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Einführung in die Quantenmechanik

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von Alberich » 26. Jun 2015, 12:14

@positronium
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 21. Nov 2016, 22:27

Hallo allerseits,

ich habe mir Gedanken darüber gemacht, welche Wellenfunktionen physikalisch sinnvoll sind. Sicher, der Zustand muss normierbar sein, aber sonst?
Es geht mir darum, wie man einen Zustand präparieren soll oder muss, bevor man seine Zeitentwicklung betrachtet.
Man müsste doch grundsätzlich so vorgehen können, dass man einerseits den Zeitentwicklungsoperator und andererseits die Schrödingergleichung ohne Energieoperator, sondern stattdessen mit einer Energie E gesondert betrachtet. Dann braucht man doch "nur" diese Schrödingergleichung lösen, und man erhält für den Hamilton-Operator die Basis, aus der man seinen Zustand zusammenbauen kann. (Das geht doch immer, oder?) Man hat dabei für jeden Basisvektor die Freiheitsgrade der Amplitude A und Phase phi (beide sind realwertig, und an einem bestimmten Ort festzulegen), aber das reicht zum Lösen noch nicht aus. Man braucht zusätzlich einen Wert für die erste Ableitung der Wellenfunktion. Für eine "ideale" Welle sähe das am Ort X so aus:
psi[x=X]=A ei phi
psi'[x=X]=A ei phi i sqrt(E)
Man könnte aber auch hingehen, und beispielsweise
psi[x=X]=1
psi'[x=X]=1
verwenden.
Das Ergebnis ist trotz k != 0 eine stehende Welle - es findet an jedem Ort nur eine Rotation in der komplexen Zahlenebene statt, aber keine Verschiebung. Auch ist das Verhalten an Potentialen anders.
Solche Lösungen müsste man sogar zu einem Wellenpaket zusammenfassen können, und man hätte ein "totes" Teilchen. Diese Eigenschaft ist in jeder Lösung der Schrödingergleichung abhängig vom Winkel zwischen phi[x=X] und phi'[x=X] einmal mehr, einmal weniger enthalten, nur bei phi'[x=X]=i phi[x=X]... nicht.
Muss man also für einen physikalischen Zustand nicht nur Quadratintegrabilität, sondern auch phi'[x=X]=i phi[x=X]... fordern? So wie ich das jetzt sehe, würde man verschiedene Vorhersagen der Theorie erhalten, je nachdem in welchem Winkel phi[x=X] und phi'[x=X] stehen. Oder verstehe ich etwas falsch?
Vielen Dank für alle Antworten!

Gruss

positronium

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 22. Nov 2016, 12:58

positronium hat geschrieben:Es geht mir darum, wie man einen Zustand präparieren soll oder muss, bevor man seine Zeitentwicklung betrachtet.
Physikalisch sinnvoll sind mehr oder weniger stark lokaliseirte Wellenpakete.
positronium hat geschrieben:Man müsste doch grundsätzlich so vorgehen können, dass man einerseits den Zeitentwicklungsoperator und andererseits die Schrödingergleichung ohne Energieoperator, sondern stattdessen mit einer Energie E gesondert betrachtet.
Meinst du die Zeitabhängige oder die zeitunabhängige Schrödingergleichung?

Du kannst einen beliebigen (quadratintegrablen) Zustand annehmen; es muss keineswegs ein Energieeigenzustand vorliegen. Im Falle eines beliebigen Wellenpaketes ist dies sicher nicht der Fall.
positronium hat geschrieben:Dann braucht man doch "nur" diese Schrödingergleichung lösen, und man erhält für den Hamilton-Operator die Basis, aus der man seinen Zustand zusammenbauen kann.
Jetzt meinst du wieder die zeitunabhängige Schrödingergleichung. Ja, du kannst sie nutzen um darauis eine Basis abzuleiten, aber das ist keineswegs zwingend notwendig.
positronium hat geschrieben:(Das geht doch immer, oder?)
Ja.

Einen Satz aus der Funktionalanalysis garantiert, dass ein beliebiger selbstadjungierter Operator (hier der Hamiltonoperator H) immer einen vollständigen Satz normierter Eigenfunktionen hat, d.h. eine Hilbertraumbasis definiert.
positronium hat geschrieben:Man hat dabei für jeden Basisvektor die Freiheitsgrade der Amplitude A und Phase phi (beide sind realwertig, und an einem bestimmten Ort festzulegen) ...
A und phi sind Funktionen von x; sie können nicht wilkürlich festgelegt earden, sondern folgen aus der zeitunabhängigen Schrödingergleichung
positronium hat geschrieben:Man braucht zusätzlich einen Wert für die erste Ableitung der Wellenfunktion. Für eine "ideale" Welle sähe das am Ort X so aus ...
Was hast du jetzt vor? Betrachtest du ebene Wellen? Oder das allgemeine Probleme?

Sorry, aber ich verstehe noicht, worauf du hinauswillst.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 22. Nov 2016, 15:27

Vielen Dank für Deine Antwort!
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Man müsste doch grundsätzlich so vorgehen können, dass man einerseits den Zeitentwicklungsoperator und andererseits die Schrödingergleichung ohne Energieoperator, sondern stattdessen mit einer Energie E gesondert betrachtet.
Meinst du die Zeitabhängige oder die zeitunabhängige Schrödingergleichung?
Ich meine die zeitunabhängige Schrödingergleichung.
tomS hat geschrieben:Du kannst einen beliebigen (quadratintegrablen) Zustand annehmen; es muss keineswegs ein Energieeigenzustand vorliegen. Im Falle eines beliebigen Wellenpaketes ist dies sicher nicht der Fall.
Ja.
Man könnte meine Frage auch so formulieren: Welche Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung darf man in einen physikalisch sinnvollen Hilbertraum aufnehmen, und welche Linearkombinationen sind darin erlaubt?
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Man hat dabei für jeden Basisvektor die Freiheitsgrade der Amplitude A und Phase phi (beide sind realwertig, und an einem bestimmten Ort festzulegen) ...
A und phi sind Funktionen von x; sie können nicht wilkürlich festgelegt earden, sondern folgen aus der zeitunabhängigen Schrödingergleichung
A[x] und phi[x] folgen aus ihr, aber für eine eindeutige Lösung muss man zur zeitunabhängigen SG für ein gegebenes x jeweils einen Wert für A und phi festlegen. A ist abhängig von der Superposition mit Normierung und phi zur Konstruktion des Zustands frei wählbar.

