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Einführung in die Quantenmechanik

Quantenmechanik, Unschärfenrelation, Welle-Teilchen-Dualismus, Rechenmethoden sowie Interpretation der Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 2. Dez 2016, 16:09

positronium hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Die Eigenzustände |n> von H definieren ein VONS. Weitere Zustände definiert man mittels Superpositionen über A(n) |n>. Aufgrund der Vollständigkeit (VONS) funktioniert dies für alle Zustände im Hilbertraum.
Ja. Werden die Eigenfunktionen aus dem Hamiltonoperator 1:1 in den Hilbertraum übernommen, oder müssen diese erst noch "abstrahiert" werden?
Der Hamiltonoperator ist auf einem Hilbertraum definiert. Das Spektraltheorem stellt sicher, dass dessen Eigenfunktionen Elemente des Hilbertraumes sind.
positronium hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:|x> und |k> sind etwas speziell, da sie nicht normierbar sind. Aber sie sind im Abschluss des Hilbertraumes enthalten, d.h. mittels eines Grenzprozesses darstellbar.
Das verstehe ich leider nicht. Meinst Du eine Art Funktion über alle Basisfunktionen?
Konkret: eine Gaußfunktion ~exp(-x²/a²) ist quadratintegrabel und somit Element des Hilbertraumes der quadratintegrablen Funktionen; eine Basis des Hilbertraumes kann durch Funktionen H(x/a) * exp(-x²/a²) realisiert werden; H(x/a) sind dabei Polynome (Hermitepolynome) in der Variablen x/a. Zufälligerweise sind dies auch die Eigenfunktionen eines ganz speziellen Hamiltonoperators.

Nun kann man für Funktionen C*exp(-x²/a²) einen Grenzprozess dergestalt durchführen, dass der Peak immer schmäler wird und die Funktion sich einer Delta-Distribution annähert. In diesem Sinne ist diese Delta-Distribution das Ergebnis eines Grenzprozesses, und sie ermöglicht gleichzeit eine Art "verallgemeinerte Basis" des Abschlusses des Hilbertraumes (der um diese Distributionen erweitert wird); ähnliches funktioniert auch für ebene Wellen.

Es sollte aber immer klar sein, dass Delta-Distributionen als mathematisches Werkzeug sinnvoll sind, jedoch sicher nicht der physikalischen Realität entsprechen. Diese wird immer durch Wellenpakete dargestellt.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 2. Dez 2016, 18:47

Vielen Dank für die Erklärungen, Tom!

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 7. Dez 2016, 15:08

Gerne würde ich das noch etwas vertiefen.
Mathematisch ist jede Basis gleichwertig, aber ist das auch physikalisch so? - Messungen führen immer auf Eigenwerte des Hamiltonoperators, und hängen nur davon ab, welche Observable man einsetzt. Die sich dabei ergebenden Wellenfunktionen sind, wenn ich das richtig sehe, mathematisch immer eher als andere als einfach zu bezeichnen - ebene Welle und stationäre Zustände, weniger Superposition. Kann man auch sinnvollerweise andere Observable konstruieren, und vor allem diesen entsprechend messen, sodass man Überlagerungen der eher einfachen, also komplexere Zustände misst? Rein mathematisch kann man meiner Einschätzung nach eigentlich alles aus der Wellenfunktion extrahieren, weil sie eben das gesamte System räumlich und zeitlich kodiert.
Muss man evtl. annehmen, dass die Amplitudenfunktion gewissermassen ein Eigenleben führt, sich selbständig permanent im Sinne von möglichst wenig Superposition vereinfacht, oder kann man das evtl. durch die zeitliche Entwicklung ausschliessen?

Eine etwas anders gelagerte Frage: Lässt sich aus der Linienbreite eines an einem Ensemble gemessenen Spektrums etwas über die Form der Wellenfunktion in weiter Entfernung sagen? - Ich denke an eine instantane Messung, indem man nicht in alle Richtungen rotationssymmetrische Moleküle ausrichtet, und so die längeren (oder kürzeren) Wellen durch weit entfernte Potentiale manipulieren lässt.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von Stephen » 8. Dez 2016, 14:53

Ich bin auf diesem Gebiet nicht besonders bewandert, habe heute aber ein Zitat zu diesem Thema gefunden:
Neueste Forschungen belegen zweifelsfrei, dass bestimmte Teilchen durch ein unsichtbares Band verknüpft sind. Sie können Lichtjahre voneinander entfernt sein, doch im Moment der Messung werden sie das gleiche Bild abgeben. Immer. Die sogenannte Verschränkung ist mit den üblichen Naturgesetzen nicht erklärbar, ihr Beweis stellt unser Weltbild auf den Kopf. Daher unsere Titelfrage: Wie wirklich ist die Wirklichkeit?
Quelle: P.M. 01/2017, Seite 3
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 29. Dez 2016, 17:03

Ich mache mir gerade Gedanken über 2- und 3-dimensionale Probleme.
Der Laplace-Operator lässt doch durch die Addition der Krümmungen in x-, y- und z-Richtung in 2D einen, und in 3D zwei Freiheitsgrade offen. Wenn ich das richtig in Erinnerung habe, fixiert man diese Freiheitsgrade bei Atomen mit dem Drehimpuls. Aber wie geht man allgemein vor, damit keine Inkonsistenz entsteht? - Ich würde noch immer gerne z.B. eine Streuung an einem Potential anhand der auftretenden Wellen untersuchen.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 31. Dez 2016, 10:12

Neueste Forschungen belegen zweifelsfrei, dass bestimmte Teilchen durch ein unsichtbares Band verknüpft sind. Sie können Lichtjahre voneinander entfernt sein, doch im Moment der Messung werden sie das gleiche Bild abgeben. Immer. Die sogenannte Verschränkung ist mit den üblichen Naturgesetzen nicht erklärbar, ihr Beweis stellt unser Weltbild auf den Kopf.
Na ja, das ist die bekannte Verschränkung von Teilchen. Eine historische Quelle dazu ist das Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon (1935). Bell befasste sich intensiv damit in den 1960-iger Jahren. Ein experimenteller Nachweis stammt von Aspect (1984).

https://de.wikipedia.org/wiki/Einstein- ... -Paradoxon
https://de.wikipedia.org/wiki/Bellsche_Ungleichung
https://de.wikipedia.org/wiki/Alain_Aspect

Das ist also weder "neu" noch "stellt es unser Weltbild auf den Kopf". Es ist halt eine der seltsamen Eigenschaften der Quantenmechanik.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 31. Dez 2016, 18:52

Der Vollständigkeit wegen möchte ich meine obigen Texte abrunden:
Genau genommen muss ich - auch wenn ich natürlich falsch liegen kann - davon ausgehen, dass die Schrödingergleichung weder die Zeitentwicklung vollständig exakt, noch die erlaubten Zustände überhaupt sinnvoll festlegt.

