Sektion I
Verfasst ab 16.11.2008 von Dr. Wilfried Tenten für das Forum "abenteuer-universum"
Ein Kompendium zu den Grundlagen der Tensorrechnung
Teil 1: Vektoren, eine Rekapitulation der wesentlichen Eigenschaften
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[expl]Eingefügt von gravi zu Versuchszwecken[/expl]
[b]WICHTIG:
Ich nutze die Erklärung teilweise mit dem Begriff Markierung A, Markierung B etc. als Gleichungsbezeichnung. Normalerweise numeriert man Gleichungen. Das aber kann ich nur schwer tun, da ich diesen Beitrag weniger als Skriptum als vielmehr zusätzliche Erläuterungen zum Thema ansehe. Später, wenn dies fertig ist, mag ich mich eventuell nochmal hinsetzen und auch Gleichungsnummern vergeben ...aber das liegt noch etwas in der Ferne.
[/b]In der Physik kennen wir ungerichtete und gerichtete Größen. Darunter wird verstanden, ob eine Größe einen Durchlaufsinn hat oder nicht.
Soll heißen: eine Bewegung ist dadurch gekennzeichnet, daß eine Angabe wohin diese Bewegung sich fortpflanzt notwendig ist. Es ist hinreiched zu beschreiben, daß eine Ortsänderung passiert.
Mit dieser Situation haben wir dem Begriff Bewegung 2 Informationen mitgegeben:
1. hinreichende Information: es findet eine Änderung des Aufenthaltsorts statt
2. notwendige Information: diese Änderung verläuft in eine bestimmte Richtung
Ferner ist es wichtig zu wissen, welche Bedingungen für diese Änderung des Ortes wichtig sind.
Bei einer Bewegung haben wir eine zeitliche Änderung des Ortes zu vermerken.
Die Änderung des Ortes ist räumlich (flächig).
Damit liegt die Information einer Bewegung fest:
Was ist passiert?
Wir haben einerseits die Zeit vom Zeitpunkt t1 bis t2 fortschreiten lassen und dabei festgestellt, daß sich eine Position geändert hat. Diese Position wurde hier als polarer Vektor angeschrieben, gleich mit seiner Differenz der Koordinaten.
Ich werde in Zukunft Vektoren nicht mehr in ihrer ausgeschriebenen Koordinatenschreibweise darstellen -es sei denn, dies ist wichtig für die Vorstellung bzw. Erklärung- ich werde Vektoren fett schreiben und mit einem Pfeil darüber kennzeichnen.
Begriffe:
Koordinate Diese ist eine Zahl, ein Skalar. Ungerichtet aber mit Vorzeichen.
polarer Vektor Dieser ist eine gerichtet Größe, bestehend aus Koordinaten (werden in Klammern untereinander angeschrieben), seiner Richtungsinformation -der Pfeil indiziert dies sowie dem Durchlaufsinn -das ist die Differenz, besser die Reihenfolge in dieser Differenz.
Skalar
- Legt eine Zahl auf einer Skala fest
- Die Anzahl der zu einem Vektor gehörenden Skalare gibt die Dimension an
Vektor
- Beschreibt die Verschiebung eines Punktes (Differenz der Koordinaten ist die Verschiebung)
- bestimmt die Richtung dieser Verschiebung
- besitzt eine Länge
- Angegeben mit n Skalaren, wobei n die Dimensionen markiert.
Damit können Vektoren auch Verschiebungen mehrerer Punkte beschreiben. So wird eine Ebene oder ein Raum oder ein mehrdimensionales Gebilde festgelegt.
Diese Situation wird folgendermaßen mathematisch ausgedrückt:
Eine Ebene oder Raum ist eine affine Transformation eines Punktkollektivs eines Raums innerhalb eines Raums der gleichen Dimension bzw. auch in entarteter Form vorhanden als eingebettete 2-dimensionale Mannigfaltigkeit (Fläche). Her werden wir auch den Audruck der planaren Dyade verwenden.
