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Beitrag von positronium » 5. Aug 2012, 18:53

Vor ein paar Wochen habe ich begonnen, mich etwas in die QFT einzulesen. Von daher habe ich also praktisch Null Ahnung...

Es wird doch darin praktisch alles auf Streuprozesse zurück geführt. Wie läuft das beispielsweise in der QED mit Kraft/Energieübertragung? (Ich habe das schon gelesen, von Lagrange-Dichte, Feynman-Diagramme..., aber der Durchblick fehlt mir beim eigentlichen Geschehen.) Werden von einem geladenen Teilchen ständig Photonen abgestrahlt, die bei Streuung an einem anderen geladenen Teilchen dieses in die den Ladungen entsprechende Richtung beschleunigt? Das hiesse doch aber, dass jedes geladene Teilchen ständig Energie verliert (und aufnimmt)? Oder handelt es sich hier um die "virtuellen Photonen", wobei ich aber gelesen habe, dass der Übergang zwischen diesen und realen fliessend sein soll.

Eine klassische Formel für die Kraft der QCD gibt es nicht, oder?

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 6. Aug 2012, 08:31

Hi positronium - schön, dass es weiter geht ...
positronium hat geschrieben:Vor ein paar Wochen habe ich begonnen, mich etwas in die QFT einzulesen. ... Es wird doch darin praktisch alles auf Streuprozesse zurück geführt.
Nein. Man bekommt auf den Eindruck, wenn man populärwissenscdhaftliche Darstellungen (oder auch einführende Literatur im Studium) liest. Aber Streuprozesse und Feynmandiagramme sind nur bestimmte Rechenmethoden. Tatsächlich könnte man das Energiespektrum theoretisch aus der S-Matrix gewinenn, doch dazu müsste man diese exakt und für komplexe Parameter berechnen können. Die Störunsgtheorie erlaubt jedoch genau diese Berechnungen nicht, so dass z.B. die gebundenne Zustände der Quarks nicht in der (störungstheoretischen) S-Matrix sichtbar sind.
positronium hat geschrieben:Werden von einem geladenen Teilchen ständig Photonen abgestrahlt, die bei Streuung an einem anderen geladenen Teilchen dieses in die den Ladungen entsprechende Richtung beschleunigt?
So sollte man sich das nicht vorstellen. Die ausgetauschten virtuellen Teilchen sind mathematische Artefakte. Es handelt sich um (Integrale über) Greensfunktionen, d.h. diese virtuellen Teilchen "leben nicht mal im Hilbertraum".
positronium hat geschrieben:Eine klassische Formel für die Kraft der QCD gibt es nicht, oder?
Jein. Was ist eine Kraft F? Die Ableitung grad U eines Potentials. Für diese WW-Energie zweier Quarks (oder eines Quarks und eines Antiquarks) gibt es auf Operatorebene zwar einen geschlossenen Ausdruck (den wir uns bei Gelegenheit mal anschauen können), allerdings kann man daraus bis heute das "klassische Potential" sowie Massenspektren, Confonement etc., nicht analytisch ableiten. Im Rahmen der Gittereichtheorie verwendete man früher häufig die sog. "quenched Approximation", d.h. zwei statische Frabladungen (Quarks) sowie eingefrorene Quarkfelder (keine virtuellen Quarks). Daraus folgt numerisch eine Art lineares Potential (Confinement). Man beachte, dass dieses für sehr kleine Abstände (asymptotische Freiheit) sowie für sehr große Abstände (Hadronisierung, d.h. Aufbrechen in farbneutrale Hadronen) nicht mehr gültig ist.

http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenchr ... -Potential
Gruß
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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 6. Aug 2012, 09:21

Zum Hamiltonoperator der QCD, speziell abgeleitet in Coulombeichung, d.h. insbs. nur für physikalische (transversale) Gluonfreiheitsgrade.
QCD.png
D bezeichnet die kovariante Ableitung, die einen A-abhängigen Term, d.h. eine SU(3)-wertiges Vierervektorpotential enthält.

det bezeichnet die sogenannte Fadeev-Popov-Funktionaldeterminante des enstprechendens Ausdrucks. Dabei handelt es sich um die Determinante einer 'unendlich-dimensionalen Matrix', die mittels Regularisierung als Produkt über die Eigenwerte des Differentialoperators gewonnen wird. Die Determinante ist demnach A-abhängig.

F bezeichnet den 'Erwartunsgwert' des rechts stehenden Operators, wobei dieser die Verallgemeinerung des Coulombkerns 1/|x'-x| für nichtabelsche Eichfelder darstellt. Würde in dem Ausdruck rechts die kovariante durch die normale Ableitung ersetzt werden (wie in abelschen Eichtheorien) dann stünde da das Inverse des normalen Laplaceoperators. Das Inverse eines Differentialoperators ist ein Integraloperator, d.h. eine Greensfunktion als Integralkern. Für den abelschen Fall folgt (in drei Dimensionen) der Integraloperator mit einem Kern 1/|x'-x| d.h. das bekannte Coulomb-Potential. Für den nichtabelschen ist der Integraloperator bzw. dessen Kern nur formal definiert, denn er enthält wiederum das Eichfeld.

