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Vom Vektor zum Tensor Teil 2

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Vom Vektor zum Tensor Teil 2

Beitrag von wilfried » 13. Dez 2008, 11:42

Vom VEKTOR zum TENSOR

Teil 2 Der Tensor: Grundlagen der Tensoralgebra


1. Vorbemerkungen:
1.1 Die Invarianz


Mit Hilfe der kovarianten und der kontravarianten Komponenten und Vektoren (Basisvektoren) lassen sich Eigenschaften darstellen auch Eigenschaften als unveränderlich bezüglich affiner Koordinatentransformationen festlegen. Diese unveränderlichen Eigenschaften werden Invarianzen genannt.
Erläuterungaffin Lehnwort aus dem Latein: affinitas - die Verwandtschaft
Bedeutung: ist eine Transformation von einem in ein anderes KS vollzogen, so bleibt die funktionale Gestalt erhalten. Ich kläre das mit meinem beliebten Beispielvektor v:





Wie hieraus zu ersehen ist eine Gleichsetzung der ko-, mit der kontravarianten Seite durchgeführt. Eine trivial Regel läßt sich daraus ableiten:
Besitzt eine Transformationsvorschrift gleichviele unten und oben Indizes, so ist das System ínvariant unter dieser Transformation.
Mit der bereits bekanntgemachten Kurzschreibweise läßt sich dieses viel schöner darstellen:
ErläuterungMarkierung A
Anmerkung: die "g's" sind skalare Produkte



Was ist passiert?

Mit dieser Kurzschrift der skalaren Produkte sind die kogredienten und kontragredienten Systeme beschrieben. Sie bestimmen die Lage- und die Maßverhältnisse. Dieses wird Metrik der Grundvektorsysteme genannt.

Damit lassen sich einige neue Dinge formulieren:

1. Kontravariantes System bezogen auf kovariantes System

Anmerkung: g: Skalar!

2. Kovariantes System bezogen auf kontravariantes System

Anmerkung: g: Skalar!

Bei skalarer Multiplikation mit bzw. folg für die Komponenten des Ortsvektos v mit dem im Teil 1 vorgestellten Kroneckersymbol:

3. Bestimmung der Kontravarianten Maßzahl aus der kovarianten Maßzahl




4. Bestimmung der kovarianten Maßzahl aus der kontravarianten Maßzahl




Für den Betrag eines Vektors gilt bekanntermaßen . Ich verwende das Quadrat davon (ist etwas einfacher in der Niederschrift zu visualisieren) und formuliere damit:



Einsetzen der Gleichungen aus Punkt 3. und Punkt 4. (oben) in diese Beziehung ergibt:



Mittels des Kroneckersymbols kann die letzte Gleichung vereinfacht werden, denn mit Hilfe eiens Koeffizientenvergleichs zwischen der linken und der rechten Seite erhält man auf Grund der reziproken Vektorsysteme:



Der Term wird in der Fachwelt auch reduzierte Minoren der Determinante des Terms genannt.
ErläuterungReduzierter Minor = Unterdeterminante geteilt durch Determinante
Die Gleichungen der oberen Punkte 1. bis 4. zeigen den Übergang zwischen kontragredienten Größen lediglich unter Verwendung des skalaren Produkts. Es ist kein vektorielles Produkt benötigt worden!

Die Symbolik dazu:

kogredientes System zum kontragrentien System: Heben des Index
kontragredientes System zu kogredientem System: Senken des Index


Normiertes (nur Einheitsvektoren vorhanden) Orthogonalsystem:



Dieses normierte Orthogonalsystem legt die Euklid'sche Metrik fest.

Randbemerkung: Für krummlinige orthonormale Koordinaten sind die Basisvektoren nicht unbedingt Einheitsvektoren. Das bedeutet für solche Systeme eine -zumindest teilweise- ortsabhängige Metrik. Aber davon viel viel später...