Mit diesen Erklärungen haben wir eine Gemeinschaftlichkeit kennengelernt:
ein Vektor -egal welcher Dimensionalität- wird duch Skalare beschreiben. Lediglich die Anrordnung dieser Skalare erhebt dies Gebilde zu einem Vektor,
Damit können wir den Begriff Skalar und Vektor einem darüber geordneten allgemeineren Begriff unterordnen.
Dieser allgemeinere Begriff lautet TENSOR.
Eigentlich ist dieser Begriff nicht einmal richtig! Das Wort TENSOR ist dem Latein entlehnt:
tendere spannen, dehnen, strecken
tendeo ich spanne, dehne, strecke
In der Mechanik beschäftigte man sich mit Verformungen und diese müssen ja auch mathematisch beschreibbar sein. Aus diesen Beschreibungen heraus wurde der Name TENSOR ausgewählt.
Eigentlich steht der Begriff für mehrere Stufungen des Transformationsverhaltens von Skalaren:
Tensor 0. Stufe: Skalar
Tensor 1. Stufe: Vektor
Tensor 2. Stufe: vollständige Dyade (Affinor)
Tensor 3. Stufe: vollständige Triade
usw.
Somit haben wir jetzt einen wesentlichen Erkenntnisstand erreicht:
Ein TENSOR ist ein übergeordneter Begriff -eine Gruppen Bezeichnung- der die Gruppen einfacher Bestimmungsstücke -das sind Skalare- zusammenfasst zum Zwecke der geschlossenen Beschreibung invarianter Größen:
- Längen (von Strecken) z.B. Verschiebung
- Inhalte von Plangrößen z.B. Momente
- Volumina in drei- sowie n- dimensionalen Euklid'schen Räumen
Im Zuge der geschichtlich gesehen zunehmenden Erkenntnisse, insbesondere der Relativitätstheorie- sind diese 3 ursprünglichen Größen erweitert worden. Aber das soll uns erst einmal nicht stören.
Vektoren: polare axiale
Ein Vektor ist, wie oben beschrieben, ein Tensor 1. Stufe. Damit ist aber noch nicht alles getan.
Neben dem Vektor -der von der Schule her bekannt ist- und sich durch (absluten) Betrag, Richtung und Durchlaufsinn auszeichnet (Pfeil als Kennung), gibt es noch eine Vektordarstellung, die sich durch ein gerichtetes und ebenes Flächenelement darstellt (Plangröße als Kennung). Diese nennt man axialer Vektor
Beide Vektoren werden durch je 3 skalare Bestimmungsstücke mit geometrischer Bedeutung beschrieben:
Polarer Vektor
- Betrag (absolut)
- Richtung (im Raum)
- Durchlaufsinn (Richtungsinformation der Strecke)
Axialer Vektor
- Flächeninhalt
- Stellung im Raum
- Umlaufsinn (um den Rand der Fläche herum)
Diese 3 Kennungen entsprechen sich.
Beispiel:
polarer Vektor: (Verschiebungs) Geschwindigkeit
axialer Vektor: Winkelgeschwindigkeit
Damit ist die Einführung ins Thema erfolgt. Das kommende Kapitel wird sich mit Rechenregeln für Vektoren beschäftigen. Es werden Zug um Zug Begriffe wie assoziativ, distributiv, kontravariant, kovariant, Drehungen, die verschiedenartigen Multiplikationen (hier kommt dann auch die Darstellung der Hesseform, das dyadische Produkt, mehrfache Produkte etc) und abschließend wird der Begriff des Vektorbüschels erläutert. Ich werde die Matrizenform einführen, zeigen wie sich die Indizes verstehen lassen.
Kapitel 2 Grundlagen und Erweiterungen der klassischen vektoriellen Geometrie
2.1 Grundrechenarten mit Vektoren und deren Interpretation
2.1.1 Addition und Subtraktion
Diese stellen eine Verschiebung eiens Körpers im zwei- oder dreidimensionalen Umfeld dar. Während ein einzelner Vektor eine eindimensional gerichtete Größe ist, verweist die Addition bzw. Subtraktion auf ein Gebilde, welches eine oder auch zwei Dimensionen über dem Vektor liegt kann; kann aber auch eine Stauchung oder Streckung des Originalvektors sein!.
