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Einführung in die Quantenmechanik

Quantenmechanik, Unschärfenrelation, Welle-Teilchen-Dualismus, Rechenmethoden sowie Interpretation der Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 7. Dez 2011, 21:10

Es handelt sich um den Erwartungswert.

Generell gilt



wobei p(a) irgendeine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, für die gilt



und F(a) irgendeine Funktion irgendeiner Variablen a.

In der QM ist p(a) das Absolutquadrat eine Wellenfunktion, a üblicherweise (nicht zwingend) x oder p.
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 7. Dez 2011, 22:56

Danke für die Erklärung!

Alexander

Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von Alexander » 8. Dez 2011, 16:57

Ich kann mir zwar vorstellen und weiß, was damit gemeint ist respektive welche Implikationen dahinter stecken, aber ich frage dennoch mal, weil ich den entsprechenden Ausdruck noch nie gesehen habe. Man redet bezüglich der Wahrscheintlichkeitsdichte des Aufenthalts eines Teilchens mit gegebener Wellenfunktion immerzu davon, dass dieselbe durch das Quadrat der Wellenfunktion gegeben ist. Ist das dann nur diese Klammer, die quadriert wurde? Oder wird der Wert des Wellenvektors als nur eine Zahl angegeben? Könne wir ein konkretes Beispiel machen, bei dem wir aus einer Wellenfunktion die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das Teilchen extrahieren?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 8. Dez 2011, 17:31

Ich bin mir nicht ganz sicher, was Du meinst. Vermutlich aber das: liefert für jeden Punkt im Raum und jede Zeit eine komplexe Zahl. Deren Betragsquadrat ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Ort x zur Zeit t.

Alexander

Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von Alexander » 8. Dez 2011, 17:59

Also muss ich nur den Betrag des Vektors quadrieren?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 8. Dez 2011, 18:14

Alexander hat geschrieben:Also muss ich nur den Betrag des Vektors quadrieren?
gibt keinen Vektor sondern eine Zahl der Form x+iy zurück. Deren Betrag ist zu quadrieren.

Alexander

Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von Alexander » 8. Dez 2011, 21:30

OK, dann können wir meinentwegen weitermachen.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 9. Dez 2011, 16:25

Jetzt bin ich auch so weit durch. Wir können gerne weiter machen.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 12. Dez 2011, 16:46

So, weiter geht es in Abschnitt 2.7 mit einem etwas abstrakteren Thema, nämlich dem Lagrangeformalismus für Feldtheorien. Zentrale Aussage ist, dass durch eine Lagrangedichte ein Wirkungsintegral definiert wird, und dass dessen Stationarität (2.80) auf die Euler-Lagrange-Gleichungen (2.88) führt (so z.B. für die Maxwellsche Elektrodynamik). In (2.83) wird kurz der Übergang zur Hamiltonschen Darstellung angesprochen.

In 2.7.3 wird sozusagen rückwärts - ausgehend von der Schrödingergleichung - eine Lagrangedichte (2.91) konstruiert, aus der genau diese Schrödingergleichung als Feldgleichung (Euler-Lagrange-Gleichung) abgeleitet werden kann.

In 2.8 wird der sogenannte Separationsansatz zur Lösung der stationären Schrödingergleichung diskutiert. Zum einen folgt daraus der Phasenfaktor bzw. Exponent (-iEt) für die Zeitabhängigkeit, zum anderen sozusagen als "Überbleibsel" die zeitunabhängige Schrödingergleichung (2.103) als Eigenwertgleichung für den räumlichen Anteil der Wellenfunktion. Eine allgemeine Lösung (2.104) folgt als Überlagerung von speziellen Lösungen.

Der Separationsansatz wird immer wieder eine Rolle bei der Lösung von DGLs der QM spielen.

2.9 möchte ich zunächst mal überspringen und statt dessen in die Diskussion eindimensionaler Quantensysteme in Kapitel 3 einsteigen (mir fällt auf, dass das Skript die Dinge in einer sehr seltsamen Reihenfolge präsentiert ...)

In den drei Forderungen (R1 - R3) stecken wesentliche Annahmen bzgl. der zugrundeliegenden Theorie der Funktionalanalysis sowie der Wahl des jeweiligen Hilbertraumes, auf dem die Theorie formuliert wird. Achtung: bereits einfache ebene Wellen (Impulseigenfunktionen) oder die Deltafunktion in x (Ortseigenfunktionen) verstoßen gegen (R3) und erfordern streng genommen verallgemeinerte Funktionenräume (was aber hier den Rahmen sprengen würde).

In (3.2) wird der Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden diskutiert. Im Inneren entspricht dies einfach der freien Schrödingergleichung; das Potential ist hier 0. Der einzige Effekt des Potentialtopfes ist das Auftreten von Randbedingúngen und damit von quantisierten Energieeigenwerten (3.23) für stehende Wellen. In 3.2.1 werden einige wesentliche Eigenschaften der Lösungen disjutiert; insbs. gilt Eigenschaft (3-4) der Orthonormiertheit für alle Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operators.