Diese beiden Parameter sind aber nicht direkt mein Problem. Zur Lösung braucht man nämlich noch einen weiteren, weil der Impuls in der SG nur die Krümmung, also die 2. Ableitung festlegt. Man braucht also noch einen Wert für die erste Ableitung.
Oben hatte ich für einen Punkt X als Randwertbedingungen geschrieben:
psi[x=X]=A ei phi
psi'[x=X]=A ei phi i sqrt(E)
Ohne Potential ergibt das eine kreisförmige Drehung in der komplexen Zahlenebene, wenn man sich in x-Richtung bewegt.
Wenn man in der zweiten Gleichung den Faktor i (also, der vor dem sqrt, die 90°-Drehung in der komplexen Zahlenebene) durch einen anderen Winkel oder durch 1 ersetzt, erhält man ganz andere Lösungen, die sich, und das ist mein Punkt, an Potentialen anders verhalten.
Wie muss man diese Randwertbedingung setzen? Immer den Winkel zwischen phi und phi' auf i? Werden diese Lösungen der SG eigene Hilbertraumbasisvektoren?
tomS hat geschrieben:Was hast du jetzt vor? Betrachtest du ebene Wellen? Oder das allgemeine Probleme?
Ich will das ganz allgemein betrachten. Z.B. die Lösungen eines 1/r-Potentials bestimmen, daraus ein Wellenpaket konstruieren, und dieses durch das Potential laufen lassen. Da stört mich eben dieser eine Freiheitsgrad. Ich weiss nicht, ob man diese Zustände, mit berücksichtigen muss, oder ob sie unphysikalisch sind, und wegfallen.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 23. Nov 2016, 07:07

positronium hat geschrieben:Man könnte meine Frage auch so formulieren: Welche Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung darf man in einen physikalisch sinnvollen Hilbertraum aufnehmen, und welche Linearkombinationen sind darin erlaubt?
Alle.
positronium hat geschrieben:Man hat dabei für jeden Basisvektor die Freiheitsgrade der Amplitude A und Phase phi (beide sind realwertig, und an einem bestimmten Ort festzulegen) ...
A und phi sind Funktionen von x; sie können nicht wilkürlich festgelegt earden, sondern folgen aus der zeitunabhängigen Schrödingergleichung[/quote]
A[x] und phi[x] folgen aus ihr, aber für eine eindeutige Lösung muss man zur zeitunabhängigen SG für ein gegebenes x jeweils einen Wert für A und phi festlegen. A ist abhängig von der Superposition mit Normierung und phi zur Konstruktion des Zustands frei wählbar.[/quote]
A und phi sind Funktionen, die aus der SGL folgen, da muss man nichts festlegen. Wenn man eine Superposition konstruiert, sind die A und phi je Basisvektor bekannt, lediglich die Koeffizienten sind noch festzulegen; diese sind frei wählbar.
positronium hat geschrieben:Diese beiden Parameter sind aber nicht direkt mein Problem. Zur Lösung braucht man nämlich noch einen weiteren, weil der Impuls in der SG nur die Krümmung, also die 2. Ableitung festlegt. Man braucht also noch einen Wert für die erste Ableitung.
Oben hatte ich für einen Punkt X als Randwertbedingungen geschrieben:
psi[x=X]=A ei phi
psi'[x=X]=A ei phi i sqrt(E)
Nochmal, diese Funktionen folgen eindeutig entweder aus der SGL plus Anfangs- oder Randbedingung oder der Superposition.
positronium hat geschrieben:Wie muss man diese Randwertbedingung setzen? Immer den Winkel zwischen phi und phi' auf i? Werden diese Lösungen der SG eigene Hilbertraumbasisvektoren?
Beliebig bis auf Normierung. Ein gegebenes psi liefert dir durch Multiplikation mit einer beliebigen Konstanten ein neues phi.
positronium hat geschrieben:Ich will das ganz allgemein betrachten. Z.B. die Lösungen eines 1/r-Potentials bestimmen, daraus ein Wellenpaket konstruieren, und dieses durch das Potential laufen lassen. Da stört mich eben dieser eine Freiheitsgrad. Ich weiss nicht, ob man diese Zustände, mit berücksichtigen muss, oder ob sie unphysikalisch sind, und wegfallen.
Du nimmst die bekannten Lösungen Rnl Ylm und konstruierst eine beliebige Superposition. Oder du schreibst direkt irgendein beliebiges psi hin, z.B. ein wanderndes Gaußpaket durch Superposition eben Wellen.

Ich denke, ich verstehe dein Problem immer noch nicht richtig.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 23. Nov 2016, 10:51

tomS hat geschrieben:A und phi sind Funktionen, die aus der SGL folgen, da muss man nichts festlegen.
Ich weiss, dass A und phi Funktionen sind, die aus der Schrödingergleichung folgen, aber man muss sehrwohl für irgendein x einen Wert festlegen, den Anfangswert.