1.2. Die Dyade

Im ersten Teil stellte ich vor:



Ich lass die Klammer weg und schreibe:



Erinnerung a wird mit b skalar, dieses dann mit c vektoriell multipliziert. Ganz trivial gehen wir jetzt vor und setzen beide zuletzt gezeigten Gleichungen (die mit sowie die ohne Klammer) gleich, dann haben wir eine Regel aufgestellt, besser eine Definition erreicht, die das vektorielle Produkt beschreibt:



Ändern wir die Reihenfolge:



Der Ausdruck des vektoreillen Produkts cb oder bc wird dyadischens Produkt oder Dyade genannt.
ErläuterungLehnwort aus dem Altgriechisch: dyas = die Zweiheit
Was ist passiert?

Das dyadische Produkt, beispielsweise bc wird angewandt auf einen Vektor a. Dadurch wird ein neuer Vektor aus a gewonnen, der in Richtung des Vektors c zeigt. Werden die beiden Terme des Vektorprodukts vertauscht, so wird ein neuer Vektor aus a erzeugt, der in Richtung b zeigt.

Damit sind beide Produktformen unterschiedlich.

Hiermit kann festgelegt werden:

  • 1. Das dyadische Produkt ich nicht kommutativ
  • 2. Das dyadische Produkt ist demzufolge weder ein Skalar noch ein Vektor. Es kann die Bezeichung lineare Dyade erhalten. Es ist ein singulärer Tensor 2. Stufe. Es ist sogar besser das dyadische Produkt als Operator aufzufassen
  • 3. Die lineare Dyade verwandelt ein räumliches Vektorbüschel (Ansammlung vieler Vektoren) in ein Büschel kolinearer Vektoren
  • 4. Die vollständige Dyade, das ist ein Tensor 2. Stufe bewirkt die Umwandlung eines räumlichen Vektorbüschels in ein anderes räumliches Vektorbüschel
Darstellung der vollständigen Dyade im dreidimensionalen Raum:



die Bezugsrichtung ist egal: auf oder auf .

Es kann auch gesagt werden:

Die vollständige Dyade verbindet die beiden als Operator wirkenden Vektorbüschel linear miteinander. Die Dyade stellt somit eine lineare Vektorfunktion dar. Die Transformationen sind affin, ausgedrückt mit Hilfe linearer Gleichungen. Damit ist die Dyade ein affiner Operator.

2. Der Tensor

2.1 Grundbegriffe des Tensors

Ich empfehle neben diesem Kapitel die von unserem Kollegen AlTheKingBundee geschriebene Abhandlung über Tensoren zu lesen. Die findet ihr unter:
http://www.einsteins-erben.de/tensorrec ... hp?men=rel
ErläuterungIm Zuge des Fortschritts dieses Teils 2 sind auch seine anderen Artikel unter "Relativitätstheorie eine sehr schöne Ergänzung. Ich wede mich bemühen das, was Al schreibt hier nicht zu wiederholen, sondern nur anzureißen und bitte Euch diese Informationen bei Al abzuholen. Natürlich werden Überlappungen vorhanden sein, sein Schreibstil ist anders als meiner und ich muß ja erst einmal die Hinführung geschafft haben.
Die linearen Vektorfunktionen sind in Anwendungen der Physik recht häufig anzutreffen. Deformationen seien genannt. Die Beschreibung derselben führte ja auch zur Notwendigkeit den Tensor einzuführen. Ich erinnere an den Namen (1. Teil). Inzwischen ist der Begriff Tensor wesentlich weiter gespannt. Er umfasst nicht mehr nur die Summen aus dyadischen Produkten, wie oben vorgestellt, sondern er wird auch bei allgemeinen mehrfachen Produkten benutzt. So nennt sich ein Tensor bestehed aus n vektoriellen Faktoren ein n-stufiger Tensor oder Tensor n-ter Stufe.
Solch ein Tensor läßt sich mit Hilfe der skalaren Produktbildung zwischen zwei der ihn bildenden Faktoren um zwei Stufen erniedrigen. Dieses wird Verjüngung des Tensors genannt.

