Abenteuer-Universum

Aus dem Thread "LQC is dead", 3. Aug 2013:

seeker hat geschrieben:Wenn man die Quantisierung als Diskretisierung versteht und diese konsequent bis zum Ende durchziehen will, dann würde das doch bedeuten, dass man bei der Mathematik anfangen muss? Das würde bedeuten: Vollständiger Verzicht auch in der Mathematik auf kontinuierliche Strukturen (wie z.B. R), wenn sie zur Beschreibung der Natur verwendet werden sollen. Was man im Moment (mathematisch) tut scheint mir zu sein, dass man kontinuierliche Strukturen mit diskreten höchstens vermischt oder sich diese aus kontinuierlichen ergeben (z.B. wie Tom sinngemäß sagt: eine kontinuierliche Drehung ergibt etwas diskretes, nämlich Pole). Man hat dann -wie mir scheint- öfters das Problem, wie man sauber, eindeutig und kosistent vom Kontinuum zur Quantelung kommt - nicht? Etwas Kontinuierliches scheint mir in allen Ansätzen in den grundlegenden Mustern schon angenommen zu werden.
Würde man dies eliminieren und von Anfang an ausschließlich von diskreten Strukturen und diskreten Rechnemethoden ausgehen müsste dieses Problem verschwinden oder besser in den Griff zu bekommen sein - so meine Idee.

TomS hat geschrieben:Ich denke, du verwechselst Diskretisierung und Quantisierung.

Quantisierung ist der von mir kurz beschriebene Formalismus zur Übersetzung klassischer Größen und Felder in Operatoren. Das ist Standard, hat aber nichts mit "diskret" zu tun (außer dem diskreten Wirkungsquantum).

Die QM (QFT) führt nun in Teilbereichen zu diskreten Werten für Messgrößen (Energie, Drehimpuls, Spektrum, ...) aber nicht immer und nicht für alle Größen. In wie weit das für die QG gilt, kann man heute noch nicht endgültig sagen. Es gibt Hinweise für rein diskrete Werte für geometrische Größen wie Fläche etc., aber es gibt auch noch Zweifel.

Die Idee eines eigenen Threads dazu ist gut!

Ich würde das gerne vertiefen, besser verstehen.

Ich denke man muss (wie immer) zwei Dinge unterscheiden:
1. Der mathematische Formalismus
2. Die Natur, so wie sie IST

Mein Grundgedanke ergibt sich aus der Frage: Was, wenn die Natur tatsächlich bis ins Letzte diskret aufgebaut wäre?

Wie müsste dann eine optimale, die Natur beschreibende mathematische Theorie aufgebaut werden?
Wäre es in dem Fall nicht vorteilhaft, wenn man eine Mathematik verwenden würde, die auf den Kontinuumsgedanken vollständig verzichtet?
Wenn etwas diskret IST und ich dies mit etwas Kontinuierlichem zu beschreiben suche, habe ich dann nicht evtl. das falsche Werkzeug in der Hand?

Es geht mir hier aber auch darum besser zu verstehen, wo in der derzeitigen QM der Unterschied zwischen einer Diskretisierung und einer Quantisierung zu sehen ist.
Tom, du sagst dass die Methode der Quantisierung in der QM nichts mit diskret zu tun hat, musst aber auch die Einschränkung machen "bis auf das diskrete Wirkungsquantum".
Wie ist diese Einschränkung einzuordnen?

Wenn ich es recht verstehe kann man es hier betrachten:
E = h*f
h ist diskret, f ist kontinuierlich
Daher würde ich im Moment sagen: "Die Gleichung ist halb-gequantelt."

Wenn man es von der experimentellen Seite her sieht (statt von der theoretischen Seite), so stellt man fest, dass es in der beobachteten Natur eine Vielzahl von diskreten Phänomenen gibt, z.B. Absorptions- und Emmisionslinien. Wir finden aber auch ein Vielzahl von kontinuierlichen Phänomenen, z.B. die Spektren der Wärmestrahlung.

Wenn man nun den Gedanken "Die Natur ist gequantelt" sehr ernst nimmt, könnte man aber vermuten, dass diese kontinuierlichen Spektren in Wirklichkeit auch diskret sind, dass wir das nur wegen unseren ungenauen Messmethoden (noch) nicht sehen können.

