arxiv

[tomS]

Ich habe ja früher immer wieder mal über interessante neue Themen aus der Quantengravitation und verwandten Themen berichtet. Ggw. habe ich zwar wenig Zeit, aber es hat sich doch einiges angesammelt, was ich für erwähnenswert halte. Was haltet ihr davon, wenn ich hier zumindest die Zusammenfassungen reinstelle, noch ohne Erläuterung?

[tomS]

http://arxiv.org/abs/0909.0551
Division algebras and supersymmetry
Authors: John C. Baez, John Huerta
(Submitted on 2 Sep 2009)
Abstract: Supersymmetry is deeply related to division algebras. Nonabelian Yang--Mills fields minimally coupled to massless spinors are supersymmetric if and only if the dimension of spacetime is 3, 4, 6 or 10. The same is true for the Green--Schwarz superstring. In both cases, supersymmetry relies on the vanishing of a certain trilinear expression involving a spinor field. The reason for this, in turn, is the existence of normed division algebras in dimensions 1, 2, 4 and 8: the real numbers, complex numbers, quaternions and octonions. Here we provide a self-contained account of how this works.

Es ist schon erstaunlich, dass eine Eigenschaft einer Wechselwirkung, dass sie nämlich supersymmetrisch ist, mit der Dimension der Raumzeit in der sie wirkt, zusammenhängt. Letztere ist wiederum auf algebraischer Ebene mit der Existenz gewisser Strukturen verknüpft, den sogenannten Divisonsalgebren. Davon aber gibt es nur die genannten vier, eine Erweiterungen über die Oktonionen hinaus ist nicht möglich.

Die Oktonionen sind wiederum eng mit der exzeptionellen Lie-Gruppe E(8) verknüpft. Exzeptionell bedeutet dabei, dass es im Gegensatz zu den unendlich vielen SU(N) - eines für jedes N=2, 3, ... - nur endlich viele gibt. Die größte ist die E(8), die eine prominente Rolle in der heterotischen Stringtheorie spielt. Sie ist nämlich eine von zwei Lie-Gruppen, für die diese Theorie überhaupt existiert. Jede Lie-Gruppe ist auf eindeutige Weise mit einer bestimmten kristallographischen Struktur verknüft, d.h. es gibt eine Entsprechung zwischen Lie-Gruppen und Kristallgittern; die Dimension des Gitters entspricht dabei der Anzahl der Generatoren der entsprechendne Lie-Algebra. Versucht man, ein E(9), E(10), ... zu konstruieren, so führt dies z.B. auf unendlich-dimensionale Gitter.

Baez ist in dieser Hinsicht einer der Experten. Er versucht seit langem, verschiedene zunächst unabhängige Strukturen in der Mathematik zu verknüpfen und dabei auf gewisse Eigenschaften physikalischer Theorien zu schließen.

[tomS]

Und wie gefällt dieser Beitrag?

(ich meine, die Auswahl ist subjektiv, im Bereich gr-qc sind es pro Tag doch einige Dutzend)

[tomS]

Für alle die es nicht wissen:

Eine Algebra liegt dann vor, wenn es zwei Verknüpfungen gibt, wobei eine als + und eine als * geschrieben wird. Im wesentlichen kann man sich das mit ganz normalen Zahlen klarmachen. Vektoren sind i.A. keine Algebra (Skalaprodukt funktioniert nie, Vektorprodukt nur in drei Dimensionsn), Matrizen dagegen bilden eine Algebra.

Eine Divisonsalgebra liegt dann vor, wenn gilt

aus x*y = 0 folgt x=0 oder y=0

Für gewöhnliche Zahlen x, y gilt dies natürlich, ebenso für komplexe Zahlen, nicht jedoch wenn x und y Matrizen sind, wie man sich an einfachen Beispielen leicht klarmacht. Nur wenn jedoch eine Divionsalgebra vorliegt, d.h. wenn die Algebra "nullteilerfrei" ist, klann man die Gleichung invertieren und es existiert zu jedem x ein inverses 1/x

Eine bekannte Erweiterung der reellen Zahlen sind die komplexen Zahlen, die man durch hinzufüge einer imaginären Ein heit i erhält, so dass eine komplexe Zahl z geschrieben werden kann als

z = a+ ib

wobei a und b wieder reelle Zahlen sind.

Für z kann man alle Rechenregeln wie +, -, *, : definieren.

Nun kann man sich fragen, ob es weitere Elemente wie i geben kann, so dass auch Gebilde der Form

q = a + ib + jc + ...

möglich werden.