In H erkennt man zunächst in der ersten Zeile die aus der QED bekannte Form E² + B² für die Energiedichte des Eichfeldes (hier: Pi). Allerdings treten bei E hier wiederum die oben definierten Determinanten auf. In der zweiten Zeile steht die Coulomb-Wechselwirkung zwischen Farbladungsdichten, wobei statt des bekannten Coulomb-Potentials der oben definierte Kern F auftritt. Außerdem enthält die Farbladungsdichte neben den Quarkanteilen (Index m) noch Anteile des Gluonfeldes.
Gruß
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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 6. Aug 2012, 18:50

Vielen Dank für Deine Antworten!
Obwohl mir beim Lesen des .pdf-Buches von Mark Srednicki die Kapitel zum Standardmodell schon etwas knapp erschienen, dachte ich aber doch, dass darin die Grundlagen zusammengestellt wären, aber dort geht es ja nur immer um Streuprozesse. Jetzt bin ich natürlich etwas durcheinander, obwohl ich weit davon entfernt bin, das Buch verstanden zu haben (Es ging mir erst einmal nur um einen Überblick.). Ich dachte, das wäre die mathematische Grundlage der QFT. Was ist diese S-Matrix? - Wikipedia verweist mich auf die Streumatrix; ist das richtig?
tomS hat geschrieben:So sollte man sich das nicht vorstellen. Die ausgetauschten virtuellen Teilchen sind mathematische Artefakte. Es handelt sich um (Integrale über) Greensfunktionen, d.h. diese virtuellen Teilchen "leben nicht mal im Hilbertraum".
Bedeutet das, dass die eigentlich eine WW hervor rufenden Teilchen niemals Anregungen ihrer Felder sind?

Dein zweites Posting überfordert mich wieder total.
Ist in dem Hamilton-Operator nur die QCD enthalten, nicht die QED? Wird hier ein Coulomb-Potential-artiger Teil und ein lineares Potential addiert?
Eigentlich komme ich aber nicht einmal mit der Notation klar... Das Senkrechtzeichen, die hoch- und tiefgestellten Indizes, das A ist einmal mit einem Häubchen versehen... :oops:

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 6. Aug 2012, 22:23

positronium hat geschrieben:... dachte ich aber doch, dass darin die Grundlagen zusammengestellt wären, aber dort geht es ja nur immer um Streuprozesse.
Leider ist das oft so; ich kenne das aus anderen QFT Büchern ...
positronium hat geschrieben:Was ist diese S-Matrix? - Wikipedia verweist mich auf die Streumatrix; ist das richtig?
Ja. Die S-Matrix S[down]fi[/down]beschreibt einfach den Übergang aus einem asymptotisch freien Zustand i in einen ebensolchen f. Aber das ist ist vielen Fällen entweder eine Idealisierung (ebene Welle = freie Quarks ...) bzw. mathematisch fragwürdig (nach Haags Theorem ist der perturbative Fockraum konstruiert für freier Teilchen plus Wechselwirkungsterme inäquivilant zum physikalischen Hilbertraum) oder physikalisch irrelevant (in der confining phase der QCD gibt es keine asymptotisch freien Quarks, d.h. die fundamebtalen Felder in der KOnstruktion des S-Matrix sind unphysikalisch; umgekehrt kann man die S-Matrix für physikalische Zustände wie Nukleonen nicht explizit konstruieren). D.h. dass der Fokus der QFT auf Streuprozesse, so wie wer in vielen Büchern präsentiert wird, nicht universell ist. Aber nicht-perturbative QCD ist weit weniger gut verstanden als perturbative.
positronium hat geschrieben:Bedeutet das, dass die eigentlich eine WW hervor rufenden Teilchen niemals Anregungen ihrer Felder sind?
Es bedeutet zunächst, dass die künstliche Überbetonung der sog. virtuellen Teilchen Unfug ist. Teilchen in der QCD sind ein schwieriger Begriff, da gerade die fundamentalen Felder (Quarks, Gluonen) ja nicht als echte Teilchen in Erscheinung treten, nur sehr indirekt. Teilchartige Zustände von Nukleonen usw. sind dagegen gerade nicht durch fundamentale Felder beschrieben. Ich denke, der kleinste gemeinsame Nenner ist, wenn man "Teilchen" als physikalsische Zustände definiert, die bzgl. aller vorliegenden Symmetriegruppen (Poincare, Flavor) durch deren irreduzible Darstellungen charakterisiert werden. So wie man in der QM Zustände der Form |l,m> findet, so findet man hier |m²,W², I²,I[down]3[/down],...> wobei m² für die invariante Masse und W² für das Quadrat des Vierer-Spin-Vektors (Pauli-Lubanski pseudovector) steht; I² bzw. I[down]3[/down] bezeichnen den Isopsin.
positronium hat geschrieben:Ist in dem Hamilton-Operator nur die QCD enthalten, nicht die QED?
Genau; es handelt sich nur um den Hamilton-Operator der SU(N). Man kann den Hamiltonoperator der QED auf ähnliche Weise erhalten. Die Determinanten J fallen vollständig weg, in F steht keine kovariante Ableitung, so dass nur ein 1/|x'-x| im Integralkern auftritt; die Ladungsdichte ist rein fermionisch.
positronium hat geschrieben:Wird hier ein Coulomb-Potential-artiger Teil und ein lineares Potential addiert?
Es wird überhaupt nichts "addiert", sondern es wird dieser Operator formal konstruiert. Aber J und F können wegen der A-Abhängigkeit nicht explizit angegeben werden, d.h. man kann nicht sagen, dass das einfach eine Funktion wie V(r) ~ 1/r ist. Das ist ja gerade der Punkt: der Operator wirkt auf Zustände im Raum der Quark- und Eichfelder, also |A(x), q(x)>. Da nun aber der Operator eine komplizierte A-Abhängigkeit trägt, kann man nicht mehr so einfach von einem Potential sprechen, das wäre dann etwas wie <A,q| V | A,q> wobei V für den WW-Anteil in dem Doppelintegral in H steht.