Beste Grüße
seeker

Die Diskretheit ist ja nur deswegen spannend, weil wir eigtl. an eine kontinuierliche Anschauung gewöhnt sind (Wasser, Luft, Raum, Zeit, ...). Diskretheit tritt in den Bereichen auf, die unserer Anschauung nicht zugänglich sind.

Man kann heue nicht endgültig sagen, ob die Natur fundamental diskret ist oder nicht. Auch in der LQG, die eigtl. auf diskreten Spinnetzwerken aufbaut, ist das noch nicht abschließend geklärt.

Ein kurzer Hinweis: die QM baut vollständig auf kontinuierliche Größen Ort x und Impuls p auf. Sie kann in kontinuierlichen Wellenfunktionen als Funktionen von x und t dargestellt werden. Dennoch resultieren teilweise diskrete (teilweise aböer auch kontinuierliche) Messgrößen für E, p, L, ...

tomS hat geschrieben:Man kann heue nicht endgültig sagen, ob die Natur fundamental diskret ist oder nicht. Auch in der LQG, die eigtl. auf diskreten Spinnetzwerken aufbaut, ist das noch nicht abschließend geklärt.
...

Wenn ich Bojowald richtig erinnere (müßte nachschauen), spricht er von der Quantelung des Raums, von h und Fluktuationen, also Anwendung der QM auf 'Raumschleifen'. Was spricht dagen, alles was gequantelt ist, mit dem Begriff 'diskret' zu verbinden? Bis jetzt erkenne ich den Unterschied nicht wirklich.

Gruß, Timm

Wohl was ich vor etlichen Jahren schon ansprach, ist das Universum reel oder rational? ^^
Vielleicht habe ich die gängige Terminoligie damals nicht gekannt(wenn man die nicht benutzt versteht ehh keiner was man sagt), aber bei vielen Modellen bekommt man auch Probleme mit der exakten Berechenbarkeit bzw manche Formeln werden zu komplex.

Selbst Quantelung des Raumes bringt einen in Teufels Küche mit Koordinaten. in welchem Raumquant wirkt z.B. eine Interferenz?
Wenn wirklich alles gequantelt wäre(nicht nur Koordinaten, sondern auch Zeit) wäre vieles nicht entscheidbar oder widersprüchlich...

Quantelung kann man in etwa mit Diskretisierung gleichsetzen. Wobei Quantelung eher meint, dass sich etwas als diskret herausstellt, während in der Physik Diskretisierung eher künstlich zu verstehen ist. Bsp.:
- die Energieniveaus (Energie) der Atome ist gequantelt
- zur numerischen Lösung einer Differentialgleichung diskretisiert man Raum und Zeit

Quantisierung beschreibt dagegen eine mathematische Methode, klassische Größen (Ort, Impuls, Felder, ...) in quantenmechanische Größen (Operatoren auf einem Hilbertraum) zu übersetzen.

tomS hat geschrieben:Die Diskretheit ist ja nur deswegen spannend, weil wir eigtl. an eine kontinuierliche Anschauung gewöhnt sind (Wasser, Luft, Raum, Zeit, ...).

Ja. Nur gewöhnen wir uns auch langsam an den Gedanken, dass vielleicht nichts kontinuierlich ist.
In den letzten 200 Jahren hat sich bei genügend genauem Nachschauen jedesmal herausgestellt, dass das vermeintliche Kontinuum doch keins war.
Luft, Wasser -> Moleküle, Atome
Wellen -> Wellenpäckchen
Raum, Zeit -> ???
Kontinuums-Mathematik -> ???

Ich halte das für spannend, wenngleich ich noch keinen Plan habe, ob und wie sich das in einen Formalismus umsetzen ließe.
Ist es z.B. möglich eine QM oder eine ART nur mit den ganzen Zahlen zu formulieren?
Welche Probleme handelt man sich da ein?
Kann man z.B. Singularitäten vermeiden, indem man auf ganze Zahlen rundet? Rundet die Natur? (Nur so ein Gedanke.)

Skeltek hat geschrieben:Wenn wirklich alles gequantelt wäre(nicht nur Koordinaten, sondern auch Zeit) wäre vieles nicht entscheidbar oder widersprüchlich...