Man kann zeigen, dass dies für bekannte Objekte ausschließlich dann funktioniert, wenn man genau drei Objekte i, j, k hinzufügt und wenn man die Kommutativität aufgibt! Man erhält dann die sogenannten Quaterionen. Analog zu der Rechenregel

i² = -1

gilt dann auch

j² = k² = -1

sowie weitere Verknüpfungen wie

ij = k

mit entsprechenden Permutationen und Vorzeichen.

Verzicht auf die Kommutativität bedeutet, dass x*y i.A: ungleich y*x ist!

Im Falle der Quaternionen gilt z.B.

ij = -ji = k

Man kann übrigens i, j und k als 2*2 Matrizen darstellen, die dann im wesentlichen den Pauli-Matrizen entsprechen.

Geht es noch weiter? Ja - aber die dann entstehenden Oktonionen mit sieben Elementen i, j, ... haben doch extrem merkwürdige Eigenschaften, insbs, kann man sie nicht mehr als Matrizen darstellen! Woran liegt das? Es liegt daran, dass die Oktonionen das Assoziativgesetz nicht mehr erfüllen!

Auch für beliebig komplizierte Matrizen gilt trotz Verlust der Kommutativität immer noch

x * (y*z) = (x*y) * z

Für Oktonionen gilt auch dies nicht mehr!

[tomS]

http://arxiv.org/abs/0704.0646
The Mathematical Universe
Authors: Max Tegmark (MIT)
(Submitted on 5 Apr 2007 (v1), last revised 8 Oct 2007 (this version, v2))
Abstract: I explore physics implications of the External Reality Hypothesis (ERH) that there exists an external physical reality completely independent of us humans. I argue that with a sufficiently broad definition of mathematics, it implies the Mathematical Universe Hypothesis (MUH) that our physical world is an abstract mathematical structure. I discuss various implications of the ERH and MUH, ranging from standard physics topics like symmetries, irreducible representations, units, free parameters, randomness and initial conditions to broader issues like consciousness, parallel universes and Godel incompleteness. I hypothesize that only computable and decidable (in Godel's sense) structures exist, which alleviates the cosmological measure problem and help explain why our physical laws appear so simple. I also comment on the intimate relation between mathematical structures, computations, simulations and physical systems.

Der Autor stellt zunächst die These auf, dass eine ToE keine Begriffe, Wörter, Bedeutungen oder Erläuterungen mehr enthalten darf, sondern dass sie sich ausschließlich rein matehmatisch durch abstrakte Symbole und Relationen formulieren lässt. Er nennt dies eine mathematisches Struktur (deren Formulierung er in einem Anhang erläutert).

Im weiteren Verlauf folgert er, dass dann nicht mehr nur eine ToE (= mathematische Struktur) existiert, die unser Universum vollständig beschreibt, sondern dass zu jeder widerspruchsfreien mathematischen Struktur ein Universum existiert. Er ist damit sofort bei einem nochmals erweiterten Begriff eines Multiversums.

Und jetzt kommt's knüppeldick: da laut seiner These eine ToE eben keine Begriffe, Interpretationen oder Regeln mehr enthalten darf - da die ToE ja vollständig als mathematische Struktur existiert ohne Sätze wie "x bedeutet ..." oder "die Formel f(x) ist dann anzuwenden wenn ...." oder "einem Quark entspricht dabei ein Feldoperator q ..." - gibt es auch nicht mehr die Notwendigkeit zu erklären, in welcher Form die mathematische Struktur der Realität ENTSPRICHT bzw. sie BESCHREIBT oder ABBILDET. Tegmark folgert, dass jede konsistente mathematische Struktur einfach eine Realität IST ...

[wilfried]

Tag zusammen

da hat uns Tom aber etwas aufgegeben ... Algebra! Die Definition einer Algebra ist ein sehr kompliziertes Paket. Ich habe dazu folgende Internetseite anzubieten:

http://www.algebraworkbench.net/de/docu ... ory2a.html

Diese ist zwar sehr mathematisch -zwangsläufig- dafür aber auch vollständig.


Gruß

Wilfried

[tomS]

Na ja, so schwer ist das auch wieder nicht.

Es geht ja nur darum einzusehen, dass zwei völlig verschiedene Gebiete der Mathematik (Divisionsalgebren und Supersymmetrien) offensichtlich zusammenhängen.

Die Idee von Samstag, 5. September 2009, 15:16 ist da eine wesentlich härtere Nuss ...

