Abenteuer-Universum

Also ... ah, vor der Formel 6.36. wird das erwähnt.
Aber was bedeutet das?

es bedeutet nix, ist nur eine Konstante k. Aber jetzt schreib doch mal die Bewegungsgleichung für a hin.

Das ist ja dann schon das, was Du geschrieben hast, also i omega * a:

Irgendwas stimmt noch mit den Vorzeichen beim "i" nicht; es gilt



also

tomS hat geschrieben:Irgendwas stimmt noch mit den Vorzeichen beim "i" nicht;...

Hmm. Wüsste nicht was. Das stammt ja aus der .pdf-Datei, und dann kommt ja nur die Multiplikation mit i omega dazu...

tomS hat geschrieben:

Das mit der e-Funktion ist mir jetzt auch neu, also steht für die Anwendung von irgendwas über die Zeit t? Ist das allgemeingültig?

es handelt sich um die DGL

df(x)/dx = c * f(x)

mit der Lösung

f(x) = c * f(0)

Ach so. Danke!

Hatten wir schon die unitäre Transformation



für den Hamiltonoperator



angewand auf den Operator a, also

Nein, mit unitären Transformationen haben wir noch nichts gemacht.
Allgemein fehlt mir aber praktisch immer der Durchblick, was die Berechnungen bedeuten. Mir ist natürlich klar, dass ich hier noch auf dem Erstklässlerniveau bin, wo man erst einmal lernt, was Zahlen sind, aber ich glaube, dass ich Lösungen bzw. Lösungswege eher finden könnte, wenn ich etwas konkreteres im Hinterkopf hätte; mir erscheint das alles bisher sehr abstrakt. Wie könnte ich mir einen Überblick verschaffen, um nicht so dahin zu treiben?

Nun, eine gute Übung hatten wir doch bei den Bewegungsgleichungen des harmonischen Oszillators

Übungen/Rechnungen meine ich nicht. Es ist mehr der Bezug zur Realität. Zum Beispiel jetzt diese Bewegungsgleichung von a. Die Rechnung sehe ich, aber ich habe keine Ahnung, was diese aussagt oder bedeutet. Ich weiss nur, dass wir ein Wellenpaket in einem Potential betrachten. Das mag jetzt ein Elektron im Coulomb-Potential eines Protons sein. Dann bedeutet der Aufstiegsoperator, dass dem Elektron Energie zugeführt wird, es sich also auf ein höheres Energieniveau begibt; entsprechend umgekehrt beim Abstiegsoperator. Aber was sagt die Bewegungsgleichung? Dass dem Elektron ständig Energie zugeführt wird, und es so von Energieniveau zu Energieniveau wandert?
Ich habe das gerade geplottet.
Für

ergibt sich

Ich setze m, omega und p gleich 1.
Daraus folgt die Mathematica-Funktion:

Der Plot sieht so aus: Das scheinen Tangenten der e-Funktion zu sein. Aber müssten die nicht stufenweise verlaufen? Das sieht kontinuierlich, nicht quantisiert aus. Es erscheint mir also so, als würde Energie hier nicht portionsweise zugeführt.

Ich kann's nicht interpretieren; deshalb weiss ich nicht, was ich vor mir habe. Das ist jetzt für mich nur abstrakt. Wie komme ich zu einem realeren Verständnis?

klassisch ist a(t) ist einfach eine komplexe Zahl in der x-p-Ebene; a(t) beschreibt sozusagen einen Kreis; quantenmechanisch bleibt natürlich der Operator a=a(0) stehen, aber die Zeitabhängigkeit über die e-Funktion bleibt ebenfalls; d.h. die quantenmechanische Entsprechung der klassischen Bewegung ist ganz analog eine "zeitabhängige Rotation" des Operators a.

Und eine derartige Rotation wird gerade durch den Operator U(t) generiert; erinnere dich an das Heisenbergbild!