2.2 Die Verjüngung eines Tensors

wird verjüngt in:
wird verjüngt in:

Soll heißen: Die Dyade ab wird zum Tensor 0.Stufe verjüngt
Der Tensor abcd -ein Tensor 4. Stufe- wird zur linearen Dyade verjüngt. Ich bleibe beim Tensor 2. Stufe im dreidimensionalen Raum.

2.3. Komponentendarstellung

Wir folgen mit der Komonentendarstellung den Variationsmöglichkeiten, derer 9 wir feststellen können und schreiben diese mit Einheitsvektoren:

Das sind die Grundtensoren, wobei die ii, jj, kk symmetrisch sind, die anderen sind unsymmetrisch.

Unsymmetrisch heißt::



Die 6 unsymmetrischen Einheitsvektoren werden als konjugiert bezeichnet. In der Quantenmechanik wird man dazu auch manchmal den Ausdruck transponiert verwenden.

Anschrift des Tensors T mit Hilfe der dyadischen Produkte der Einheitsvektoren im Bezugssystem i, j, k:

Hier ist jeder Term eine vollständige Dyade.

Zur Komponentendarstellung sind die Dyadenvektoren zunächst an in ihrer Koeffizientenschreibweise darzustellen:

Achtung: sind Koeffizienten! (Tex Darstellungsproblem)





Für den Tensor T können wir damit die bekannte Neunerform hinschreiben:



Die Koeffizienten in ihrer Matrixschreibweise:



Hier erkennen wir eine quadratische Matrix (Determinante) mit n^2 Werten. Mit Hilfe der Summenschreibweise ist das auch auf mehr Dimensionen erweiterungsfähig. Setzen wir, wie oben getan n=3, so erhalten wir 9 Komponenten. Für n=4 werden es 16 Komponenten sein. Ein Tensor 2. Stufe besitzt demzufolge 9Komponenten. Ein Tensor k-ter Stufe hat stets eine geringere (im Ausnahmefall: gleiche) Anzahl von Komponenten.
Sind die Indizes oben und unten in gleicher Zahl vorhanden, dann liegt eine affine Operation vor. Soll heißen: es liegt ein reziprokes Vektorsystem vor.

Wiederholung: ein rechtwinkliges Koordinatensystem ist zu sich selber reziprok.


2.4. Symmetrie und Antisymmetrie

Schauen wir zurück:

Die Grundtensoren ii, jj, kk besitzen Symmetrie Eigenschaft, die Grundtensoren ij, ji, ik, ki, jk, kj sind nicht symmetrisch.

Was heißt das?

Symmetrische Tensoren: skalares Produkt kommutativ mit Vektor

Soll heißen:



Die Indizierung des Tensors T mit "S" bedeutet symmetrisch.

Nicht aymmetrische Tensoren: skalares Produkt nicht kommutativ mit Vektor

Soll heißen:

Bei diesen Tensoren spielt die Reihenfolge der Vektoren in der Niederschrift eine Rolle. Ich zeige aber, daß es trotzdem zu Symmetrieeigenschaften kommen kann:

Ich gehe aus von den mit den unsymmetrischen Grundtensoren darstellbaren Summen:

(ij + ji) a = a (ij + ji = (a i )j + (a j ) i

Dieses Ergebnis erstaunt. Aber wir können uns auch wieder beruhigen, denn dieses Ergebnis beruht auf einem Spezialfall:

Zwischen den Komponenten muss für diesen Fall gelten:






oder in allgemeiner Niederschrift:



Mit dieser Ausnahmne wird die Zahl der unanhängigen Tensorkomponenten bei einem Tensor 2. Stufe von 9 auf 6 verringert (im 3-D Raum). Aufgebohrt zur Allgemeinerkenntnis:

Im n-dimensionalem Raum verringert sich die Zahl der unabhängigen Komponenten von auf unter der Voraussetzung .

Symbolik:

Dieses Symbol besagt: symmetrischer Tensor Stufe p im n-dimensionalem Raum.