Wenn ich vom linken Bildschirmrand bis zum rechten eine Welle zeichnen will, brauche ich damit ich zeichnen kann, am linken Rand einerseits die Information A[x=0] und phi[x=0], und andererseits deren Ableitungen A'[x=0] und phi'[x=0] an eben diesem Punkt x=0=linker Bildschirmrand, weil die SG nur A'' und phi'' bestimmt. Es gibt also mit der Energie insgesamt 5 Parameter, um eine Lösung der SG exakt festzulegen, also eine Funktion zu erhalten, die nur noch von x abhängig ist.

Nachdem die Basisvektoren des Hilbertraums natürlich linear unabhängig sein müssen, darf es für verschiedene A[x=0] und phi[x=0] nur einen Basisvektor geben.
Aber wie sieht das bei den ersten Ableitungen A'[x=0] und phi'[x=0] aus? Gibt es für deren Wahl Regeln? - Könnte man sie frei wählen, wären diese Lösungen, soweit ich das jetzt sehe, linear unabhängig, und müssten deshalb eigene Basisvektoren bilden. Und: Wenn psi[x=0]=psi'[x=0]*a (a realwertig), also diese beiden Ortsvektoren in der komplexen Zahlenebene parallel oder antiparallel sind, dann wandert die Welle nicht mehr mit k. Ich vermute daher, dass diese Lösungen unphysikalisch sind, und deshalb nicht alle Lösungen in den Hilbertraum eingehen dürfen.

Ich hoffe, dass ich so klarer formuliert habe, kann aber zur Illustration auch ein paar Plots erstellen.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 23. Nov 2016, 23:14

positronium hat geschrieben:... aber man muss sehrwohl für irgendein x einen Wert festlegen, den Anfangswert ... brauche ich damit ich zeichnen kann, am linken Rand einerseits die Information A[x=0] und phi[x=0], und andererseits deren Ableitungen A'[x=0] und phi'[x=0]
Wenn du numerisch integrieren möchtest, dann kannst du das so tun.

Aber in vielen Fällen nimmt man einfach ein passendes, bekanntes System von Eigenfunktionen. Und als Näherung verwendet man z.B. Störungstheorie. In beiden Fällen geht man also anders vor.

Deine Frage war doch, welche Wellenfunktionen man ansetzen darf. Dafür ist diese Frage der numerischen Integration irrelevant.
positronium hat geschrieben:Nachdem die Basisvektoren des Hilbertraums natürlich linear unabhängig sein müssen, darf es für verschiedene A[x=0] und phi[x=0] nur einen Basisvektor geben.
Nee.

Es gibt zunächst überabzählbar viele mögliche Basissysteme, die mittels unitärer Transformationen ineinander überführt werden können. Betrachte ebene Wellen mit ei(kx+d). Verschiedene Phasen d entsprechen einfach einer Translation. Andere Anfangsbedingungen führen zu anderen Vektoren der selben Basis, oder zu anderen Basen. Bei 3-dim. Problemen wird's noch vielfältiger; z.B. kannst du ebene Wellen oder Kugelwellen benutzen. Deine Betrachtung führt dich m.E. in die Irre.
positronium hat geschrieben:Aber wie sieht das bei den ersten Ableitungen A'[x=0] und phi'[x=0] aus? Gibt es für deren Wahl Regeln? - Könnte man sie frei wählen, wären diese Lösungen, soweit ich das jetzt sehe, linear unabhängig, und müssten deshalb eigene Basisvektoren bilden.
Wie gesagt, so geht man in der Praxis nicht vor.

Falls du wirklich numerische Integration verwenden willst, musst du dir Methoden für Eigenwertprobleme abschauen. Dabei kann ich dir nicht helfen.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 24. Nov 2016, 11:33

tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:... aber man muss sehrwohl für irgendein x einen Wert festlegen, den Anfangswert ... brauche ich damit ich zeichnen kann, am linken Rand einerseits die Information A[x=0] und phi[x=0], und andererseits deren Ableitungen A'[x=0] und phi'[x=0]
Wenn du numerisch integrieren möchtest, dann kannst du das so tun.
...
Deine Frage war doch, welche Wellenfunktionen man ansetzen darf. Dafür ist diese Frage der numerischen Integration irrelevant.
Das hat doch nicht nur etwas mit numerischer Integration zu tun... Ich habe zwar in der Tat angefangen ein paar numerische Berechnungen durchzuführen, aber dabei hat sich, soweit ich das bisher beurteilen kann, gezeigt, dass eben diese ersten Ableitungen der Anfangsbedingungen die Ergebnisse verändern, also physikalisch relevant sind. Bitte schaue die folgenden zwei Plots an. Sie sind für das Potential

berechnet; die SG ist zeitunabhängig und maximal vereinfacht (E=1, hquer=1 und m=1/2). Für beide gilt Psi[-10]=1.

Für Psi'[-10]=i erhält man:
plot1.gif
plot1.gif (223.22 KiB) 14337 mal betrachtet
Und für Psi'[-10]=1:
plot2.gif
plot2.gif (194.27 KiB) 14337 mal betrachtet
Alle Werte für Psi'[-10] zwischen 1 und i sind eine Überlagerung dieser beiden Ergebnisse.
Ist denn die zweite Lösung, also mit Psi'[-10]=1 nicht physikalisch verboten? - Diese Lösung ergibt eine stehende Welle für positiven Impuls.
tomS hat geschrieben:Aber in vielen Fällen nimmt man einfach ein passendes, bekanntes System von Eigenfunktionen. Und als Näherung verwendet man z.B. Störungstheorie. In beiden Fällen geht man also anders vor.
Bedeutet das, dass man diese Lösungen implizit doch ignoriert?
In meinem QM-Buch steht auch nur sinngemäss: "Man sieht, dass die SG offensichtlich Lösungen der Form Aei(kx-wt) besitzt.". Für diese Lösungen muss aber angenommen werden, dass für die Anfangsbedingung gilt Psi'=i Psi.
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Nachdem die Basisvektoren des Hilbertraums natürlich linear unabhängig sein müssen, darf es für verschiedene A[x=0] und phi[x=0] nur einen Basisvektor geben.
Nee.