Die Zeitentwicklung wird nur unter Annahme konstanter Energie je Welle gegeben. Hat man nämlich eine Superposition mit E1 psi1 und E2 psi2, so trifft die SG weder eine Aussage darüber, welches E auf welches psi (oder in welcher Verteilung auch immer) wirkt, noch ob die Energie überhaupt bei psi1 und psi2 verbleibt. Natürlich könnte man jetzt sagen, das sei offensichtlich, aber gerade der Kollaps der Wellenfunktion ist doch genau dieser Punkt.

Das ist aber nicht einmal das, was mich jetzt so sehr stört. Wirklich problematisch finde ich die in der QM offenbar (habe zumindest noch nichts entsprechendes gelesen) fehlende Festlegung auf erlaubte Zustände. Normierbarkeit, Quadratintegrabilität und ausreichend ofte Differenzierbarkeit reichen nicht aus.

So wie ich das jetzt sehe, spräche nicht einmal etwas gegen eine Welle mit variablem k trotz V=0, denn in der zeitunabhängigen SG die Energie einzusetzen, ist ja nur ein Rechentrick - in Wirklichkeit ergibt sich die Zeitentwicklung und damit die Gesamtenergie aus der Krümmung und dem Potential. Die SG rechnet aus so einer Welle mit variablem k ohne zu murren die Zeitentwicklung, und "verzwirbelt" die Funktion hemmungslos bis zum Gehtnichtmehr. :devil: Das wäre eine Funktion, die durch Zeitentwicklung/Phasenverschiebung nicht mehr in sich selbst überführbar ist.
Auch können Wellen wegen der oben angesprochenen Unbestimmtheit durch den Laplace-Operator in mehreren Dimensionen irgendwelche Haken schlagen, ohne E ortsabhängig zu machen, und die SG zu verletzen. - Die SG legt eben nur die Zeitentwicklung einigermassen, und die räumliche Veränderung nur ungenügend fest.

Ich kann mir nicht vorstellen, wie solche Möglichkeiten zu physikalisch sinnvollen Ergebnissen führen könnten, wenn man sie nicht konsequent ausschliesst, aber welche Regeln sind das?

Wäre es nicht sinnvoller, die QM dahingehend umzuformulieren, alle klassisch erlaubten Trajektorien zu berechnen bzw. zu definieren, auf diesen komplexe Wellen (und Phasen) laufen zu lassen, und über dieser Menge eine Superposition zu bilden? - Das wäre so schön, weil anschaulich sinnvoll! ;a Spricht etwas dagegen?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 31. Dez 2016, 19:15

positronium hat geschrieben:Genau genommen muss ich - auch wenn ich natürlich falsch liegen kann - davon ausgehen, dass die Schrödingergleichung weder die Zeitentwicklung vollständig exakt, noch die erlaubten Zustände überhaupt sinnvoll festlegt.
Die zeitabhängige SGL legt die unitäre Zeitentwicklung beliebiger Zustände eindeutig fest.

Die zulässigen Zustände folgen aus dem gewählten Hilbertraum, d.h. dem Raum, der das physikalische Problem einschließlich aller relevanten Observablen (Operatoren) abbilden kann.
positronium hat geschrieben:Die Zeitentwicklung wird nur unter Annahme konstanter Energie je Welle gegeben. Hat man nämlich eine Superposition mit E1 psi1 und E2 psi2, so trifft die SG weder eine Aussage darüber, welches E auf welches psi (oder in welcher Verteilung auch immer) wirkt, noch ob die Energie überhaupt bei psi1 und psi2 verbleibt.
Doch, die zeitabhängige SGL tut genau das.
positronium hat geschrieben:Natürlich könnte man jetzt sagen, das sei offensichtlich, aber gerade der Kollaps der Wellenfunktion ist doch genau dieser Punkt.
Das Kollaps- bzw. das Projektionspostulat beziehen sich gerade auf die nicht-unitäre Zeitentwicklung; gem. der Kollaps-Interpretation widersprechen sich diese Punkte nicht, sie ergänzen sich, da sie für disjunkte „Vorgänge“ anzuwenden sind.
positronium hat geschrieben:Wirklich problematisch finde ich die in der QM offenbar (habe zumindest noch nichts entsprechendes gelesen) fehlende Festlegung auf erlaubte Zustände. Normierbarkeit, Quadratintegrabilität und Differenzierbarkeit reichen nicht aus.
Doch, damit befasst sich die mathematische Physik durchaus; man nennt das auch die „Konstruktion des Hilbertraumes“ im Zuge der Quantisierung. Wenn die physikalisch relevanten Observablen festgelegt sind müssen die erlaubten Zustände bzw. der Hilbertraum konstruiert werden.

Das ist z.B. relevant für ebene Wellen, das 1/r Potential, weitere 1/rn Potentiale u.a.

Die SGL kann erst definiert werden, wenn dieser Hilbertraum festgelegt ist, denn sie muss als Operator auf diesem Hilbertraum existieren. Evtl. existieren jedoch noch weitere physikalisch relevante Operatoren oder Bedingungen, die den Hilbertraum einschränken bzw. reduzieren. Insbs. gilt dies für Probleme mit lokaler Eichsymmetrie.
positronium hat geschrieben:… in Wirklichkeit ergibt sich die Zeitentwicklung und damit die Gesamtenergie aus … dem Potential. Die SG rechnet aus so einer Welle … die Zeitentwicklung, und "verzwirbelt" die Funktion bis zum Gehtnichtmehr.
Ja.

