Derzeit bin ich dabei, anzufangen, ein paar realistischere Sachen durchzurechnen. Ich weiss nicht, wie weit ich komme, habe aber einfach einmal angefangen. Vielleicht ist das für den einen oder anderen interessant... insbesondere die Plots.
Bei den Rechnungen lasse ich mich vom Computer unterstützen; deshalb ist nicht alles so Schritt für Schritt nachvollziehbar, wie wenn man es auf dem Papier rechnet.
Falls etwas falsch ist, bitte sagen. Danke!
Dreidimensionales freies Wellenpaket:
Zuerst definiere ich ein paar Konstanten, die nachher gebraucht werden...
})
})
})
...und einige Parameter:
})
Den verwende ich als initiale Grösse des Wellenpakets - keine Ahnung, ob das so realistisch ist, aber ist wohl annehmbar.
})
Ausserdem den Teilchenimpuls
})
und den Wellenzahlvektor k0 (= x-Richtung) als Anfangswert
})
Zur Berechnung:
Die dreidimensionale Schrödingergleichung lautet:
Der Separationsansatz lautet
(Die Variablenseparation muss ich leider per Hand machen - scheinbar gibt es dafür keine automatische Funktion in Mathematica.)
Daraus folgt unter Anwendung der Zeitableitung auf die entsprechende Funktion und des Laplace-Operators:
)
Es ist durch
und durch
zu teilen, und es folgt:
Ich separiere für
mit der Konstanten St
Der Rest ergibt:
Ich bringe alles ausser die
und
Funktionen auf die linke Seite
/\frac{\hbar ^2}{2m}==\frac{\text{$\Psi $y}\text{''}[y]}{\text{$\Psi $y}[y]}+\frac{\text{$\Psi $z}\text{''}[z]}{\text{$\Psi $z}[z]})
und vereinfache
Es folgt die Separation für
mit der Konstanten Sx
Übrig bleibt
Erneute Separation führt zu
und übrig bleibt
Jetzt sind die Gleichungen zu lösen...
...für
:
...die Gleichung für
wird erst so umgestellt, dass ausser den Funktionen für
alles durch den Wellenzahlvektor ersetzt werden kann, also
\text{$\Psi $x}[x]==0)
Der geklammerte Ausdruck wird durch
ersetzt, also entsprechend
Es folgt mit
Ebenso gehe ich für
vor:
\text{$\Psi $y}[y]==0)
Ersetzen entsprechend
)
ergibt
Gleiches für
:
Ersetzen entsprechend
ergibt analog
Jetzt kann ich
wieder nach
zusammen bauen.
Es ist
Darin ist St zu ersetzen. Es müssen die Ersetzungsgleichungen von oben nach S... gelöst werden (Ich weiss: das ginge auch per Hand.
):
 \hbar ^2}{2 m}\right\}\right\})
,\text{Sx}\right])
Das lässt sich jetzt oben einsetzen und vereinfachen:
 \hbar ^2}{2 m},\text{Sx}\to \text{Sy}-\text{ky}^2,\text{Sy}\to -\text{kz}^2\right\}]])
In
liegt jetzt also
-\frac{i \left(\text{kx}^2+\text{ky}^2+\text{kz}^2\right) t \hbar }{2 m}})
was sehr an
}==e^{i\left(k x-\frac{\hbar t}{2m}k^2\right)}==e^{i k x-\frac{i k^2 t \hbar }{2 m}})
erinnert.
Für das Wellenpaket zum Zeitpunkt t=0 wird die 3-dimensionale Normalverteilung verwendet
^3}}e^{-\frac{1}{2}\frac{x^2+y^2+z^2}{3a^2}+i \text{k0} x})
Unter Ersetzung einiger Parameter (Radius->Wasserstoffatomradius, Masse->Elektronenmasse, v->Geschwindigkeit von oben, und hquer) lassen sich schon 2D- und 3D-Plots des Anfangszustands erstellen:
- ft1.png (6.58 KiB) 8742 mal betrachtet
- ft2.png (10.28 KiB) 8742 mal betrachtet
Dann muss die Amplitudenfunktion ermittelt werden.
Dazu setze ich in
t gleich 0.
Es folgt:
})
Damit ist die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t=0 definiert als
^3}}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}g[\text{kx},\text{ky},\text{kz}]e^{i (\text{kx} x+\text{ky} y+\text{kz} z)}d\text{kx}d\text{ky}d\text{kz})
Das lässt sich umschreiben zu
^3}}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\text{$\Psi $0}[0,x,y,z]e^{-i (\text{kx} x+\text{ky} y+\text{kz} z)}dxdydz)
Dann bekommt man "schon" (wieder unter Ersetzung einiger Parameter) die Funktion Psi für ein Elektron mit anfänglicher Ausdehnung entsprechend des Wasserstoffatoms und der Geschwindigkeit 100000000m/s.
^3}}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}g[\text{kx},\text{ky},\text{kz}]\text{$\Psi $k}d\text{kx}d\text{ky}d\text{kz},)
Das kann man plotten, mit:
wobei die Kurve natürlich das Betragsquadrat der Wellenfunktion ist, und der Punkt oben wird durch das
erzeugt, also Zeit*Teilchengeschwindigkeit. (Koordinaten und Zeit sind Massstabsgetreu in m und s)
- ft3.gif (131.24 KiB) 8742 mal betrachtet
...