Es gibt zunächst überabzählbar viele mögliche Basissysteme, die mittels unitärer Transformationen ineinander überführt werden können. Betrachte ebene Wellen mit ei(kx+d). Verschiedene Phasen d entsprechen einfach einer Translation.
Ja.
tomS hat geschrieben:Andere Anfangsbedingungen führen zu anderen Vektoren der selben Basis, oder zu anderen Basen. Bei 3-dim. Problemen wird's noch vielfältiger; z.B. kannst du ebene Wellen oder Kugelwellen benutzen. Deine Betrachtung führt dich m.E. in die Irre.
Ist es denn nicht richtig, dass ein Basisvektor |v> alle Lösungen der Form A|v> mit A Element C enthält?
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Aber wie sieht das bei den ersten Ableitungen A'[x=0] und phi'[x=0] aus? Gibt es für deren Wahl Regeln? - Könnte man sie frei wählen, wären diese Lösungen, soweit ich das jetzt sehe, linear unabhängig, und müssten deshalb eigene Basisvektoren bilden.
Wie gesagt, so geht man in der Praxis nicht vor.
Hmm. OK. Dann schleppt man aber entweder zwangsläufig eine undefinierte Amplitudenfunktion mit, welche diese Anfangsbedingung Psi' enthält, oder man geht zu einer Näherung über, in der man diese fallen lässt. Ist das richtig?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 25. Nov 2016, 23:34

positronium hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Deine Frage war doch, welche Wellenfunktionen man ansetzen darf. Dafür ist diese Frage der numerischen Integration irrelevant.
Das hat doch nicht nur etwas mit numerischer Integration zu tun... Ich habe zwar in der Tat angefangen ein paar numerische Berechnungen durchzuführen, aber dabei hat sich, soweit ich das bisher beurteilen kann, gezeigt, dass eben diese ersten Ableitungen der Anfangsbedingungen die Ergebnisse verändern, also physikalisch relevant sind.
Unterschiedliche Anfangsbedingungen führen auf unterschiedliche Lösungen. Aber für die Frage, welche Funktionen zulässig sind, ist das irrelevant. Zulässig sind quadratintegrable Funktionen. Es kann natürlich sein, dass eine gegebene Anfangsbedingung auf eine nicht-quadratintegrable, also in diesem Sinne unzulässige Funktion führt. Dann ist die Anfangsbedingung unzulässig.
positronium hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Aber in vielen Fällen nimmt man einfach ein passendes, bekanntes System von Eigenfunktionen. Und als Näherung verwendet man z.B. Störungstheorie. In beiden Fällen geht man also anders vor.
Bedeutet das, dass man diese Lösungen implizit doch ignoriert?
Ich befürchte, ich verstehe nicht, was du meinst.
positronium hat geschrieben:Ist es denn nicht richtig, dass ein Basisvektor |v> alle Lösungen der Form A|v> mit A Element C enthält?
Ja.

Aber d.h. nicht, dass es nicht völlig andere Basen geben kann.
positronium hat geschrieben:Dann schleppt man aber entweder zwangsläufig eine undefinierte Amplitudenfunktion mit, welche diese Anfangsbedingung Psi' enthält, oder man geht zu einer Näherung über, in der man diese fallen lässt. Ist das richtig?
Nee, irgendwie nicht.

Ich habe dein Eindruck, dass ich dich ganz grundsätzlich missverstehe. Wie kommen wir da raus? Kannst irgendein Skript verlinken?
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 26. Nov 2016, 17:29

tomS hat geschrieben:Zulässig sind quadratintegrable Funktionen. Es kann natürlich sein, dass eine gegebene Anfangsbedingung auf eine nicht-quadratintegrable, also in diesem Sinne unzulässige Funktion führt. Dann ist die Anfangsbedingung unzulässig.
Es geht mir darum, ob auch manche quadratintegrablen Funktionen unzulässig sind, und welche Einschränkungen der Anfangsbedingungen nötig sind, um diese Funktionen auszuschliessen.

Eine kurze Rechnung:
Zur maximalen Vereinfachung setze ich hquer=1 und m=1/2. Daraus folgt E=k².
Dann nehme ich die zeitunabhängige Schrödingergleichung mit V=0 und dem E=k²

und lege willkürlich fest: psi(0)=1

Jetzt will ich zeigen, dass für (zwei) verschiedene Anfangsbedingungen psi'(0) quadratintegrable Funktionen durch Wellenpakete konstruiert werden können, wovon aber eine vermutlich unphysikalisch ist.

1. Für psi'(0)=i k erhält man als Lösung der SG:
2. Für psi'(0)=k erhält man:

Beide bekommen die Amplitudenfunktion und für die Zeitentwicklung ergibt sich .

Es folgt (der Normierungsfaktor ist n=sqrt(pi))
1.
2.

Der in der Literatur verwendete 1. Fall lässt sich leicht integrieren, ergibt

und zeigt natürlich das erwartete Bild: Zerfliessen und eine Verschiebung des Erwartungswertes entsprechend k=1.
Beim zweiten musste ich leider numerisch rechnen. Das Wellenpaket ist aber offensichtlich normierbar, es zerfliesst, jedoch im Gegensatz zum anderen Anfangswert für psi'(0) kommt es trotz k=1 zu keiner Verschiebung des Erwartungswertes.