Vielleicht noch etwas zur Notation: die senkrecht-Zeichen bedeuten nur, dass die A-Felder auf zwei physikalsiche (transversale) Polarisationen reduziert wurden, obwohl es sich ja noch um Vierervektoren handelt; dies ist ein entscheidender Schritt bei der Eichfixierung im kanonischen Formalismus; die Indizes a=1..8 für die SU(3) bzw. a=1..N²-1 für die SU(N) numerieren die Felder in der adjungierten Darstellung, d.h. die acht Gluonen; die Indizes i=1..3 numerieren dagegen die Quarkfelder in der fundamentalen Darstellung bzw. es handelt sich einfach um die Indizes i,j = 1..3 der Matrizen (T[up]a[/up])[down]ij[/down]; diese sind letztlich 3*3 Verallgemeinerungen der Pauli-Matrizen.
Gruß
Tom

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 7. Aug 2012, 18:17

Ist dann die Grundlage der QFT praktisch genau so wie bei der QM mit klassischen Feldern, nur dass man eben die Felder quantisiert und im Hamilton-Operator über diese Felder integriert und die SG durch die relativistischen Gleichungen von Klein-Gordon bzw. von Dirac ersetzt?
Tauchen dann im Hamilton-Operator Kopplungs-Terme für die vielen Möglichkeiten der Feynman-Diagramme auf? Das kann ich mir nicht so recht vorstellen, weil es ja davon extrem viele geben kann, bzw. es doch Reaktionen gibt, wo man immer noch mehr interne Graphen hinzu fügen kann. Ist das dann so etwas wie eine Reihenentwicklung?
Wie läuft das dann bei der Erzeugung und Venichtung von Teilchen? - Wenn ich mir vorstelle, wie man so ein Feynman-Diagramm durchrechnet, kann man die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf die Felder anwenden, aber lässt sich das auch in der Klein-Gordon- und der Dirac-Gleichung unterbringen? Mathematisch kann ich mir das nicht vorstellen; insbesondere durch Anwendung des Zeitentwicklungsoperators... es müssten wohl Terme hinzugefügt bzw. entfernt oder aber an- und abgeschaltet werden.

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 7. Aug 2012, 19:13

positronium hat geschrieben:Ist dann die Grundlage der QFT praktisch genau so wie bei der QM mit klassischen Feldern, nur dass man eben die Felder quantisiert und im Hamilton-Operator über diese Felder integriert und die SG durch die relativistischen Gleichungen von Klein-Gordon bzw. von Dirac ersetzt?
Ja, letztlich ist es so. Man startet mit der Lagrangedichte und berechnet daraus zu den Feldern (hier: die Eichfelder A) die kanonisch konjugierten Impulse (hier: die chromo-elektrischen Feldstärken E). Die Ortskoordinate x ist dabei sozusagen ein "kontinuierlicher Index", d.h. statt drei Orten r[down]i[/down] und Impulsen p[down]i[/down] wie in der QM hat man unendlich viele A(x) und E(x). Aus der Lagrangedichte ergibt sich natürlich sowohl die jeweilige Feldgleichung (wobei die in der QFT meist sekundär ist) als auch der Hamiltonoperator mittels Legendre-Transformation in den "Geschwindigkeiten", also den Zeitableitungen der "Orte" A(x). In Eichtheorien ist dies deswegen so kompliziert, weil unphysikalische Freiheitsgrade existieren (vier Komponenten der Eichfelder, jedoch nur zwei transversale Polarisationen), und demnach die Legendre-Trf. singulär ist. Die Lösungen dazu heißen "Diracsche Constraint-Quantisierung", "Eichfixierung mittels unitärer Transformation", "Fadeev-Popov-Geister im Pfadintegral" oder "BRST-Quantisierung" - und sollen uns hier nicht weiter interessieren.

Ich verlinke dazu aber gerne auf einen kleinen Artikel von mir: http://abenteuer-universum.de/bb/userfiles/gauge.pdf
positronium hat geschrieben:Tauchen dann im Hamilton-Operator Kopplungs-Terme für die vielen Möglichkeiten der Feynman-Diagramme auf? Das kann ich mir nicht so recht vorstellen, weil es ja davon extrem viele geben kann, bzw. es doch Reaktionen gibt, wo man immer noch mehr interne Graphen hinzu fügen kann. Ist das dann so etwas wie eine Reihenentwicklung?
Im Hamiltonoperator treten genau die selben Terme wie in der Lagrangedichte auf, wobei lediglich die übliche Ersetzung "Geschwindigkeiten => Impulse" durchgeführt wird. Die komplizierte Struktur im Wechselwirkungsterm liegt genau an der o.g. Einchfixierung. Zunächst steht da nur der term j°(x) A°(x); dann wird aber A°(x) mittels Invertierung von D²A° = j°eliminiert (in der QED ist das ΔA° = j°); das hinterlässt dann gerade diesen hochkomplizierten WW-Term. Wäre A°(x) ein physikalisches Feld und läge keine Eichsymmetrie vor, dann sähe der Hamiltonoperator recht einfach.