So stellt
bekanntermaßen erst einmal eine Aneinanderreihung von Vektoren dar. Wenn allerdings die gesamte Vektorsumme Null ergibt, haben wir einen kompletten Umlauf und damit eine übergeordnete Dimension beschrieben.
Es gelten die Gesetze der Vertauschung von Termen:
- Kommutativ und assoziativ
2.1.2 Rechtwinkliges (kartesisches) und schiefwinkliges Koordinatensystem
Ich muß hier ein ganz klein wenig vorgreifen: hier wird die skalare Multiplikation von Vektoren benötigt. Diese stellt eine Streckung bzw. Stauchung eines Vektors dar. Sie ändert damit lediglich die Länge, dan absoluten Betrag des Vektors und wenn das Vorzeichen sich ändert auch dessen Richtung.
Es gelten die Gesetze der Vertauschung von Termen:
- distributiv Gesetz
(a+b)*v = av + bv
- assoziative Gesetz
a(bv)= b(av)=abv
Für alle Additionan, Subtraktionen und skalaren Multiplikationen entsprechen sich die Gesetze der skalaren Algebra. Damit ist die Aufspaltung eines Vektors in seinen absolut Betrag sowie seinem Einheitsvektor (darunter wird eine vektorielle Grundeinheit verstanden, meist mit Betragsgröße = 1) von gleicher Richtung und Durchlaufsinn erlaubt.
Mit dieser Feststellung bzw. Gesetzmäßigkeit lassen sich Koordinatensysteme festzurren, wobei die Achsen durch den zugehörigen Einheitsvektor beschrieben werden. Die Zugehörigkeit wird identifiziert mit Hilfe von Indizes. Unter einem Index wird eine Kennziffer, welche hinter dem Vektor als tiefgestellte (Achtung: das gilt zunächst nur für die Schulgeometrie!!, wir kommen gleich zu einer allgemeineren Formulierung) Information geschrieben wird. Dieser Index ist festgelegt beispielsweise als Ziffer 1, 2, 3 oder als Koordinatenachseninformation x, y, z bzw. in mathematischer Formulierung als i, j, k.
Behandlung der Indizes: Zunächst einmal sind die indizierten Vektoren unabhängig voneinander. Hier wird der Begriff der linearen Unabhängigkeit geprägt. Darunter wird eine Vektorenanordnung verstanden, die mit Hilfe von linear-Kombinationen aller beteiligten Vektoren stets den Nullvektor (geschlossener Kreis: Summe aller beteiligten Vektoren = 0) bilden.
Die Reihenfolge der Indizierung ist durchaus relevant, sie kennzeichnet die Folge, mit welcher die Vektoren betrachtet bzw. behandelt werden. Es wurde eine rechtsdrehende Folge festgelegt. Das heißt, ein System dreht sich rechts herum im Sinne der Folge i, j, k. Verglichen werden kann das mit einer Schraube, welche ein Rechtsgewinde besitzt. Zuerst kommt Koordinate 1: i; dann 2: j; schießlich 3: k
Ferner sei gesagt, daß ein Koordinatensystem nicht zwangsläufig rechtwinklig sein muß, es gibt auch schiefwinklige Koordinatensysteme als auch solche mit gebogenen Koordinaten. Ich bleibe aber zunächst beim rechtwinkligen System, das auch kartesisches System genannt wird. Der Name leitet sich von Cartesius = Decartes ab.
Ich stelle dieses in folgender Grafik dar mit x, y, z als Koordinatenachsen. Darin zeichne ich einen Vektor v, dessen Größe vom Nullpunkt zum Punkt P bestimmt wird, dessen Richtung von 0 nach P gegeben ist. Somit läßt sich sich der Vektor v als Linearkombination aus den Einheitsvektoren ex, ey und ez schreiben:
aex+bey+cez=v oder xi+ yj+ zk = v
Der Betrag des Vektors v ermittelt sich aus der Wurzel der Quadratsumme der Koeffizienten. Schaut man sich diesen Vektor nochmals genau an und klammert jeweils eine Dimension aus, soll heißen: wir sehen nur auf ein 2-dimensionales Teilgebilde, lassen sich die Spuren des Vektors auf den Achsen beschreiben mit Hilfe des Winkelsatzes:
ex=e cos (alpha) und dahin impliziere ich |e|=1, wenn ich, wie hier getan, die Einheitsvektoren nehme anstelle des Vektors P. Komplettiert man diese Erkenntnis für alle Achsen, so gewinnt man die Erkenntnis, daß sich der Einheitsvektor e zusammensetzen läßt aus diesen Winkelfunktionen:
e = i cos(alpha) + j cos(alpha) + k cos(alpha)
Soweit ist das nichts Neues! Steht in jedem Grundlehrbuch. Jetzt aber werde ich eventuell etwas Neuartiges erklären:
Das rechtwinklige Koordinatensystem wird geändert in ein schiefwinkliges Koordinatensystem.a
Was ist passiert?
