Re: Einführung in die Quantenmechanik
Verfasst: 2. Dez 2016, 16:09
Der Hamiltonoperator ist auf einem Hilbertraum definiert. Das Spektraltheorem stellt sicher, dass dessen Eigenfunktionen Elemente des Hilbertraumes sind.positronium hat geschrieben:Ja. Werden die Eigenfunktionen aus dem Hamiltonoperator 1:1 in den Hilbertraum übernommen, oder müssen diese erst noch "abstrahiert" werden?tomS hat geschrieben:Die Eigenzustände |n> von H definieren ein VONS. Weitere Zustände definiert man mittels Superpositionen über A(n) |n>. Aufgrund der Vollständigkeit (VONS) funktioniert dies für alle Zustände im Hilbertraum.
Konkret: eine Gaußfunktion ~exp(-x²/a²) ist quadratintegrabel und somit Element des Hilbertraumes der quadratintegrablen Funktionen; eine Basis des Hilbertraumes kann durch Funktionen H(x/a) * exp(-x²/a²) realisiert werden; H(x/a) sind dabei Polynome (Hermitepolynome) in der Variablen x/a. Zufälligerweise sind dies auch die Eigenfunktionen eines ganz speziellen Hamiltonoperators.positronium hat geschrieben:Das verstehe ich leider nicht. Meinst Du eine Art Funktion über alle Basisfunktionen?tomS hat geschrieben:|x> und |k> sind etwas speziell, da sie nicht normierbar sind. Aber sie sind im Abschluss des Hilbertraumes enthalten, d.h. mittels eines Grenzprozesses darstellbar.
Nun kann man für Funktionen C*exp(-x²/a²) einen Grenzprozess dergestalt durchführen, dass der Peak immer schmäler wird und die Funktion sich einer Delta-Distribution annähert. In diesem Sinne ist diese Delta-Distribution das Ergebnis eines Grenzprozesses, und sie ermöglicht gleichzeit eine Art "verallgemeinerte Basis" des Abschlusses des Hilbertraumes (der um diese Distributionen erweitert wird); ähnliches funktioniert auch für ebene Wellen.
Es sollte aber immer klar sein, dass Delta-Distributionen als mathematisches Werkzeug sinnvoll sind, jedoch sicher nicht der physikalischen Realität entsprechen. Diese wird immer durch Wellenpakete dargestellt.