Und?
positronium hat geschrieben:Auch können Wellen wegen der oben angesprochenen Unbestimmtheit durch den Laplace-Operator in mehreren Dimensionen irgendwelche Haken schlagen
Was meinst du damit?
positronium hat geschrieben:… ohne E ortsabhängig zu machen, und die SG zu verletzen.
E ist nicht ortsabhängig; E ist nicht mal „für einen Ort“ definiert, sondern nur als Eigenwert der Funktion als Ganzes, oder – falls kein Eigenwert vorliegt – als Erwartungswert.
positronium hat geschrieben:Die SGL legt eben nur die Zeitentwicklung einigermassen, und die räumliche Veränderung nur ungenügend fest.
Eine zulässige Funktion als Anfangsbedingung festgelegt liefert die SGL die Zeitentwicklung absolut exakt, eindeutig und invertierbar (= umkehrbar).
positronium hat geschrieben:Ich kann mir nicht vorstellen, wie solche Möglichkeiten zu physikalisch sinnvollen Ergebnissen führen könnten, wenn man sie nicht konsequent ausschliesst, aber welche Regeln sind das?
Du wählst einen Satz physikalisch relevanter Operatoren; dies definiert den Hilbertraum eindeutig.

Es ist jedoch halb so schlimm. Da man per Postulat immer von separablen Hilberträumen ausgehet, also von Hilberträumen mit abzählbarer Basis, kann man ein Theorem ausnutzen, das die Isomorphie aller dieser Hilberträume sicherstellt. Insofern gibt es letztlich nur einen einzigen separablen Hilbertraum, und dies legt umgekehrt die Menge der mathematisch erlaubten Observablen fest.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 31. Dez 2016, 21:14

Vielen Dank für Deine Antwort!
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Die Zeitentwicklung wird nur unter Annahme konstanter Energie je Welle gegeben. Hat man nämlich eine Superposition mit E1 psi1 und E2 psi2, so trifft die SG weder eine Aussage darüber, welches E auf welches psi (oder in welcher Verteilung auch immer) wirkt, noch ob die Energie überhaupt bei psi1 und psi2 verbleibt.
Doch, die zeitabhängige SGL tut genau das.
Das kann ich leider nicht erkennen. Eine Superposition sieht doch einfach so aus:

Das bedeutet nur, dass die Summe der komplexen Zahlen auf der rechten Seite der auf der linken Seite entsprechen muss; dort steht nicht:



Das bedeutet meiner Meinung nach, streng genommen, dass die Summe der zeitlichen Drehungen der Summe der H psi_1 und H psi_2 entsprechen muss. Und das sagt auch nichts darüber, was mit allen anderen möglichen Lösungen der SG geschieht.
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Natürlich könnte man jetzt sagen, das sei offensichtlich, aber gerade der Kollaps der Wellenfunktion ist doch genau dieser Punkt.
Das Kollaps- bzw. das Projektionspostulat beziehen sich gerade auf die nicht-unitäre Zeitentwicklung; gem. der Kollaps-Interpretation widersprechen sich diese Punkte nicht, sie ergänzen sich, da sie für disjunkte „Vorgänge“ anzuwenden sind.
Auf mich macht das den Eindruck als sollte in der SG statt psi ein Vektor aller möglichen Zustände psi={psi1,psi2,...}, und davor eine zeitabhängige Matrix stehen, welche einerseits die zeitabhängige Drehung von psi_n klar der Krümmung und dem Potential von psi_n zuweist, und andererseits durch Umverteilung der Gewichtung aller psi einen Kollaps überflüssig macht.
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:… in Wirklichkeit ergibt sich die Zeitentwicklung und damit die Gesamtenergie aus … dem Potential. Die SG rechnet aus so einer Welle … die Zeitentwicklung, und "verzwirbelt" die Funktion bis zum Gehtnichtmehr.
Ja.

Und?
Stört Dich das nicht? - Die Krümmung der Funktion wird durch so etwas, also an Stellen erhöhten Impulses immer grösser! Das bedeutet meiner Ansicht nach, dass eine solche ("verzwirbelte") Welle nur durch Zeitentwicklung, nicht durch Prozesse/Schwingung/etc. entstehen kann, und ich kann mir nicht vorstellen, wie so etwas auf andere Teilchen wirken sollte. Das fühlt sich doch physikalisch völlig falsch an - oder bist Du in Wirklichkeit doch Mathematiker, und es ist Dir nur peinlich, das zuzugeben? :wink:
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Auch können Wellen wegen der oben angesprochenen Unbestimmtheit durch den Laplace-Operator in mehreren Dimensionen irgendwelche Haken schlagen
Was meinst du damit?
Wellen könnten räumlich die Richtung wechseln. Beispielsweise statt gerade in x-Richtung zu laufen, sinusförmige Ausschläge in y-Richtung zeigen. Ebenso könnten Kugelwellen ohne entsprechendes Potential existieren.
Mag sein, dass die von Dir erwähnte Konstruktion des Hilbertraums so etwas ausschliesst, aber in der SG erkenne ich nichts derartiges.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 1. Jan 2017, 12:12

positronium hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Die Zeitentwicklung wird nur unter Annahme konstanter Energie je Welle gegeben. Hat man nämlich eine Superposition mit E1 psi1 und E2 psi2, so trifft die SG weder eine Aussage darüber, welches E auf welches psi (oder in welcher Verteilung auch immer) wirkt, noch ob die Energie überhaupt bei psi1 und psi2 verbleibt.
Doch, die zeitabhängige SGL tut genau das.
Das kann ich leider nicht erkennen.
Die Schrödingergleichung

i∂tψ = Hψ

wird formal gelöst durch den linearen, unitären Zeitentwicklungsoperator

U(t,t0) = exp[-iH(t-t0)]

ψ(t) = U(t,t0) ψ(t0)
positronium hat geschrieben:Das bedeutet meiner Meinung nach, streng genommen, dass die Summe der zeitlichen Drehungen der Summe der H psi_1 und H psi_2 entsprechen muss.
Da U linear ist, kannst du ihn im Falle einer Superposition auf jeden einzelnen Term separat anwenden.
positronium hat geschrieben:Und das sagt auch nichts darüber, was mit allen anderen möglichen Lösungen der SG geschieht.
Welche anderen möglichen Lösungen?