[wilfried]

Richtig, Tom, jedoch habe ich das hier nicht mehr kommentiert, deshalb hast Du ja offensichtlich die ToE in einem eigenen Kapitel zur Diskussion gestellt.

i.a. erachte ich die Äußerungen Tegmarks als durchaus sinnvoll, solange!!! er hier MATHEMATISCH in den Vordergrund stellt und keinen Anspruch auf eine Vollständigkeit einer Theorie erhebt.

Unter dieser Bedingung darf er das, er muß dann ahlt den mathematischen Beweis erbringen.

Gruß

Wilfried

[tomS]

Ich bin mir nicht sicher, wie diese Sätze "ein Universum IST eine mathematische Struktur" zu interpretieren sind. Ich denke aber, da er ja immer die Vollständigkeit der mathematischen Struktur betont, dass er wirklich meitn, es gäbe NICHTS außer der Mathematik.

D.h. dass gerade eine "mathematische Subtruktur" auf einer anderen "mathematische Substruktur" "tippt" - und dass da nichts weiter IST.

Lies das Paper - es enthält praktisch keine Formeln - und ist schon ziemlich schockierend ...

[wilfried]

Ich habe das paper gelesen. Ich finde es nicht schockierend. Es ist nur das "alte" Lied der philosophischen Denkarten.

Tegmark hat einen gewissen eigenen Schreibstil, der unserereins etwas seltsam anmutet. Er macht sich völlig frei von irgendwelchen physikalischen Gegebenheiten udn sagt aufs Einfache reduzeirt:

naja, wenn die Physik existiert und die Physik sich mathematisch beschreiben läßt, dann muss andererseits auch eine amthematische Struktur auffindbar sein, die eben das gleiche beschreibt ohne auf die Physik einzugehen. Eventuell mag man mutmaßen, er sucht so etwas wie eine mathematische Affinität physikalischer Gesetzmäßigkeiten. Vergleichbar damit, daß Du durchaus den scheifen Wurf auch ohne Masse und Gravitation beschreiben kannst, eben nur als DGL einer Kurve. Wie diese Kurve zustande kommt ist dann völlig unerheblich.

Ich denke, daß dies der Punkt ist, wo er sich von unserereins unterscheidet:

seine Abstraktionsidee -die er, wie Du ja bereits sagtest leider nicht ausführt, sondern nur verbal darstellt- macht sich frei von Erklärungen des wieso und weshalb. Er sucht halt nach einem rein mathematisch beschreibbaren Strukturzusammenhang.

Klar daß dieses polarisiert, man muß ja auch nicht unbedingt damit konform gehen, aber dürfen tut er das. Warum nicht? Was spricht dagegen?

Gruß

Wilfried

[tomS]

Ich habe schon ein paar Einwände:

Wenn du einen Videofilm deines Lebens auf einer Videokassette hast, dann musst du ihn prinzipiell auch abspielen (können), damit dein Leben überhaupt stattfindet. Seiner Meinung nach reicht aber der grundsätzliche Entwurf deines Lebens aus, eine darüberhinausgehende Realität lehnt er ab.

Darüberhinaus setzt die Videokassette automatisch eine umgreifendere Realität voraus, die die Videokassette als solche erkennt. Eine Videokassette ohne Videorekorder und ohne Kenntnisse über die Funktion eines solchen ist in keinem Sinne eine Videokassette. Damit will ich sagen, dass zumindest diese Analgogie dahingehend hinkt, dass ich für die volle Realität eben auf mehr als nur die Struktur = Beschreibung angewiesen bin.

Wenn du dich abends in Bett legst, dann unterscheidet sich ganz ganz deutlich von der mathematischen Beschreibung, dass du dich ins Bett legst. Wenn aber die Realität und ihre Beschreibung (mathematiasche Struktur) identisch sind, dann ist nicht einsehbar, warum sie mir wesentlich verschieden erscheinen.

Im informationstechnischen Sinne mag es einfacher sein, dass strukturell alle mathematsichen Strukturen = alle Universen existieren (im Vergleich dazu, dass nur ein Universum existiert). Die Beschreibung einer bestimmten reellen Zahl erfordert viel mehr Information als die Beschreibung der Struktur (der Axiome) aller reellen Zahlen. Insofern ist das mathematische Multiversum tatsächlich "einfacher".
Im ontologischen Sinne ist aber nur unser Universum ein gesichertes Faktum, alles darüber hinaus ist eben nicht einfacher. D.h. dass diese spezielle Form des Multiversums sowohl metaphysischen Ballast mit sich herumschleift (nämlich die grundsätzlich unbeobachtbare Existenz unendlich vieler weiterer Universen), als auch dass sie nicht erklären kann, warum wir gerade unser Univesum beobachten und kein anderes. Dieser Einwand trifft generell Idee des Multiversums: immer dann, wenn ich nicht erklären kann, ob entweder A oder B real ist, dann behaupte ich der Bequemlichkeit halber A und B sind real - und eines davon ist unbeobachtbar - das ist aber nicht Wissenschaft sondern nur eine Ausflucht. DIe THeorie immunisiert sich selbst gegen ihre Widerlegung.