Bis dahin hat man noch keine Störungstheorie durchgeführt und keine Feynmandiagramme definiert. Der Weg dahin funktioniert prinzipiell auch über den Hamiltonoperator, aber:
1) Dich interessiert ja das Potential der QCD, und das siehst du in der Störunsgrechnung nicht!!!
2) Die Störunsgrechnung kann das einfach nicht. Das ist so, wie wenn du eine Taylorentwicklung von 1/x um x=1 machst und damit "über eine Polstelle bei x=0 drüberschauen willst"; die Taylorentwicklung um x=1 wird dir nichts über das Verhalten bei x=-1 sagen können
3) Wenn man heute Störungstheorie macht und Feynmanregeln ableitet, dann macht man das eigtl. immer über den Pfadintegralformalismus

Verschieben wir's auf später
positronium hat geschrieben:Wie läuft das dann bei der Erzeugung und Venichtung von Teilchen? - Wenn ich mir vorstelle, wie man so ein Feynman-Diagramm durchrechnet, kann man die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf die Felder anwenden, aber lässt sich das auch in der Klein-Gordon- und der Dirac-Gleichung unterbringen?
Letztere treten in der QFT praktisch nicht mehr in Erscheinung. Was interessiert ist die Struktur der Vertizes. Wenn da also ein igq*Aq steht, dann wird daraus in der Diracgleichung die Kopplung des Quarkfeldes q an das Eichfeld A. Im Feynmandiagramm einfach ein Vertex mit zwei Quark- und einer Photonlinie mit ein paar Konstanten, SU(3) Matrizen usw.
positronium hat geschrieben:Mathematisch kann ich mir das nicht vorstellen; insbesondere durch Anwendung des Zeitentwicklungsoperators... es müssten wohl Terme hinzugefügt bzw. entfernt oder aber an- und abgeschaltet werden.
Mach langsam! Wenn dich das wirklich interessiert, müssen wir uns wieder ein gutes Skript rauspicken und das alles durchgehen. Das dauert aber! Ich schlage vor, wir schauen uns mal die kanonische Quantisierung einer 1+1 dimensionalen Feldtheorie ohne Eichsymmetrie an. Aber hier sollten wir das Verständnis für den o.g. Hamiltonoperator vertiefen - denn der wäre auch ohne Quantisierung als klassische Hamiltonfunktion gültig.

Wir packen hier gerade mehrere Probleme zusammen:
- Eichtheorien und Constraints im kanonischen Formalismus
- speziell Definition eines Potentials
- Feldquantisierung
- Feynmanregeln
Das sollte man sauber trennen, sonst wird's unüberschaubar
Gruß
Tom

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 7. Aug 2012, 22:32

Primär ist es nicht das Potential der QCD, was mich interessiert. Es ist zum einen, was bei der starken WW überhaupt geschieht, vor allem aber wie die WWen Impuls übertragen (ich hatte ja oben eine falsche Vorstellung geschildert) und wie das mit der Teilchenerzeugung, -vernichtung und -umwandlung bzw. -zerfällen ist, weil das ja in der QM, wie wir sie bisher behandelt haben, gar nicht Gegenstand ist. Das sind, soweit ich das abschätzen kann, die wesentlichen Punkte, welche mir für einen Überblick über und etwas Verständnis für die Teilchenphysik fehlen.
tomS hat geschrieben:...Ich schlage vor, wir schauen uns mal die kanonische Quantisierung einer 1+1 dimensionalen Feldtheorie ohne Eichsymmetrie an. Aber hier sollten wir das Verständnis für den o.g. Hamiltonoperator vertiefen - denn der wäre auch ohne Quantisierung als klassische Hamiltonfunktion gültig.
Ja, gerne. Die Lagrangedichten der QCD und auch der QED habe ich auf Wikipedia gefunden. Deren Bedeutung und Umwandlung in einen Hamilton-Operator ist mir aber nicht klar. In dem QM-Skript, und auch den Büchern von Cohen-Tannoudji wird mit viel einfacheren Ausdrücken für die Potentiale gearbeitet (auch nur mit Raumkoordinaten, keinen 4er Vektoren). In Griffiths "Introduction to Elementary Particles" und dem Buch von Srednicki geht es eigentlich fast augenblicklich mit den Feynman-Diagrammen weiter. Da fehlt demnach etwas...