Du nimmst ein beliebiges ψ(t0) aus deinem Hilbertraum und erzeugst daraus ψ(t); welche Lösungen fehlen da noch?
positronium hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Natürlich könnte man jetzt sagen, das sei offensichtlich, aber gerade der Kollaps der Wellenfunktion ist doch genau dieser Punkt.
Das Kollaps- bzw. das Projektionspostulat beziehen sich gerade auf die nicht-unitäre Zeitentwicklung; gem. der Kollaps-Interpretation widersprechen sich diese Punkte nicht, sie ergänzen sich, da sie für disjunkte „Vorgänge“ anzuwenden sind.
Auf mich macht das den Eindruck als sollte in der SG statt psi ein Vektor aller möglichen Zustände psi={psi1,psi2,...}, und davor eine zeitabhängige Matrix stehen ... und andererseits durch Umverteilung der Gewichtung aller psi einen Kollaps überflüssig macht.
Wenn du möchtest, kannst du U auf eine gesamte Basis {psi1,psi2,...} anwenden. Aber die SGL gilt unabhängig von der konkreten Basiswahl.

Die 'Umverteilung der Gewichte' macht einen Kollaps nicht überflüssig. Der Kollaps ist ein nicht-unitärer und damit nicht invertierbarer Vorgang. Wenn ein Kollaps

ψ = a1 φ1 + a2 φ1 → K ψ = φ1

stattgefunden hat, dann ist nicht mehr feststellbar, aus welchem Zustand ψ heraus dieser Kollaps erfolgt ist; eine Rekonstruktion

ψ = K-1 φ1

ist nicht möglich, da dieser spezielle Kollaps K den Zustand ψ in den Zustand φ1 überführt hat; das hätte jedoch auch für beliebige andere Zustände ψ' = a'1 φ1 + a'2 φ1 der Fall sein können.

Demgegenüber ist eine Invertierung

ψ(t) = U(t,t0) ψ(t0)

trivialerweise gegeben durch

ψ(t0) = U-1(t,t0) ψ(t0) = U(t0,t) ψ(t)

Der Kollaps K kann demnach nicht einer Zeitentwicklung U entsprechen.
tomS hat geschrieben:Das bedeutet meiner Ansicht nach, dass eine solche ("verzwirbelte") Welle nur durch Zeitentwicklung, nicht durch Prozesse/Schwingung/etc. entstehen kann ...
Die SGL und ihre Lösungen beschreiben die Natur perfekt, einschließlich der Quantenfeldtheorie. Und was ist denn eine Schwingung anders als eine spezielle Zeitentwicklung?
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 1. Jan 2017, 14:06

tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:
tomS hat geschrieben: Doch, die zeitabhängige SGL tut genau das.
Das kann ich leider nicht erkennen.
Die Schrödingergleichung

i∂tψ = Hψ

wird formal gelöst durch den linearen, unitären Zeitentwicklungsoperator

U(t,t0) = exp[-iH(t-t0)]

ψ(t) = U(t,t0) ψ(t0)
Du verwendest dabei aber eine Annahme, die Du nicht erwähnst. Wenn Du U in die SG einsetzst, dann gehst Du implizit davon aus, dass alle Terme der Wellenfunktion voneinander unabhängig ihrer eigenen Zeitentwicklung folgen.
Ich will nicht behaupten, dass diese Annahme falsch sein muss, aber ich will betonen, dass sie nicht aus der SG folgt. Ich sehe es so, dass es sich dabei genau genommen um ein weiteres Postulat der QM handelt.
Und dieses Postulat besagt, wie ich es oben mit diesem Satz meinte:
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Und das sagt auch nichts darüber, was mit allen anderen möglichen Lösungen der SG geschieht.
Welche anderen möglichen Lösungen?
dass alle Lösungen (Eigenfunktionen von H) sich immer unabhängig voneinander entwickeln.
Vor allem wird dadurch aber der QM die Möglichkeit genommen, z.B. vom freien Wellenpaket in einen gebundenen Zustand im Atom zu wechseln.
Sehe ich es denn falsch, dass gerade deswegen das Kollapspostulat nötig war?
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:
tomS hat geschrieben: Das Kollaps- bzw. das Projektionspostulat beziehen sich gerade auf die nicht-unitäre Zeitentwicklung; gem. der Kollaps-Interpretation widersprechen sich diese Punkte nicht, sie ergänzen sich, da sie für disjunkte „Vorgänge“ anzuwenden sind.
Auf mich macht das den Eindruck als sollte in der SG statt psi ein Vektor aller möglichen Zustände psi={psi1,psi2,...}, und davor eine zeitabhängige Matrix stehen ... und andererseits durch Umverteilung der Gewichtung aller psi einen Kollaps überflüssig macht.
Die 'Umverteilung der Gewichte' macht einen Kollaps nicht überflüssig. Der Kollaps ist ein nicht-unitärer und damit nicht invertierbarer Vorgang. Wenn ein Kollaps

ψ = a1 φ1 + a2 φ1 → K ψ = φ1

stattgefunden hat, dann ist nicht mehr feststellbar, aus welchem Zustand ψ heraus dieser Kollaps erfolgt ist; eine Rekonstruktion

ψ = K-1 φ1

ist nicht möglich, da dieser spezielle Kollaps K den Zustand ψ in den Zustand φ1 überführt hat; das hätte jedoch auch für beliebige andere Zustände ψ' = a'1 φ1 + a'2 φ1 der Fall sein können.
Ist das alles denn durch Experimente bewiesen?
Alles was ich sehe, ist eine Entkopplung der Terme der Wellenfunktion durch Einführung von U. Warum sollte eine gekoppelte Zeitentwicklung nicht ganz zwanglos zur Einnahme der gemessenen Eigenzustände führen? - Ich will darauf hinaus, dass evtl. gar kein echter Kollaps (auf exakt einen Eigenzustand; könnte ja auch leicht gemischt sein) stattfinden muss, und ich sehe keinen Grund, warum eine erweiterte Schrödingergleichung statt einer eingeschränkten diese zeitliche Entwicklung nicht abbilden können sollte.
tomS hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Das bedeutet meiner Ansicht nach, dass eine solche ("verzwirbelte") Welle nur durch Zeitentwicklung, nicht durch Prozesse/Schwingung/etc. entstehen kann ...
Die SGL und ihre Lösungen beschreiben die Natur perfekt, einschließlich der Quantenfeldtheorie. Und was ist denn eine Schwingung anders als eine spezielle Zeitentwicklung?
Vielleicht ist das, was ich meinte nicht klar genug geworden. Ich habe hier ein Beispiel gebastelt:
Es geht mir um eine Welle mit variablem k bei V=0.
k.png
k.png (9.79 KiB) 4768 mal betrachtet
eine einfache Welle mit diesem k(x)