Ich bin mir nicht ganz sicher was du meinst. Aber: Vielleicht, vielleicht ist es auch Ansichtssache, braucht ein anderes Denken.
In der QM z.B. beim Doppelspalt sind ja nur die Wahrscheinlichkeitsfunktionen (also das Mögliche, das Nicht-Reale) kontinuierlich. Die Verwirklichungen (Spalt A oder B) sind diskret.

Grüße
seeker

Also der Spinnetzwerk-Formalismus der LQG ist vollständig diskret

seeker hat geschrieben:Wäre es in dem Fall nicht vorteilhaft, wenn man eine Mathematik verwenden würde, die auf den Kontinuumsgedanken vollständig verzichtet?

Das kann man ja mit der bekannten Mathematik machen; einfach die Definitionsmengen entsprechend wählen. Es treten dann aber je nach Art der Theorie ganz andere mathematische Probleme auf, die schon bei der Division beginnen, und ziehen sich durch jede Formel und Gleichung. Aber das ist gesetzt dem Fall natürlich ein Problem der Mathematik, d.h. unser Problem, das wir lösen müssen, indem wir die ganzzahligen Berechnungen mit nicht-ganzzahligen Ergebnissen irgendwie umschiffen. Solche Probleme würden aber z.B. im Fall der im Forum einmal angesprochenen zellulären Automaten nicht unbedingt auftreten.
Auf jeden Fall sehe ich kein Problem der Mathematik sondern es muss nur die Art ihrer Anwendung angepasst werden.

seeker hat geschrieben:Es geht mir hier aber auch darum besser zu verstehen, wo in der derzeitigen QM der Unterschied zwischen einer Diskretisierung und einer Quantisierung zu sehen ist.

Ich sehe den Unterschied darin, dass etwas diskretes einen exakten Wert hat, und etwas quantisiertes sich stufenweise verhält. In Formeln als Beispiele (n=ganze Zahl):
- diskret: x=n
- quantisiert: x=a+b*n
Genau letzteres sieht man vom Prinzip in der Quantenmechanik. Das ist aber meiner Auffassung nach nicht darin begründet, dass es in der Natur Zahlen Element N gibt, die dann einen quantenmechanischen Zustand zur Folge haben, sondern umgekehrt: Es gibt etwas (Wellenfunktion), das in einer bestimmten Konstellation (stationärer Zustand) eine Besonderheit (niedrigere Energie) aufweist.
Hier stellt sich mir eine ganz wesentliche Frage (zu der ich schon einmal daran gedacht habe, einen Thread zu starten), nämlich: Ist die Natur intelligent? Woher weiss die, wo die Wellenfunktion stationär ist, so dass das Teilchen ein ganzes Photon emittiert? Oder bildlich gesprochen: Da steht ein Liter Wasser vor einem 1/2 Liter Gefäss; woher weiss der ganze Liter, dass er den halben los werden muss, so dass er genau hinein passt?

seeker hat geschrieben:Wenn ich es recht verstehe kann man es hier betrachten:
E = h*f
h ist diskret, f ist kontinuierlich
Daher würde ich im Moment sagen: "Die Gleichung ist halb-gequantelt."

Ich glaube, das kann man so nicht sagen. Ich sehe darin eher eine Strukturierung der Gleichung. Diese Struktur kann dann je nach Anwendung heraus treten oder eben nicht.

Skeltek hat geschrieben:Wohl was ich vor etlichen Jahren schon ansprach, ist das Universum reel oder rational? ^^

Vermutlich eine Mischung, auch mit ganzen Zahlen.

Skeltek hat geschrieben:Selbst Quantelung des Raumes bringt einen in Teufels Küche mit Koordinaten. in welchem Raumquant wirkt z.B. eine Interferenz?
Wenn wirklich alles gequantelt wäre(nicht nur Koordinaten, sondern auch Zeit) wäre vieles nicht entscheidbar oder widersprüchlich...

Ja, sehe ich auch so.

tomS hat geschrieben:Also der Spinnetzwerk-Formalismus der LQG ist vollständig diskret

Das ist natürlich interessant!
Ich muss in den LQG-Threads unbedingt nochmal schmökern.