Der Plot zeigt das.
Blau mit dem offenbar in der Literatur verwendeten psi'(0)=i k und
Rot mit dem, wie ich vermute, verbotenen psi'(0)=k.
loesungen.gif
loesungen.gif (77.33 KiB) 14313 mal betrachtet
Natürlich kann man statt ik bzw. k auch beispielsweise (1+i)/sqrt(2)k oder etwas völlig beliebiges einsetzen. Alle derart konstruierten Wellenpakete, ausgenommen die mit i und reellem Faktor davon enthalten aber einen statischen, sich also nicht fortbewegenden Teil.
Leider steht wie erwähnt in meinem Buch nichts dazu, nur eben "quadratintegrabel" und "genügend oft differenzierbar" sollen Wellenfunktionen sein.

Ist mein Gedanke so nachvollziehbar?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 28. Nov 2016, 15:31

positronium hat geschrieben:1. Für psi'(0)=i k erhält man als Lösung der SG: eikx
2. Für psi'(0)=k erhält man: sin(kx) + cos(kx)

Beide bekommen die Amplitudenfunktion A(x) = ...
Du meinst, Amplitudenfunktionen A(k) = ...
positronium hat geschrieben:Der in der Literatur verwendete 1. Fall lässt sich leicht integrieren ...

Beim 2. musste ich leider numerisch rechnen ...
Nee.

exp(ikx) = cos(kx) + i sin(kx)
cos(k) = 1/2 (exp(ikx) + exp(-ikx))
sin(k) = 1/2i (exp(ikx) - exp(-ikx)
positronium hat geschrieben:Leider steht wie erwähnt in meinem Buch nichts dazu, nur eben "quadratintegrabel" und "genügend oft differenzierbar" sollen Wellenfunktionen sein.

Ist mein Gedanke so nachvollziehbar?
Wenn du dein Wellenpaket wie oben mittels Fourierintegralen über ebene Wellen exp(ikx) sowie Amplitudenfunktionen A(k) darstellst, dann ist das vergleichsweise einfach:

Die Wellenfunktion ψ(x,t) ist (und bleibt für beliebige t) genau dann quadratintegrabel, wenn A(k) quadratintegrabel ist.

Die Fouriertransformation φ(x) ↔ A(k) ist eine unitäre und damit bijektive Abbildung vom Hilbertraum L²[-∞, +∞] in den Hilbertraum L²[-∞, +∞]. D.h. insbs. dass die Fouriertransformation die Norm erhält, d.h. dass ||A|| = ||φ|| gilt. Darüberhinaus ist der Zeitentwicklungsoperator

U(t) = exp(iHt)

der die Zeitentwicklung von ψ(x,t) aus φ(x) = ψ(x,t=0) mittels

ψ(x,t) = U(t) ψ(x,0)

generiert, ebenfalls unitär und damit normerhaltend, also ||A|| = ||φ|| = ||ψ(t)||

Wenn du also mit einem quadratintegrablen A(k) startest, oder wenn du mit einem quadratintegrabelen ψ(x,t=0) startest, dann ist und bleibt alles wunderschön normiert (und damit auch quadratintegrabel)
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 28. Nov 2016, 16:24

tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:1. Für psi'(0)=i k erhält man als Lösung der SG: eikx
2. Für psi'(0)=k erhält man: sin(kx) + cos(kx)

Beide bekommen die Amplitudenfunktion A(x) = ...
Du meinst, Amplitudenfunktionen A(k) = ...
Ja, A(k). Da habe ich mich vertippt. Also, die Welle mit Wellenzahlvektor k wird mit A(k) gewichtet.
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Der in der Literatur verwendete 1. Fall lässt sich leicht integrieren ...

Beim 2. musste ich leider numerisch rechnen ...
Nee.

exp(ikx) = cos(kx) + i sin(kx)
cos(k) = 1/2 (exp(ikx) + exp(-ikx))
sin(k) = 1/2i (exp(ikx) - exp(-ikx)
Jetzt verstehe ich nicht was Du meinst. Diese Gleichungen sind zwar (bis auf die fehlenden x und dem Vorzeichen in der letzten) richtig, aber ich sehe nicht, wie das mit dem Problem zusammenhängt.
Es geht darum, dass die SG je nachdem, ob man psi'(0)=ik oder psi'(0)=k setzt, entweder
exp(ikx), was wie Du oben schreibst, cos(kx) + i sin(kx) entspricht, oder
cos(kx) + sin(kx) liefert. - Vielleicht liegt das Missverständnis an dieser Stelle? Dort soll wirklich cos(kx) + sin(kx) stehen; ich habe kein i vergessen.

Wenn ich diese beiden Lösungen als Wellen jeweils in ein ansonsten gleich definiertes Wellenpaket mit A(k) einsetze, und U anwende, ergibt sich das, was oben in dem Plot zu sehen ist: Eines der beiden Wellenpakete bewegt sich, das andere nicht - abhängig vom Anfangswert psi'(0)!

D.h. die SG sagt Wellenpakete voraus, die nur zerfliessen, aber trotz Impuls am Startpunkt verharren. Deshalb glaube ich, dass es für die Anfangsbedingungen der ersten Ableitung von psi Einschränkungen geben muss.
tomS hat geschrieben:Die Wellenfunktion ψ(x,t) ist (und bleibt für beliebige t) genau dann quadratintegrabel, wenn A(k) quadratintegrabel ist.
Ja.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 28. Nov 2016, 17:42

Meine Vorzeichen usw. sind vollständig richtig.

Was wäre denn falsch?

Alles was ich sage ist, dass wenn du mit sin(kx) + cos(kx) rechnen willst, es völlig OK ist, die Zerlegung

cos(k) = 1/2 (exp(ikx) + exp(-ikx))
sin(k) = 1/2i (exp(ikx) - exp(-ikx)

einzusetzen. Damit bleiben bei unter dem Integral nur e-Funktionen mit irgendwelchen konstanten Vorfaktoren mit 1, i, ... stehen. Jedenfalls must du nicht numerisch rechnen.