Die Bezeichner mit Fettbuchstaben sind wieder Vektoren. a1 und b1 stehen aber schiefwinklig zueinander und bilden somit ein schiefwinkliges Koordinatensystem. Darin liegt der Vektor r, der sich aus diesen beiden Einheitsvektoren aufbauen läßt.
Bezüglich dieses Vektors r schauen wir die Spuren des Vektors r auf die beiden schief zueinander liegenden Achsen a und b an.
Frage: was sind denn jetzt eigentlich die Spuren???
Nun diese Spuren sind doppelt zu diskutieren:
Spur 1: wenn auf der Achse ein rechter Winkel so angebracht wird, daß sein Schenkel die Spitze des Vektors v schneidet. Diese Spur wird duch einen Index mit Kennung „unten stehend“ angeschrieben.
Spur 2: wenn eine Projektion des Vektors v an seiner Pfeilspitze parallel zur Achse angeschlagen wird. Diese Spur wird duch einen Index mit Kennung „oben stehend“ angeschrieben.
Damit haben die Begriffe kovariant und kontravariant bereits ein erstes Gesicht bekommen. Diese Begriffe werden uns immer wieder begegnen.
Die Darstellung der beiden Systeme:
kartesisch und schiefwinklig
ist hier zunächst noch getrennt zueinander erfolgt. Es wird einer der Punkte sein die Umwandlung von einem in ein anderes Koordinatensystem zu beschreiben.
Wir sehen dieses in der Physik beispielsweise bei der Lorentztransformation.
Die Lorentztransformation als Beispiel der Koordinatensystemtransformation:
kartesich -> schiefwinklig
Ich habe dazu einen schönen Artikel bei WIKIPEDIA gefunden und erspare mir dieses nochmals zu schreiben!
http://de.wikipedia.org/wiki/Lorentz-Tr ... owski-Raum
2.1.3 Die Vektor Multiplikation
Wir müssen dabei 3 Produktarten unterscheiden und behandeln:
Produktart 1: skalares oder inneres Produkt --- liefert Tensor 0. Stufe
Produktart 2: vektorielles oder äußeres Produkt --- liefert Tensor 1. Stufe (duale Ergänzung)
Produktart 1: allgemeines Produkt --- liefert Tensor 2. Stufe
2.1.3.1 Produktart 1: Das skalare Produkt
Darunter wird verstanden, wenn 2 Vektoren a und b miteinander so multipliziert werden, daß daraus eine Flächenangabe resultiert.
ab = ab cos(a,b)
Dabei werden die beiden Beträge der Vektoren (nicht fett angeschrieben) multipilziert und noch der eingeschlossene Winkel der Vektoren dazu multipliziert. Machen wir ein Beispiel:
a sei eine Kraft K
b sein eine Verschiebungsstrecke eines Probekörpers s
Achja: ich verwende statt "Strecke" den Begriff Verschiebungsstrecke. Das tue ich deshalb, da mit dem Vorwort (Präposition) ausgesagt wird, daß diese Strecke neben ihrer Länge (skalare Größe) auch eine Richtung mit Durchlaufsinn, nämlich eine Verschiebung beinhaltet.
Damit wirkt die Kraft K auf die Verschiebungsstrecke des Probekörpers ein, was letztlich nichts anderes ist als die aufgebrachte Arbeit, um den Körper von Position A hin auf Position B zu verschieben.