Direkte Frage dazu:
Das Spinnetzwerk ist doch aus den Loops aufgebaut?
Wenn ich es richtig weiß, ist der Kunstgriff ja der, dass die genaue Form der Loops dabei gar keine Rolle spielt.
Wichtig ist nur, wie und ob sie miteinander verknotet/verschlungen sind. Richtig?
Wenn dem so wäre, kann ich meine Loops dann auch digitalisieren?
Darf ich meine Schleifchen also auch aus einer diskreten Anzahl von Pixeln zusammenbauen?
Ändert das etwas an der Theorie oder ist das egal?
Oder ist der Gedanke völlig daneben, weil ich von einem anschaulichen (und daher z.t. falschen) Zugang ausgehe?

Grüße
seeker

positronium hat geschrieben:Hier stellt sich mir eine ganz wesentliche Frage (zu der ich schon einmal daran gedacht habe, einen Thread zu starten), nämlich: Ist die Natur intelligent?

Das ist natürlich eine gleichermaßen interessante wie ketzerische Frage.
Mach doch einen Thread dazu auf, dann quatschen wir ein wenig darüber.

Wegen E = h*f:

In der heutigen QM mag das so sein wie du sagst.
Es geht um das "f". f ist Raumzeit-abhängig. In einer gequantelten RZ wäre f auch diskret. Dann wäre die Formel vollständig gequantelt.
So meinte ich das.

Zur Mathematik:
Ich weiß, wir schielen da auf ähnliche Dinge. Meine Befürchtung ist, dass dieses Umschiffen so aufwändig werden könnte, dass es nicht sinnvoll durchführbar oder zumindest zunächst sehr aufwändig wäre. Man müsste im Voraus schon abschätzen, ob das überhaupt etwas bringen könnte oder nicht?
Das ist die Gretchenfrage. Leider kenne ich mich bei weitem nicht gut genug aus, um sie beantworten zu können.

Grüße
seeker

seeker hat geschrieben:Das Spinnetzwerk ist doch aus den Loops aufgebaut?

Nein, nicht so wie du denkst.

Die Loops C sind kontinuierliche Größen. Sie sind beliebig deformierbar im Raum eingebettet. Ein Integral h[down]C[/down][A] über das Eichfeld A(x) entlang des Loops C, genannt Wilson-Loop, nimmt Werte in der Eichgruppe an.

Die Diffeomorphismensymmetrie sorgt nun dafür, dass überabzählbar viele Loops physikalisch äquivalent sind.

http://en.wikipedia.org/wiki/Hole_argument

Deswegen darf man (*) eine Klasse von Loops durch einen diskreten Graphen ersetzen, die kontinuierlichen Werte von h durch diskrete Werte, die man den Kanten des Graphen zuordnet (so ungefähr). Jede Klasse wird also durch einen Graphen repräsentiert.

(*) ist ein Punkt, an dem die Quantisierung heute technisch noch nicht ganz verstanden ist. Die Reduzierung der Loops auf die Graphen sowie die Eliminierung der Diffeomorphismeninvarianz ist evtl. mit Anomalien behaftet. Das ist möglicherweise der Kern des Problems.

tomS hat geschrieben:Die Loops C sind kontinuierliche Größen. Sie sind beliebig deformierbar im Raum eingebettet.

Sorry, jetzt bin ich verwirrt.
Wieso sind die Loops denn im Raum eingebettet? Ich dachte die RZ ergibt sich emergent aus dem Spinnetzwerk und das wiederum aus den Loops?
Wie jetzt? Anders herum? Was ist das strukturelle Grundelement der LQG? Sind es die Loops oder das Netzwerk?

tomS hat geschrieben:Die Reduzierung der Loops auf die Graphen sowie die Eliminierung der Diffeomorphismeninvarianz ist evtl. mit Anomalien behaftet. Das ist möglicherweise der Kern des Problems.

Das hatte ich mir gemerkt! (Solche Sachen sind wichtig.)

P.S.: Neulich hatten wir's davon wozu man die Unterscheidung zwischen abzählbar-unendlich und überabzählbar-unendlich (bzw. die Kardinalzahlen) brauchen kann.
Hier taucht der Begriff wieder auf. Hat er also doch Relevanz in physikalischen Theorien?