Zum harmonischen Oszillator könnt ihr ja mal die einleitenden Absätze lesen; Abschnitt 3.3.2 sowie 3.3.3 bietet nochmal eine schöne Anwendung der Lösung von DGLs mittels eines Potenzreihenansatzes; die Quantisierung der Energieeigenwerte (3.59) folgt in diesem Fall aus dem Abbruchkriterium der Potenzreihe (3.56). Den Abschnitt 3.3.1 würde ich beim nächsten Mal separat diskutieren
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 14. Dez 2011, 12:12

Gut, so weit bin ich noch dabei.
Nur zwei Fragen zum Potential: In den Kapiteln ab 3... wird es idealisiert dargestellt; dafür kann man die klassischen Potentiale der Kräfte einsetzen, richtig? Setzt man im Rahmen der QFT auch auf die Art in die Schrödingergleichung ein, und müssten die WW-Teilchen nicht auch als Wellen behandelt werden?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 14. Dez 2011, 12:39

positronium hat geschrieben:In den Kapiteln ab 3... wird es idealisiert dargestellt; dafür kann man die klassischen Potentiale der Kräfte einsetzen, richtig?
Soweit richtig.
positronium hat geschrieben:Setzt man im Rahmen der QFT auch auf die Art in die Schrödingergleichung ein, und müssten die WW-Teilchen nicht auch als Wellen behandelt werden?
Ganz anders!

Behalte das mal im Hinterkopf bzw. erinnere mich mal daran - in einem neuen Thread
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 14. Dez 2011, 15:00

tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Setzt man im Rahmen der QFT auch auf die Art in die Schrödingergleichung ein, und müssten die WW-Teilchen nicht auch als Wellen behandelt werden?
Ganz anders!

Behalte das mal im Hinterkopf bzw. erinnere mich mal daran - in einem neuen Thread
Ja, mache ich sobald wir etwas weiter sind - demnach ist das am jetzigen Punkt noch nicht zu verstehen?
Danke!

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 14. Dez 2011, 15:18

positronium hat geschrieben:Ja, mache ich sobald wir etwas weiter sind - demnach ist das am jetzigen Punkt noch nicht zu verstehen?
Das ist mit QM I überaupt nicht zu verstehen, sondern man muss klassische Feldtheorie (Maxwellgleichungen) kennen sowie deren Quantisierung lernen. Das ist eher QM II bzw. eben QFT
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 16. Dez 2011, 22:51

So, nun nochmal zum harmonische Oszillator in Abschnitt 3.3.1.

Die algebraische Behandlung des harmonischen Oszillator ist letztlich nichts weiter als die Einführung einer alternativen Operatoralgebra, nämlich x+ip und x-ip anstelle von x und p. Die Bedeutung liegt darin, dass
a) das Problem analytisch lösbar ist
b das Problem in höheren Dimensionen eine verborgene, sogenannte dynamische Symmetrie aufweist
c) die verwendeten algebraischen Techniken aus der QM nicht wegzudenken sind ...
d) ... und auch in der QFT zur Anwendung kommen

Zunächst mag es erstaunlich erscheinen, dass man ein Problem "lösen" kann, ohne die Wellenfunktionen zu berechnen. Dabei ist wichtig, dass die Wellenfunktion keine physikalisch beobachtbare Größe ist, lediglich Eigenwerte bzw. Erwartungswerte sind messbar - und damit muss es eben das Zeil sein, das Spektrum des Hamiltonoperators zu bestimmen. Im Falle der algebraischen Lösung geschieht dies nicht im x-Raum, sondern sozusagen im E-Raum.

Zunächst werden in (3.34) und (3.35) zwei neue Operatoren definiert, mit dem Ziel, den Hamiltonoperator als Produkt zu schreiben.

Mit (3.36) und (3.37) wird dies - bis auf eine Konstante - auch erreicht.

Nun wird gezeigt, dass die beiden Leiteroperatoren Eigenvektoren in (neue) Eigenvektoren überführen; das ist in Abbildung (3.5) dargestellt.

Die Form des Potentials bedeutet, dass das Spektrum von H nach unten beschränkt sein muss, d.h. dass die Folge der Eigenwerte nach unten beschränkt sein, also abbrechen muss.

