu bestimmen. ( mit der gewoehnlichen Addition und Multiplikation ist natuerlich ein Vektorraum.)
Nehmen wir uns also irgendeine lineare Abbildung A. Wir bemerken

Fuer jede reelle Zahl x muss A(x)=x A(1) gelten (auch wegen 2)).

Damit haben wir gezeigt, dass lineare Abbildungen auf nur eine extrem einfache Form haben koennen. Sie sind allesamt gegeben durch Multiplikation mit irgendeiner Konstanten (die Konstante hiess oben A(1))! Anders ausgedrueckt: Sie haben die Form hh
.


Fuer lineare Abbildungen auf oder kann man auf aehnliche Weise zeigen, dass jede lineare Abbildung durch Multiplikation mit einer Matrix gegeben ist. D.h. wenn wir einen Vektor aus oder nehmen (den wir uns jetzt als Spaltenvektor vorstellen), dann gibt es zu jeder linearen Abbildung eine Matrix , sodass

.

Fuer beliebige Vektorraeume muss das aber nicht richtig sein.

Ein Beispiel für eine lineare Abbildung auf einem Vektorraum, der nicht ist, kann man z.B. auf dem Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen finden. Die Abbildung

erfüllt die Eigenschaften 1) und 2), aber ist nicht als Matrix darstellbar.


Lineare Abbildungen zwischen allgemeinen Vektorraeumen bezeichnet man auch als (lineare) Operatoren. Sie spielen in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle.








Fragen?
Zuletzt geändert von breaker am 17. Aug 2013, 20:27, insgesamt 3-mal geändert.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 15. Aug 2013, 22:23

Kurze Zusammenfassung: wenn man nicht alle mathematischen Details unendlich-dimensionaler Räume und nicht-beschränkter bzw. nicht-kompakter Operatoren verstehen will, dann darf man sich den Formalismus der QM vereinfacht wie folgt vorstellen
- qm Zustände sind Vektoren der Norm (Länge) 1
- das Skalarprodukt entspricht dem Winkel zwischen zwei Vektoren
- ein Operator entspricht einer (verallgemeinerten) Matrix
- die Dynamik = die Zeitentwicklung des qm Systems entspricht einer Rotation dieser Vektoren
- die Dynamik wird generiert durch den Hamiltonoperator in der Schrödingergleichung
Gruß
Tom

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Hawkwind » 16. Aug 2013, 09:41

tomS hat geschrieben: ...
- die Dynamik = die Zeitentwicklung des qm Systems entspricht einer Rotation dieser Vektoren
aber doch nur dann, wenn es sich um stationäre Lösungen mit einer trivialen Zeitentwicklung exp(iEt) handelt, oder nicht?
In welchem Raum rotieren sie überhaupt? Denke, in der komplexen Ebene (und nicht im Hilbertraum).

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 16. Aug 2013, 09:49

Nein, sie rotieren im Hilbertraum. Die Zeitentwicklung ist ein unitaerer Operator, d.h. er laesst die Laenge konstant, d.h. sowas wie eine "Drehung".

Triviale Zeitentwicklung ist der Spezialfall einer Drehung mit dem Operator dieser laesst nicht nur die Laenge konstant, sondern den ganzen Zustand (d.h. die Klasse im projektiven Raum), da es sich nur um eine Skalierung handelt.


Aber so weit sind wir eigentlich noch gar nicht. Die physikalische Interpretation wollte ich nach dem mathematischen Einschub machen.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 16. Aug 2013, 10:12

Vergesst mal den gewöhnlichen dreidimensionalen Raum, der ist in der QM zweitrangig (man findet oft die Schrödingergleichung für Wellenfunktionen im dreidimensionalen Raum, aber diese Darstellung ist nicht fundamental)

Es handelt sich um einen viel- oder meist unendlich-dimensionalen Raum, in dem ein Zustand = ein Einheitsvektor durch die Zeitentwicklung (auf der Einheitskugel) rotiert wird.