Grüße
seeker

Vielleicht sind ja solche Fragen wie
Ist der Raum/die Zeit kontinuierlich ODER gequantelt?
falsch?

Vielleicht ist Raum/Zeit ja beides? Vielleicht ist Raum/Zeit in bestimten Bereichen kontinuierlich UND in anderen Bereichen gequantelt?

Fuzzlix.

Vielleicht kommt es darauf gar nicht an, sondern nur auf die daraus ableitbaren Messgrößen?

tomS hat geschrieben:Vielleicht kommt es darauf gar nicht an, sondern nur auf die daraus ableitbaren Messgrößen?

Richtig. Also: Wo erscheinen Raum und Zeit kontinuierlich und wo gequantelt? ... und warum ist das so?

Fuzzlix.

edit: Anscheinend erscheinen sie auf großen Abständen kontinuierlich und auf kleinen Abständen gequantelt. Nur wie gross ist "klein" ?

Fuzzlix hat geschrieben:edit: Anscheinend erscheinen sie auf großen Abständen kontinuierlich und auf kleinen Abständen gequantelt. Nur wie gross ist "klein" ?

Nein. Sie erscheinen auf großen (= allen experimentell zugänglichen) Abständen kontinuierlich. Darunter erscheinen sie (da nicht experimentell zugänglich) gar nicht!

Diskretisierung im Rahmen der LQG ist zunächst nur ein Ansatz, um die Theorie vernünftig definieren zu können, ein mathematischer Kunstgriff, um Probleme in den Griff zu bekommen. Die Erwartungshaltung, dass die Raumzeit tatsächlich "gequantelt ist", ist zwar irgendwie schon da, aber sie ist kein Konstruktionsprinzip.

tomS hat geschrieben:Diskretisierung im Rahmen der LQG ist zunächst nur ein Ansatz, um die Theorie vernünftig definieren zu können, ein mathematischer Kunstgriff, um Probleme in den Griff zu bekommen. Die Erwartungshaltung, dass die Raumzeit tatsächlich "gequantelt ist", ist zwar irgendwie schon da, aber sie ist kein Konstruktionsprinzip.

jezt sind wir wieder an dem Punkt wo ich Dir nicht mehr folgen kann. Du stellst hier Behauptungen in den Raum (richtig oder falsch), leitest diese aber nicht her bzw begründest sie nicht. Ich schätze das ist ein Problem.

Fuzzlix.

Fuzzlix hat geschrieben:

tomS hat geschrieben:Diskretisierung im Rahmen der LQG ist zunächst nur ein Ansatz, um die Theorie vernünftig definieren zu können, ein mathematischer Kunstgriff, um Probleme in den Griff zu bekommen. Die Erwartungshaltung, dass die Raumzeit tatsächlich "gequantelt ist", ist zwar irgendwie schon da, aber sie ist kein Konstruktionsprinzip.

jezt sind wir wieder an dem Punkt wo ich Dir nicht mehr folgen kann. Du stellst hier Behauptungen in den Raum (richtig oder falsch), leitest diese aber nicht her bzw begründest sie nicht. Ich schätze das ist ein Problem.

Welche Behauptungen soll ich begründen? Tue ich gerne.

tomS hat geschrieben:Welche Behauptungen soll ich begründen? Tue ich gerne.

Naja, warum Ihr mit der ART nicht so zufrieden seid, wie sie ist. Ich kann im Moment nichts erkennen, was mich stört. Auch mit der Anfangssingularität bin ich ganz "glücklich". Ihr wollt etwas eliminieren anstelle begründen, soweit ich das verstanden habe. Aber was wollt Ihr eliminieren und warum?

Fuzzlix.

Fuzzlix hat geschrieben:

tomS hat geschrieben:Welche Behauptungen soll ich begründen? Tue ich gerne.

Naja, warum Ihr mit der ART nicht so zufrieden seid, wie sie ist. Ich kann im Moment nichts erkennen, was mich stört. Auch mit der Anfangssingularität bin ich ganz "glücklich". Ihr wollt etwas eliminieren anstelle begründen, soweit ich das verstanden habe.

