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Einführung in die Quantenmechanik

Quantenmechanik, Unschärfenrelation, Welle-Teilchen-Dualismus, Rechenmethoden sowie Interpretation der Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 24. Dez 2011, 07:47

|i> oder |n> o.ä. ist ein abstrakter Zustand, der durch eine Konvention mittels i, n o.ä. festgelegt wird; da gibt es weder mehrere Zeilen, noch eine x-Abhängigkeit. Die x-Abhängigkeit in der Wellenfunktion ist lediglich eine (von vielen möglichen) Darstellungen und ensteht durch eine Projektion auf einen x-Eigenzustand, also <x|i>.

Das kommt in Kapitel 5 - und ich denke, wir machen auch da weiter und überspringen 4, weil mir die Darstellung im Skript nicht gefällt (ehrlich gesagt gefällt mir das Skript immer weniger)
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 24. Dez 2011, 11:11

Gut. In Kapitel 5 habe ich erst ein bisschen rein gelesen; daher hatte ich eine andere Vorstellung von |>. Das wird sich dann bestimmt noch ändern.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 9. Jan 2012, 09:32

So, die Winterpause ist vorbei!

Im Kapitel 5 geht es um den allgemeinen Formalismus der QM. Dabei sind Wellenfunktionen nur ein Spezialfall (unter vielen möglichen), nämlich die Ortsraumdarstellung einer zugrundeliegenden (abstrakten) Theorie. Die abstrakte Darstellung geht dabei insbs. auf Dirac zurück.

Anmerkung: Dieser Formalismus spielt in der QM eine zentrale Rolle - im positiven wie im negativen. Zum einen werden dadurch viele Rechnungen erheblich vereinfacht oder doch zumindest kürzer und transparenter; zum anderen mogelt man sich gerne um elementare Definitonen herum (man muss auch bei einem abstrakten Hilbertraum hinzufügen, welche Definiton bzgl. Norm usw. gelten soll) und tappt dabei in die eine oder andere Falle. Deswegen empfehle ich parallel einen Blick in folgenden (leider nicht gerade einfachen) Artikel

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069
Mathematical surprises and Dirac's formalism in quantum mechanics
Authors: F. Gieres
(Submitted on 22 Jul 1999 (v1), last revised 21 Dec 2001 (this version, v2))
Abstract: By a series of simple examples, we illustrate how the lack of mathematical concern can readily lead to surprising mathematical contradictions in wave mechanics. The basic mathematical notions allowing for a precise formulation of the theory are then summarized and it is shown how they lead to an elucidation and deeper understanding of the aforementioned problems. After stressing the equivalence between wave mechanics and the other formulations of quantum mechanics, i.e. matrix mechanics and Dirac's abstract Hilbert space formulation, we devote the second part of our paper to the latter approach: we discuss the problems and shortcomings of this formalism as well as those of the bra and ket notation introduced by Dirac in this context. In conclusion, we indicate how all of these problems can be solved or at least avoided.

Und nicht zuletzt muss ich leider sagen, dass auch das vorliegende Skript nicht frei von Schlampereien ist, auf die ich hinweisen muss.
1) am Ende von Seite 136 wird eine Entsorechung von Ket und Wellenfunktion angeführt, die m.E. besser in Anführungszeichen gehört
2) in (5.2) wird eine völlig korrekte Formel eingeführt; auch der Satz "In einer bestimmten Basis ... kann man also einen Ket-Vektor als Spaltenvektor ... " liest sich zunächst gut, aber auch hier kann man nur von Entsprechung und keinesfalls von Gleichheit reden, denn im Spaltenvektor stehen eben nur die Komponenten bzgl. einer bestimmten Basis
3) generell sind Physiker oft nicht in der Lage, zwischen dem Begriff "Vektor" und "Komponenten eines Vektors" zu unterscheiden
Im vorliegenden Fall führt dies eider immer wieder zur Verwirrung
4) in 5.1.3 steht der Satz "Observablen werden definiert durch Messprozesse". Ja - solange man damit nun nicht verbindet, dass eine Observable (also ein selbstadjungierter Operator) eine Messung "durchführt". Das ist nicht der Fall. Besser wäre es umgekehrt, einem selbstadjungierter Operator eine Observable zuzuordnen, ohne dabei den Begriff Messung zu verwenden (nachdem der Messprozess immer wieder zu philosopophischen Spekulationen Anlass gibt, ist es ungeschickt, ihn zur exakten Definiton eines abstrakten Formalismus heranzuziehen)
5) die Gleichsetzung von selbst-adjungiert und hermitesch in 5.1.3 nach (5.21)giltnur im endlich-dimensionalen Fall bzw. für beschränkte Operatoren

