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Was bedeutet "Quantisierung?"

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 20. Aug 2013, 08:45

Hawkwind hat geschrieben:Sorry, dass ich so auf der Wirkung "rumreite", aber ich halte sie für das zentrale Konzept, wenn es um Quantisierung geht.
Man kann einen alternativen Zugang zur Quantisierung betrachten, die sogenannten Pfadintegralquantisierung. Dazu betrachtet man eine Größe (Pfadintegral)

Z = ∫Dx exp(iS)

wobei S für die klassische Wirkung entlang eines Pfades (einer Trajektorie in q) steht.

In diesem Pfadintegral tragen alle Pfade bei, wobei die klassischen Pfade dadurch ausgezeichnet sind, dass sie die Wirkung minimieren. Quantenfluktuationen sind demnach Pfade mit

S' = S[down]cl[/down] + δS

Dabei ist nun wichtig, dass diese Variation der Wirkung δS beliebig klein sein darf, d.h. die Wirkung ist nicht gequantelt! Ich kann auch nicht erkennen, wie man aus den Kommutatorrelationen [x,p] = i eine allgemeingültige Quantisierung der Wirkung ableiten kann.

Ich behaupte demnach - solange bis mich jemand vom Gegenteil überzeugt - dass die Quantisierung der Wirkung historisch bedeutsam war (Bohr-Sommerfeld-Quantisierung), dass diese jedoch in den Quantenmechanik selbst keine fundamentale Bedeutung mehr hat. Ich kenne auch keinen "Wirkungsoperator" in der QM.
Gruß
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Hawkwind » 20. Aug 2013, 09:32

tomS hat geschrieben: Ich behaupte demnach - solange bis mich jemand vom Gegenteil überzeugt - dass die Quantisierung der Wirkung historisch bedeutsam war (Bohr-Sommerfeld-Quantisierung), dass diese jedoch in den Quantenmechanik selbst keine fundamentale Bedeutung mehr hat. Ich kenne auch keinen "Wirkungsoperator" in der QM.
Hmm, du verunsicherst mich - du meinst, es sei bedeutungslos, dass die Quantisierungsansätze über die Wirkung zielführend sind?
Formulierungen mit Wirkung als Operator gibt es übrigens auch, z.B. in Schwingers Wirkungsprinzip, z.B. hier nachlesbar.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 20. Aug 2013, 09:49

Nun, nicht bedeutungslos; aber wie gesagt, ich sehe da keine Quantisierung der Wirkung.
Gruß
Tom

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 21. Aug 2013, 08:43

Der Übersicht halber hab ich in den letzten Tagen meine größeren Beiträge in einem PDF zusammengefasst und gravi gebeten, dieses zu den Userfiles hochzuladen.
Es ist hier zu finden:
http://abenteuer-universum.de/bb/userfi ... reaker.pdf
(es sind noch einige Typos drin, aber ich werde demnächst ohnehin nochmal eine aktualisierte Version hochladen)

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 21. Aug 2013, 08:54

Zwar noch nicht fertig, aber bis dahin eine tolle Zusammenfassung.
Gruß
Tom

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Hawkwind » 21. Aug 2013, 10:05

tomS hat geschrieben:Nun, nicht bedeutungslos; aber wie gesagt, ich sehe da keine Quantisierung der Wirkung.
Meine Interpretation: bei Paaren von konjugierten Observablen, deren Produkt ja immer die Dimension einer Wirkung hat, hat das Produkt zwangsläufig eine minimale Unschärfe (während jede Variable allein scharf sein kann). Die Unschärfe haftet also eigentlich der Wirkung an.

Allerdings ist die Wirkung keine so intuitiv zu interpretierende Größe; besonders Sommerfelds Ansatz scheint aber doch nahezulegen, dass sie "gequantelt" ist. Wie kann sie bei einem Ansatz gequantelt sein und bei einem anderen nicht - immerhin geht es um Physik?