Wellenfunktionen o.ä. sind sekundär; sie entsprechen Projektionen dieses Zustandes auf eine feste Basis (Ortseigenzustände, Impulseigenzustände, ...)
Gruß
Tom

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von seeker » 17. Aug 2013, 18:57

tomS hat geschrieben:Vergesst mal den gewöhnlichen dreidimensionalen Raum, der ist in der QM zweitrangig (man findet oft die Schrödingergleichung für Wellenfunktionen im dreidimensionalen Raum, aber diese Darstellung ist nicht fundamental)
Aber vielleicht wäre es didaktisch sinnvoll damit anzufangen, damit man ein Gefühl entwickelt? Der Einstieg, den wir gerade versuchen, kommt mir sehr abstrakt vor und ich weiß noch nicht, ob es mir gelingen wird das zu verstehen. Das Niveau kommt mir für mich, den Laien sehr hoch vor.

Ich habe mich jedenfalls parallel etwas mit dem Wasserstoffatom beschäftigt.
Man nimmt erst den 1-D Potentialtopf mit den unendlich hohen Wänden und legt dort die Schrödingergleichung hinein (und es wird klar, warum und was dadurch diskret/gequantelt wird), dann macht man die Wände endlich, dann betrachtet man 3-dimensional dann macht man aus den senkrechten Wänden des Potentials einen Trichter und kommt zum Wasserstoff mit einem Elektron.
Diesen Zugang verstehe ich halbwegs und es wird klar, wo die Emissionslinien herkommen und warum es für höhere Energien einen Übergang zum nicht-quantisierten Kontinuum gibt.

@breaker: Ich brauche noch etwas Zeit, melde mich morgen.

Grüße
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 17. Aug 2013, 20:40

seeker hat geschrieben:Der Einstieg, den wir gerade versuchen, kommt mir sehr abstrakt vor und ich weiß noch nicht, ob es mir gelingen wird das zu verstehen. Das Niveau kommt mir für mich, den Laien sehr hoch.
Die mathematischen Grundlagen aus meinem letzten Beitrag sind leider notwendig, um das Wort "Quantisierung" zu erklären. (Ziel war es ja gerade, den Unterschied zwischen Quantisierung und Quantelung zu erklären).
Mir ist jedoch bewusst, das das alles ziemlich knapp und schnell war. Deshalb stellt Fragen. Wir machen alles so ausführlich, bis ihr euch wohl damit fühlt.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Hawkwind » 18. Aug 2013, 11:19

Ich habe noch nicht verstanden, warum die Poissonklammern so wichtig für die Quantisierung sind.

Nun gut, sie erzeugen in der klassischen Mechanik offenbar - wenn man sie zwischen Variablen und Hamiltionian anwendet - irgendwelche Translsationen.
Ja und?

Gruß,
Hawkwind

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 18. Aug 2013, 15:07

Die Algebra der Poissonklammern im klassischen Phasenraum sowie die Algebra der Kommutatoren im Hilbertraum sind isomorph, d.h. im wesentlichen identisch! Das ist der wesentliche Punkt, die mathematischen Strukturen entsprechen einander bis auf triviale Konstanten.
Gruß
Tom

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Hawkwind » 18. Aug 2013, 18:29

Schon klar. Eigentlich geht es um Kommutatoren, Poissonklammern sind klassische Mechanik.
Ich finde den "üblichen Ansatz" naheliegender: kurz die Schrödingergleichung motivieren und dann einige simple - aber dennoch intruktive - Besipiele durchgehen (Kastenpotenzial etc.). Der Ansatz über Poissonklammern und Korrespondenzprinzip ist doch eher etwas für theoretisch beschlagene Leute, die den Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik bereits gut kennen und mit dessen Hilfe nochmal einen alternativen, "eleganteren" Zugang zur Quantenmechanik kennen lernen möchten. Ich weiss nicht, ob das beim Publikum in einem Forum ankommen kann?