Ansonsten solltet ihr die Abschnitte 5.1 - 5.3 durcharbeiten und detailliert Fragen zu einzelnen Gleichungen stellen; das halte ich für besser, als dass ich lange Erklärungen abgebe. Letztlich kommt hier der große Vorteil der abstrakten Darstellung zum Tragen: Kenntnisse in der linearen Algebra, insbs. bzgl. Vektoren und Matrizen reichen aus, um die Gleichungen und deren Herleitung verstehen. Ich hoffe, ihr erkennt diese Vorteile ggü. dem umständlichen Hantieren mit Integralen.

Viel Spaß dabei ...
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 12. Jan 2012, 14:57

In Kapitel 5.1.4 verstehe ich die Formeln 5.28 und 5.34 nicht. Wofür steht |m>? sollte das Skalarprodukt sein, was aber eigentlich nicht sein kann, weil |n> eine Matrix sein müsste - |n> müsste ja mehrere bis viele Vektoren enthalten, die den Raum bzw. die Basis darin aufspannen. Und in 5.34 wird wie eine Funktion verwendet.
Würdest Du das bitte erklären? Danke!

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von rick » 12. Jan 2012, 16:37

Die Erklärung von Tom ist sicherlich besser :D
Zuletzt geändert von rick am 12. Jan 2012, 17:22, insgesamt 2-mal geändert.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 12. Jan 2012, 16:43

positronium hat geschrieben:In Kapitel 5.1.4 verstehe ich die Formeln 5.28 und 5.34 nicht ...
Das ist sehr einfach.

|n> ist einfach eine Bezeichnung (Numerierung) für eine abzählbare Menge an Basisvektoren. Man könnte auch |Zustand>[down]n[/down] schreiben.

δ[down]mn[/down] ist letztlich eine Bezeichnung für die Elemente der (unendlich-dimensionalen) Einheitsmatrix 1, also (1)[down]mn[/down] = δ[down]mn[/down].

<m|n> steht dann für alle Zahlenpaare (m,n) bzw. für das entsprechende Skalarprodukt <m|n>; im endlich-dimensionalen Fall hättest du z.B. sowas wie m,n = 1,2 (attention - abuse of notation)

|1> = (1,0)
|2> = (0,1)

<1|1> = (1,0) * (1,0) = 1
<1|2> = (1,0) * (0,1) = 0
<2|1> = (0,1) * (1,0) = 0
<2|2> = (0,1) * (0,1) = 1

D.h. mit δ[down]mn[/down] ist das Kronecker-Delta gemeint, d.h.

δ[down]mn[/down] = 1 falls m=n
δ[down]mn[/down] = 0ß falls m≠n
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 22. Jan 2012, 13:27

Für alle, die hier noch mitlesen; der Thread liegt einstweilen auf Eis, weil ggw. ein paar Übunsgaufgaben anstehen ;-)

würde mich freuen, wenn sich hier noch mehr aktiv beteiigen würden
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von rick » 22. Jan 2012, 16:38

Also ich lese zumindest mit :). Aber ich hab zur Zeit auch nicht sehr viel Zeit, deswegen stell ich meine Fragen lieber bisschen hinten an, ich will den Betrieb nicht aufhalten.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 22. Jan 2012, 16:42

stell die Fragen!
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 25. Jan 2012, 01:21

Um den Faden wieder aufzugreifen würde ich gerne auf ein paar zentrale Gleichungen aus dem Skript hinweisen:

In (5.29) wird ein allgemeiner Zustand |a> in der Basis |n> dargestellt; <n|a> sind dabei die Entwicklungskoeffizienten d.h. die Projektion des Vektors |a> auf den Basisvektor |n>.

In (5.41) und (5.42) erfolgt die Darastelung eines Operators F mittels seiner Matrixelemente bzgl. einer bestimmten Basis.

m.E. fehlt eine zentrale Gleichung im Umfeld (5.43), nämlich die sogenannte Spektraldarstellung eines hermiteschen Operators A d.h. seine Darstellung mittels seiner Eigenwerte und -zustände. Nehmen wir an, A habe die Eigenzustände |a>, d.h. A|a> = a|a> mit reellen Zahlen a. Dann stellen die |a> eine Basis, d.h. ein vollständiges orthonormiertes System dar, d.h.