Gruss,
Hawkwind

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Hawkwind » 21. Aug 2013, 10:16

breaker hat geschrieben:Der Übersicht halber hab ich in den letzten Tagen meine größeren Beiträge in einem PDF zusammengefasst und gravi gebeten, dieses zu den Userfiles hochzuladen.
Es ist hier zu finden:
http://abenteuer-universum.de/bb/userfi ... reaker.pdf
(es sind noch einige Typos drin, aber ich werde demnächst ohnehin nochmal eine aktualisierte Version hochladen)
Finde ich auch interessant und gut gemacht!
Meine Fragen und Bemerkungen, die vielleicht etwas ablenken, stören hoffentlich nicht wirklich.
Zum Verständnis der Quantemechanik ergeben sich immer Fragen und Verwirrung (zunindest bei mir), auch wenn der mathematische Formalismus gut definiert ist.

Gruß,
Hawkwind

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von seeker » 21. Aug 2013, 10:40

Vielen Dank breaker! Gute Idee! :well:

So eine Zusammenfassung erleichtert einem das Nachschlagen erheblich, da ja in einem Thread gleichzeitig (absolut notwendige und gewollte!) Diskussionen bzw. Fragen/Antworten ablaufen müssen und das Ganze dann etwas unübersichtlich werden kann.

Ich denke, ich werde heute Abend den Begriff "Phasenraum" noch etwas mit anschaulicher Substanz füllen können.
Den kenne ich nämlich von den chaotischen Systemen her.

Viele Grüße
seeker
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 21. Aug 2013, 11:27

Hawkwind hat geschrieben:... besonders Sommerfelds Ansatz scheint aber doch nahezulegen, dass sie "gequantelt" ist. Wie kann sie bei einem Ansatz gequantelt sein und bei einem anderen nicht - immerhin geht es um Physik?
Sommerfelds Ansatz führt auf klassische Pfade, und für diese ist die Wirkung wegen exp(iS) tatsächlich in Vielfachen von 2*pi gequantelt. I.A. gilt dies (für beliebige Pfade) jedoch nicht. In Spezialfällen (Wasserstoffatom) liefert diese Näherung die exakten Energieeigenwerte, mehr jedoch nicht (keine Wellenfunktionen). I.A. ist die Sommerfeldsche Quantisierungsmethode unzureichend.
Gruß
Tom

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 21. Aug 2013, 13:11

seeker hat geschrieben:Vielen Dank breaker! Gute Idee! :well:

So eine Zusammenfassung erleichtert einem das Nachschlagen erheblich, da ja in einem Thread gleichzeitig (absolut notwendige und gewollte!) Diskussionen bzw. Fragen/Antworten ablaufen müssen und das Ganze dann etwas unübersichtlich werden kann.

Ich denke, ich werde heute Abend den Begriff "Phasenraum" noch etwas mit anschaulicher Substanz füllen können.
Den kenne ich nämlich von den chaotischen Systemen her.

Viele Grüße
seeker
Ok, sagt einfach Bescheid wenns weitergehen soll.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von seeker » 22. Aug 2013, 01:38

Ich wollte noch kurz am Rande etwas zum Begriff "Phasenraum" beitragen, diesen etwas anschaulicher machen.
Dazu möchte ich ein paar alte Schaubilder aus meinen Messungen zeigen, die ich hervorgekramt habe.

Es handelt sich um Messungen eines Pohlschen Rades. Das ist ein Drehpendel (eine auf einer Achse drehend schwingende Scheibe, kann man sich wie die Unruh einer Uhr vorstellen), das über einen Motor + Rückholfeder zum Schwingen angeregt werden kann, über einen Magneten gedämpft werden kann und wo man ne kleine Masse als Unwucht auf der Drehscheibe anbringen kann.
(sieht so aus: http://www.google.de/search?q=pohlsches ... 36&bih=719)
Je nach Parametern schwingt es sinusförmig wie ein normales Pendel oder aber auch komplizierter bis hin zu chaotischen Schwingungen.
Die Schwingungen wurden mit einem Winkelgeber gemessen und grafisch dargestellt.