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 18. Aug 2013, 18:54

Nochmal:
Es ging nicht darum, eine Einführung in die Quantenmechanik zu geben, sondern darum, das Wort QUANTISIERUNG zu erklären.
Quantisieren bedeutet, Poisonnklammern durch Kommutatoren zu ersetzen und dafür braucht man nunmal Poissonklammern.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von seeker » 18. Aug 2013, 23:33

breaker, könntest du vielleicht mit ein, zwei Sätzen nochmals kurz sagen, was "Quantisierung" ist?
Vielleicht so: "Quantisierung ist ein mathematisches Verfahren, das ..."

In Wiki steht:
Quantisierung ist in der Physik der Übergang der Beschreibung eines physikalischen Systems mit einer klassischen physikalischen Theorie zu einer Beschreibung mit einer quantenmechanischen Theorie.
Es gibt verschiedene Quantisierungsmethoden:
...
http://de.wikipedia.org/wiki/Quantisierung_%28Physik%29
Kann man das so stehen lassen. Muss man noch ein Sätzlein ergänzen?
Nur als Hintergrund, damit wir wissen, wohin wir wollen.
breaker hat geschrieben:Fragen?
Zum Skalarprodukt:
Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt, selten Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet.
(Wikipedia)

Kann man noch sagen: "Beim Skalarprodukt wird eine gleichlaufende Komponente (die Komponente in derselben Richtung) zweier Vektoren multipliziert. Das Ergebnis ist ein Skalar."?
(Ich habe schon mit Vektoren gerechnet, ist aber lange her und ich muss mir klarmachen, wozu sie in einem abstrakteren Raum gut sind.)

Zur "komplexen Konjungation":
Habe ich schonmal gehört, weiß auch noch was es ist: +i->-i, nur nicht mehr genau warum und wann genau man das tut. Hatte etwas mit der Division zu tun.

Warum das aber hier so auftaucht...
Ein Skalarprodukt auf ist z.B. gegeben durch
...und nicht auch hier in C:


... ist mir leider nicht klar.

Sollte ich das Rechnen mit imaginären Zahlen zunächst wiederholen?

Zur Sicherheit, hier muss ich das Lesen erst wieder üben; was bedeutet...

... wenn man es liest?
"Eine Funktion, für die gilt, dass sie R auf R abbildet."?
breaker hat geschrieben:Wir betrachten die Menge aller Funktionen , fuer die

existiert. Dann ist ein Vektorraum (denn Funktionen kann man addieren und mit Zahlen multiplizieren) und man kann sogar ein Skalarprodukt auf definieren. Wir koennen naemlich setzen
.
Ich kann dir das glauben aber leider nicht nachvollziehen. Warum? Warum bildet L einen zusammenhängenden Raum? Und warum ist ein Skalarprodukt ein Integral?
breaker hat geschrieben:Es liegt nahe, auch Abbildungen zwischen Vektorraeumen zu untersuchen (d.h. Zuordnungsvorschriften, die aus einem Vektor einen anderen Vektor machen).
Was meinst du? Meinst du die Überführung eines Vektors A zu einem Vektor B (im selben Vektorraum) oder die Überführung eines Vektors A aus dem Vektorraum a in einen anderen Vektorraum b?
Oder ist das dasselbe?

Sorry, hast es wohl nicht leicht mit mir... :wink:
Danke für deine Mühe!

Viele Grüße
seeker
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 19. Aug 2013, 00:37

seeker hat geschrieben:Vielleicht so: "Quantisierung ist ein mathematisches Verfahren, das ..."
In der klassischen Mechanik kann die Dynamik eines Systems mittels der Koordinaten (x,p) im sogenannten Phasenraum beschrieben werden. Die zentrale Größe ist die Hamiltonfunktion H(x,p). Die Zeitentwicklung einer beliebigen Größe f(x,p) folgt aus der Poissonklammer {f,H}. Für eine Erhaltungsgröße gilt {f,H}=0.