∑[down]a[/down]|a><a| = 1

Damit gilt

A = A ∑[down]a[/down]|a><a| = ∑[down]a[/down]A|a><a| = ∑[down]a[/down]a|a><a|

also

A = ∑[down]a[/down]a|a><a|

In (5.54) wird das Eigenwertproblem für einen hermiteschen Operator in Form einer (unendlichdimensionalen) Matrixgleichung formuliert

In (5.64) und im folgenden werden die Eigenschaften unitärer Transformationen, also der verallgemeinerten Drehungen von Basisvektoren in Hilbertraum diskutiert.

Der Abschnitt (5.6) liefert eine Definition zumMessprozess, wie er in der orthodoxen = Kopenhagen-Interpretation verstanden wird.

Wenn wir dies abgeschlossen haben, würde ich gerne mit der Dynamik, d.h. der Zeitentwicklung quantenmechanischer Systeme in Kapitel 6 weiter fortfahren.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 29. Jan 2012, 16:51

Von meiner Seite aus können wir gerne weiter machen.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 2. Feb 2012, 23:31

In Kapitel 6 wird die Dynamik, also die zeitliche Entwicklung von Quantensystemen betrachtet. Dabei werden wir sehen, dass es in der QM zwei (eigtl. sogar beliebig viele) verschiedene Darstellungen der Dynamik gibt. Des liegt letztlich daran, dass man zwei abstrakte Objekttypen gegeben hat, einmal Zustandsvektoren und einmal Operatoren, wobei keiner dieser Typen für sich alleine eine konkrete physikalische Bedeutung hat oder gar beobachtbar ist.

In 6.1 wird die Schrödingergleichung auf Zuständen betrachtet (6.1) und formal mittels des Zeitentwicklungsoperators gelöst (6.4). Dabei handelt es sich um einen unitären Operator, der letztlich eine Drehung der Zustandsvektoren im unendlich-dimensionalen Hilbertraum erzeugt. Da letztlich nur normierte Zustände betrachett werden, kann man sagen, dass die Zeitentwicklung in der QM eine Abbildung der unendlichdimensionalen Einheitskugel auf sich selbst ist. In (6.8) wird dann die Zeitentwicklung von Matrixelementen betrachtet.

In 6.2 wird die Zeitabhängigkeit von den Zuständen auf die Operatoren übertragen, während die Zustände selbst zeitunabhängig werden. Dabei bleiben selbstverständlich physikalische Größen, Erwartungswerte usw. invariant, es handelt sich lediglich um verschiedene Darstellungen.

In 6.3 erfolgt eine Gegenüberstellung. Die interessanteste Gleichung ist (6.21). Hier sieht man, dass die qm Operatoren im Heisenbergbild formal den selben Bewegungleichungen wie die klassischen Variablen folgen.

In 6.4 wird das Wechselwirkungsbild eingeführt, wobei die Operatoren die trivialen, durch den freien Hamiltonoperator vermittelte Zeitentwicklung tragen, während die nicht-triviale, durch die Wechselwirkungsbild vermittelte Zeitentwicklung auf den Zustandsvektoren implementiert wird. Das Wechselwirkungsbild ist insbs. in der Streutheorie und später in der QFT interessant, da man die triviale Zeitentwicklung von der nicht-trivialen separiert und letztere isoliert betrachten kann.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 8. Feb 2012, 01:44

wie sieht's aus?
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 8. Feb 2012, 11:05

Ich bin eigentlich so weit, wollte es nur noch einmal durchgehen.
Der Vorteil des Wechselwirkungsbildes ist mir klar, aber in welchen Situationen ist es sinnvoller, das Schrödinger- oder das Heisenberg-Bild zu verwenden?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 8. Feb 2012, 17:18

Das Schrödingerbild führt unmittelbar zu zeitabhängigen Wellenfunktionen sowie der Schrödingergleichung; das ist für sich betrachtet schon mal ein Anwendungsfall.

Im Heisenbergbild ist die formale Behandlung der Algebra, der Dynamik der Operatoren usw. recht einfach, da die Bewegungsgleichung der Operatoren letztlich den klassischen kanonischen Bewegungsgleichungen entspricht.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 14. Apr 2012, 20:56

Im Kapitel 6.5 wird die Heisenbergsche Operatormechanik diskutiert. Dies ist die quantenmechanische Entsprechung des Hamiltonschen oder kanonischen Formalismus der klassischen Mechanik. In der klassischen Mechanik werden dabei Poissonklammern verwendet; dabei werden mittelsformaler partieller Differentation aus der Hamiltonschen Funktion die Bewegungsgleichungen abgeleitet. In der Quantenmechanik werden Poissonklammern durch Kommutatoren ersetzt.