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 7. Aug 2012, 22:54

positronium hat geschrieben:Primär ist es nicht das Potential der QCD, was mich interessiert. Es ist zum einen, was bei der starken WW überhaupt geschieht, vor allem aber wie die WWen Impuls übertragen (ich hatte ja oben eine falsche Vorstellung geschildert) und wie das mit der Teilchenerzeugung, -vernichtung und -umwandlung bzw. -zerfällen ist, weil das ja in der QM, wie wir sie bisher behandelt haben, gar nicht Gegenstand ist. Das sind, soweit ich das abschätzen kann, die wesentlichen Punkte, welche mir für einen Überblick über und etwas Verständnis für die Teilchenphysik fehlen.
Also doch Feynmandiagramme ...
Gruß
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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 7. Aug 2012, 23:11

tomS hat geschrieben:Also doch Feynmandiagramme ...
Hmm. Ich weiss nicht. Das sind doch eher nur so phänomenologische Rechenregeln. In Griffiths Buch wird nicht einmal auf die Herleitung der Formeln in den Feynmandiagrammen eingegangen. Sinngemäss heisst es darin: Zeichne alle möglichen Diagramme so viele Grade wie genau Du die Berechnung haben möchtest, summiere über diese, und berechne daraus Amplituden, die Zerfallszeit oder den Streuquerschnitt.
Es lassen sich doch dann "nur" eben letztere beiden Dinge berechnen. Aber wie ist das beispielsweise mit der Bindung und den Bindungskräften zwischen Quarks... Zur inelastischen Streuung stand eigentlich auch recht wenig drin.
Vielleicht habe ich noch nicht verstanden welches Werkzeug zu was gut ist?

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 8. Aug 2012, 08:24

positronium hat geschrieben:Das [Feynmandiagramme] sind doch eher nur so phänomenologische Rechenregeln. In Griffiths Buch ...
Griffith :-(
Feynmanregeln sind letztlich ein Mittel zur Buchhaltung, um alle Terme der Störunsgreihe vollständig zu erfassen. Das versteht man aber nur, wenn man die Herleitung kennt.

wird nicht einmal auf die Herleitung der Formeln in den Feynmandiagrammen eingegangen.
positronium hat geschrieben:... Aber wie ist das beispielsweise mit der Bindung und den Bindungskräften zwischen Quarks...
Diese sind nicht-störungstheoretischer Natur. Konkret wäre der o.g. Hamiltonoperator mittels Aufsummieren der Störungsreihe zu rekonstruieren. Das funktioniert nur in Spezialfällen. Schau dir mal die Störunsgreihe in der Streutheorie in der QM an: im Skript ab 11.1 Lippmann-Schwinger-Gleichung und ff. Letztlich funktioniert das in der QFT ebenfalls nach diesem Prinzip.
positronium hat geschrieben:Zur inelastischen Streuung stand eigentlich auch recht wenig drin.
Die tief-inelastische Streuung in der QCD ist ein Zwitter. Man betrachtet störungstheoretisch (!) die Streuung eines Elektrons an einem Nukleon. Das ist aufrgund der Schwäche der el.-mag. WW zulässig und sinnvoll. Das Elektron streut nun an Quarks, wobei diese im Nukleon durch sogenannte Strukturfunktionen beschrieben werden (eine quantenfeldtheoretische Verallgemeinerung der 'Ladungsdichte' im Impulsraum) Die Strukturfunktionen tragen nicht-störungstheoretische Informationen über die Nukleonenstruktur, die man aus den Experimenten (sowie theoretisch) extrahieren kann. Für die Strukturfunktionen lassen sich gewisse Beziehungen der Energieabhängigkeit in Grenzen näherungsweise störunsgtheoretisch beschreiben (Bjorken scaling und scaling violatinos), aber die eigtl. Strukturinformation ist nicht störungstheoretischer Natur.
Gruß
Tom

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 8. Aug 2012, 10:59

tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Primär ist es nicht das Potential der QCD, was mich interessiert. Es ist zum einen, was bei der starken WW überhaupt geschieht, vor allem aber wie die WWen Impuls übertragen (ich hatte ja oben eine falsche Vorstellung geschildert) und wie das mit der Teilchenerzeugung, -vernichtung und -umwandlung bzw. -zerfällen ist, weil das ja in der QM, wie wir sie bisher behandelt haben, gar nicht Gegenstand ist. Das sind, soweit ich das abschätzen kann, die wesentlichen Punkte, welche mir für einen Überblick über und etwas Verständnis für die Teilchenphysik fehlen.
Also doch Feynmandiagramme ...
Wenn ich Quantenfeldtheorie lernen möchte, würde ich erst einmal die QCD außen vor lassen und ganz bescheiden mit skalaren Feldtheorien beginnen, wo alles noch viel einfacher (aber bereits schwierig genug!) ist. An solchen - hauptsächlich durch Didaktik motivierten Modellen - kann man sich am leichtesten überzeugen, wie die Feynmanregeln der Störungstheorie aus der Lagrangedichte der Theorie folgen.

Der nächste Schritt wäre dann die QED.
Wenn diese Theorie samt ihrer Renormierung klar sind, dann könnten nicht-abelsche Eichtheorien wie GWS oder QCD folgen. Aber "gut Ding braucht Weil".

Bevor man mit QFT beginnt, sollte man auch schon mal die freien Lösungen der relativistischen Wellengleichungen (Klein-Gordon- und Dirac-Gleichung) gesehen haben.

Ich schätze, um mit der QCD klar zu kommen, braucht es schon ein 1-2 Jahre.

Gut schaut der 2-bändige Aitchison, Hey aus:
http://www.amazon.de/Gauge-Theories-Par ... -1-catcorr
Da werden zur Vorbereitung auf die "echten Theorien" skalare Feldtheorien diskutiert. Ich kenne aber nur ein älteres Werk der beiden.