Ich bin nicht überzeugt von dem Argument,. dass die Entdeckung neuer mathematische Strukturen ein guter Beleg für die These des mathematischen Multiversums ist. Man hätte ja auch vor 1000 Jahren behaupten können, die Erde sei unendlich ausgedehnt und hätte die Entdeckung neuer Inseln als Beweis anführen können. Ohne Beobachtung des Himmels wäre diese falsche Behauptung einige Jahrhunderte nicht als solche entlarvt worden.

[wilfried]

Tag Tom

hmmm, ja ich kann Deine Argumente verstehen, nur ist das nicht etwas zu vereinfachend ausgedrückt?

Lass mich mal Beispiele aus meinem Fachbereich bringen:

Ich kann ein Modell eines MOS Transistors sehr eng an diePhysik anlehnen. Ich kann -und habe es auch getan- ein Modell solch eines Transistors auch rein mathematisch beschreiben. Das hat keinerlei physikalische Parameter, basiert nur darauf, daß die Eigenschaften des Kurvenbüschels mathematisch nachgebildet werden.

Zweites Beispiel

Ich kann einen Verstärker physilalish nachbilden. Kirchhoff und Bauelementegleichungen ... lösen schwupps da ist es. Aber ich kann es auch rein mathematisch darstellen und dabei ist es äußerst präzise.

Was ist passiert? Ich nutze beispielsweise die Eigenschaften des Tangens Hyperbolicus aus, um Sättigung zu beschreiben. Und so weiter ...muss ich hier nicht im Deteil weiter ausfhren.

Was ist der Zewck dazu?

Sagen wir es ist ein Fehler passiert..irgendwo z.B. in einer Anwendung. Die Eletroniker haben mit ihren physikalischen Ansätzen nichts herausgefunden. Ratlosigkeit. Nun fragt man mich, ob die Mathematik eventuell helfen kann. Ich bilde das Fehlergeschehen amtheatisch nach und schaue zu, daß ich recht exakt an die Messkurven anschmiegen kann. Das erreiche ich. Dann habe ich einen Formalismus und den kann ich auf verwandtschaftliche Strukturen untersuchen: Filter, Überschwinger, was weiß ich...
Das hilft um das Problem zu finden.

habe ich duzende Male so gemacht und war stets damit erfolgreich. Aber diese Analytik hatte keinerlei Bezug zur Physil. Der Bezug zur Physik kam erst später, wenn der eigentliche Ort des fehler eizukreisen war.

Und was bitte ist an einer solchen Vorgehensweise falsch? Es ist ein anderer Weg, aber durchaus ein probater.

Ich bin mir da nicht so sicher, ob das Beispiel mit dem Abspielen des Lebensvideos so in diesem Sinne richtig interpretiert wird.

Es geht nicht ums Abspielen, es geht um den Aufbau eines verständnisses, der helfen mag Dinge verstehen zu können, Mechanismen beschreibend zum Zwecke des späteren Aufbaus eines Verständnisses.

Ich habe keinen Satz gefunden, worin Tegmak die Physik anprangert, sie wegdiskutiert!

Auch redet er nicht davon, daß sein Ansatz eine neuartige Theorie ist, es ist eine andere, eine modifizierte Art einer denkabaren Beschreibung: ein Teil, der helfen mag auf Grund einer schärfernen Analytik -Interpretation von mir- zu einem späternen Zeitpunkt oder auch von anderen Teams, die dazu notwendigen Gesetzmäßigkeiten der reinen Physik zu verstehen.

Er versucht halt der Schwierigkeit der Physiker eine geschlossene Theorie aufzubauen eine andere Hand zu reichen, nicht aber die Ideen der Physiker zu zerreißen.

So sehe ich das.

Auch glaube ich nicht, daß es Ziel seines Aufsatzes ist, die Entdeckung mathematischer Strukturen als These eines mathematischen Multiversums zu verstehen. Ich sehe das als Idee, als Möglichkeit, als Hilfsmittel an, vieleicht besser als Ergänzung zur Physik.