Es gelten:
- kommutativ Gesetz
ab = ba
- distributiv Gesetz
a(b+c) = ab+ac
assoziativ Gesetz
(na)b = n(ab)=nab
Sollte einer dieser Vektoren ein axialer Vektor (siehe oben), also eine Plangröße (von Plan oder auch Fläche) sein, so kann das skalare Produkt als Volumen (Rauminhalt) interpretiert werden.
Das skalare Produkt kann auch verschwinden, obgleich keiner der beteiligten Vektoren Nullvektor ist. Dies ist eine besondere Eigenschaft dieser Produktart.
Dazu schauen wir nochmals nach oben und sehen auf die Winkelfunktion. Ist der eingeschlossene Winkel ein rechter Winkel, so ist der cosinus dieses rechten Winkels stets Null, damit wird dieses sklare Produkt ebenfalls Null.
Folglich stehen beide beteiligten Vektoren senkrecht aufeinander.
Diese Bedingung heißt auch Orthogonalitätsbedingung und wird mathematisch angeschreiben mit:
ab = 0, wobei a # b und cos (a,b)=0
Sind 2 Vektoren parallel, so ist der cosinus 1 und es gilt:
ab = ab, welches damit als Quadrat oder Rechteck zu verstehen ist.
skalares Produkt im rechtwinkligen Koordinatensystem
Diese 4 Gleichungen stehen für die Orthogonalitätsbedingungen
ei ek = 0 (für alle i # k)
i j = j i = 0
j k = k j= 0
k i = i k = 0
Diese 2 Gleichungen sind Normierungsbedingungen
ei ek = 1 (für i=k)
i i = j j = k k = 1
für alle der oben angeführten Gleichungen (Ortho und Normierung) gilt: i,j,k = 1,2,3 sowie
e1 = i; e2=j, e3=k
Mit dieser Kenntnis kann dieses System vereinfacht dargestellt werden. Dazu bedient man sich des Kronekersymbols
Mit Hilfe dieses Gleichungssatzes können wir die Komponentendarstellung des skalaren Produkts darstellen. Dieses muß auf Grund seiner Definition ( ab cos(a,b) ) invariant sein gegenüber linearen Koordinatentransformationen.
Soll heißen:
Das skalare Produkt ist seinem Wert nach unabhängig vom Bezugssystem.
Es gilt für beliebige Dimensionen die Summenschreibweise:
Die zugehörigen Komponenten sind:
Wir können auch schreiben:
ax=a i, ay = a j, az = a k
bx=b i, by = b j, bz = b k
Für das skalare Produkt von ab folgt:
Damit zeigt unser Beispiel mit der Arbeit Ks, daß sich diese als aus additive Größen zusammengesetzt gedacht werden kann:
Wir haben darin:
- 3 Beträge der Arbeit (aus den zugehörigen Koordinaten)
- 3 Kräfte Kx, Ky, Kz
Im kartesischen System stehen diese Kräfte senkrecht zueinander. Soll heißen: sie sind linear unabhängig; nur diese Kraftkomponenten sind für die geleistete Arbeit verantwortlich.
Im schiefwinkligen System ist das nicht der Fall.Wollen wir die Kräfte wiederum als unabhängig betrachten, so müssen wir uns auf ein reziprokes Achsensystem beziehen, welches die Voraussetzung erfüllen muß, daß dieses dann ein kartesisches System ist.
2.1.3.2 Produktart 1: Das vektorielle Produkt im 3-dimensionalem Raum
Das Vektorprodukt, auch äußeres Produkt genannt ergibt einen neuen unabhängigen Vektor. Dieser steht senkrecht auf den beiden Originalvektoren. Dabei können wir festhalten:
Die Originalvektoren a und b spannen eine Fläche auf und sind damit Planvektoren. Der neue Vektor, ich nenne diesen c, ordnet sich mit seinem Durchlaufsinn dem Rechssystem unter.