Gruss,
Hawkwind

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 8. Aug 2012, 12:12

Ich glaube, es ist doch am vernünftigsten, erst die Potentiale zu besprechen.
Es gelten ja für QED und QCD die beiden auf Wikipedia zu findenden Lagrange-Dichten:
http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenele ... nge-Dichte
http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenchr ... te_der_QCD
Die beiden sind recht ähnlich, abgesehen von zwei Punkten. Zum einen bei der QED die Summe. Über welche Felder Psi_n wird hier summiert, die Felder aller elektrisch geladenen Teilchen? Wenn man sich auf Elektron und Positron beschränkt, könnte man dann die Summe wegfallen lassen, oder? Und zum anderen die Indizes a bei der QCD. Das dürften dann wieder die 8 Gluonfelder sein, was ja bei der QED nur dem einen Photonfeld entspricht. Hier wird aber nicht für die verschiedenen Quarks summiert - ergeben die sich von selbst?
Was der Rest bedeutet ist mir eigentlich komplett unklar. OK. Feldstärketensor, sagt der Name schon, aber was der genau beinhaltet, weiss ich nicht. gamma^my sind die Dirac-Matrizen, die mit der kovarianten Ableitung aufsummiert werden - nur eine Worthülse für mich. Ist m die Teilchenmasse?
Du siehst: es klaffen Lücken. :wink:

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 8. Aug 2012, 12:23

Mit Potentialen in der QCD verlässt du aber schon den Bereich der strengen Quantenfeldtheorie. Dies sind phänomenologische Ansätze ("Bag-Modell" etc.), deren freie Parameter man dann an die Beobachtungen "anfittet". Diese Potentiale sind meines Wissens mehr oder weniger "geraten".

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 8. Aug 2012, 12:27

Hawkwind hat geschrieben:Mit Potentialen in der QCD verlässt du aber schon den Bereich der strengen Quantenfeldtheorie. Dies sind phänomenologische Ansätze ("Bag-Modell" etc.), deren freie Parameter man dann an die Beobachtungen "anfittet". Diese Potentiale sind meines Wissens mehr oder weniger "geraten".
Tom hatte oben etwas geschrieben, dass dieses Potential auch in der "normalen" QM gelten soll... Dann passt das doch.

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 8. Aug 2012, 12:40

positronium hat geschrieben:
Hawkwind hat geschrieben:Mit Potentialen in der QCD verlässt du aber schon den Bereich der strengen Quantenfeldtheorie. Dies sind phänomenologische Ansätze ("Bag-Modell" etc.), deren freie Parameter man dann an die Beobachtungen "anfittet". Diese Potentiale sind meines Wissens mehr oder weniger "geraten".
Tom hatte oben etwas geschrieben, dass dieses Potential auch in der "normalen" QM gelten soll... Dann passt das doch.
Tom schrieb oben
Tom hat geschrieben: Was ist eine Kraft F? Die Ableitung grad U eines Potentials. Für diese WW-Energie zweier Quarks (oder eines Quarks und eines Antiquarks) gibt es auf Operatorebene zwar einen geschlossenen Ausdruck (den wir uns bei Gelegenheit mal anschauen können), allerdings kann man daraus bis heute das "klassische Potential" sowie Massenspektren, Confonement etc., nicht analytisch ableiten.
Da man das Potential nicht berechnen ("analytisch ableiten") kann, macht man in der Praxis einen "educated guess". Oder rechnet mit Supercomputern diskret auf dem Gitter ... .
Ich meine nur, dass Potentiale didaktisch kein guter Einstieg in Quantenfeldtheorien sind.

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 8. Aug 2012, 13:08

Hawkwind hat geschrieben:Da man das Potential nicht berechnen ("analytisch ableiten") kann, macht man in der Praxis einen "educated guess". Oder rechnet mit Supercomputern diskret auf dem Gitter ... .
Ich meine nur, dass Potentiale didaktisch kein guter Einstieg in Quantenfeldtheorien sind.
OK. Das kann ich leider nicht beurteilen. Wie oben erwähnt, habe ich bis jetzt nur das Buch von Griffith gelesen und das von Srednicki überflogen. Darin dreht sich eben fast alles um Feynman-Diagramme.
Ich dachte vorhin an das: "Aber hier sollten wir das Verständnis für den o.g. Hamiltonoperator vertiefen - denn der wäre auch ohne Quantisierung als klassische Hamiltonfunktion gültig."

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 8. Aug 2012, 13:17

positronium hat geschrieben:
Hawkwind hat geschrieben:Da man das Potential nicht berechnen ("analytisch ableiten") kann, macht man in der Praxis einen "educated guess". Oder rechnet mit Supercomputern diskret auf dem Gitter ... .
Ich meine nur, dass Potentiale didaktisch kein guter Einstieg in Quantenfeldtheorien sind.
OK. Das kann ich leider nicht beurteilen. Wie oben erwähnt, habe ich bis jetzt nur das Buch von Griffith gelesen und das von Srednicki überflogen. Darin dreht sich eben fast alles um Feynman-Diagramme.
Okay, Feynman-Diagramme sind natürlich extrem nützlich und decken viele Bereiche ab (überall wo die Kopplungskonstanten klein genug sind, um Störungsrechnung zu rechtfertigen) - QED, elektroschwache Theorie und der asymptotisch freie Part der QCD. Störungrechnung ohne Feynmandiagramme stelle ich mir "gruselig" vor.
positronium hat geschrieben:Ich dachte vorhin an das: "Aber hier sollten wir das Verständnis für den o.g. Hamiltonoperator vertiefen - denn der wäre auch ohne Quantisierung als klassische Hamiltonfunktion gültig."
Ich verstehe Tom so, dass er mit einer klassischen Feldtheorie anfangen möchte, also erst mal ganz ohne Quanten.
Das sagte er aber wohl besser selber. :)