Sie bitte anderer Thread, wir müssen das nicht zweimal diskutieren.

tomS hat geschrieben:Diskretisierung im Rahmen der LQG ist zunächst nur ein Ansatz, um die Theorie vernünftig definieren zu können, ein mathematischer Kunstgriff, um Probleme in den Griff zu bekommen. Die Erwartungshaltung, dass die Raumzeit tatsächlich "gequantelt ist", ist zwar irgendwie schon da, aber sie ist kein Konstruktionsprinzip.

Das ist für mich schon einsichtig.
Nur: Ich bin davon überzeugt, dass eine Theorie genau dann besonders gut funktioniert, wenn sie die tatsächlichen Verhältnisse in der Natur, so wie sie "wirklich sind", möglichst gut abbildet. Das Epizyklen-Modell im geozentrischen Weltbild kam genau deshalb an seine Grenzen: Es hat zwar lange Zeit mathematisch gut funktioniert, bildete die tatsächlichen Verhältnisse (in seinen Grundannahmen!, die Erde ist eben nicht Mittelpunkt des Universums) aber schlecht ab.

Ergo: Man sollte bei der Konstruktion einer Theorie die richtigen Grundannahmen treffen; nicht nur in mathematischer Hinsicht. Dazu ist physikalische Intuition notwendig, weil man eben genau das nicht wirklich a priori "wissen" kann, nur intuitiv "spüren".

P.S.: Meine Fragen vom Beitrag am 4. Aug 2013, 23:12 stehen noch im Raum. Ich bin wirklich etwas verwirrt und bitte um Hilfe.

Grüße
seeker

seeker hat geschrieben:Ergo: Man sollte bei der Konstruktion einer Theorie die richtigen Grundannahmen treffen; nicht nur in mathematischer Hinsicht. Dazu ist physikalische Intuition notwendig, weil man eben genau das nicht wirklich a priori "wissen" kann, nur intuitiv "spüren".

Das sehe ich genau so. Erst einmal müssen wir uns etwas ausdenken und eine Theorie formulieren. Erst DANN kommt das mathematische Modell. Einfach ein neues Modell oder eine neue Theorie ausrechnen funktioniert nach meiner Überzeugung nicht.

Fuzzlix.

seeker hat geschrieben:Wegen E = h*f:

In der heutigen QM mag das so sein wie du sagst.
Es geht um das "f". f ist Raumzeit-abhängig. In einer gequantelten RZ wäre f auch diskret. Dann wäre die Formel vollständig gequantelt.
So meinte ich das.

Ich verstehe, was Du meinst, vermute dann aber Probleme bei der Lösbarkeit. Wenn f mit der Einheit 1/s gequantelt ist, und auch h (kg m^2 s^-1) diskret ist, dann bleibt doch für E (kg m^2 s^-2) auch nichts anderes übrig. Und f, eine Frequenz, dürfte zumindest meiner Meinung nach in der Natur nicht real sein; vielmehr müsste man f durch 1/t ersetzen, womit man die Formel E=h/t hätte. Jetzt hat man eine Formel mit 3 Variablen, die alle natürlich sind und damit gequantelt wären, sowie eine Division. - Ich denke, dafür lässt sich oft keine Lösung finden.

seeker hat geschrieben:Zur Mathematik:
Ich weiß, wir schielen da auf ähnliche Dinge. Meine Befürchtung ist, dass dieses Umschiffen so aufwändig werden könnte, dass es nicht sinnvoll durchführbar oder zumindest zunächst sehr aufwändig wäre. Man müsste im Voraus schon abschätzen, ob das überhaupt etwas bringen könnte oder nicht?

Ja, sehe ich auch so. Kommt aber auch auf die Art der Theorie an.

Fuzzlix hat geschrieben:Erst einmal müssen wir uns etwas ausdenken und eine Theorie formulieren. Erst DANN kommt das mathematische Modell. Einfach ein neues Modell oder eine neue Theorie ausrechnen funktioniert nach meiner Überzeugung nicht.

Aber es gibt keinen Unterschied. Wie formulierst du eine Theorie, wenn du kein Modell formulierst? Was ist die Newtonsche Mechanik ohne das mathematische Modell? Was ist die SRT oder ART ohne das Modell? Was bleibt von der QM ohne das Modell? Die Theorie (im Sprachgebrauch der Physiker) IST das Modell!