Erstes Beispiel:
ged. Schwingung Ausl-Zeit.jpg
ged. Schwingung Ausl-Zeit.jpg (23.32 KiB) 16868 mal betrachtet
Solche Diagramme kennt jeder. Das ist ein Weg/Zeit Diagramm (hier Winkelauslenkung/Zeit, wegen der Drehbewegung; das ist aber im Prinzip dasselbe).
Das Pendel wurde ausgelenkt, losgelassen und dann abgewartet, bis es ausgeschwungen ist (wegen der Reibung): Es handelt sich um eine gedämpfte Sinusschwingung.
ged. Schwingung Geschw-Ausl.jpg
ged. Schwingung Geschw-Ausl.jpg (36.28 KiB) 16868 mal betrachtet
Hier sehen wir dieselbe Messung, diesmal aber als Phasendiagramm. Ein Pasendiagramm ist eine bildliche Darstellung eines Phasenraums.
Es ist ein Geschwindigkeits/Weg-Diagramm: Auf der y-Achse ist die Winkelgeschwindigkeit aufgetragen (entspricht einer Geschwindigkeit und da m = konst. wegen p=mV auch einem Impuls), auf der x-Achse die Winkelauslenkung (entspricht einem Weg).
Es fällt auf, dass man in diesem Diagramm andere Informationen auf einen Blick sieht (die Geschwindigkeit ist z.B. im ersten Diagramm nicht direkt ablesbar). Jedoch geht die Zeitinformation verloren oder ist zumindest nicht direkt ablesbar.

Würde das Pendel ungedämpft schwingen und daher einen Sinus vollführen, so wäre das zum Sinus gehörige Schaubild im Phasenraum ein Kreis (oder eine Ellipse, je nach Skalierung).


Zweites Beispiel:
chaot. Schwingung Ausl-Zeit.jpg
chaot. Schwingung Ausl-Zeit.jpg (23.49 KiB) 16868 mal betrachtet
Hier sehen wir eine chaotische Schwingung des Pendels, wieder als Weg/Zeit Diagramm.
Es fällt auf: Man kann hier kein Muster erkennen.
chaot. Schwingung Geschw-Ausl.jpg
chaot. Schwingung Geschw-Ausl.jpg (42.44 KiB) 16868 mal betrachtet
Hier sehen wir das Phasendiagramm dazu. Wieder dieselbe Messung!
Was fällt auf? Man kann hier ganz klar ein Muster erkennen (wenn auch ein seltsames :) )!

Abschließend noch ein Phasendiagramm einer weiteren Messung des Pendels (mit anderen Parametereinstellungen):
Phasendiagramm Attraktor.jpg
Phasendiagramm Attraktor.jpg (31.63 KiB) 16868 mal betrachtet
Hier gab es eine Störung während der Messung, die dann wieder abgestellt wurde (im Diagramm mit Pfeilen markiert). Man erkennt dies gut im Phasendiagramm. Das Interessante dabei war nun, dass das System nach Wiederherstellung der Randbedingungen sofort wieder auf die Attraktorlinie zurückkehrte. Die Störung hatte also keine Auswirkung auf die grundsätzliche, langfristige Entwicklung des Systems.
So etwas würde man in einem Weg/Zeit Diagramm niemals erkennen, zumindest nicht auf einen Blick!


Ich hoffe es konnte durch die Beispiele gezeigt werden, wie nützlich so ein Phasenraum ist (nicht nur für die Theoretiker) und auch dass er nicht ganz so abstrakt sein muss:
Ich hoffe der Begriff "Phasenraum" wird etwas greifbarer.
Der Phasenraum beschreibt die Menge aller möglichen Zustände eines physikalischen Systems. Jeder Zustand des Systems entspricht einem Punkt im Phasenraum. Der Phasenraum beschreibt im Gegensatz zum Zustandsraum nicht die Zeit.
(Wikipedia)

@breaker: Ich denke wir können dann weitermachen.

Beste Grüße
seeker
Grüße
seeker


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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Fuzzlix » 22. Aug 2013, 08:15

Danke Seeker,

Das war sehr anschaulich.