In der Quantenmechanik kann die Dynamik eines Systems mittels der Operatoren x,p beschrieben werden. Die zentrale Größe ist der Hamiltonoperator H(x,p). Die Zeitentwicklung eines beliebigen Operators f(x,p) folgt aus dem Kommutator [f,H]. Für eine Erhaltungsgröße gilt [f,H]=0.

Kanonische Quantisierung bezeichnet ein Verfahren, den klassischen Größen x, p, H, ... (Funktionen im Phasenraum) entsprechende Operatoren (definiert auf dem Hilbertraum) zuzuordnen. Der Zustand eines Systems wird dabei jedoch nicht mehr direkt durch die Größen x, p, H, ... beschrieben, sondern durch Zustände im Hilbertraum, auf dem die Operatoren wirken. Eine spezielle Darstellung dieser Zustände sind Wellenfunktionen u(x). Den Operatoren x und p entsprechen dann die Größen x (als reelle Zahl) sowie p = -i d/dx (als Differentialoperator).
Gruß
Tom

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von seeker » 19. Aug 2013, 09:37

Danke.
Ich denke wir können dann (meine Fragen hin oder her) weitermachen, wenn das Ziel nur sein soll eine ungefähre mathematische Vorstellung der Quantisierung zu erhalten, ohne diese rechnerisch in größerem Umfang auch konkret durchführen/anwenden zu können/müssen.

Grüße
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 19. Aug 2013, 10:22

Lasst uns ruhig ein bisschen auf die Fragen eingehen. Ein genaues tiefes Verstaendnis der Mathematik ist zwar nicht unbedingt notwendig, aber wenn man zu vieles einfach hinnehmen mus und nicht versteht, fuehlt man sich leicht verloren und versteht den Rest auch schlechter.

Zu allererst:
Was Quantisierung bedeutet, kommt noch; so weit sind wir eigentlich noch nicht (aber fast). Um ein Ziel vor Augen zu haben, kann man vielleicht so viel sagen (hat Tom schon so aehnlich gesagt): Quantisieren bedeutet, die klassischen Observablen (siehe meinen ersten oder zweiten Post) durch Operatoren auf irgendeinem Hilbertraum zu ersetzen. In diesen Operatoren ist dann die Physik des betrachteten systems codiert. Welchen Hilbertraum man dafuer verwendet, ist a priori nicht klar und muss im Einzelfall herausgefunden werden. Es gibt allerdings Kriterien dafuer.

Kann man noch sagen: "Beim Skalarprodukt wird eine gleichlaufende Komponente (die Komponente in derselben Richtung) zweier Vektoren multipliziert. Das Ergebnis ist ein Skalar."?
Das ist die anschauliche Interpretation eines Skalarproduktes. Wenn man will kann man das so sagen.
Ein Skalarprodukt auf ist z.B. gegeben durch
...und nicht hier in C:

..ist mir leider nicht klar.
Das sind technische Details. Fuer komplexe Vektorraeume ist das Skalarprodukt ein bisschen anders definiert als fuer reelle. Zum Beispiel stellt man mit der komplexen Konjugation sicher, dass die Norm (d.h. die "Laenge") eines Vektors immer eine reelle Zahl ist, denn es gilt
.
Zur Sicherheit, hier muss ich das Lesen erst wieder üben; was bedeutet...

... wenn man es liest?
"Eine Funktion, für die gilt, dass sie R auf R abbildet."?
Ja. Das bedeutet, dass die Funktion aus einer reellen Zahl eine reelle Zahl macht.
Ich kann dir das glauben aber leider nicht nachvollziehen. Warum? Warum bildet L einen zusammenhängenden Raum? Und warum ist ein Skalarprodukt ein Integral?
Ein Vektorraum ist eine Menge, deren Elemente man addieren und mit Zahlen multiplizieren kann. Fuer Funktionen ist es ziemlich offensichtlich, dass man sie addieren und mit Zahlen multiplizieren kann. Auch ist die Summe zweier integrierbaren Funktionen wieder eine integrierbare Funktion (salopp gesprochen heisst das, wenn und , dann ist auch ).
Das Integral