D.h. dass sich die klassische Funktion a(t) und der entsprechene quantenmechanische Operator in gewisser Weise analog verhalten; die qm Bewegungsgleichungen sowie die Lösungen sind formal verwandt (hier sogar äquivalent).

Ein bisschen besser verstehe ich es jetzt. Trotzdem ist mir noch nicht klar, wofür das a(t) steht; bei x(t) und p(t) liegt das dagegen auf der Hand, oder gibt es dafür klassisch keinen wirklichen Begriff? Es ist doch so, dass a+ und a- durch Ereignisse auf das Wellenpaket angewandt werden. D.h. man kann nicht von einem stetigen Anwenden von a ausgehen, aber gerade das unterstellt man doch in a(t), oder wird einmal a über einen Zeitraum und nicht zu einem Zeitpunkt angewandt?

Klassisch ist doie Bedeutung von a(t) klar, oder?´

QM ist das natürlich nicht so; es ist zunächst nur ein abstrakter, zeitabhängiger Operator. Aber jetzt kommt genau das Schrödinger- und das Heisenbergbild ins Spiel. Anstelle eines zeitabhängigen Zustandes |n(t)> i, harmonischen Oszillator kann man auch einen zeitunabhängigen Zustand |n> und einen zeitabhängigen Operator a(t) verwenden. Dieser folgt formal derselben Bewegungsgleichung wie die klassische Funktion a(t) in der xp-Ebene. Aber der Witrz ist ja, dass in der QM ein Operator alleine oder ein Zustand alleine nichts aussagen. Erst Zustände plus Operatoren haben irgendeine Bedeutung bzw. lassen es zu Erwartungswerte, Eigenwerte usw. zu berechnen.

Man kann nun ein Basis |n(t)> im Hilbertraum wählen und a betrachten; oder man kann mit |n> eine zeitunabhängige Basis wählen und Bewegungen der Operatoren betrachten. Beides ist äquivalent.

tomS hat geschrieben:Klassisch ist doie Bedeutung von a(t) klar, oder?´

Nein.

tomS hat geschrieben:Man kann nun ein Basis |n(t)> im Hilbertraum wählen und a betrachten; oder man kann mit |n> eine zeitunabhängige Basis wählen und Bewegungen der Operatoren betrachten. Beides ist äquivalent.

Das ist mir von der Logik her klar.

positronium hat geschrieben:

tomS hat geschrieben:Klassisch ist die Bedeutung von a(t) klar, oder?

Nein.

OK

Es geht um den Phasenraum eines klassischen hamrmonischen Oszillators, der im oder gegen Uhrzeigersinn umläuft (kein Pendel!).

Interpretiert man nun x(t) und p(t) als Real- bzw. Imaginärteil einer neuen Variablen a(t), so erhält man das gezeigte Bild in der komplexen Ebene.

Danke, ich denke, jetzt habe ich es verstanden.
Die unitäre Transformation ist ja nichts anderes als eine Drehung und so hat man hier das gleiche Bild.

OK;

dann trotzdem nochmal den Zusammenhang mit der unitäre Transformation



für den Hamiltonoperator



angewand auf den Operator a. Es geht darum, den Ausdruck



durch Taylorentwicklung von U um t=0 sowie explizites Vertauschen zu berechnen. Wenn du das nicht sofort hinkriegst, dann schau mal hier

http://de.wikipedia.org/wiki/Baker-Camp ... rff-Formel

Ich kann Dir leider nicht folgen; ich versuche es Stückchenweise.

Das

sollte die allgemeine Lösung der Schrödingergleichung mit einer unitären Transformation sein, wobei angenommen wird, dass in der SG

war, also ausgeschrieben hier

stehen würde.

Das ist jetzt also ein Operator, der eine zeitliche Entwicklung beschreibt.