Neue Begriffe

Strikte Komponenten darunter werden die linear unabhängigen Komponenten verstanden
Aggregat darunter versteht man eine Kombination aus Grundtensoren

Die Anzahl der strikten Komponenten des Tensors p-ter Stufe im n-dim. Raum ist:



Wird die Reihenfolge der Indizierung geändert, bleibt der Wert des Tensors erhalten. Wählen wir als Koordinatensystem das kartesische System, so verringert sich die Zahl der strikten Komponenten auf 3.

Allgemein:

Der Übergang auf das kartesiches System heißt: Hauptachsentransormation. Auf diese Hauptachsentransformaion werde ich in einem eigenen Unterkapitel eeingehen.

Konjugierte (transponierte) dyadische Produkte der Achsenvektoren sind stets antisymmetrsich. Diese sind:

ij - ji
ik - ki
jk - ki

Unter Verwendung des bereits bekannten dyadischen Produkts gilt auch hier:



Im Tensor T mit der Neunerform (siehe oben) treten diese Aggregate auf, wenn gilt:






In allgemeiner Form:



Damit wird die Komponentendarstellung des Tensors T diejenige des asymmetrsichen Tensors :



Achtung: Im 3-D Raum: Verringerung auf diese 3 strikten Komponenten!

Allgemein: Verringerung im n-dimensionalen Raum auf Komponenten.

Mit dieser Erkenntnis kann ausgesagt werden:
Die Anzahl der strikten Komponenten eines antisymmetrischen Tensors p-ter Stufe im n-dimensionalem Raum ist:



Auch hier verändert diejenige Komponente ihr Vorzeichen, deren Indizes vertauscht sind. Auffallend bei dieser Niederschrift ist, daß alle Komponenten gleicher Indizes weggefallen sind. Daher wird solch ein Tensor auch schiefsymmetrischer Tensor genannt.
Auf Grund des Vorzeichenwechsels bei Indexumsortierung spricht man auch von alternierenden Komponenten.

Tabellarisch läßt sich das recht schön darstellen als strikte Komponentenanzahl der Tensoren sowie :

Bild


Interessant ist, daß die antisymmetrischen Tensoren und die gleiche Zahl strikter Komponenten haben. Dies begründet sich darauf: .

Kleine Erinnerungsstütze:

n=3 p=2: planare Dyade
n=3 p=2: axialer Vektor
n=3 p=3: antisymmetrischer Tensor 3. Stufe
n=3 p=3: Pseudoskalar
n=4 p=2: dual alternierende Tensoren

Wir lernen daraus:

Ein Tensor höherer Stufe kann sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch sein. Zum Ausruck bringt man dieses durch die Anordnung der Indizierung:
sind die Komponenten eines doppelten antisymmetrischen Tensors 4. Stufe unter den beiden Voraussetzungen:



Die Indizes sind unten, ergo: kovariante Komponenten. Diese Art werde ich in dem späteren Kapitel Relativitättheorie weiterführen.

Was bedeutet diese asymmetrische Tensoroperation?

Dazu blicken wir zurück auf: und erinnern uns an die Komponentenzerlegung der Vektoren a und b aus dem Teil 1. Wir formulieren deshalb:
ErläuterungMarkierung E




Damit wird der Tensor modifiziert niedergeschrieben:



Was bedeutet dieses?
Das ist ein planarer Tensor. Soll heißen: der antisymmetrische Tensor erweist sich als planarer Tensor. Begründung: Die Komponentenzerlegungsregel der Vektorrechnung wird auf ein räumliches Vektorbüschel angewandt. Das zeige ich, indem ich ein Vektorbüschen B verwende:



Das kann verglichen werden mit dem im Teil 1 erläuterten dreifachen Vektorprodukt. Somit ist gültig:



Das vektorielle Produkt eines polaren mit einem axialen Vektor bewirkt die gleiche Operation als ein skalares Produkt eines Vektors mit einem antisymmetrischen Tensor 2. Stufe.