ist EIN moegliches Skalarprodukt auf . Es kann auch andere geben, aber dieses Integral ist eine moegliche Wahl, weil es die Eigenschaften 1., 2., 3. aus dem Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprod ... iomatik.29 erfuellt.
Was meinst du? Meinst du die Überführung eines Vektors A zu einem Vektor B (im selben Vektorraum) oder die Überführung eines Vektors A aus dem Vektorraum a in einen anderen Vektorraum b?
Oder ist das dasselbe?
Das ist nicht das selbe. Man kann beides betrachten, aber uns wird in erster Linie die Zuordnung eined Vektors B zu einem Vektor A im selben Raum interessieren.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von deltaxp » 19. Aug 2013, 10:44

Wäre vielleicht klüger gewesen es Operatorisierung zu nennen als Quantisierung. denn der kern ist für mich folgendes.
aus physikalischen Observablen eines Teilchen werden Operatoren die auf den Zustand wirken, der das Teilchen ersetzt, also entweder ein abstrakter Zustandsvektor im Hilbertraum oder in einer gewissen darstellung, wie der ortsdarstellung auf die wellenfunktion.

Quantisierung heisst es daher eher nur aus historischen günden, weil die experimente zu jener jener zeit (atomspektren, schwarzkörperstrahlung) eben zuerst die diskkrete struktur der observablen in gebundenen atomaren zuständen offenbarten, was man mit den diskreten eigenwertlösungen hervorragend beschreiben konnte. später zeigte sich, dass dies nur ein spezialfall ist, dass es auch situationen mit kontinuierlichen eigenlösung gibt.

Nachtrag zum ersten absatz:

wer lesen kann ist klar im vorteil, ja ja tom oben schon geschrieben. ich soltle mir echt angewöhnen erst alle forenbeiträge zu lesen, bevor ich selber was schreibe.


vielleicht noch ein hinweis. wenn sich der thread was ist quantisierung an die allgemeinheit richten soll, sind weniger formeln manchmal mehr. nicht alle lesen die so wie text :P
Zuletzt geändert von deltaxp am 19. Aug 2013, 11:49, insgesamt 2-mal geändert.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Hawkwind » 19. Aug 2013, 11:31

deltaxp hat geschrieben: Quantisierung heisst es daher eher nur aus historischen günden, weil die experimente zu jener jener zeit (atomspektren, schwarzkörperstrahlung) eben zuerst die diskkrete struktur der observablen in gebundenen atomaren zuständen offenbarten, was man mit den diskreten eigenwertlösungen hervorragend beschreiben konnte. später zeigte sich, dass dies nur ein spezialfall ist, dass es auch situationen mit kontinuierlichen eigenlösung gibt.
Genau - bei der Energie ist das so: die Quantelung gibt es nur bei gebundenen Zuständen.
In jedem Fall wird aber die Wirkung quantisiert/gequantelt - nach meinem Verständnis auch bei diesem Ansatz (auch wenn es bei diesem vielleicht etwas "verschleiert" wird), wie die Kommutatoren zwischen kanonisch konjugierten Observablen zeigen. Deren Produkt führt ja auf die Wirkung.
Sorry, dass ich so auf der Wirkung "rumreite", aber ich halte sie für das zentrale Konzept, wenn es um Quantisierung geht.

Gruss,
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Hawkwind » 19. Aug 2013, 11:46

tomS hat geschrieben:Die Algebra der Poissonklammern im klassischen Phasenraum sowie die Algebra der Kommutatoren im Hilbertraum sind isomorph, d.h. im wesentlichen identisch! Das ist der wesentliche Punkt, die mathematischen Strukturen entsprechen einander bis auf triviale Konstanten.
... wobei die triviale Konstante das "Wirkungsquantum" ist, laut Wiki das "Fundament der Quantenphysik":
http://de.wikipedia.org/wiki/Plancksche ... ngsquantum

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