Dann schreibst Du: "angewand auf den Operator a".
So weit leuchtet mir das ein; es geht darum, a mit der Zeit entsprechend dem Heisenberg-Bild zu verändern.
Aber das hiesse doch, nur U(t) auf a anzuwenden, also

bzw.

mit


Eingesetzt müsste ich vereinfachen können, zu:


Und hier müsste ich jetzt die e-Funktion durch eine Taylorentwicklung ersetzen, glaube ich.

Du schreibst aber, dass es darum

geht. Hier wird, wie ich oben vermute, U(t) auf a angewandt, wodurch die Tranformation doch erledigt sein sollte, aber Du fügst noch die adjungierte Transformation an. Wo kommt diese her?

tomS hat geschrieben:Wenn du das nicht sofort hinkriegst, dann schau mal hier

http://de.wikipedia.org/wiki/Baker-Camp ... rff-Formel

"nicht sofort" ist gut. Die Formel verstehe ich jetzt, dass man damit die Operatoren aus dem Exponenten bekommt, aber mehr nicht.

Du musst den Exponenten Taylorentwickeln, also in Potenzen von (-i a*a t)[up]n[/up]. Das machst du für U und U*. Dann "soprtierst du die Terme so, dass die iterierten Kommutatoren entstehen (bis hier her ist das ganz allgemeingültig, d.h. für alle unitären Operatoren U angewandt auf einen Operator A). Und dann berechnest du diese iterierten Kommutatoren spezielle für dieses eine U angewandt auf a.

Tut mir leid, ich kapiere es nicht.

tomS hat geschrieben:Du musst den Exponenten Taylorentwickeln, also in Potenzen von (-i a*a t)[up]n[/up].

Nur den Exponenten? Der Exponent ist doch linear; da kann man doch keine solche Reihe daraus machen...?

Ich sehe nur das:

Jetzt sortieren und zu Multi-Kommutatoren zusammenfassen; den nullten und ersten term sieht man unmittelbar



Das fasst man jetzt zusammen zu



mit



Und weil H bilinear in a und a* ist und durch den Kommutator mit a jeweils das a* verschwindet, bleibt genau ein a sowie eine e-Funktion übrig!

Schon ab hier verstehe ich das nicht mehr:

tomS hat geschrieben:Jetzt sortieren und zu Multi-Kommutatoren zusammenfassen; den nullten und ersten term sieht man unmittelbar

Wie kommt man auf das:

Es müsste doch jeder Term aus der ersten Klammer (Ergebnis von U(t)) mit a und jedes Ergebnis davon mit jedem Term aus der zweiten Klammer kombiniert werden. Oder hast Du Dich vertippt, und es sollte statt dem einen Minus- ein Plus-Zeichen stehen, so dass folgendes richtig wäre:


Den nächsten Teil verstehe ich auch nicht. Du bildest Kommutatoren, aber aus

dürfte doch kein Kommutator

folgen, sondern der Anti-Kommutator.

(Wobei hier aber wieder beides doch mit Minuszeichen sein müsste.)

SORRY! das ist wirklich ein Tip- bzw. Vorzeichenfehler!

tomS hat geschrieben:SORRY! das ist wirklich ein Tip- bzw. Vorzeichenfehler!

Puh, gut.

tomS hat geschrieben:Und weil H bilinear in a und a* ist und durch den Kommutator mit a jeweils das a* verschwindet, bleibt genau ein a sowie eine e-Funktion übrig!

Das bedeutet [H,a] = [a*a,a] = [a*,a]a + a*[a,a]
[a,a] ergibt 0, aber [a*,a] = -[a,a*] = -1, oder?
Somit wäre obiges = -1a + a*0 = -a

Das Ergebnis wäre dann?


Aber noch einmal wegen dem . Ist das bei der unitären Transformation immer so, dass man U a U* rechnet? Ich hatte es so verstanden, dass U a ausreichen würde, also wie die Anwendung einer Matrix auf einen Vektor.


edit: Jetzt habe ich das mit der Reihe [H,a][down]n[/down], also das n darin, übersehen. Muss ich mir nochmal ansehen.