Neue vereinfachte Schreibweise dieses vektoriellen Kreuzprodukts

Da das vektorielle Produkt B mit c = (a x b) ab jetzt nichts anderes darstellt, als die duale Zuordnung zu einem antisymmetrischen Tensor 2. Stufe (und umgekehrt antürlich) können wir folgende Niederschrift mit folgender Symbolik vereinfachen:


Anzumerken ist noch, daß der Fall p=1 durch die Vektormultiplikation in der "Kreuzsymbolik" nicht erfasst wird. Aber das hemmt mich nicht in Teil 1 nachzuschauen, was ich dort über die die Vektormultiplikation a x b mit ihren Unterdeterminanten ausgesagt habe (bei Markierung A nachsehen). Damit schreibe ich die Systeme unter Markierung E, die sich für den Fall
und für p=n-1 als strikte Tensorkomponenten wiefolgt darstellen:



Für die Produktbildung mit einem Vektor a0 gilt:



Die in oben angeführter Determinante sind das System der Grundvektoren und sind als in diesem Fall als orthormiert anzusehen. Der, dem Tensor dual zugeordneten Produktvektor (Determnante oben) wird auch als p-Vektor (hier mit p=n-1) benannt.


2.4. Der Einheitstensor

Die Idee des Einheitstensors folgt dem Prinzip des Einheitsvektors. Wir wollen eine Grundgrößendarstellung erreichen. Da diese Grundgrößen sich auf die Koordinatenachsen abbilden sollen (Anlehnen an die Idee des Einheitsvektors) verwenden wir die Christoffel Symbolik:



Der Einheitstensor I schreibt sich dann folgelogisch:



Bedeutung: jeder Vektor wird in sich selber übergeführt. Auf ein n-dimensionales, schiefwinkliges KS angewandt schreiben wir als allgemeine und invariante Darstellung hin:

bzw. tex]\bf I = \Sum_i = a_i a^i [/tex]

In Erinnerung an das erste Kapitel dieses Teils, in dem die Invarianz vorgestellt wurde bediene ich mich der dort vorgesteltlen Beziehungen für als auch -soll heißen der kovarianten sowie der kontravarianten Basis- und schreibe damit die Einheitstensoren dieser beiden Basen entsprechend:




ErläuterungErinnerung an Teil 1: normiertes Orthogonalsystem => legt Euklid Metrik fest
Auch hier gilt: diese Niederschrift enthält die metrischen Fundamentalgrößen als Komponenten.

Einheitstensor = metrischer Fundamentaltensor der Euklid Metrik

Mit den Einheitsvektoren läßt sich umgehen, wie mit den Einheitsvektoren der analytischen Geometrie:
Wir dividieren andere Tensoren durch den Einheitstensor.
ErläuterungErinnerung: Reziproker Tensor , das ist derjenige Operator, der eine mittels des Tensors T durchgeführte affine Transformation rückgängig macht.

Das Skalarprodukt (kommutativ) ergibt folglich den Einheitstensor:



Mit Erinnerung an die dyadischen Produktterme gilt für die skalare Multiplikation:



2.5. Der konjugierte (transponierte) Tensor

Die zueinander entsprechenden Basistensoren, wie beispielsweise ij und ji haben wir bereits als konjugierte Tensoren kennengelernt. Ich bilde mit dem Tensor T (Komponentendarstellung) den zugehörigen konjugierten Tensor . indem die ij durch ji, die ji durch ij und alle weiteren Kombinationen mn durch mn, also stets vertauscht, ersetzt werden.
Achtung: ale gleichnamigen Kombinationen bleiben scheinbar erhalten, da die Vertauschung keinen Aufschluß auf die originale Reihenfolge zuläßt.. Damit schreibt sich der Tensor mit seinem konjugierten Tensor:





Dann noch in der summenkonventions Niederschrift:





Mittels des konjugierten Tensors sind wir in der Lage, denn allgemeinen Tensor T als Summe des symmetrischen und des unsymmetrischen Tensors anzugeben. Diese Art der Summe stellt sich mit ihren symmetrischem und antsymmetrischem Tensortermen dar:



Dabei stellt sich der Tensor als symmetrisch heraus. Begründung: hier sind lediglich die symmetrischen Grundtensoren vorhanden.
ErläuterungErinnerung aus "Symmetrie und Antisymmetries (siehe oben):
(ij + ji) a = a (ij + ji = (a i )j + (a j ) i
Der Term ist antisymmetrisch. Begründung: es kommen nur antisymmetrische Aggregate vor.
ErläuterungErinnerung aus "Symmetrie und Antisymmetries (siehe oben):
a (ij - ji) = -(ij - ji) a
Der Vollständigkeit halber schreibe ich die Summendarstellung nochmals hin:





Zusammenfassung:
Die dyadischen Produkte der Basisvektoren legen mit ihren antisymmetrischen Aggregaten ihre Koordinatenebenen als solche Plangrößen (Plan = Ebene) fest, in welche sie als affine Operatoren jeden Vektor, auf den sie angewendet werden, transformieren.


2.6. Hauptachsentransformation

Ich habe damit einiges, ich denke auch die wichtigsten Dinge über die unsymmetrischen Operationen, erzählt. Die symmetrischen Operationen habe ich jedoch erst einmal vernachlässigt. Laß uns das zweifache symmetrische Skalarprodukt des symmetrischen Tensors mit dem Ortsvektor o bilden:



Hier beschränke ich mich auf den 3-D Raum und zeigte, daß sechs Komponenten des symmetrischen Tensors zur Bestimmung dieser quadratischen Form auftreten. Wie bei einem Kubus üblich und einsehbar, lassen sich eine Schar von Flächen daraus entwickeln: eben jene Wände des Kubus. Legt man die Koordiantenachsen in Richtung der Hauptachsen dieser Flächen, so wird damit das skalare Produkt von oben:



Die Koeffizienten (griechische Buchstaben) sind die Koordinaten oder Komponenten von obezüglich der Hauptachsen. Hier spricht man: Diese Form ist hauptachsentransformiert.
Die letzte Gleichung beschreibt einen Ellipsoid, wenn die Koeffizienten > Null sind. Deswegen werden die Eigenschaften eines symmetrischen Tensors auch durch die Angabe seines Maßellipsoids angegeben. Das nennt sich auch: zweites Tensorellipsoid:



Die Einheitsvektoren in Hauptachsenrichtung werden mit bezeichnet. Der symmetrische tensor schreibt sich damit:



Der Operator ändert die Richtung eines Vektor in Richtung der Hauptachsen nicht.
ErläuterungEin Vektor in Richtung von einer der Hauptachsen heißt auch Eigenvektor
ErläuterungErinnerung an Geometrie: Mittelpunktsgleichung einer Ellipse:
Wenn der gerade besprochene Operator auf ein Büschel Vektoren mit konstantem Absolutbetrag angewandt wird, dann bilden diese Vektoren an ihren Endpunkten eine Kugeloberfläche. Dafür gilt:



Die Vektoren



bilden die Oberfläche eines Ellisoids. Diese wird durch die affine Abbildung (Ursache ist dieser Operator) als Abbildung aus der Kugel heraus bewerkstelligt. Da wir in dieser Transformationsvorschrift eine Linearität vorsussetzten und eingehalten haben, kann eine Fläche 2. Ordnung nur in eine Fläche wieder der 2. Ordnung übergehen.
Damit habe ich ein wesentliches Kennzeichen des symmetrischen Tensors angesprochen.

Schauen wir noch einmal zurück auf diese Differenbildung (siehe oben):

und fragen wir uns:
was bedeutet das eigentlich, was ist hier passiert?

Diese Anschrift besagt, daß die Aufteilung in einen symmetrischen sowie einen antisymmetrischen Tensor eine nichtlineare Stauchung oder Streckung bewirkt -bezogen auf den symmetrischen Tensor- und eine Verschiebung parallel zur Originalebene -bezogen auf den antisymmetrischen Tensor.

Allgemein:

Die additive tensorielle Aufspaltung in einen symmetrischen sowie eine antisymmetrischen Term bewirkt eine bewirkt eine Denhung verbunden mit einer Streckung des ursprünglichen Tensors. Aufgrund des affinen (linearen) Charakters dieser Transformation durch die Tensoren und bleibt die Ordnung der Fläche, welche durch die Endpunkte des transformierten Vektorbüschels beschrieben wird erhalten.