Fuzzlix.
Sagt das eine Nichts zum anderen "Ich bin nicht du."

deltaxp
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von deltaxp » 22. Aug 2013, 10:24

sehr attraktiv seeker :P

breaker
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 22. Aug 2013, 14:24

Ok, wir brauchen noch eine Sache fuer Operatoren auf Hilbertraeumen und dann koennen wir sagen, was Quantisierung bedeutet.

Wenn zwei Operatoren A,B den selben Start- und Zielraum haben, d.h.

dann kann man sie hintereinander ausfuehren, d.h. man kann auf irgendeinen Vektor erst A anwenden und dann B. Das Ergebnis ist irgendein Vektor .

Im Spezialfall entspricht diese Hintereinanderausfuehrung gerade der Matrizenmultiplikation: Wenn A die Matrix hat und B die Matrix , dann gilt



(wobei man wie gewohnt mit "Zeile mal Spalte" ausrechnet).

Eine wichtige Eigenschaft, die Operatoren von gewoehnlichen Zahlen unterscheidet ist, dass sie nicht kommutieren, d.h. im Allgemeinen gilt nicht .
Es bietet sich an, den sogenannten Kommutator von zwei Operatoren einzufuehren. Im Folgenden werden wir anstelle von oft einfach schreiben.

Definition: Der Kommutator von zwei Operatoren und ist definiert als



Der Kommutator misst sozusagen, wie stark zwei Operatoren davon abweichen, kommutativ zu sein.


In der PDF-Version werde ich noch einige Rechenbeispiele zu den bisher eingefuehrten Groessen geben. Hier im Beitrag wird das wahrscheinlich eher unuebersichtlich. Aber weiter im Text:

Nun sind wir endlich in der Lage zu sagen, was "Quantisierung" bedeutet.
Ein physikalisches System zu quantisieren bedeutet, einen (geeigneten) Hilbertraum zu finden und allen klassischen Observablen Operatoren auf diesem Hilbertraum zuzuordnen, sodass fuer je zwei Observablen gilt:

.

D.h. grob gesagt macht man aus Poissonklammern Kommutatoren. Beispielsweise muss man also fuer und Operatoren finden, sodass



(da {x,p}=1 war).

Einen solchen Hilbertraum und geeignete Operatoren zu finden ist im Allgemeinen nicht ganz leicht und muss im Einzelfall untersucht werden. Wir werden einen solchen Raum fuer unser Anfangsbeispiel mit dem Teilchen in einer Box konkret angeben. Aber das kommt im naechsten Beitrag.

Die Interpretation dieser neuen mathematischen Beschreibung des Systems ist die folgende:

Ein Vektor im Hilbertraum legt den Zustand des Systems fest. Die moeglichen Messerte der Observablen sind die Eigenwerte der Operatoren .


(Eigenwerte sind Zahlen , fuer die gilt.)

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 22. Aug 2013, 17:40

breaker hat geschrieben:Ein physikalisches System zu quantisieren bedeutet, einen ... Hilbertraum zu finden und allen klassischen Observablen ... Operatoren ... zuzuordnen, sodass fuer je zwei Observablen gilt:

.
Das wird nicht in allen Fällen funktionieren.

Es kann durchaus sein, dass für einige Funktionen f und g keine exakte Entsprechung von Poissonklammern und Kommutatoren gegeben ist. Man spricht dann von einer sogenannten Quantisierungsanomalie.
Gruß
Tom

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 22. Aug 2013, 18:00

tomS hat geschrieben: Das wird nicht in allen Fällen funktionieren.
Ok, aber es ist der "Traum", den man zunächst hat.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 22. Aug 2013, 23:00


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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von seeker » 23. Aug 2013, 07:34

Danke!
Please stand by, processing... :wink:
Grüße
seeker


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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 23. Aug 2013, 16:11

Ich werde ab morgen für eine Woche weg sein.
Danach geht's weiter!

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 30. Aug 2013, 21:15

Wie siehts aus?
Gibts schon Fragen?