Schraubensystem "rechte Hand Regel". Daumen sei Vektor a, Mittelfinger Vektor b, rechte hand dreht sich rechts herum, dann zeigt der Zeigefinger die Richtung des Vektors c.
wir schreiben das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt:
a x b = c
Mit unserer Erkenntnis des Planvektors ergibt sich damit auch:
a x b = a b sin (a,b)
Vorsicht: hier steht tatsächlich der sinus und nicht sein Bruder cosinus! Eine Herleitung:
Malen wir eine Raute. Sei die linke Seite Vektor b, die vordere Seite Vektor a. Die Höhe h ergibt sich von der Spitze des Vektors b auf den Vaktor a, auf dem diese Höhenlinie senkrecht steht. Damit:
h= b sin (a,b)
Die Fläche F einer Raute oder Paralellogramm: Grundlinie mal Höhe
F = a h
Damit ist die Fläche ein Skalar, besser ein axialer Vektor.
Beispiele dazu: Drehmomente, Feldgleichungen (Poyntingvektor S=ExH)
Gesetzmäßigkeiten:
kommutatives Gesetz:
a x b = b x a ungültig, da sich die Vektorrichtung von c ändert
Wir dürfen aber schreiben:
a x b = - b x a aber so ganz scharf ist das nicht, aber zumindest halbherzig in Ordnung.
distributives Gesetz
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
assoziatives Gesetz
(na) x b = a x (nb) = n (a x b) = na x b
Kollinearitätsbedingung:
ist a || b, dann ist a # 0 bzw b # 0 heißt: der eingeschlossene Winkel nimmt den Wert 0° an
Damit wird a x a = b x b = 0
Die Einheitsvektoren mit ihren Kreuzprodukten
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
i x i = j x j = k x k = 0
Diesen Zusammenhang kann man auch in einem Einheitsvektoren Kreis darstellen:
Anfang oben mit i, Kreis linksrum auf 120° j, auf 270° k
Vektorprodukt zweier Vektoren stets positiv, wenn man dem Kreis links rotierend folgt, bei Rechtsrotation: negatives Vektorprodukt.
a x b = (ax i + ay j + az k) x (bx i + by j + bz k) = (ay bz - az by) i + (az bx - ax bz) j + (ax by - ay bx) k)
Das wir können wir mit einer symmetrischen Matrix -so etwas nennt man dann Determinante- niederschreiben:
2.1.3.2 Produktart 1: Das vektorielle Produkt im vieldimensionalem Raum
Als erstes eine Vorbemerkung nochmals zur skalaren Multiplikation:
Es können beliebig viele Vektoren miteinander skalar multipliziert werden, immer wird ein Skalar als Ergebni herauskommen. Deshalb gehe ich auf multidimensionale Skalarmultiplikation nicht tiefer ein, dieses Thema ist durch.
a (b x c) dieses wird gemischtes Produkt genannt
2.1.3.2.1 Das gemischte Vektorprodukt
Während das skalare Produkt zweier Vektoren eine Volumengröße ergibt (wenn einer der beiden Vektoren eine Plangröße darstellt), ist dieses in gemischten Produkten immer der Fall.
a (b x c) = abc cos (a, bxc) sin (b,c)
Damit wird mit Hilfe des Kreuzprodukts ein dritter Vektor, der senkrecht auf der Fläche gebildet durch die am Kreuzprodukt beteiligten Vektoren errichtet. Das Ergebnis ist ein Volumen, da das Gebilde aber auch schief liegen kann -das zeigt ja auch der Winkel zwischen den Vektoren- spricht man dabei vom Spatprodukt.
Die Projektion des Vektors a auf den durch das Vektorprodukt neugebildeten Vektor b x c an der z-Achse ergibt die Höhe h des Spats.
h = a sin (a,h)
a (b x c) = b (c x a) = c (a x b) = V
genaus so gilt:
(b x c) a= (c x a) b= (a x b) c= V
Für ein gemischtes Produkt gilt die Vertauschbarkeit der beteiligten Terme. Aus diesem Grund läßt sich ein gemischtes Produkt mit Hilfe eines besonderen Symbols anschreiben:
a (b x c) = [abc] = V
Bei der Auswertung dieses Symbols wird jedoch eine vorgegebene Reihenfolge eingehalten:
1. Vektormultiplikation
2. Skalarmultiplikation
Grund: Wäre diese Regel nicht existenz, gäbe es auch eine Vektormultiplikation mit Vektor und Skalar! Diese ist bekanntlich ausgeschlossen, heißt: nicht existent.