Aber ich muss auch sagen, der Aufsatz ist sehr unglücklich verfasst. Tatsächlich ist Dein Gedankengang der, den man automatisch bekommt, liest man dieses paper ohne eigene Erfahrungen in Modelliertechniken.

Bitte verstehe diesen letzten Satz jetzt nicht falsch!!! Ich sage nicht, daß Du darin keine Ahnung hast oder sonst irgendetwas negatives. Nur auf Grund der von mir über so viele Jahre verfolgten Methodik physikalische Vorgänge (in der Elektronik, aber darin tief in der Physik eingetaucht) erst einmal mathematisch phänomenologisch zu beschreiben, um zu sehen, zu verstehen, was eigentlich passiert ist oder passieren kann, diese eigene Erfahrung leitete mich zu diesem Verständnis.

Aber leider ist dieser Aufsatz wenig aussagefähig, ob der diese Philosophie dahinter steckt oder nicht. Es bleiben viele Fragezeichen offen, das sehe ich auch. Insofern kann ich Deine Gedankengänge voll nachvollziehen und kann sie verstehen und akzeptieren.

netten Gruß

Wilfried

[wilfried]

Tag tensor

Es ist möglich, die ganze Physik zu mathematisieren, aber nicht alles was mathematisch ist, muss auch physikalisch sein. Denkt man in allgemeineren Kategorien, so sehe ich die Physik als Teilmenge der Mathematik an. Nicht alle Lösungen von Gleichungen sind physikalisch und manchmal sind Gleichungen einfach nicht lösbar.

volle Zustimmung!

Definitiv ist alles eine Frage der Definition.

Sehe ich in diesem speziellen Fall so: die mathematik wird hier angewandt um eine von der Physik völlig gelöste Beschreibung erreichbar zu machen. Das ist keine Frage der Definition, sondern eine Frage der mathematischen Korrektheit der Ansätze.

Gruß

Wilfried

[tomS]

Hallo zusammen,

ich kann ja schlecht für Tegmark sprechen, da ich nur das Papier sowie Diskussionen über das Papier (ohne ihn!), nicht aber seine eigentliche Intention kenne.

Im Kern geht es um Sätze der Form

... x DESCRIBES X ...
und

... x IS X ...

Dabei ist x ein mathematisches Gebilde (framework, structure, ...) und X eine physikalisch existierende Entität (Element der Wirklichkeit, Teilchen, Universum, ...).

Die eigentliche Diskussion ist die über das kleine Wörtchen "IS". Tegmark verwendet nicht viel Energie darauf, zu sagen, wie er dies philosophisch (ontologisch, ...) meint. Er stellt dies auch nicht in den Kontext eines oder mehrerer philosophischer Systeme. Die Frage ist doch die:

Nehmen wir an, es gäbe eine absolut 100%-ige Entsprechung zwischen zwei mathematischen Strukturen, d.h. ein Isomorphismus zwischen Elementen und Relationen. Würden wir dann diese beiden Strukturen als identisch bezeichnen? Beispiel U(1) und SO(2). U(1) ist die Rotation von komplexen Zahlen, SO(2) die von zweidimensionalen Vektoren. Würden wir U(1) = SO(2) schreiben und ab sofort nur noch eine davon verwenden? Ich denke nein - aber das liegt laut Tegmark daran, dass wir noch "Ballast" mit uns herumschleppen. Sobald dieser Ballast = nicht formalisierte Bedeutungen, Sätze, ... vollständig axiomatisiert wäre, würde er mit dem unscheinbaren "=" bzw. dem "IS" eine vollständige Identität verbinden.

Nun weiter: Nehmen wir an, es gäbe eine absolut 100%-ige Entsprechung zwischen einer mathematischen Struktur und dem Universum, d.h. ebenfalls einen Isomorphismus. Würden wir dann das Universum und die mathematische Struktur als identisch bezeichnen? Also nicht identisch im Sinne einer Abbildung, einer Entsprechung, einer Beschreibung, sondern in jeder Hinsicht, ontologisch,vollständig.

Ist es so, dass ich mich abends in eine mathematische Struktur lege - oder lege ich mich ins Bett, wobei ich alles das zusammen (das Bett, den Vorgang, mich, ...) vollständig als mathematische Struktur beschreiben kann?

Was ist die Welt? Ein Axiomensystem? Gibt es noch etwas "hinter" bzw. "über" dem Axiomensystem?