Die e-Funktionen entsprechen je nach Vorzeichen von k rechts- bzw. links-laufenden Wellen. Dein Wellenpaket enthält also eine derartige Überlagerung. Zwei Wellenpakete, einmal gebildet aus exp(ikx) und einmal aus cos(kx), verhalten sich eben unterschiedlich . Letztlich entspricht das aber nur einer anderen Wahl für A(k); davon solltest du dich durch Umstellen und Substitution k' = -k; dk' = -dk usw. überzeugen.

Wenn du also irgendwelche Kombinationen mit sin(kx) und cos(kx) ausschließend möchtest, dann bedeutet dies, dass die bestimmte A(k) ausschließen willst.

Warum willst du das tun?
Was stört dich daran, dass es unterschiedliche Anfangsbedingungen und demnach unterschiedliche Wellenpakete mit unterschiedlichem Zeitverhalten geben kann?
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 28. Nov 2016, 18:34

tomS hat geschrieben:Meine Vorzeichen usw. sind vollständig richtig.

Was wäre denn falsch?
Das sind ja nur Kleinigkeiten. Du hattest
cos(k) = 1/2 (exp(ikx) + exp(-ikx))
sin(k) = 1/2i (exp(ikx) - exp(-ikx)
geschrieben. Richtig ist aber
cos(kx) = 1/2 (exp(ikx) + exp(-ikx))
sin(kx) = -1/2i (exp(ikx) - exp(-ikx)
Es fehlten die beiden x und das -.
tomS hat geschrieben:Jedenfalls must du nicht numerisch rechnen.
Ich verwende ja immer Mathematica, und das hat mir kein Ergebnis gebracht. Um das per Hand auszurechnen bin ich mathematisch nicht fit genug.
tomS hat geschrieben:Die e-Funktionen entsprechen je nach Vorzeichen von k rechts- bzw. links-laufenden Wellen.
Das ist so nicht vollständig richtig. Für Funktionen exp(ikx) zwar schon, nicht aber wenn das Ergebnis z.B. cos(kx) + sin(kx) lautet. Dann bedeutet eine Negation des k nur eine Spiegelung einer sich nicht drehenden Welle.
tomS hat geschrieben:Zwei Wellenpakete, einmal gebildet aus exp(ikx) und einmal aus cos(kx), verhalten sich eben unterschiedlich .
Ja, eben in dem Fall mit cos(kx) + sin(kx) so, dass sich keine Verschiebung des Wellenpakets mehr ergibt.
tomS hat geschrieben:Wenn du also irgendwelche Kombinationen mit sin(kx) und cos(kx) ausschließend möchtest, dann bedeutet dies, dass die bestimmte A(k) ausschließen willst.
Dem kann ich nicht folgen. Ich kann nicht erkennen, dass das Verhalten (nicht Verschieben) eines Wellenpakets von der Form (nicht meine ich die Lage des Maximums in A(k)) von A(k) abhängt.
tomS hat geschrieben:Was stört dich daran, dass es unterschiedliche Anfangsbedingungen und demnach unterschiedliche Wellenpakete mit unterschiedlichem Zeitverhalten geben kann?
Es stört mich, dass je nachdem welche Anfangsbedingungen man wählt ein Wellenpaket für exakt den gleichen Impuls stehen kann, oder sich mit bis zu p/m bewegen kann.
Das würde nämlich bedeuten, dass der Impuls eben nicht proportional zu mv ist. Das kann doch nicht sein.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 28. Nov 2016, 22:08

Deine Wellenpakete haben überhaupt keinen festen Impuls, sondern nur einen mittleren Impuls bzw. einen Impulserwartungswert.

Wenn du ein Wellenpakete mittels Fourierintegral, d.h. A(k) * exp(ikx) bildest, dann kannst du das offensichtlich nutzen, um ein anderes Wellenpaket aus A(k) * cos(kx) = A(k) * 1/2 [exp(ikx) + exp(-ikx)] zu bilden. Im zweiten Term substituierst du dann

k' = -k
dk' = -dk

d.h. A(-k') * exp(ik'x) und änderst damit die Integrationsrichtung. Letztlich bedeutet das, dass du wieder dieselbe e-Funktion, jedoch mit anderer Amplitudenfunktion A'(k) erhältst. Wenn du also einen Impulserwartungswert <k> aus A(k) erhältst, dann führt der zweite Term zu einen anderen A'(k) und damit einem anderen <k>'. Letztlich liegt die Überlagerung zweier unterschiedlicher Wellenpakete vor.

Das ist ein ganz normales Verhalten.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 28. Nov 2016, 22:28

tomS hat geschrieben:Deine Wellenpakete haben überhaupt keinen festen Impuls, sondern nur einen mittleren Impuls bzw. einen Impulserwartungswert.
Ja.

Leider reden wir völlig aneinander vorbei. :cry:

Sind wir uns denn einig darin, dass folgende beiden Differentialgleichungen mit Anfangsbedingungen und Ergebnissen korrekt sind?

1.
Gleichung:
Anfangsbedingungen: und
Lösung:

2.
Gleichung:
Anfangsbedingungen: und
Lösung:
Lösung vereinfacht mit Phasenverschiebung um +pi/4:

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 28. Nov 2016, 22:35

Ja, völlig einig.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 29. Nov 2016, 10:40

tomS hat geschrieben:Ja, völlig einig.
Gut.
Auf diese beiden Ergebnisse möchte ich die Zeitentwicklung anwenden, welche in diesem einfachen Fall für t0=0 lautet:
U(t,t0=0)=exp(-ik²t)
U ist nichts anderes als die Drehung einer komplexen Zahl in der komplexen Zahlenebene in negativer Richtung (Rechtsdrehung) um den Ursprung gemäss k²t.
Ich denke, das sehen wir beide auch gleich.