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von seeker » 2. Sep 2013, 09:15

Soweit siehts gut aus.
Um das alles tiefer zu verstehen müsste ich bei 1. anfangen und Übungsaufgaben rechnen.
Rudimentär geht es aber vielleicht auch so.

Noch zu Operatoren und Kommutatoren:
Wenn ich recht verstehe hat das noch nichts direkt mit QM zu tun. Das ist nur das Rüstzeug.
Ich könnte das auch klassisch verwenden.

Erst hier...
.
... wird es durch die Einführung von h quantenmechanisch.(?)

Grüße
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 2. Sep 2013, 09:47

seeker hat geschrieben:Noch zu Operatoren und Kommutatoren:
Wenn ich recht verstehe hat das noch nichts direkt mit QM zu tun. Das ist nur das Rüstzeug.
Ich könnte das auch klassisch verwenden.
Nein.

Quantisierung bedeutet, mathematische Objekte aus dem Phasenraum in dem Hilbertraum zu übertragen.
tomS hat geschrieben:In der klassischen Mechanik kann die Dynamik eines Systems mittels der Koordinaten (x,p) im sogenannten Phasenraum beschrieben werden. Die zentrale Größe ist die Hamiltonfunktion H(x,p). Die Zeitentwicklung einer beliebigen Größe f(x,p) folgt aus der Poissonklammer {f,H}. Für eine Erhaltungsgröße gilt {f,H}=0.

In der Quantenmechanik kann die Dynamik eines Systems mittels der Operatoren x,p beschrieben werden. Die zentrale Größe ist der Hamiltonoperator H(x,p). Die Zeitentwicklung eines beliebigen Operators f(x,p) folgt aus dem Kommutator [f,H]. Für eine Erhaltungsgröße gilt [f,H]=0.

Kanonische Quantisierung bezeichnet ein Verfahren, den klassischen Größen x, p, H, ... (Funktionen im Phasenraum) entsprechende Operatoren (definiert auf dem Hilbertraum) zuzuordnen. Der Zustand eines Systems wird dabei jedoch nicht mehr direkt durch die Größen x, p, H, ... beschrieben, sondern durch Zustände im Hilbertraum, auf dem die Operatoren wirken. Eine spezielle Darstellung dieser Zustände sind Wellenfunktionen u(x). Den Operatoren x und p entsprechen dann die Größen x (als reelle Zahl) sowie p = -i d/dx (als Differentialoperator).
hquer oder eine andere Größe mit Dimension einer Wirkung ist notwendig, damit die Dimensionen stimmen.
Gruß
Tom

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von seeker » 2. Sep 2013, 11:17

tomS hat geschrieben:Quantisierung bedeutet, mathematische Objekte aus dem Phasenraum in dem Hilbertraum zu übertragen.
Und ich könnte in einem geeigneten Hilbertraum keine Objekte klassisch beschreiben?
Wieso? Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum; er kann sogar ein euklidscher Raum sein. Damit müsste er sich doch auch für klassische Beschreibungen eignen?
Es geht doch wohl eher darum, was ich in diesem Hilbertraum tue (eben im Fall der QM die Übertragung)?

Grüße
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 2. Sep 2013, 13:45

Also dass Operatoren und Hilberträume nur Rüstzeug sind, ist schon richtig. Toms "Nein" bezog sich auf das "klassisch beschreiben". Damit war gemeint,dass WENN man x und p mit [x,p]=i hat, und x als ort und p als Impuls interpretiert, DANN beschreibt man das System nicht klassisch sondern quantenmechanisch.
Natürlich kommen in der klassischen Mechanik auch an der ein oder anderen Stelle Hilberträume und Operatoren vor, aber diese Größen werden anders interpretiert.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 2. Sep 2013, 14:34

breaker hat geschrieben:Natürlich kommen in der klassischen Mechanik auch an der ein oder anderen Stelle Hilberträume und Operatoren vor, aber diese Größen werden anders interpretiert.
wo denn?
Gruß
Tom

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