[tomS]

http://arxiv.org/abs/0903.5303v3
Disordered Locality as an Explanation for the Dark Energy
Chanda Prescod-Weinstein, Lee Smolin
(Submitted on 30 Mar 2009 (v1), last revised 4 Sep 2009 (this version, v3))
Abstract: We discuss a novel explanation of the dark energy as a manifestation of macroscopic non-locality coming from quantum gravity, as proposed by Markopoulou. It has been previously suggested that in a transition from an early quantum geometric phase of the universe to a low temperature phase characterized by an emergent spacetime metric, locality might have been "disordered". This means that there is a mismatch of micro-locality, as determined by the microscopic quantum dynamics and macro-locality as determined by the classical metric that governs the emergent low energy physics. In this paper we discuss the consequences for cosmology by studying a simple extension of the standard cosmological models with disordered locality. We show that the consequences can include a naturally small vacuum energy.

Dieses Paper wurde in der endgültigen (= in Phys. Rev. D 80, 063505 (2009) veröffentlichten) Version 3 in arxiv gepostet; ich habe darüber schon mal im Thread Nichtlokaler Quantenkosmos geschrieben und lege es euch nochmal zur Lektüre ans Herz.

Die wesentliche Idee ist, dass bestimmte Theorien der Quantengravitation eine winzig kleine Verletzung der Lokalität zulassen, dass also zwar im wesentlichen die Struktur des Raumes durch eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit beschrieben wird, dass es aber quasi "Abkürzungen" zwischen näherungsweise (makroskopisch betrachtet) weit entfernten Gebieten der Raumzeit gibt, d.h. dass die Mikrolokalitätund und die Makrolokalität nicht exakt übereinstimmen. Ein Effekt dieser (eigentlich vernachlässigbaren Effekte) könnte sein, dass sie über genügend große Distanzen wie eine effektive kosmologische Konstante wirken. Es wird also vorgeschlagen, dass letztere eine sichtbare Folge bestimmter Strukturen der Quantengravitation ist.

[wilfried]

Tag zusammen

ich möchte Euch mitteilen, daß ich mich für einige Zeit ausblenden muss aus den Forum. Ich muss Nachprüfungen schreiben lassen und korrigieren. Das verlangt einiges an Zeit. Auch muss ich noch eine neue Vorlesung erstellen.

Ich werde aber das paper durchlesen und sicher eine Stellungnahme abgeben. Wir aber gewiss nicht in den nächsten 2 Wochen sein.

netter Gruß

Wilfried

[tomS]

Zwei Papiere, die ich euch empfehlen möchte:

Ein Klassiker von Smolin

http://arxiv.org/abs/hep-th/0303185
How far are we from the quantum theory of gravity?
Lee Smolin
(Submitted on 20 Mar 2003 (v1), last revised 11 Apr 2003 (this version, v2))
Abstract: An assessment is offered of the progress that the major approaches to quantum gravity have made towards the goal of constructing a complete and satisfactory theory. The emphasis is on loop quantum gravity and string theory, although other approaches are discussed, including dynamical triangulation models (euclidean and lorentzian) regge calculus models, causal sets, twistor theory, non-commutative geometry and models based on analogies to condensed matter systems. We proceed by listing the questions the theories are expected to be able to answer. We then compile two lists: the first details the actual results so far achieved in each theory, while the second lists conjectures which remain open. By comparing them we can evaluate how far each theory has progressed, and what must still be done before each theory can be considered a satisfactory quantum theory of gravity. We find there has been impressive recent progress on several fronts. At the same time, important issues about loop quantum gravity are so far unresolved, as are key conjectures of string theory. However, there is a reasonable expectation that experimental tests of lorentz invariance at Planck scales may in the near future make it possible to rule out one or more candidate quantum theories of gravity.

und ein aktuelles Papier (mit identischem Titel, das jedoch einen völlig anderen Zugang hat; Zufall?)

http://arxiv.org/abs/0907.4238
How Far Are We from the Quantum Theory of Gravity?
R. P. Woodard (University of Florida)
(Submitted on 24 Jul 2009)
Abstract: I give a pedagogical explanation of what it is about quantization that makes general relativity go from being a nearly perfect classical theory to a very problematic quantum one. I also explain why some quantization of gravity is unavoidable, why quantum field theories have divergences, why the divergences of quantum general relativity are worse than those of the other forces, what physicists think this means and what they might do with a consistent theory of quantum gravity if they had one. Finally, I discuss the quantum gravitational data that have recently become available from cosmology.