Wir haben die additive Aufspaltung beschreiben. Was aber ist mit der multiplikativen Aufspaltung?

Aus dem Tensor T in seiner Neuneranschrift kann folgende Termmultiplikation niedergeschrieben werden:



In Eigenvektor (Vektoren entlang der System-Hauptachsen) wird daraus:





Und mit diesen Eigenvektoren schreibt sich unser Tensor dann:
ErläuterungMarkierung F


Somit wird der Tensor T in ein Produkt zerlegt. Dieses Produkt ist ein reiner symmetrischer Dehnungstensors (Niederschrift mit Index D für Dehnung):



Was ist passiert?

Wir erkennen bei der Multiplikation einen Tensor, der nur seine Richtung, nicht jedoch seine Absolutbeträge der durch ihn transformierten Vektoren ändert. Das ist eine Drehung mit der Eigenschaft, daß ein symmetrischner Tensor diese Drehung ausübt. Solch ein Tensor wird auch Versor mit seinem Symbol genannt, wenn seine Grundtensoren nur aus Einheitsvektoren aufgebaut sind und alle Vektoren so drehen, daß deren Komponenten aus:

der i Richtung in die
der j Richtung in die
der k Richtung in die

drehen. Damit sind Eigenvektoren des Versors . Begründung:
legen die Hauptachsen Richtungen nach der Drehung fest.

sind die Werte dieser Hauptachsenabschnitte. Die reziproken Werte dieser Hauptachsenabschnitte ergen sich zu:





In Versorniederschrift, bezeichnet als: Normalenform des Versors ergibt sich:



Natürlich werden zwei Drehungen beschrieben, denn einerseits kann mit dem Skalar von links und andererseits von rechts her multipliziert werden.

Auf Grund dessen, daß der Versor sich aus Grundtensoren in Einheitsvektor Niederschrift aufbaut als auch der zu ihm konjugierte Versor rein durch Vertauschung dieser Einheitsvektoren gewonnen wird, kann folgende charkterisierende Niederschrift des Versors angegeben wirden:



Eine Identität besteht:

Reziproker Versor ist identisch zu konjugiertem Versor.

Fazit:
Beide bewirken, daß eine Drehung wieder rückgängig gemacht werden kann. Der Versor bewirkt eine orthogonale Transformation, gekennzeichnet durch die Erhaltung seiner Drehwinkel.


2.7 Invarianten des Tensors

Die Invarianz des Tensors T 2. Stufe, Neunerform, läßt sich durch Verjüngen des allgemeinen Tensors darstellen.
Begründung: Auf Grund der Invarianz des skalaren Produkts gegenüber affinen Transformationen erhält man ebenfalls durch Verjüngung eines Tensors eine Invariante.



Mit:

Dies nennt man auch erster Skalar oder Spur des Tensors. Die Spur des Tensors ist die Summe der Koeffizienten seines Basistensors. Jetzt beziehe ich mich auf den Tensorgleichung Markierung F, etwas weiter oben. ich hbe bereits erzählt, daß dieses als Parallelepiped der Einheitsvektoren i, j ,k betrachtet werdenkann, welches in das mit den Vektoren transformierte Parallelepiped umgesetzt werden kann. Schauen wir auf die Volumina beider. Das Verhältnis der beiden Volumina hängt nur ab von dieser affinen Abbildung, es ist also invariant, besser es ist eine Invariante des Tensors T. In Einheitsvektoren gerechnet ist das erste Volumen V1 = 1. Das zwwite Volumen V2 bestimmt sich über dessen Determinate. als gemischtes Produkt der beiteiligten Vektoren (die mit dem h'). Damit folgt eine zweite skalare Tensor Invarianz, die auch als dritter Skalar bekannt ist:




Die dritte Tensor Invarianz, die als zweiter Skalar bekannt ist, wird durch Bildung des dritten Skalars eines Tensors gebildet. Dabei ist ein willkürlicher, frei wählbarer Parameter. Wir können damit dessen Determinante anschreiben:
ErläuterungMarkierung F


Wem kommt denn das bekannt vor?