Die Grundzustandsenergie ist in (3.46) angegeben. Man beachte, dass das Spektrum damit bereits vollständig bekannt ist, bevor in (3.47) die Eigenfunktionen konstruiert werden
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 21. Dez 2011, 19:50

Sind mit diesen Energien schon z.B. die Energieniveaus des Elektrons im Wasserstoffatom, also auch mit den Spektren der Elemente gleich zu setzen?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 21. Dez 2011, 21:52

Die Energien folgen aus dem jeweiligen Hamiltonoperator. Im Falle des H-Atoms ist die Darstellung mittels der o.g. Leiteroperatoren nicht möglich; es gibt jedoch eine andere (komplizierere) Operatoralgebra, nämlich die SO(4),die eine ähnliche algebraische Lösung erlaubt. Die Eigenwerte im Falle des H-Atoms sind naturgemäß verschieden von denen des harmonischen Oszillators
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 21. Dez 2011, 22:39

OK, danke. Von meiner Seite aus können wir gerne weiter machen.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 21. Dez 2011, 23:23

Gegenfrage: welche Themen aus Kapitel 3 interessieren noch? (dabei geht es meist ums "Rechnen" und explizites Lösen, also Handwerkszeug;konzeotionelle Themen kommen eher nicht zur Sprache).
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 22. Dez 2011, 09:28

Wie geht man vor, wenn man ein System zur Simulation nachbilden möchte? Reicht es, wenn man Randbedingungen setzt? Für freie Teilchen müsste es dann ausreichen, Randbedingungen für den Erwartungswert zu verwenden, aber was ist zu tun, wenn sich ein Teilchen in einem Potential befindet?

Die Kapitel 3.4 und 3.5 habe ich gerade überflogen; in denen scheint nichts grundlegend neues zu stehen. 3.6 und 3.7 sind ziemlich mathematisch. Die schaue ich besser an, wenn ich ein konkretes Problem lösen will.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 22. Dez 2011, 10:39

Genau, wir sollten hier nicht rechen üben, das ist im Forum eh' schwer.

Bzgl. Simulation: was meinst du damit? Unter Simulation kann ich mir da kaum was vorstellen. Üblicherweise löst man in der QM die SGL numerisch (entweder algebraisch oder per DGL)
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 22. Dez 2011, 11:22

Mit Simulation meine ich das Durchrechnen (und graphische Darstellen) von so Problemen wie z.B. das Ionisieren eines Atoms, und ich sage mal den Einfang des heraus geschlagenen Elektrons durch ein anderes Atom, oder etwa die Bildung eines Moleküls. Gut, so weit sind wir hier nicht, aber man könnte auch ein Atom in eine elektrische Falle schiessen - das müsste an diesem Punkt schon möglich sein.
Dafür muss man ja erst einmal Startparameter festlegen. Bei einem Atom gehen die Probleme doch schon los. Dem Kern könnte man in dem Fall wohl noch einen klassischen Ort zuweisen, aber das/die Elektron(en) muss man ja irgendwie in ihre Orbitale bringen. Das alles bekommt einen Impuls, so dass das Atom in Richtung Falle fliegt.
Wie legt man solche Startparameter fest? Und ab einem gewissen Punkt wird eine einzelne Psi-Funktion nicht mehr ausreichen; beispielsweise ändert sich doch bei Teilchenumwandlungen die Zahl der Parameter für Psi. Das kann doch nicht mehr einfach als ein System beschrieben werden, oder doch irgendwie?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 22. Dez 2011, 13:10

Sowas würde man nicht ausrechnen ;-[

Ganz abstrakt hat man
- einen initialen Zustand |i>, z.B. einen gebundenen Zustand in einem Atom
- einen finalen Zustand |f>, z.B. ein freies Elektron definiertem Drehimpuls (keine ebene Welle, aber etwas vergleichbares - kommt später)
- einen Wechselwirkungsterm T[A] mit einer el.-mag. Welle A(x) (klassisch - der Einfachheit halber), oder einem komplizierteren Gebilde in der QFT

Dann berechnet man das Matrixelement M[down]fi[/down] = <f|T|i> und daraus Streuquerschnitte, Quantenkorrekturen usw.

Man kann auch einfachere Lösungen graphisch darstellen (Lösen der drei-dim. Schrödingergleichung + plotten), aber bei Streuprozessen funktioniert das nicht mehr. Entsprechende Darstellungen können wir gerne beim Wasserstoffatom diskutieren http://media.web.britannica.com/eb-medi ... A01A0E.jpg
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 22. Dez 2011, 13:54

Wirklich verstehen kann ich jetzt nicht, was dabei genau gemacht wird, aber ich stelle mir das mal als Abbildungen/Transformationen vor.
Insgesamt bleibt aber schon die Schrödinger-Gleichung Grundlage, nur dass sie nicht mehr so in den Vordergrund tritt?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 22. Dez 2011, 21:04

Die SGL Ist hier eher unwichtig; die Zustände |i> und |f> sind Lösungen der ungestörten SGL, T vermittelt eine zusätzliche WW und dadurch werden die Zustände instabil, es gibt Übergänge bzw. Zerfälle; für T spielt die SGL eher eine untergeordnete Rolle
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 23. Dez 2011, 09:44

|i> ist ja ein Spaltenvektor. Was sind darin die Vektorelemente? Ist jedes Element die Psi-Funktionen eines einzigen Teilchens? Also, . Oder stellt man für alle Teilchen ein Psi auf, wie es in Kapitel 2.9 dargestellt wird, also ? Aber was kommt dann in die weiteren Zeilen?

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