Die Reihenfolge ist zyklisch vertauschbar auch wenn das Vorzeichen sich ändert (siehe Kreisregel oben):
[abc] = [bca] = [cab] = V
-[abc] = -[bca] = -[cab] = V
Aufgrund dieser Vorzeichenänderung wird dies skalare Produkt auch Pseudoskalar genannt.
Die exaktere Formulierung, der mathematische Grund, ist:
Dieser Pseudovektor besteht aus einem polarem und einem axialen Vektor und besitzt damit Tensor Eigenschaften. Es ist die einzig übrig gebliebene Komponente eines entarteten Tensors 3. Stufe
Komplanaritätsbedingung
Sind die Produktvektoren von Null verschieden, kann das Produkt trotzdem Null ergeben. Dann liegt die Bedingung vor, daß alle Vektoren in einer Ebene liegen.
[abc] = 0
Meist jedoch:
[aab] = 0
In Einheitsvektorschreibweise folgt
Mit dieser Erkenntnis gewinnen wir das Volumen des Einheitswürfels.
Komponentendarstellung
a = ax i + ay j + az k
b = bx i + by j + bz k
c = cx i + cy j + cz k
b x c = ( by cz - bz cy ) i + ( bz cx - bx cz ) j + ( bx cy - by cx ) k
a (b x c) = ax ( by cz - bz cy ) + ay ( bz cx - bx cz ) + az ( bx cy - by cx )
Und die zugehörige Determinante ist:
[abc] =
Bilden die Vektoren, wie ich voraussetzte, in der Reihenfolge [abc] ein Rechtssystem, so ist die Determinante positiv, wird diese Reihenfolge vertauscht, ist sie negativ.
2.1.3.2.2 Reziproke (Duale) Vektorsysteme
Zurück zum schiefwinkligen Koordinatensystem!
Stellen wir einen Vektor v in diesem System auf:
Die Komponenten
[va2a3]=x^1 [a1a2a3]
[va3a1]=x^2 [a1a2a3]
[va1a2]=x^3 [a1a2a3]
v kann auch in folgender Form dargestellt werden:
In einem kartesischen System wird angeschrieben:
v = (vi) i + (vj) j + (vk) k
Wie weiter oben ausgeführt beruht dieses darauf, daß im KS (kartesichen System) die Vektorprojektionen auf die Koordinatenachsen fallen. Diese Darstellungsweise ist verwandt zu der des Vektors v im SS (schiefwinkligen System ).
Diese Verwandtschaft nutzen wir und schreiben hin:
Damit darf man dann anschreiben:
Wir dürfen in diesem Ausdruck substituieren:
i = a1; j = a2 ; k = a3
Auch folgt auf Grund "Markierung A" in Verbindung mit "Markierung B"
Damit geht "Markierung C" über in:
v = xí + yj + zk = (vi) i + (vj) j + (vk) k
Das Gleichungssystem "Markierung B" enthält 3 Vektoren mit oberer Indizierung. Das unterscheidet dieses System vom ursprünglichen mit unteren Indizes. Wir definieren hiermit ein neues Vektorsystem, das Achsen besitzt, welche auf denen des ursprünglichen Vektorsystems senkrecht stehen.
Dieses neue Vektorsystem wird deshalb reziprokes Vektorsystem oder auch duales Vektorsystem genannt.
Das ursprüngliche Vektorsystem steht zu diesem neuen Vektorsystem in einer reziproken Verhältnis, wie ich noch zeigen werde. Ergeben hat sich dieses Vektorsystem durch die Anwendung eines schiefwinkligen Koordinatensystems.
Reziprokes Vektorsystem: weiterführende Erläuterungen
Der Vektor v wird in Komponenten zerlegt:
Unter Anwendung von "Markierung C" wird aus der letzten Beziehung:
[a1a2a3] v = x1 [a2 x a3] + x2 ( a3 x a1) + x3 (a1 x a2 )
Und damit geht "Markierung D" über in:
Im Vergleich sieht man, daß
Auch kann damit die Kroneckerbeziehung untermauert werden:
Da dieses Vektorsystem für i sowie k den gleichen Wert 1 animmt, sind beide Indizes al i bzw. k gekennzeichnet. Damit wird gefordert:
Dieses System ist reziprok bzw. dual zu "Markierung B".