Gruß
Tom

[wilfried]

Lieber Tom

das paper von Woodard ist m.E. nicht unbedingt ein anderer Zugang, es ist vielmehr eine sehr gute und auch durchaus übersichtliche Zusammenfassung und Gegenüberstellung der diversen Forschungszweige.
Betonen muß man hier insbsondre: eine sehr faire Gegenüberstellung, ohne jeden Disziplinzwang!

Nun zeigt es damit auch die Konfliktsituation zwischen all den Zeilen. Die anderen von Dir zitierten Veröffentlichungen hingegen gehen einen völlig anderen Weg: den der Darstellung einer Disziplin oder Vorgehensweise.

Ich finde es war mal an der Zeit, daß jemand -außerhalb unseres Forums, hier machen wir das ja schon die ganze Zeit- eine Zusammenfassung aus wissenschaftlich didaktischer Orientierung schreibt. Das Woodard paper ist beispielgebend -mein Verständnis- und solche Art von Veröffentlichung sllte immer mal wieder gemacht werden.

Lieber Tom, danke, daß Du dieses ausgebuddelt hast.

Netter Gruß

Wilfried

[tomS]

Gern geschehen.

Ich bin ja ziemlich aktiv beim Lesen und finde z.Zt. 'zig interessante Themen, die sich lohnen würden, hier zu diskutieren. Ich komme jedoch nicht dazu, sie wirklich gründlich durchzuarbeiten und hier aufzubereiten. Deswegen gibt es ggw. eben eher diese Schlaglichter.

Eine Bitte: solltest du (oder jemand anders) der Meinung sein, eines dieser Themen könnte ein eigener und längerer Diskussionspunkt werden, dann bitte ein eigenständiges Thema aufmachen. Ansonsten ist das hier unter News eigentlich genau richtig.

[wilfried]

Tag Tom

die Idee mit dem eigenen Thema ist schonrichtig. Ich sehe das aber genaus so wie Du auch:

erst einmal hier die informativen Dinge wie paper etc. Sollte sich daraus ein Thema entwickeln -Du weißt, das kann auch Wochen oder Mnate später sein- dann ist es sicher der richtige Weg ein eigenes Thema daür aufzumachen.

Das durchlesen ist das eine, das Verstehen und die sich dann daraus entwickelnden Diskussionspunkte ist das andere. Und eben dieses erfordert sehr viel Zeit, deshalb sehen wir ja auch häufig, daß Themen sehr spät bzgl ihres ersten Nennens hier angefaßt werden.

Auch ist es inzwischen schwer geworden wirklich neue Themen aufzumachen. Sehe ich unseren Themenstammbaum, dann ist der bereits sehr vollständig. Es ist zum Teil schwer wirklich neue Themen aufzumachen

@Alle -insbesonderen unsere Neuzugänge:

Bitte habt keine Scheu Themen aufzumachen, zu denen bereits Diskussionsordner bestehen. Wir "alten Hasen" achten darauf, ob es eventuell sinnvoll ist, solche "neuen" Themen mit den "alten" zusammenzufassen.

Ihr müsst demzufolge nicht umständlich suchen, ob es einen derartigen Sachverhalt bereits gab, das machen wir schon.

Gruß

Wilfried

[tomS]

Dem schließe ich mich an - es ist hier bei uns nicht so, dass wir dann sagen "benutze doch erst mal die Suchfunktion!"; wir greifen Themen gerne immer wieder mal auf, weil ja auch die Wissenschaft nicht stehenbleibt ...

[tomS]

Ein ziemlich schwieriges mathematisches Thema, das hier hinsichtlich seiner Bedeutung für die (Quanten-)Gravitation beleuchtet wird. Trotzdem lesenswert, auch wenn man nicht jede Formel nachvollziehen kann oder will:

http://arxiv.org/abs/gr-qc/0404088
Quantum general relativity and the classification of smooth manifolds
Hendryk Pfeiffer
(Submitted on 21 Apr 2004 (v1), last revised 17 May 2004 (this version, v2))
Abstract: The gauge symmetry of classical general relativity under space-time diffeomorphisms implies that any path integral quantization which can be interpreted as a sum over space-time geometries, gives rise to a formal invariant of smooth manifolds. This is an opportunity to review results on the classification of smooth, piecewise-linear and topological manifolds. It turns out that differential topology distinguishes the space-time dimension d=3+1 from any other lower or higher dimension and relates the sought-after path integral quantization of general relativity in d=3+1 with an open problem in topology, namely to construct non-trivial invariants of smooth manifolds using their piecewise-linear structure. In any dimension d<=5+1, the classification results provide us with triangulations of space-time which are not merely approximations nor introduce any physical cut-off, but which rather capture the full information about smooth manifolds up to diffeomorphism. Conditions on refinements of these triangulations reveal what replaces block-spin renormalization group transformations in theories with dynamical geometry. The classification results finally suggest that it is space-time dimension rather than absence of gravitons that renders pure gravity in d=2+1 a `topological' theory.

