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Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 18. Apr 2012, 12:35

Also, die Reihe...
Da hat man bei einem Glied das -a, dann müsste sich bei zwei Gliedern nur das Vorzeichen umkehren. Für n = gerade würde -a folgen und für n = ungerade a? Stimmt das?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von tomS » 19. Apr 2012, 07:44

ich denke ich weiß, was du meinst; ja!
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 19. Apr 2012, 09:07

Habe es noch einmal durchgesehen.
Das Ergebnis muss sein:

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von tomS » 19. Apr 2012, 10:35

Ja, das muss das Ergebnis sein.

Damit ist doch klar, was passiert, oder?

U(t) generiert im Heisenbergbild für beliebige (!) Operatoren die Zeitentwicklung. Konkret kann man z.B. für einen bestimmten Operator - hier a(t) - diese Zeitentwicklung berechnen und findet die bekannte komplexe e-Funktion. Dies entspricht formal exakt der Trajektorie des klasssichen Objektes a(t) im Phasenraum.

Generell findet man immer diese formale Entsprechung, allerdings kann es Korrekturen mit höheren Ordnungen h, h², ... geben.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 19. Apr 2012, 19:59

tomS hat geschrieben:Damit ist doch klar, was passiert, oder?
Klar ist mir das leider nicht. Ich stehe noch immer an dem einen Punkt, dass ich zwar sehe, welche Formeln Du hinschreibst, und ich kann den Rechnungen folgen, aber sowohl Start- als auch Endpunkte der Rechnungen sind mir überwiegend unklar.
Gibt es nur diesen einen Zeitentwicklungsoperator U(t)=e^(-i H t), bzw. hat der immer diese Form?
Warum kann man oder warum setzst Du H = a*a? - Da kann ja normalerweise fast alles drin stehen.
Auch noch nicht verstanden habe ich, warum hier a_t = U(t) a U*(t) gerechnet wird, weil es doch eigentlich heisst |Psi(t)> = U(t) |Psi(t0)>? Es ist zwar a ein Operator und Psi ein Zustand, aber ich sehe keinen Unterschied, wenn man eine Transformation auf beide anwendet.

Du siehst, mir fehlt noch immer der mathematische Überblick; nur so ein paar Bruchstücke sind mir klar.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von tomS » 19. Apr 2012, 21:17

positronium hat geschrieben:Gibt es nur diesen einen Zeitentwicklungsoperator U(t)=e^(-i H t), bzw. hat der immer diese Form?
Ja, er hat immer die selbe Form. Ich dachte, das hatten wir im Skript schon? Ich muss nochmal nachschauen.

Die SGL lautet



Wir machen den Ansatz



Wenn du diese Gleichung formal nach t ableitest (formal heißt, du ignorierts einfach, dass H ein Operator ist ;-) dann siehst du mittels der Ableitung der e-Funktion sofoirt, dass das die Lösung ist.
positronium hat geschrieben:Warum kann man oder warum setzst Du H = a*a? - Da kann ja normalerweise fast alles drin stehen.
Ja, das ist nur ein Beispiel; insbs. weil man [a*a,H] explizit und einfach berechnen kann und weil man sofort die Analogie zur klass. Mechanik sieht.
positronium hat geschrieben:Auch noch nicht verstanden habe ich, warum hier a_t = U(t) a U*(t) gerechnet wird, weil es doch eigentlich heisst |Psi(t)> = U(t) |Psi(t0)>?
Nun, das ist doch gerade der Wechsel zwischen Heisenbergbild mit a_t = U(t) a U*(t) - und Schrödingerbild mit |Psi(t)> = U(t) |Psi(t0)>

Lass' uns zurück zum anderen Thread wechseln.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 8. Jun 2012, 20:55

Derzeit bin ich dabei, anzufangen, ein paar realistischere Sachen durchzurechnen. Ich weiss nicht, wie weit ich komme, habe aber einfach einmal angefangen. Vielleicht ist das für den einen oder anderen interessant... insbesondere die Plots.
Bei den Rechnungen lasse ich mich vom Computer unterstützen; deshalb ist nicht alles so Schritt für Schritt nachvollziehbar, wie wenn man es auf dem Papier rechnet.

Falls etwas falsch ist, bitte sagen. Danke!


Dreidimensionales freies Wellenpaket:


Zuerst definiere ich ein paar Konstanten, die nachher gebraucht werden...




...und einige Parameter:

Den verwende ich als initiale Grösse des Wellenpakets - keine Ahnung, ob das so realistisch ist, aber ist wohl annehmbar.


Ausserdem den Teilchenimpuls

und den Wellenzahlvektor k0 (= x-Richtung) als Anfangswert



Zur Berechnung:
Die dreidimensionale Schrödingergleichung lautet:

Der Separationsansatz lautet

(Die Variablenseparation muss ich leider per Hand machen - scheinbar gibt es dafür keine automatische Funktion in Mathematica.)
Daraus folgt unter Anwendung der Zeitableitung auf die entsprechende Funktion und des Laplace-Operators:




Es ist durch und durch zu teilen, und es folgt:


Ich separiere für mit der Konstanten St


Der Rest ergibt:

Ich bringe alles ausser die und Funktionen auf die linke Seite

und vereinfache


Es folgt die Separation für mit der Konstanten Sx

Übrig bleibt


Erneute Separation führt zu

und übrig bleibt


Jetzt sind die Gleichungen zu lösen...
...für :