Gruss,
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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 8. Aug 2012, 15:05

positronium hat geschrieben:Es gelten ja für QED und QCD die beiden auf Wikipedia zu findenden Lagrange-Dichten:
http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenele ... nge-Dichte
http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenchr ... te_der_QCD
Die beiden sind recht ähnlich, abgesehen von zwei Punkten. Zum einen bei der QED die Summe. Über welche Felder Psi_n wird hier summiert, die Felder aller elektrisch geladenen Teilchen? Wenn man sich auf Elektron und Positron beschränkt, könnte man dann die Summe wegfallen lassen, oder? Und zum anderen die Indizes a bei der QCD. Das dürften dann wieder die 8 Gluonfelder sein, was ja bei der QED nur dem einen Photonfeld entspricht. Hier wird aber nicht für die verschiedenen Quarks summiert - ergeben die sich von selbst?
In der QED läuft der Index n über alle elementaren Felder mit elektrischer Ladung, d.h. Elektron, Myon, Tau, 6 Quarks; die Antiteilchen werdne nicht separat gezählt. Der Index a bei der QCD beziehst sich auf die acht Gluonen; die SU(N) hat eine N²-1 dimensionale adjungierte Darstellung (Eichfelder) und eine N-dimensionale funmdamentakle Darstellung (Quarks). Der Index i=1..3 für die Quarks wurde unterdrückt; jedes (T[up]a[/up])[down]ik[/down] ist eigtl. als 3*3 Matrix mit i,k=1..3 zu lesen und jedes q trägt zwei Indizes, einmal i=1..3 sowie einen Spinorindex.
positronium hat geschrieben:Feldstärketensor, sagt der Name schon, aber was der genau beinhaltet, weiss ich nicht.
Der Feldstärkentesnor ist etwas weiter unten definiert; er unterscheidet sich von dem der QED durch den letzten Term, wobei die Strukturkonstanten f[up]abc[/up] am besten wieder als Matrizen (f[up]a[/up])[down]bc[/down] zu lesen ist. In diesen Strukturkonstanten steckt die Nichtvertauschbarkeit der (T[up]a[/up])[down]ik[/down], in der U(1) hast du sozusagen nur ein T[up]0[/up] = 1 und ein a=0.
positronium hat geschrieben:Ist m die Teilchenmasse?
Ja.
Hawkwind hat geschrieben:Mit Potentialen in der QCD verlässt du aber schon den Bereich der strengen Quantenfeldtheorie. Dies sind phänomenologische Ansätze ("Bag-Modell" etc.), deren freie Parameter man dann an die Beobachtungen "anfittet". Diese Potentiale sind meines Wissens mehr oder weniger "geraten".
Da man das Potential nicht berechnen ("analytisch ableiten") kann, macht man in der Praxis einen "educated guess". Oder rechnet mit Supercomputern diskret auf dem Gitter ... [/quote]
Diese phänomenologischen Potentiale meine ich hier nicht.
Hawkwind hat geschrieben:Ich meine nur, dass Potentiale didaktisch kein guter Einstieg in Quantenfeldtheorien sind.
Stimmt ;-)

Ich versuche das trotzdem noch mal klarzustellen:

Ein Potential V(r) ist zunächst ein nicht-relativistischer, klassischer Ausdruck. Auch in der QM ist das Potential klassisch, d.h. das Photonfeld ist nicht quantisiert, sondern da steht einfach ein 1/r.

In einer Feldtheorie treten z.B. die bekannten Vierer-Vektorpotentiale auf. Man sieht diesen zunächst nicht an, wie man daraus auf ein klassisches Potential kommt. Das ist aber mittels der kanonischen Formulierung der Elektrodynamik recht einfach: Es gilt die Constraint-Gleichung

Δ A° = ρ

Invertierung liefert

A°(x) = ∫d³y G(x-y) ρ(y)

mit einer Greensfunktion G(x-y). Für den Laplaceoperator Δ ist G gerade

G(x-y) = 1/|x-y|

Integriert man nun über den Wechselwirkungsterm aus der Lagrangedichte

j° A° = ρ A°

So erhält man

∫ d³x j°(x) A°(x) = ∫ d³x ρ (x) ∫d³y G(x-y) ρ(y) = ∫ d³x d³y ρ (x) G(x-y) ρ(y)

Und dieser Beitrag zur Hamiltonfunktion sieht so aus wie die Coulomb-Selbstenergie einer Ladungsdichte ρ.

Die weiteren Wechselwirkungsterme aus der Lagrangedichte bleiben zunächst unverändert und enthalten nun tatsächlich dynamische Photonfelder.

Der Weg zu dieser Darstellung ist in der QED noch einigermaßen nachvollziehbar, in der QCD dagegen einige hundert Seiten nicht-trivialer Rechnung. Wie das prinzipiell gemacht wird kann ich skizzieren, in Büchern findet man dazu m.W.n. nichts.

In der QED ist nun ρ keine von außen vorgegeben Ladungsdichte, sondern ein in den Spinoren bilinearer Operator. Aber zumindest der Integralkern G(x-y) ist ein vom Photonfeld unabhängiges statisches „Potential“.