Auf Seite 161 unten werden recht unscheinbar die zentralen Vorschriften zur kanonischen Quantisierung eines klassischern Systems eingeführt. Dies ist keine irgendwie ableitbare Methode, sondern wird letztlich zum einen axiomatisch eingeführt und zum anderen durch die Korrespondenz zur klassischen Mechanik gerechtfertigt. Da die QM jedoch umfassender ist als die klassische Mechanik ist das keine strenge Begründung. Insbs. kann es durchaus qm Systeme ohne klassisches Analogon geben (Spin).

Abschnitt 6.5.2. ist ein wichtiges Beispiel: in 6.33 und 6.34 werden die Bewegungsleichungen der Operatoren x und p mittels der Kommutatoren abgeleitet. Eine nette Übung wäre es, die Bewegungsgleichungen für die Leiter-Operatoren zu berechnen und zu lösen.

So, das war’s zum Aufwärmen. In Kapitel 6.6. geht’s mathematisch echt zur Sache; es geht um die Ableitung der allgemeinen Unschärferelation für beliebige Operatoren.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 15. Apr 2012, 11:56

Zwar bin ich jetzt so weit, dass ich einigermassen den Rechnungen in dem Skript folgen kann, aber mir fehlt noch immer der mathematische Überblick.
tomS hat geschrieben:Eine nette Übung wäre es, die Bewegungsgleichungen für die Leiter-Operatoren zu berechnen und zu lösen.
Das verstehe ich nicht so recht. Was bedeutet "Bewegungsgleichung" eines Leiter Operators?
Alles was mir hierzu einfällt, wäre den Aufstiegsoperator auf den Hamiltonoperator H anzuwenden und dafür dann die Schrödingergleichung zu lösen. Aber das ist doch keine Bewegungsgleichung, sondern eher so etwas wie eine "Abstandsgleichung".

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 15. Apr 2012, 12:04

Eine Bewegungsgleichung ist die Differentialgleichung für die Zeitentwicklung eines Objektes, in unserem Fall die eines Leiteroperators. Die Bewegungsgleichungen für die Operatoren x und p werden in 6.33 und 6.34 durch die Kommutatoren [H,x] und [H,p] hergeleitet. Es gilt

dx/dt = p/m

dp/dt = -kx

Dies sind doch die aus der klassischen Mechanik bekannten Bewegungsgleichungen für den harmonischen Oszillator, allerdings jetzt gültig für die Operatoren x und p. Nun kann man aus diesen Bewegungsleichungen zunächst die für die Leiteroperatoren ableiten, in dem man die Definition derselben verwendet (Kapitel 3.3.1) und für diese dann die Zeitableitung gemäß 6.33 und 6.34 berechnet.

D.h. man erhält eine Bewegungsleichung mit da/dt. Berechne die doch mal.
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 19. Apr 2012, 21:19

tomS hat geschrieben:In Kapitel 6 wird die Dynamik, also die zeitliche Entwicklung von Quantensystemen betrachtet. ...
Das sollten wir nochmal wiederholen.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 20. Apr 2012, 12:50

Inzwischen habe ich das noch einmal durchgearbeitet, wodurch sich das meiste erübrigt hat. Jetzt habe ich eigentlich nur noch eine Sache deswegen offen (und hoffe, dass das nur eine Kleinigkeit ist):
Du hattest geschrieben

in dem Skript (und auch anderen) wird aber umgekehrt formuliert

Ist es egal, an welcher Stelle welches U steht?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 20. Apr 2012, 13:22

Es ist nicht egal.

Es gilt



Im Schrödingerbild gilt



Die Transformation ins Heisenbergbild erfolgt mittels





Wenn ich anderes geschrieben haben sollte, dann war das ein Versehen, sorry.

Schau auch mal hier:
http://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_picture
http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_picture
http://en.wikipedia.org/wiki/Interaction_picture
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 20. Apr 2012, 16:10

Vielen Dank!
Ich glaube, damit die Grundlagen zum weiter machen zu haben.

