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Quantentheorie des freien Elektromagnetischen Feldes

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gravi
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Quantentheorie des freien Elektromagnetischen Feldes

Beitrag von gravi » 2. Dez 2007, 16:12

Quantentheorie des freien Elektromagnetischen Feldes:

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tomS
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Beitrag von tomS » 15. Jan 2008, 22:26

Hallo,

Wilfried, warum hörst du auf, wenn's am schönsten ist?

Ich wollte noch ein paar Bemerkungen (fast) ohne Formeln anfügen, damit man einen zentralen Punkt besser versteht. Ich wähle dazu zunächst eine andere Eichung als Wilfried, aber das darf ich wegen der Eichinvarianz tun :-)

Das große Problem der Quantisierung der Elektrodynamik ist, dass sie zu viele Freiheitsgrade beinhaltet! Die grundlegenden Variablen sind im Viererpotential enthalten, das ist ein Vierervektor (Ao, A) mit vier Komponenten. Physikalisch sind jedoch nur zwei Freiheitsgrade, nämlich die beiden transversalen Polarisierungen der Photonen. Also haben wir zwei zu viel!

Es gibt verschiedene Quantisierungen, alle führen eine bestimmte Eichung ein, quantisieren die verbleibenden Freiheitsgrade und lösen schlussendlich das Problem, so dass nur zwei Freiheitsgrade übrig bleiben. Alle Quantisierungen sind äquivalent. Ich möchte den aus meiner Sicht einfachsten Weg beschreiben.

1) Zunächst stellt man fest, dass Ao keine dynamische Variable ist, d.h. es gibt (in den Maxwellgleichungen) keine Bewegungsgleichung mit einer Zeitableitung für Ao. Ao hat keine eigene Zeitentwicklung. Üblicherweise setzt man Ao mit dem elektrischen Potential V(r) gleich, deshalb mag der folgende Ansatz etwas seltsam erscheinen, aber er ist richtig! Man wähle die Eichbedingung
Ao = 0.
Da die Zeitentwicklung von Ao keine dynamische Gleichung ist, kann diese Bedingung einmal vorgegeben werden und bleibt für alle Zeiten gültig. Damit hat man eine Komponente eliminiert!

2) Setzt man nun in die Maxwellgleichungen Ao = 0 ein, so erhält man eine Gleichung der Form:
Zeitableitung Divergenz A = 0.
D.h. dass die Divergenz der räumlichen Komponenten des Potentials ebenfalls zeitunabhängig ist. Deswegen kann man sie wiederum frei wählen, man hat eine zweite Eichfreiheit.
Divergenz A = 0
Dies ist die von Wilfried eingeführte Coulomb-Eichung. Damit hat man einen weiteren Freiheitsgrad eliminiert (es bleibt noch eine Konstante übrig, aber die soll uns hier nicht kümmern).

3) Man sieht, dass man nicht eine, sondern zwei Eichfreiheiten hat, und dass man so zwei Freiheitsgrade eliminieren kann. Die zweite Eichfreiheit hat man wegen des Gauss-Gesetzes, das eine sogenannte Zwangsbedingung ist, keine dynamische Bewegungsgleichung. Diese Erkenntnis ist wichtig, da sie die grundsätzliche Vorgehensweise aufzeigt, die für alle Eichtheorien gültig ist, d.h. z.B. auch für die QCD. Für letztere braucht es aber einige Dutzend Seiten nicht-trivialer Rechnung, bis man die quantisierte Theorie in Händen hält.
Gruß
Tom

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