und deren Zeitentwicklung

Das ergibt eine solche Welle:
psi.gif
psi.gif (153.2 KiB) 4768 mal betrachtet
Im mittleren Bereich nimmt die Krümmung proportional zu t zu. Das halte ich für unphysikalisch. Bei entsprechender Interferenz könnte man sogar das Alter einer solchen Welle feststellen.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 1. Jan 2017, 14:58

positronium hat geschrieben:Du verwendest dabei aber eine Annahme, die Du nicht erwähnst. Wenn Du U in die SG einsetzst, dann gehst Du implizit davon aus, dass alle Terme der Wellenfunktion voneinander unabhängig ihrer eigenen Zeitentwicklung folgen.
Ich will nicht behaupten, dass diese Annahme falsch sein muss, aber ich will betonen, dass sie nicht aus der SG folgt. Ich sehe es so, dass es sich dabei genau genommen um ein weiteres Postulat der QM handelt.
Die Annahme steckt in dem Begriff "linearer Operator"; die QM verwendet ausschließlich lineare Operatoren wie x, p, L, ..., H, U, und für diese gelten genau diese Eigenschaften.

Und dieses Postulat besagt, wie ich es oben mit diesem Satz meinte:
positronium hat geschrieben:dass alle [Eigenfunktionen von H] sich immer unabhängig voneinander entwickeln.
Das gilt nicht nur für die Eigenfunktionen, sondern für beliebige Sumnen beliebiger Funktionen.
positronium hat geschrieben:Vor allem wird dadurch aber der QM die Möglichkeit genommen, z.B. vom freien Wellenpaket in einen gebundenen Zustand im Atom zu wechseln.
Nein, wird es nicht. Das ist Gegebstand der Streutheorie und wird dort sehr detailliert untersucht.

Wenn du die Zeitentwicklung eines Eigenzustands |E> des Hamiltonoperators H untersuchst, dann gilt immer

|E,t> = exp[-iHt] |E,0> = exp[-iEt] |E,0>

Wenn du dagegen einen anderen Zustand betrachtest, z.B. eine ebene Welle oder ein freies Wellenpaket, das nicht Eigenzustand zum Hamiltonoperators des zu betrachtenden Atoms (oder besser Ions) ist, dann gilt das zweite Gleichheitszeichen nicht mehr. Man kann den Übergang in einen anderen (z.B. einen gebundenen) Zustand |E'> näherungsweise durch Störungsentwicklung von exp[-iHt] im zusätzlichen Potential V berechnen; das Übergangsmatrixelement lautet

MEE' = <E'|V|E>

und ist i.A. ungleich Null.
positronium hat geschrieben:Sehe ich es denn falsch, dass gerade deswegen das Kollapspostulat nötig war?
Nein.

Das Kollapspostulat wird ausschließlich für die Diskussion der Messung benötigt, während du hier explizit die Zeitentwicklung betrachtest, die gemäß der orthodoxen Interpretation gerade nichts mit der Messung zu tun hat.
positronium hat geschrieben:Ist das alles denn durch Experimente bewiesen?
Alles was ich sehe, ist eine Entkopplung der Terme der Wellenfunktion durch Einführung von U. Warum sollte eine gekoppelte Zeitentwicklung nicht ganz zwanglos zur Einnahme der gemessenen Eigenzustände führen?
Ja. Es ist kein einziges Experiment bekannt, das der QM widerspräche. Andererseits ist die QM und insbs. das Kollapspostulat genau so konstruiert, dass es zu den Experimenten passt.

Meine Argumentation bezieht sich jedoch rein auf die mathematische Struktur der QM.
positronium hat geschrieben:Ich will darauf hinaus, dass evtl. gar kein echter Kollaps (auf exakt einen Eigenzustand; könnte ja auch leicht gemischt sein) stattfinden muss, und ich sehe keinen Grund, warum eine erweiterte Schrödingergleichung statt einer eingeschränkten diese zeitliche Entwicklung nicht abbilden können sollte.
Tatsächlich werden nicht-lineare Erweiterungen der QM formuliert, die eine Art "stochastischen Kollaps" mit der Zeitentwicklung selbst produzieren sollen; das funktioniert aber nicht wirklich gut und ist sicher nicht Mainstream.
positronium hat geschrieben:Vielleicht ist das, was ich meinte nicht klar genug geworden. Ich habe hier ein Beispiel gebastelt:
Es geht mir um eine Welle mit variablem k bei V=0.



eine einfache Welle mit diesem k(x)



und deren Zeitentwicklung

Das entspricht nicht der Zeitentwicklung gemäß der SGL!

Die Zeitentwicklung folgt genau dann mittels exp[-iEt] wenn der Zustand ein Energieeigenzustand ist. Ist er aber nicht. Und du kannst nicht einfach ein E ~ k2 einsetzen, wenn k(x) nicht konstant ist. Das liefert keine Lösung der SGL.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 1. Jan 2017, 16:04

tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Du verwendest dabei aber eine Annahme, ...
Die Annahme steckt in dem Begriff "linearer Operator"; ...
positronium hat geschrieben:Ich will darauf hinaus, dass evtl. gar kein echter Kollaps (auf exakt einen Eigenzustand; könnte ja auch leicht gemischt sein) stattfinden muss, und ich sehe keinen Grund, warum eine erweiterte Schrödingergleichung statt einer eingeschränkten diese zeitliche Entwicklung nicht abbilden können sollte.
Tatsächlich werden nicht-lineare Erweiterungen der QM formuliert, die eine Art "stochastischen Kollaps" mit der Zeitentwicklung selbst produzieren sollen; das funktioniert aber nicht wirklich gut und ist sicher nicht Mainstream.
Gut, Danke! Das beantwortet diesen Teil meiner Fragen.
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Vor allem wird dadurch aber der QM die Möglichkeit genommen, z.B. vom freien Wellenpaket in einen gebundenen Zustand im Atom zu wechseln.
Nein, wird es nicht. Das ist Gegebstand der Streutheorie und wird dort sehr detailliert untersucht.
Ja, ich meinte aber den Übergang nach Messung, also ein tatsächlich 100%iges Vorliegen des Zustands, nicht nur die Wahrscheinlichkeit des Übergangs.

tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Vielleicht ist das, was ich meinte nicht klar genug geworden. Ich habe hier ein Beispiel gebastelt:
Es geht mir um eine Welle mit variablem k bei V=0.



eine einfache Welle mit diesem k(x)



und deren Zeitentwicklung

Das entspricht nicht der Zeitentwicklung gemäß der SGL!