In der QCD ist aber leider auch der Integralkern G (im Screenshot heißt er F) ein Operator, der die Gluonfelder enthält. Man kann also keinen Potentialverlauf mehr zeichnen - und dieses Potential hat zunächst keine klassische Interpretation.

Nehmen wir an, wir hätten eine exakte Lösung für die QCD, d.h. bekannte Felder A(x) und q(x) z.B. im Proton. Die Problematik, dass es Feldoperatoren und keine Felder sind lasse ich nun mal außen vor. Dann könnten wir für eine derartige Lösung den Potentialverlauf G(x-y) hinzeichnen. Variieren wir nun leicht die Quarkfelder q(x), d.h. entfernen wir sie etwas weiter von einander. Dann ändert sich nicht wie in der QED nur das gesamte Integral, sondern auch G(x-y) selbst, denn eine kleine Änderung von q(x) hat eine kleine Änderung von A(x) und damit von G(x-y) zur Folge. Genau diese letzte Problematik, aus den (operatorwertigen) Ausdrücken G(x-y) eine Art Potentialverlauf zu extrahieren wird im Rahmen der Gittereichtheorie tatsächlich gelöst.
Gruß
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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 8. Aug 2012, 16:16

Hawkwind hat geschrieben:Ich verstehe Tom so, dass er mit einer klassischen Feldtheorie anfangen möchte, also erst mal ganz ohne Quanten.
Das sagte er aber wohl besser selber. :)
Die Frage ist, was man denn verstehen will. Wenn man sich für diue Dynamik gebundener Systeme interessiert dann ist der kanonische Formalismus wie bisher skizziert gar nicht so verkehrt. Wenn man Streutheorie betreiben will, dann leitet man Feynmandiagramme (mittels Pfadintegralformalismus) ab.
Gruß
Tom

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 8. Aug 2012, 16:50

Gut, Danke!
Inzwischen habe ich versucht, das alles durchzuarbeiten. Mathematisch ist mir das jetzt abgesehen vom Ursprung der Konstanten und Matrizen klar, aber warum die Formeln so aussehen und warum das funktioniert, habe ich keine Ahnung.
Ist jetzt "nur" noch die Eichung der Gluonfelder nötig, um den von Dir geposteten Hamilton-Operator zu erhalten?

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 8. Aug 2012, 17:22

Vielen Dank für die recht ausführlichen Erklärungen, Tom. Die werde ich in einer stillen Stunde mal durchgehen.
tomS hat geschrieben: In der QCD ist aber leider auch der Integralkern G (im Screenshot heißt er F) ...
Von was für einem Screenshot sprichst du da eigentlich?

Gruss

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 8. Aug 2012, 19:23

positronium hat geschrieben:... aber warum die Formeln so aussehen und warum das funktioniert, habe ich keine Ahnung.
Von welchen Formeln sprichst du?
positronium hat geschrieben:Ist jetzt "nur" noch die Eichung der Gluonfelder nötig, um den von Dir geposteten Hamilton-Operator zu erhalten?
ja, "nur" noch das; hast du dir mal das PDF durchgelesen? http://abenteuer-universum.de/bb/userfiles/gauge.pdf
Hawkwind hat geschrieben:Von was für einem Screenshot sprichst du da eigentlich?
Mein Beitrag vom 6. Aug 2012, 09:21
Gruß
Tom

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 8. Aug 2012, 20:00

tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:... aber warum die Formeln so aussehen und warum das funktioniert, habe ich keine Ahnung.
Von welchen Formeln sprichst du?
Ich meine alles, was in den Lagrange-Dichten steht. Zwar dürfte mir jetzt klar sein, wie man den Ausdruck berechnet, aber in diesen Formeln ist ja etliches in ziemlich kompakter Form verarbeitet... Feldstärketensor->Vierervektorpotential->elektrisches+magnetisches Feld, auch die kovariante Ableitung, Dirac- und Gell-Mann-Matrizen... Das ist halt insgesamt ein Konstrukt, dessen Teilen ich keine Bedeutung mehr zuordnen kann.
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Ist jetzt "nur" noch die Eichung der Gluonfelder nötig, um den von Dir geposteten Hamilton-Operator zu erhalten?
ja, "nur" noch das; hast du dir mal das PDF durchgelesen? http://abenteuer-universum.de/bb/userfiles/gauge.pdf
Nein, noch nicht. Sehr kurz ist das ja auch nicht. :wink:
Morgen werde ich mich daran machen.

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 8. Aug 2012, 20:13

positronium hat geschrieben:Ich meine alles, was in den Lagrange-Dichten steht. Zwar dürfte mir jetzt klar sein, wie man den Ausdruck berechnet, aber in diesen Formeln ist ja etliches in ziemlich kompakter Form verarbeitet... Feldstärketensor->Vierervektorpotential->elektrisches+magnetisches Feld, auch die kovariante Ableitung, Dirac- und Gell-Mann-Matrizen... Das ist halt insgesamt ein Konstrukt, dessen Teilen ich keine Bedeutung mehr zuordnen kann.
Aber das solltest du statt für die QED schon vorher im Rahmen der klassischen Elektrodynamik verstehen. Oder lass' es mich anders sagen; was ist dir bereits klar und kann als Ausgangspunkt dienen?
Gruß
Tom

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