...die Gleichung für wird erst so umgestellt, dass ausser den Funktionen für alles durch den Wellenzahlvektor ersetzt werden kann, also

Der geklammerte Ausdruck wird durch ersetzt, also entsprechend
Es folgt mit



Ebenso gehe ich für vor:

Ersetzen entsprechend
ergibt



Gleiches für :

Ersetzen entsprechend
ergibt analog



Jetzt kann ich wieder nach zusammen bauen.
Es ist

Darin ist St zu ersetzen. Es müssen die Ersetzungsgleichungen von oben nach S... gelöst werden (Ich weiss: das ginge auch per Hand. :wink: ):






Das lässt sich jetzt oben einsetzen und vereinfachen:



In liegt jetzt also

was sehr an

erinnert.

Für das Wellenpaket zum Zeitpunkt t=0 wird die 3-dimensionale Normalverteilung verwendet

Unter Ersetzung einiger Parameter (Radius->Wasserstoffatomradius, Masse->Elektronenmasse, v->Geschwindigkeit von oben, und hquer) lassen sich schon 2D- und 3D-Plots des Anfangszustands erstellen:
ft1.png
ft1.png (6.58 KiB) 8670 mal betrachtet
ft2.png
ft2.png (10.28 KiB) 8670 mal betrachtet
Dann muss die Amplitudenfunktion ermittelt werden.
Dazu setze ich in t gleich 0.

Es folgt:

Damit ist die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t=0 definiert als

Das lässt sich umschreiben zu


Dann bekommt man "schon" (wieder unter Ersetzung einiger Parameter) die Funktion Psi für ein Elektron mit anfänglicher Ausdehnung entsprechend des Wasserstoffatoms und der Geschwindigkeit 100000000m/s.




Das kann man plotten, mit:




wobei die Kurve natürlich das Betragsquadrat der Wellenfunktion ist, und der Punkt oben wird durch das erzeugt, also Zeit*Teilchengeschwindigkeit. (Koordinaten und Zeit sind Massstabsgetreu in m und s)
ft3.gif
ft3.gif (131.24 KiB) 8670 mal betrachtet
...

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 8. Jun 2012, 21:23

...

Der gleiche Plot für die Myonmasse:
ft4.gif
ft4.gif (155.43 KiB) 8668 mal betrachtet
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, zerfliessen schwere Teilchen also langsamer.

Ein Plot, der das in x-Richtung wandernde Teilchen einmal auf der x-Achse und einmal auf der y-Achse (y- und z-sind gleich - Rotationssymmetrie um x) mit einem x-Wert gleich t*Tv, also dem Amplitudenhoch bzw. Erwartungswert.
Das Wellenpaket zerfliesst offenbar in alle Richtungen symmetrisch, während es sich verschiebt. Eigentlich könnte man entsprechend unserer Alltagsvorstellung sagen, es zerfliesst auf der Stelle nur das Koordinatensystem wird verschoben. Wenn das tatsächlich so ist, finde ich interessant, dass sich die Wahrscheinlichkeit entlang der x-Achse entsprechend der Teilchengeschwindigkeit verschiebt, davon Abweichend (Winkel zur x-Achse) ist die Verschiebung aber schneller (Pythagoras).






ft5.gif
ft5.gif (145.58 KiB) 8668 mal betrachtet
Ein x/y (entspricht natürlich wieder x/z) Plot des Elektrons:
ft6.gif
ft6.gif (122.92 KiB) 8668 mal betrachtet
...

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 8. Jun 2012, 21:31

...

Und zum Spass das Elektron nochmal von "oben" als "DensityPlot".
ft7.gif
ft7.gif (227.52 KiB) 8668 mal betrachtet

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 21. Jun 2012, 19:47

Es ist total frustrierend! :cry:
Eigentlich wollte ich jetzt das freie Teilchen mit einem Potential dressieren, aber so einfach, wie sich das als Erweiterung zum freien Teilchen vermuten liess, so verzwickt ist das Problem. Ich dachte, man setzt einfach V(x) mit in die Schrödingergleichung und schon läufts. Die SG lässt sich zwar lösen aber ein Wellenpaket zu konstruieren will mir nicht gelingen.
Verwendet habe ich für einen ersten Versuch einfach ein Potential, das einer Normalverteilung entspricht. Psi zeigt dann im Bereich des Potentials eine extrem schnell schwingende Störung.
Habe ich bei so einem Problem ohne Näherung eine Chance?
Versucht habe ich das zu lösen, wie oben schon angedeutet, indem ich die Wellenfunktion verändere - muss man so etwas, um vernünftig arbeiten zu können, immer mit einem Wahrscheinlichkeitsstrom rechnen? (Das alles kommt in dem Skript und dem Buch etwas zu kurz, und eigentlich geht es nur um Zentralpotentiale.) Sind die Ergebnisse des Wahrscheinlichkeitsstroms exakt gleich der Berechnung mit Psi?
In meiner Naivität dachte ich, es müsste durch entsprechende Potentiale möglich sein, so etwas wie ein fröhlich schwappendes Schwimmbecken zu berechnen (Eigentlich dachte ich an die Berechnung dessen, was in einer Elektronenröhre nachdem die Elektronen die Kathode verlassen haben, passiert, und was draussen ankommt.). Muss ich diese Vorstellung aufgeben?

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