Die Zeitentwicklung folgt genau dann mittels exp[-iEt] wenn der Zustand ein Energieeigenzustand ist. Ist er aber nicht. Und du kannst nicht einfach ein E ~ k2 einsetzen, wenn k(x) nicht konstant ist. Das liefert keine Lösung der SGL.
Du hast Recht. Was ich oben geschrieben habe ist falsch - ich hatte die Krümmung bei t0 für alle t verwendet. Aber qualitativ sollte dieses Verhalten stimmen, weil die lokale Krümmung die lokale Drehgeschwindigkeit der Funktion bestimmt, und je höher letztere ist, desto stärker wächst durch das variable k die Phasendifferenz benachbarter Punkte, und deshalb sollte die Krümmung wie oben geplottet, in der Mitte immer schneller steigen.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 1. Jan 2017, 16:20

positronium hat geschrieben:... ich meinte aber den Übergang nach Messung, also ein tatsächlich 100%iges Vorliegen des Zustands, nicht nur die Wahrscheinlichkeit des Übergangs.
Nun, gem. unitärer Zeitentwicklung liegt eine Superposition vor; eine Wsk. von exakt Eins kann m.E. mathematisch ausgeschlossen werden. D.h. wenn exakt Eins, dann ist der Kollaps notwendig.

Ich denke, du solltest dir mal die Everettsche Interpretation anschauen; die sollte einiger deiner Fragen einfacher beantworten.

positronium hat geschrieben:Was ich oben geschrieben habe ist falsch - ich hatte die Krümmung bei t0 für alle t verwendet. Aber qualitativ sollte dieses Verhalten stimmen, weil die lokale Krümmung die lokale Drehgeschwindigkeit der Funktion bestimmt ...
Ich denke, dass der Ansatz auch qualitativ nicht passt.

Außerdem verstehe ich "lokale Krümmung" und "lokale Drehgeschwindigkeit" nicht.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 1. Jan 2017, 16:52

tomS hat geschrieben:Ich denke, du solltest dir mal die Everettsche Interpretation anschauen; die sollte einiger deiner Fragen einfacher beantworten.
OK.
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Was ich oben geschrieben habe ist falsch - ich hatte die Krümmung bei t0 für alle t verwendet. Aber qualitativ sollte dieses Verhalten stimmen, weil die lokale Krümmung die lokale Drehgeschwindigkeit der Funktion bestimmt ...
Ich denke, dass der Ansatz auch qualitativ nicht passt.

Außerdem verstehe ich "lokale Krümmung" und "lokale Drehgeschwindigkeit" nicht.
Die SG legt die Zeitentwicklung fest, indem sie einen Zustand und das Potential auswertet. Bei den mir bekannten Beispielen ist diese Auswertung auf der rechten Seite der SG, also kinetische+potentielle Energie stets räumlich konstant. Daraus folgt, dass die Zeitentwicklung (linke Seite der SG) zu einem lediglich zeitabhängigen, nicht aber ortsabhängigen Phasenfaktor wird. Ich sehe aber nur anhand der SG keinen Grund, warum eine Wellenfunktion diese Konstanz der kinetischen+potentiellen Energie immer erfüllen sollte. Deshalb mein Beispiel oben exp(i k(x) x).
Mit lokaler Krümmung und lokaler Drehung meine ich, dass die Krümmung (d²/dx²) der Wellenfunktion an einem Punkt für diesen einen Punkt die Drehung in der komplexen Zahlenebene (id/dt ist ja nichts anderes als eine solche) bestimmt. D.h. stärkere Krümmung=schnellere Drehung -> noch stärkere Krümmung -> noch schnellere Drehung... usw.. Dadurch hat man in der Zeitentwicklung einen Phasenfaktor, der ortsabhängig ist, und die Wellenfunktion "wickelt" sich wie in dem Plot zu sehen immer stärker auf.
Ich vermute, dass solche Zustände nicht erlaubt sind.

Auch vermute ich - wie oben schon angesprochen -, dass es Regeln für die räumliche Orientierung der Wellenfunktion geben muss, die wohl durch das Potential bestimmt ist - eben soz. eindimensionale Wellen, welche klassischen (teils offenen, teils geschlossenen) Bahnen folgen, und solche infinitesimal nebeneinander liegend, dass der Raum ausgefüllt ist. Auch dazu sagt die SG leider nichts.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 1. Jan 2017, 18:50

positronium hat geschrieben:Bei den mir bekannten Beispielen ist diese Auswertung auf der rechten Seite der SG, also kinetische+potentielle Energie stets räumlich konstant. Daraus folgt, dass die Zeitentwicklung (linke Seite der SG) zu einem lediglich zeitabhängigen, nicht aber ortsabhängigen Phasenfaktor wird. Ich sehe aber nur anhand der SG keinen Grund, warum eine Wellenfunktion diese Konstanz der kinetischen+potentiellen Energie immer erfüllen sollte. Deshalb mein Beispiel oben exp(i k(x) x).
Zunächst hast du recht, p2/2m + V(x) muss keineswegs x-unabhängig sein.

Aber du darfst das nicht einfach in den Exponenten schreiben. Ich denke, alle deine Probleme stammen aus dieser falschen Vorstellung.

Schau dir mal die Zeitentwicklung des quantenmechanischen harmonischen Oszillators an:

https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_h ... oscillator
positronium hat geschrieben:Ich vermute, dass solche Zustände nicht erlaubt sind.
Grundsätzlich sind alle Zustände erlaubt, die in einem bestimmten Hilbertraum quadratintegrierbar sind. Du kannst theoretisch jede beliebige unitäre Zeitentwicklung durch einen geeigneten Hamiltonoperator produzieren.
positronium hat geschrieben:Auch vermute ich, dass es Regeln für die räumliche Orientierung der Wellenfunktion geben muss ...Auch dazu sagt die SG leider nichts.
Versuch doch bitte mal die Regeln ohne Rückgriff auf deine falsche Zeitentwicklung zu formulieren. Was sollen das für Regeln sein und warum möchtest du bestimmte Wellenfunktion ausschließen, wenn sie durch ein bestimmtes H erzeugt werden?
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 1. Jan 2017, 20:13

tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Bei den mir bekannten Beispielen ist diese Auswertung auf der rechten Seite der SG, also kinetische+potentielle Energie stets räumlich konstant. Daraus folgt, dass die Zeitentwicklung (linke Seite der SG) zu einem lediglich zeitabhängigen, nicht aber ortsabhängigen Phasenfaktor wird. Ich sehe aber nur anhand der SG keinen Grund, warum eine Wellenfunktion diese Konstanz der kinetischen+potentiellen Energie immer erfüllen sollte. Deshalb mein Beispiel oben exp(i k(x) x).
Zunächst hast du recht, p2/2m + V(x) muss keineswegs x-unabhängig sein.

