positronium hat geschrieben:Es gelten ja für QED und QCD die beiden auf Wikipedia zu findenden Lagrange-Dichten:
http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenele ... nge-Dichte
http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenchr ... te_der_QCD
Die beiden sind recht ähnlich, abgesehen von zwei Punkten. Zum einen bei der QED die Summe. Über welche Felder Psi_n wird hier summiert, die Felder aller elektrisch geladenen Teilchen? Wenn man sich auf Elektron und Positron beschränkt, könnte man dann die Summe wegfallen lassen, oder? Und zum anderen die Indizes a bei der QCD. Das dürften dann wieder die 8 Gluonfelder sein, was ja bei der QED nur dem einen Photonfeld entspricht. Hier wird aber nicht für die verschiedenen Quarks summiert - ergeben die sich von selbst?
In der QED läuft der Index n über alle elementaren Felder mit elektrischer Ladung, d.h. Elektron, Myon, Tau, 6 Quarks; die Antiteilchen werdne nicht separat gezählt. Der Index a bei der QCD beziehst sich auf die acht Gluonen; die SU(N) hat eine N²-1 dimensionale adjungierte Darstellung (Eichfelder) und eine N-dimensionale funmdamentakle Darstellung (Quarks). Der Index i=1..3 für die Quarks wurde unterdrückt; jedes (T[up]a[/up])[down]ik[/down] ist eigtl. als 3*3 Matrix mit i,k=1..3 zu lesen und jedes q trägt zwei Indizes, einmal i=1..3 sowie einen Spinorindex.
positronium hat geschrieben:Feldstärketensor, sagt der Name schon, aber was der genau beinhaltet, weiss ich nicht.
Der Feldstärkentesnor ist etwas weiter unten definiert; er unterscheidet sich von dem der QED durch den letzten Term, wobei die Strukturkonstanten f[up]abc[/up] am besten wieder als Matrizen (f[up]a[/up])[down]bc[/down] zu lesen ist. In diesen Strukturkonstanten steckt die Nichtvertauschbarkeit der (T[up]a[/up])[down]ik[/down], in der U(1) hast du sozusagen nur ein T[up]0[/up] = 1 und ein a=0.
positronium hat geschrieben:Ist m die Teilchenmasse?
Ja.
Hawkwind hat geschrieben:Mit Potentialen in der QCD verlässt du aber schon den Bereich der strengen Quantenfeldtheorie. Dies sind phänomenologische Ansätze ("Bag-Modell" etc.), deren freie Parameter man dann an die Beobachtungen "anfittet". Diese Potentiale sind meines Wissens mehr oder weniger "geraten".
Da man das Potential nicht berechnen ("analytisch ableiten") kann, macht man in der Praxis einen "educated guess". Oder rechnet mit Supercomputern diskret auf dem Gitter ... [/quote]
Diese phänomenologischen Potentiale meine ich hier nicht.
Hawkwind hat geschrieben:Ich meine nur, dass Potentiale didaktisch kein guter Einstieg in Quantenfeldtheorien sind.
Stimmt ;-)
Ich versuche das trotzdem noch mal klarzustellen:
Ein Potential V(r) ist zunächst ein nicht-relativistischer, klassischer Ausdruck. Auch in der QM ist das Potential klassisch, d.h. das Photonfeld ist nicht quantisiert, sondern da steht einfach ein 1/r.
In einer Feldtheorie treten z.B. die bekannten Vierer-Vektorpotentiale auf. Man sieht diesen zunächst nicht an, wie man daraus auf ein klassisches Potential kommt. Das ist aber mittels der kanonischen Formulierung der Elektrodynamik recht einfach: Es gilt die Constraint-Gleichung
Δ A° = ρ
Invertierung liefert
A°(x) = ∫d³y G(x-y) ρ(y)
mit einer Greensfunktion G(x-y). Für den Laplaceoperator Δ ist G gerade
G(x-y) = 1/|x-y|
Integriert man nun über den Wechselwirkungsterm aus der Lagrangedichte
j° A° = ρ A°
So erhält man
∫ d³x j°(x) A°(x) = ∫ d³x ρ (x) ∫d³y G(x-y) ρ(y) = ∫ d³x d³y ρ (x) G(x-y) ρ(y)
Und dieser Beitrag zur Hamiltonfunktion sieht so aus wie die Coulomb-Selbstenergie einer Ladungsdichte ρ.
Die weiteren Wechselwirkungsterme aus der Lagrangedichte bleiben zunächst unverändert und enthalten nun tatsächlich dynamische Photonfelder.
Der Weg zu dieser Darstellung ist in der QED noch einigermaßen nachvollziehbar, in der QCD dagegen einige hundert Seiten nicht-trivialer Rechnung. Wie das prinzipiell gemacht wird kann ich skizzieren, in Büchern findet man dazu m.W.n. nichts.
In der QED ist nun ρ keine von außen vorgegeben Ladungsdichte, sondern ein in den Spinoren bilinearer Operator. Aber zumindest der Integralkern G(x-y) ist ein vom Photonfeld unabhängiges statisches „Potential“.
In der QCD ist aber leider auch der Integralkern G (im Screenshot heißt er F) ein Operator, der die Gluonfelder enthält. Man kann also keinen Potentialverlauf mehr zeichnen - und dieses Potential hat zunächst keine klassische Interpretation.
Nehmen wir an, wir hätten eine exakte Lösung für die QCD, d.h. bekannte Felder A(x) und q(x) z.B. im Proton. Die Problematik, dass es Feldoperatoren und keine Felder sind lasse ich nun mal außen vor. Dann könnten wir für eine derartige Lösung den Potentialverlauf G(x-y) hinzeichnen. Variieren wir nun leicht die Quarkfelder q(x), d.h. entfernen wir sie etwas weiter von einander. Dann ändert sich nicht wie in der QED nur das gesamte Integral, sondern auch G(x-y) selbst, denn eine kleine Änderung von q(x) hat eine kleine Änderung von A(x) und damit von G(x-y) zur Folge. Genau diese letzte Problematik, aus den (operatorwertigen) Ausdrücken G(x-y) eine Art Potentialverlauf zu extrahieren wird im Rahmen der Gittereichtheorie tatsächlich gelöst.