Auch dürfte ausser Frage stehen, dass:
1. exp(ikx) eine Welle ist, bei der mit zunehmendem kx eine Linksdrehung in der komplexen Zahlenebene stattfindet. Wichtig dabei ist, dass abs(exp(ikx)) konstant ist, und nur arg(exp(ikx)) grösser wird.
2. sqrt(2)cos(kx) eine realwertige Welle beschreibt die ein völlig anderes Verhalten als exp(ikx) zeigt. Es gilt immer, dass der komplexwertige Anteil gleich Null ist, und damit lässt sich sagen, dass abs(sqrt(2)cos(kx)) nicht konstant ist, dafür aber arg(sqrt(2)cos(kx)) konstant ist. - Konstant/Variabel umgekehrt zu exp(ikx).

Jetzt die Anwendung von U auf die Ergebnisse der Differentialgleichungen:
1. U(t) exp(ikx)=exp(-ik²t)exp(ikx)=exp(i(kx-k²t))
2. U(t) sqrt(2)cos(kx)=exp(-ik²t)sqrt(2)cos(kx); Die Zerlegung von cos(kx) in Exponentialfunktionen bringt keinen Vorteil, weil diese beiden entgegengesetzt drehen, und doch wieder eine stehende Welle cos(kx) erzeugen.

Sind wir uns wiederum einig, dass obiges richtig ist, und dass die Anwendung von U auf die beiden Wellen, welche eigentlich eine Drehung eines jeden Punktes der Wellen in der komplexen Zahlenebene ist,
a) in Fall 1 durch die Drehung zu einer scheinbaren Phasenverschiebung, zu einem Wandern der Welle führt (-ik²t kommt in den Exponenten), und
b) in Fall 2 nur eine Amplitudenänderung (entsprechend der Drehung) zu beobachten ist (-ik²t fällt durch Vereinfachung aus dem Exponenten, wenn man cos(kx) als Exponentialfunktionen schreibt), die zu keinem Wandern der Welle führt?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 29. Nov 2016, 13:14

Ich möchte nochmal einen Versuch starten, das als Scheinproblem zu entlarven:
FT.png
https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
FT.png (20.54 KiB) 14248 mal betrachtet
Zunächst betrachten wir ein allgemeines Wellenpaket psi_1, dargestellt mittels Fouriertransformation über eine beliebige Amplitudenfunktion A(k).

Anschließend betrachte ich ein anderes Wellenpaket psi_2, dargestellt mittels deiner Linearkombination aus cos(kx) und sin(kx); ich führe außerdem noch ein B(k) ein; du kannst B(k) natürlich gleich A(k) setzen. Anschließend stele ich cos() und sin() mittels exp() dar und führe eine Substitution k' = -k durch. Letztlich erhalte ich dadurch wieder ein Wellenpaket wie für psi_1, allerdings mit einer speziellen Amplitudenfunktion.

D.h. dass sich deine beiden Fälle ausschließlich durch die Wahl der Amplitudenfunktion unterscheiden.

Ist dir das klar?
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 29. Nov 2016, 13:36

tomS hat geschrieben:D.h. dass sich deine beiden Fälle ausschließlich durch die Wahl der Amplitudenfunktion unterscheiden.

Ist dir das klar?
Deine Rechnung ist zwar mathematisch richtig, aber Du beurteilst die Konsequenz daraus falsch. Du erzeugst eine symmetrische Amplitudenfunktion; d.h. dass sich positive und negative Wellen zu einer stehenden Welle überlagern. Wie ich oben schrieb, bedeutet das, dass die Wellen nicht mehr mit k wandern.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 29. Nov 2016, 13:55

positronium hat geschrieben:Deine Rechnung ist zwar mathematisch richtig ...
Gut.
positronium hat geschrieben:... aber Du beurteilst die Konsequenz daraus falsch.
Nein.
positronium hat geschrieben:Wie ich oben schrieb, bedeutet das, dass die Wellen nicht mehr mit k wandern.
Welche Wellen wandern nicht mehr mit k?

Jede einzelne Welle mit einem festen k tut dies aufgrund des Faktors exp(ikx) unter dem Integral mit Sicherheit. Denn nur in diesem Faktor steckt eine x-Abhängigkeit, und nur auf diesen Faktor wirkt die Zeitentwicklung. D.h. für jedes k unter dem Integral gilt exp[i(kx-k²t)].

Das Gesamtwellenpaket tut dies nicht "sichtbar", d.h. die Form wird sich in Abhängigkeit der Amplitudenfunktion auf recht beliebige Weise ändern. Etwas anderes habe ich doch auch nie behauptet, das erwartet keiner, und das sollte niemanden überraschen. Allerdings wandert der Schwerpunkt des Wellenpaketes weiterhin mit <x> = <v> * t = <p> * t/m, d.h. mit festem <k>. Das kann man mathematisch beweisen, auch wenn man es einem Wellenpaket allgemeiner Form nicht direkt ansieht
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 29. Nov 2016, 14:16

tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Wie ich oben schrieb, bedeutet das, dass die Wellen nicht mehr mit k wandern.
Welche Wellen wandern nicht mehr mit k?
Die Überlagerung zweier Wellen, eine mit +k, die andere mit -k.
Und deshalb wandert auch das Wellenpaket als Integral solcher Wellen nicht mehr.
tomS hat geschrieben:Jede einzelne Welle mit einem festen k tut dies aufgrund des Faktors exp(ikx) unter dem Integral mit Sicherheit. Denn nur in diesem Faktor steckt eine x-Abhängigkeit, und nur auf diesen Faktor wirkt die Zeitentwicklung. D.h. für jedes k unter dem Integral gilt exp[i(kx-k²t)].
Ja, aber Du legst durch A(k)+A(-k) über jede Welle eine exakt gegenläufige. Das ist ja gerade die Zerlegung von cos(kx) in zwei Exponentialfunktionen.
tomS hat geschrieben:Allerdings wandert der Schwerpunkt des Wellenpaketes weiterhin mit <x> = <v> * t = <p> * t/m, d.h. mit festem <k>. Das kann man mathematisch beweisen, auch wenn man es einem Wellenpaket allgemeiner Form nicht direkt ansieht
Leider nicht. In meinem Beitrag vom 26. Nov 2016, 17:29 habe ich das für Wellenpakete von exp(ikx) im Vergleich zu solchen von cos(kx)+sin(kx) geplottet.

Du erkennst doch die Symmetrie in Deiner Rechnung. Diese hat die gleiche Ursache wie ich in meinem Beitrag oben dargelegt habe, dass U(t)cos(kx) keine Phasenverschiebung bei Änderung von t zeigt.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 29. Nov 2016, 14:28

positronium hat geschrieben:Die Überlagerung zweier Wellen, eine mit +k, die andere mit -k.
Und deshalb wandert auch das Wellenpaket als Integral solcher Wellen nicht mehr.
Ja, habe ich oben gesagt. Für das Wellenpaket gilt dies nicht mehr.
positronium hat geschrieben:Ja, aber Du legst durch A(k)+A(-k) über jede Welle eine exakt gegenläufige ...

Ja.
positronium hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Allerdings wandert der Schwerpunkt des Wellenpaketes weiterhin mit <x> = <v> * t = <p> * t/m, d.h. mit festem <k>. Das kann man mathematisch beweisen, auch wenn man es einem Wellenpaket allgemeiner Form nicht direkt ansieht
Leider nicht. In meinem Beitrag vom 26. Nov 2016, 17:29 habe ich das für Wellenpakete von exp(ikx) im Vergleich zu solchen von cos(kx)+sin(kx) geplottet.

Du erkennst doch die Symmetrie in Deiner Rechnung. Diese hat die gleiche Ursache wie ich in meinem Beitrag oben dargelegt habe, dass U(t)cos(kx) keine Phasenverschiebung bei Änderung von t zeigt.
Du missverstehst mich.

Deine Amplitudenfunktion liefert dir einen zunächst unbekannten Schwerpunktsimpuls <p>; diesen berechnest du mittels Bildung des Erwartunsgwertes im Orts- oder (äquivalent und einfacher) im Impulsraum. Und dieser Erwartunsgwert <p> ist zeitunabhängig.

Allerdings ist das natürlich keine einfache Phasenverschiebung bzw. Drehung mehr, da die Zeitabhängigkeit exp(-ik²t) nur für eine einzelne ebene Welle exp(ikx) gilt. Bereits für eine Superposition zweier verschiedener k1 und k2 gilt dies nicht mehr. Und für das Wellenpaket als ganzes natürlich erst recht nicht.

Ich sehe immer noch nicht, wo genau dein Problem ist. Schreib' doch mal die Formel hin, die dir unklar ist oder die du für problematisch oder falsch hältst
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 29. Nov 2016, 15:12

tomS hat geschrieben:Ich sehe immer noch nicht, wo genau dein Problem ist. Schreib' doch mal die Formel hin, die dir unklar ist oder die du für problematisch oder falsch hältst
Es geht mir ja immer noch um die Anfangswerte zur SG. Deren Wahl beeinflusst, wie unten zu sehen, ob sich ein Wellenpaket bei gleichem A(k) verschiebt oder nicht (es gilt wie oben eine Normalverteilung mit my=1).

Das Wellenpaket

ist gleich

und zeigt diese Entwicklung:
p1.gif
p1.gif (37.73 KiB) 14230 mal betrachtet
Wenn ich statt cos(kx)+sin(kx), zwar nicht ganz korrekt, aber erlaubt, nur cos(kx) in das Wellenpaket einsetze

kann ich das mit Mathematica lösen (cos(kx)+sin(kx) ging ja nicht), und das ist gleich

und erhalte diese Entwicklung:
p2.gif
p2.gif (35.03 KiB) 14230 mal betrachtet
Mein Problem ist: Ich glaube nicht, dass ein Wellenpaket nach obiger Definition, also ein freies Teilchen mit Impuls (hier: nach rechts) an einem Ort (Erwartungswert) verharren kann, und dabei nur zerfliesst, wie es in zweiterem Fall und Plot zu sehen ist.
Ist so ein Verhalten physikalisch erlaubt? - Ich kann mir das nicht vorstellen.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 29. Nov 2016, 16:04

tomS hat geschrieben:Deine Amplitudenfunktion liefert dir einen zunächst unbekannten Schwerpunktsimpuls <p>; diesen berechnest du mittels Bildung des Erwartunsgwertes im Orts- oder (äquivalent und einfacher) im Impulsraum. Und dieser Erwartunsgwert <p> ist zeitunabhängig.
Das bedeutet aber, dass psi'(0) abhängig von der Amplitudenfunktion sein sollte, weil man andernfalls die gleichen Eigenschaften zweimal einstellt bzw. ungewollt verändert. Die Wahl von psi'(0) führt also durchs Hintertürchen zu einer impliziten Veränderung von A(k).
Dann bin ich wieder bei der Ausgangsfrage: "Welchen Einschränkungen unterliegt die Wahl von psi'(0)?" und könnte sie erweitern, durch: "damit A(k) unbeeinflusst bleibt".

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