Aber du darfst das nicht einfach in den Exponenten schreiben. Ich denke, alle deine Probleme stammen aus dieser falschen Vorstellung.
Ja, das war falsch, aber qualitativ nicht verkehrt. Mein falsches Ergebnis hatte eine Drehung gemäss k(x)t zu Folge, also proportional zu t. In Wirklichkeit müsste es aber eine Drehung mit t im Exponenten sein.
Es ist doch bei meinem Beispiel oben so, dass die Krümmung durch k(x) definiert ist, und damit ist die kinetische Energie zum Zeitpunkt t=0 proportional zu k(x). Weil V=0 gilt, ergibt sich bei t=0: i d/dt psi(x,t) ~ k(x). Beim nächsten infinitesimalen Zeitschritt ist psi wegen des mit x veränderlichen k an den Stellen mit grösserem d/dx k(x) krummer als bei t=0, und die nächste zeitliche Veränderung führt zu noch stärkerer Drehung und zu weiterer Krümmung.
tomS hat geschrieben:Schau dir mal die Zeitentwicklung des quantenmechanischen harmonischen Oszillators an:

https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_h ... oscillator
Der ist doch gerade ein Beispiel für räumlich konstante Energie, weil E=const und p²/2m gerade den Wert annimmt, der sich aus E-V ergibt.
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Auch vermute ich, dass es Regeln für die räumliche Orientierung der Wellenfunktion geben muss ...Auch dazu sagt die SG leider nichts.
Versuch doch bitte mal die Regeln ohne Rückgriff auf deine falsche Zeitentwicklung zu formulieren.
Der Teil hat gar nichts mit obigem zu tun - es handelt sich um zwei Beispiele, bei denen ich unterschiedliche Probleme sehe. Oben die zeitliche Entwicklung, hier den räumlichen Zusammenhang.
tomS hat geschrieben:Was sollen das für Regeln sein und warum möchtest du bestimmte Wellenfunktion ausschließen, wenn sie durch ein bestimmtes H erzeugt werden?
In einer Dimension habe ich kein Problem; wenn ich einen Ort und dort die Amplitude und die erste Ableitung kenne, ergibt die SG bei gegebener Energie alles weitere.
Bei zwei und drei Dimensionen habe ich aber ein Problem - ich nehme hier 'mal 3D: Der Laplace-Operator ist mit d²/dx²+d²/dy²+d²/dz² so konstruiert, dass er aus einer beliebigen Funktion die Krümmung ermittelt, und damit die Zeitentwicklung festgelegt ist. So weit so gut. Der umgekehrte Weg ist aber mehrdeutig. Wenn man beispielsweise V=0 ansetzt, kann man durch räumlich konstantes k räumlich verschieden verlaufende Wellen konstruieren. (Rot sind die Wellenfronten und schwarz die Richtung, entlang derer die Welle ihre Phase ändert; A=ebene Welle; B=offenbar mit der SG vereinbarer Verlauf)
welle1.png
welle1.png (9.18 KiB) 4751 mal betrachtet
Wenn k nicht konstant sein muss, kann man sogar bei V=0 so etwas konstruieren
welle2.png
welle2.png (5.77 KiB) 4751 mal betrachtet
Ich vermute daher, dass die schwarzen Linien, also die Strecken entlang derer die Schwingung erfolgt, möglicherweise klassischen Bahnen entsprechen könnten. - Zumindest die ebenen Wellen und die Berechnung von Atomen würden in diese Richtung weisen.
Aber solche Dinge wie in der ersten Zeichnung Fall B können meiner Meinung nach nicht zulässig sein.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 1. Jan 2017, 20:29

positronium hat geschrieben:Der ist doch gerade ein Beispiel für räumlich konstante Energie, weil E=const und p²/2m gerade den Wert annimmt, der sich aus E-V ergibt.
Dann schau dir die Zeitentwicklung einer Superposition von zwei derartigen Zuständen an. Dann ist keine Energie mehr definiert (außer über dem Erwartungswert)
positronium hat geschrieben:Der Laplace-Operator ist ... und damit [ist] die Zeitentwicklung festgelegt.
Ja.
positronium hat geschrieben:Der umgekehrte Weg ist aber mehrdeutig.
Für was denn mehrdeutig? H und damit U beschreiben die Zeitentwicklung eindeutig. Und wenn man ein beliebige Wellenfunktion in Energie-Eigenzustände zerlegt, dann erkennt man wiederum die eindeutige Zeitentwicklung.

Sorry, ich verstehe nicht, was du meinst.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 1. Jan 2017, 21:39

Schauen wir uns mal die infinitesimale Zeitentwicklung an.

Aus der SGL

i∂tψ = Hψ

folgt

ψ(t + dt) = ψ(t) + ∂tψ(t) dt = ψ - iHψ dt = ψ(t) - i[-Δ + V]ψ dt = ψ + i[Δ - V]ψ dt