Die sind die Ausdrücke des ersten bzw. zweiten Skalars (siehe auch oben). In der letzten Gleichung enthalten beide Seite nur noch invariante Ausdrücke. Demzufolge muß auch die dritte Invarianz = zweiter Skalar eine Invarianz sein. Berechnet wird erals Summe der Minoren (Unterdeterminaten):



Kommen wir zurück auf die Darstellung der vorletzten Gleichung und lass uns sehen, welche Bedeutung der Parameter hat. Dabei greifen wir zurück darauf, daß wir inzwischen gelernt haben, daß sich der allgemeine Tensor aufspalten läßt in ein Produkt aus symmterischem Tensor als auch einem Versor . Für einen Tesnsor schreiben wir dann an:



Der Klammerausdruck kann aufgelöst werden in die Beziehung:



Dieser Tensor wird planar, wenn einen dieser Werte annimmnt:





Erinnerung: der Versor bewirkt eine Drehung. Damit muß bei der Multiplikation mit kartesischen Achsenvektoren i, j, k ein mit \Psi komplanares Tripel entstehen:



Cayley Hamilton Gleichung

Das geht auch andersherum: die Gleichung Markierung F kann durch Nullsetzen und lösen nach zur Bestimmung der reziproken Werte der Hauptachsenabschnitte verwendetet werden (ref: Hauptachsentransformation symmetrischer Tensor).



Damit wird die Frage von oben wem kommt das bekannt vor? aufgelöst:

Dieses ist eine charakteristische Gleichung, auch Säkulargleichung genannt. Sind deren Wurzeln reellwertig, dann liegt eine allseitige Drehung des Tensors vor. Soll heißen: eine Drehung aus drei verschiedenen Hauptachsen zusammengesetzt.
Klar es gibt auch Spezialfälle, wie Gleichheit bei Auftreten einer Doppelwurzel. Das ist gleichbedeutend mit der Gleichheit von Maßverhältnissen bei zwei invarianten Richtungen. Auch kann eine reelle Dreifachwurzel solch ein Spezialfall sein. Dann liegt eine Scherung vor.
Aber: Ist der Tensor ein Versor, dann ist nur eine Wurzel reell, die beiden anderen sind komplexwertig.


Zusammenfassung

Die beiden ersten Teile sind fertiggestellt. Damit habe ich versucht Euch die Gemeinschaftlichkeiten von Skalar, Vektor und Tensor zu erläutern. Vieleicht habt ihr es bemerkt, es ist im Wesentlichen nicht anderes als ein Definitionsspiel, eine Frage der Vereinheitlichung, eine Systematik aufzubauen. DieseSystematik beinheltet viele Erklärungen -Definitionen genannt-, die zum Verständnis der Begrifflichkeiten erforderlich sind. Die Rechenoperationen zeigten nichts neues. Es sind alles Standardoperationen, die nur mit neuartigen Anschriften der Indizierungen einhergehen.
Das Einzige, was wirklich neu ist, ist die Darstellung. Ein Koordinatensystem wird in ein anderes Überführt. Es werden die Koordinateneinheiten abbgebildet, entweder duch eine senkrechte Projektion vom ursprünglichen auf das neue oder andersherum Damit wurden die Begriffe kovariant und kontravariant oder kogredient und kontragredient erläutert. Auch wurde damit die Indizierung eingeführt. Beachtung in diesem Kapitel soll auch die Frage nach der Invarianz, man kann auch sagen der Unantastbarkeit finden. Das ist eine wichtige Situation, daß bei einer Transformation von einem in ein anderes Darstellungssytem -nicht anderes ist die Trafo zwichen Koordinatensystem- eine wesentliche Fragestellung ist.

Es folgen jetzt die Kapitel der Beispiele, die sich auf diese beiden Teile beziehen.

Gesperrt