Zum Hintergrund (habe das an anderer Stelle hier schon mal kurz diskutiert):

Viele topologische Mannigfaltigkeiten (Räume, die lokal im wesentlichen wie der n-dimensionale euklidische Raum aussehen) lassen zu, dass auf ihnen eine Differentialrechnung definiert wird. Nun gibt es in jeder Dimension topologisch nicht-äquivalente Mannigfaltigkeiten (eine Kugeloberfläche ist etwas anderes als eine Ebene), aber man geht normalerweise davon aus, dass bei vorgegebener Topologie die Differentialrechung immer exakt und eindeutig definiert werden kann. Das ist aber nicht immer der Fall!
Es gibt Mannigfaltigkeiten, die keine Diferentialrechnung zulassen.
Es gibt Mannigfaltigkeiten, die verschiedene Differentialrechnungen zulassen (lokal ist alles eindeutig, global sind diese Mannigfaltigkeiten jedoch hinsichtlich der Differentialrehcnung verschieden, auch wenn sie topologisch äquivalent sind).
Ganz besonders spannend wird es im Falle des R[up]4[/up]: auf dem R[up]4[/up], also dem eigentlich ganz gewöhnlichen vierdimensionalen Raum, gibt es eine überabzählbare Familie von nicht-äquivalenten Differenzierbarkeitsstrukturen; dies zeichnet den R[up]4[/up] unter allen Räumen aus!

Der Artikel betrachtet nun Implikationen, die dies evtl. für die Quantisierung der ART haben könnte. Dabei beschränkt er sich auf topologisch identische Räume und zeigt, dass das Pfadintegral der QG evtl. eine Klassifizierung dieser unterschiedlichen Differenzierbarkeitsstrukturen ergibt.

[tomS]

http://arxiv.org/abs/hep-th/9310025
Energy-Momentum Conservation in General Relativity
Dongsu Bak, D. Cangemi, R. Jackiw
(Submitted on 5 Oct 1993)
Abstract: We discuss general properties of the conservation law associated with a local symmetry. Using Noether's theorem and a generalized Belinfante symmetrization procedure in 3+1 dimensions, a symmetric energy-momentum (pseudo) tensor for the gravitational Einstein-Hilbert action is derived and discussed in detail. In 2+1 dimensions, expressions are obtained for energy and angular momentum arising in the $ISO(2,1)$ gauge theoretical formulation of Einstein gravity. In addition, an expression for energy in a gauge theoretical formulation of the string-inspired 1+1 dimensional gravity is derived and compared with the ADM definition of energy.

Aus gegeben Anlass ein Paper von Jackiw: darin werden Ideen zur allgemeinen Definition der Energie in der ART diskutiert.

Die zentrale Erkenntnis ist, dass die geometrischen Objekte keine Tensoren (allgemein: keine kovarianten Gebilde) sein können! Jackiw stellt einige Ansätze vor und berechnet dabei u.a. die Masse eines schwarzen Lochs aus der Metrik. Unterschiedliche Modelle liefern dabei teilweise unterschiedliche Ergebnisse! Jackiw geht auch darauf ein, dass der Energiebegriff unterschiedlich abgeleitet werden kann: aus der Poincare-Invarianz, aus der (lokalen Lorentz-Invarianz = einer Eichsymmetrie).

Leider hilft das bei unserer aktuellen Diskussion (noch) nicht weiter, da der Fall des schwarzen Lochs zumindest eine Definition der Energie für das Geamtuniversum zulässt, die die Metrik im Unendlichen gegen die flache Raumzeit konvergiert. Dies muss bei anderen kosologischen Lösungen (FRW, Bianchi, deSitter, Anti-deSitter) ja nicht notwendigerweise so sein.

[wilfried]

Tag Tom

das ist ein Fall für unseren Raylight! Der hat sich ja intensiv mit SLs beschäftigt. Wenn er mal wieder bei uns reischaut, sieht er hoffentlich diesen Beitrag.

Bin gespannt, was er dazu meint.

Gruß

Wilfried

[tomS]

Der kennt die Problemstellung sicher; ist ein Klassiker in der ART.

Besser wäre, wenn er auch noch die Lösung kennt :-)