Damit ist doch alles eindeutig.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 1. Jan 2017, 21:42

tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Der ist doch gerade ein Beispiel für räumlich konstante Energie, weil E=const und p²/2m gerade den Wert annimmt, der sich aus E-V ergibt.
Dann schau dir die Zeitentwicklung einer Superposition von zwei derartigen Zuständen an. Dann ist keine Energie mehr definiert (außer über dem Erwartungswert)
Das Prinzip ist mir schon klar.
Vielleicht kann ich es so verständlich formulieren: Das Beispiel des quantenmechanischen harmonischen Oszillators, ebene Wellen, Atomwellenfunktionen, und alles, was ich bisher in Lehrbüchern gesehen habe, wird immer mit Wellenfunktionen formuliert, oder es ergeben sich solche, welche diese Bedingung erfüllen:
d/dt d²/dx² psi(r,t)=const
D.h. die Krümmung ist zeitlich an jedem Ort konstant!
Diese Konstanz ist aber nicht für jede Wellenfunktion gültig. Nämlich dann nicht, wenn p²/2m+V räumlich variabel ist.
Meine Vermutung ist, dass solche Zustände wegen der Art der zeitlichen Entwicklung (Verstärkung der Krümmung in Abhängigkeit von d/dx k(x)) der Wellenfunktion nicht erlaubt sind.
Rein mathematisch dürfte das kein Problem sein, aber siehst Du, dass solche Funktionen in der Natur vorkommen können? - Ich sehe Probleme.
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Der umgekehrte Weg ist aber mehrdeutig.
Für was denn mehrdeutig?
Für die Konstruktion der Eigenfunktionen. Damit man eine eindeutige Eigenfunktion bekommt, braucht man zur SG z.B. den Drehimpuls im Atom, für eine ebene Welle einen Wellenzahlvektor. Es muss also zum Laplace-Operator d²/dx²+d²/dy²+d²/dz² bei der Konstruktion der Wellenfunktion für jeden Punkt bekannt sein, wie stark die Krümmung anteilig in x-, y- und z-Richtung ist. Eben so, wie man es mit dem Wellenzahlvektor und dem Drehimpuls macht.
An der Regel für die Wahl dieser Verhältnisse bin ich interessiert.
Ich vermute eine Abhängigkeit vom Potential und einem irgendwo festgelegten Impuls als Startwert - beispielsweise geht man beim 1/r-Potential gleich von einerseits einer radialen und andererseits von einer kreisförmigen "Bewegung" im Potential aus. Niemand würde wohl irgend einen krummlinigen Verlauf dafür wählen.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 1. Jan 2017, 21:44

tomS hat geschrieben:Schauen wir uns mal die infinitesimale Zeitentwicklung an.

Aus der SGL

i∂tψ = Hψ

folgt

ψ(t + dt) = ψ(t) + ∂tψ(t) dt = ψ - iHψ dt = ψ(t) - i[-Δ + V]ψ dt = ψ + i[Δ - V]ψ dt

Damit ist doch alles eindeutig.
Die Zeitentwicklung ist eindeutig - den Punkt hattest Du ja oben schon mit der Linearität von U erklärt. Hier meine ich nur den räumlichen Zusammenhang bei der Konstruktion der Eigenfunktionen.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 1. Jan 2017, 23:04

positronium hat geschrieben:... alles, was ich bisher in Lehrbüchern gesehen habe, wird immer mit Wellenfunktionen formuliert, oder es ergeben sich solche, welche diese Bedingung erfüllen:
d/dt d²/dx² psi(r,t)=const
Da ist irgendwas mit der Gleichung schief gelaufen.
positronium hat geschrieben:D.h. die Krümmung ist zeitlich an jedem Ort konstant!
Nein, die Krümmung ist sicher nicht immer "konstant". Auch p2/2m + V ist nicht immer "konstant" (du meinst wahrscheinlich den Vorfaktor, der beim zweimaligen Ableiten sowie Anwenden von V entsteht).
positronium hat geschrieben:Nämlich dann nicht, wenn p²/2m+V räumlich variabel ist.
So kannst du das nicht schreiben. p ist ein Operator, d.h. er ist nicht "konstant" (s.o.: du meinst wohl den Vorfaktor).

Kannst du das nochmal korrekt schreiben?
positronium hat geschrieben:Meine Vermutung ist, dass solche Zustände wegen der Art der zeitlichen Entwicklung (Verstärkung der Krümmung in Abhängigkeit von d/dx k(x)) der Wellenfunktion nicht erlaubt sind.
Wenn keine Eigenfunktionen zu H vorliegt, dann existiert kein E, und dann ist auch nichts "konstant". Das ist bereits der Fall für die Überlagerung zweier Eigenfunktionen zu verschiedenem E. Und es sind beliebige Wellenfunktionen zulässig, nicht nur Eigenfunktionen. Wie oft soll ich das noch schreiben?

Setze halt mal eine Funktion

u(r) = exp[-ar] p(r) s(r)

an und berechne die Zeitentwicklung für ein Potential V(r). exp[-ar] garantiert Quadratintegrabilität, p(r) sei irgendein endliches Polynom, s(r) sei irgendeine Summe irgendwelcher Winkelfunktionen, ... V(r) sei ebenfalls ein nach unten beschränktes (!) Polynom oder zumindest keine Funktion mit Singularität ... da ist alles in wunderschöner Ordnung.
positronium hat geschrieben:Rein mathematisch dürfte das kein Problem sein, aber siehst Du, dass solche Funktionen in der Natur vorkommen können? - Ich sehe Probleme.
Schreib mal ein paar Beispiele auf und erklär' mir, wo das Problem sein soll. Ggf. auch mit einer Graphik für die Funktion.
positronium hat geschrieben:Für die Konstruktion der Eigenfunktionen. Damit man eine eindeutige Eigenfunktion bekommt, braucht man zur SG z.B. den Drehimpuls im Atom, für eine ebene Welle einen Wellenzahlvektor.
Ja.
positronium hat geschrieben:Es muss also zum Laplace-Operator d²/dx²+d²/dy²+d²/dz² bei der Konstruktion der Wellenfunktion für jeden Punkt bekannt sein, wie stark die Krümmung anteilig in x-, y- und z-Richtung ist. Eben so, wie man es mit dem Wellenzahlvektor und dem Drehimpuls macht.
Nein, so macht man das nicht. Kein Mensch legt irgendwo eine Krümmung fest.

Das Problem, das du ansprichst, heißt Entartung. Am besten verstehst du es, wenn du dir die Konstruktion der Eigenzustände des Wasserstoffatoms anschaust.
positronium hat geschrieben:Ich vermute eine Abhängigkeit vom Potential und einem irgendwo festgelegten Impuls als Startwert - beispielsweise geht man beim 1/r-Potential gleich von einerseits einer radialen und andererseits von einer kreisförmigen "Bewegung" im Potential aus. Niemand würde wohl irgend einen krummlinigen Verlauf dafür wählen.
Ich verstehe nicht, was genau du konstruieren willst.
Gruß
Tom

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