Beim Reinlesen in 6.6 ist mir in der Formel 6.37 wieder etwas unbekanntes aufgefallen. Der Betrag wird hier mit ||...|| dargestellt; was ist dann aber das |...| um das Skalarprodukt <f|g>?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 20. Apr 2012, 16:34

f ist ja ein Vektor in einem Hilbertraum, daher spricht man statt von seiner "Länge" besser von der sogenannten Norm; diese wird im Zuge der Banchräume eingeführt. In einem Hilberraum existiert dabei ein Skalarprodukt, aus dem sich die Norm ableiten lässt. In einem Banachraum muss kein Skalarprodukt existieren. In der Funktionalanalysis unterscheidet man auch hinsichtlich der Notation zwischen Betrag einer komplexen Zahl, d.h. |z| und Banachraum-Norm ||f||.

http://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum
http://de.wikipedia.org/wiki/Banachraum
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 21. Apr 2012, 13:27

Dann steht also demnach in 6.37 auf der linken Seite nur der einfache Strich, weil man durch das Skalarprodukt schon eine Zahl hat, und auf der rechten Seite das Skalarprodukt erst gebildet werden muss...

Das Kapitel 6.6 habe ich jetzt fertig gelesen, und konnte im wesentlichen folgen, wobei der Autor an mancher Stelle recht wortkarg ist.
Ganz am Ende steht noch etwas interessantes zum zeitlichen Verhalten beim Übergang in ein geringeres Energieniveau: Lässt Formel 6.41 den Rückschluss auf das zeitliche Verhalten oder die Unschärfe zu? Oder anders gefragt: was ist bzw. kann Parameter und was Ergebnis sein?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 23. Apr 2012, 08:20

Die Herleitung der allgemeinen Unschärfenrelation in 6.6.2 folgt dem Standardweg - ist allerdings leider gerade nicht die allgemeinste Form, da der Autor dummerweise an einer Stelle den Kommutator [A,B] = i verwendet (S. 165 oben). Damit gilt der Beweis doch wieder nur für kanonisch konjugierte Operatoren A und B. In der allgemeinsten Form bleibt der Kommutator einfach stehen, d.h. man betrachtet den Erwartungswert <[A,B]>. Das benötigt man z.B. für die Unschärfenrelation der Drehimpulsoperatoren.

Schau dir dazu mal die (sehr kurze aber gute) Herleitung hier an http://de.wikipedia.org/wiki/Heisenberg ... emeinerung

Dann vergisst der Autor noch einen bemerkenswerten Spezialfall (den er hoffentlich später nachholt). Trotz der vielen Abschätzungen mit "größer gleich" gibt es Fälle, in denen das Gleichheitszeichen in der Unschärfenrelation exakt gilt; es handelt sich um Wellenpakete minimaler Unschärfe, insbs. um das Gaussche Wellenpaket als Lösung für den harmonischen Oszillator.

(6.41) ist kritisch. Zunächst gilt (6.40) entsprechen der obigen Herleitung. Nun interessiert aber nicht irgendein Operator A sondern speziell die Zeit t. Diese ist jedoch weder ein Operator, noch gibt es eine Darstellung der QM, in der t als Operator interpretierbar ist und eine (kanonisch konjugierte) Größe dazu existiert. D.h. es ist immer [t,A]=0 für alle A! Damit muss man eben zu einem Trick wie der Einführung der Zeit t[down]A[/down] greifen. Damit ist im folgenden aber eben nicht mehr von der Heisenbergschen Unschärfenrelation im strengen Sinne die Rede.

Natürlich kann man dieses Ergebnis als zeitliche Entwickung einer Unschärfe betrachten, aber eben nur bezogen auf den Operator A. Betrachte das Gaussche Wellenpaket als Grundzustand des harmonischen Oszillators. Es handelt sich um eine Eigenfunktion von H, d.h. die Energieunschärfe ist Null. Im harmonischen Oszillator ist es natürlich auch eine stationäre Lösung, d.h. Orts- und Impulsunschärfe sind minimal und bleiben konstant unter Zeitentwicklung. Präpariert man dagegen ein freies Teilchen als Gaussches Wellenpaket so wird es mit der Zeit zerfließen und seine Ortsunschärfe wird wachsen.

Wichtig ist, dass man in (6.41) eine Zeitenwicklung d.h. letztlich immer eine spezielle Dynamik bzw. einen Hamiltonoperator H betrachtet, während die allgemeine Form der Unschärfenrelation für zwei Observablen A und B eine rein geometrische Eigenschaft des Hilbertraumes ist (als unendlichdimensionale Verallgemeinerung des euklidschen Raumes) und damit völlig unabhängig von der Quantenmechanik gilt.
Gruß
Tom

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