Damit sind aber auch:
als aufgespannte Räume reziprok. Ersetzen wir statt der
Diese Gleichheit der Einheitsvektoren reziproker Systeme ist nur dann vorhanden, wenn beide beide Systeme orthogonal Basen besitzen.
Ein anderer Begriff für reziprok heißt kontragredient.
Auch in der Wissenschaft ist man "Gepflogenheiten" unterlegen. So wird -aber nur aus diesem Grund- das System, auf welches eine Verschiebung bezogen wird als kontravariant (Index oben) betitelt.
Das zum kontravarianten System reziproke System heißt kovariantes (Index unten) System
2.1.3.2.1 Das dreifache Vektorprodukt
v = a x ( b x c )
Dieses dreifache Vektorprodukt bildet den Produktvektor in der durch b und c aufgespannten Ebene ab! Gleichzeitig bedeutet das, daß sich der Produktvektor v mit den Komponenten b und c darstellen läßt:
Wie sehen die Skalarkoeffizienten
Es ist, hoffe ich, an dieser Stelle doch klar, daß der Vektor v auf ein schiefwinkliges Koordinatensystem (KS) bezogen ist. Gerade eben habe ich über die reziproken Vektoren gesprochen und darauf greife ich jetzt zurück. Dieses schiefwinklige, aber ebene (keine gekrümmten Vektoren!) KS wird von den Vektoren b und c gebildet sowie durch einen Einheitsvektor e , der senkrecht auf dieser Ebene steht (Kreuzprodukt von b mit c) ergänzt. Es gilt dann folgerichtig:
Die reziproken Vektoren werden mit einem oben-Index Stern visualisiert. Für b und c kann dann wie folgt angeschrieben werden:
Wir erhalten die Koeffizienten, indem wir die Urgleichung -Markierung E- mit den reziproken Vektoren multiplizieren. Dabei muß ich auf die Gesetze der Vertauschung des gemischten Produkts aufmerksam machen. Diese dürfen nicht in Vergessenheit geraten.
Wird der Winkel zwischen a und b größer als 90°, so wird das skalare Produkt negativ,
damit
In verkürzter Anschrift kann das dreifache Vektorprodukt wie folgt dargestellt werden:
Entwicklungssatz des dreifachen Vektorprodukts:
a x ( b x c ) = ( a c ) b - ( a b ) c
Achtung: die Klammern sind wesentlich. So wird z.B.
( a x b ) x c = ( a c ) b - ( b c ) a
2.1.3.2.2 Das vierfache Vektorprodukt
a) das skalare vierfache Vektorprodukt
Ich schreibe ein solches vierfaches Vektorproduk hin:
Was eigentlich haben wir hier? Teilen wir dieses Produkt auf, und substituieren das hintere Vektorprodukt mit seinem Ergebnis, dessen Ergebnisvektor ich einmal E (Ergebnis) nenne, dann wird aus dieser Vektorgleichung:
Damit haben wir eine Gleichung, die wir bereits kennen. Ergo:
Folgend dem oben erklärten Entwicklungssatz des dreifachen Vektorprodukts lautet der Entwicklungssatz des vierfachen Vektorprodukts:
Diesen benutze ich in dem zu Beginn des Kapitels angeschriebenen vierfachen skalaren Vektorprodukt:
Schauen wir auf diese skalar Multiplikations Differenz, so erkennen wir: (Diagonale lo - ru) - (Diagonale ro - lu) daß dieses eine Determinante ist. Deshalb können wir das skalare vierfache Vektorprodukt eleganter fassen:
a) das vektorielle vierfache Vektorprodukt
Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht? Deshalb bedienen wir uns des Gesetzes, daß wir bereits mehrfach angewandt haben und genau das habe ich hier gemacht. Der Unterschied: statt mittiger skalarer Multiplikation erfolgte eine mittige vektorielle Multiplikation. Dann zerlege ich die Terme und substituiere c x d = E:
Wir können aber auch folgendermaßen substituieren: a x b = F. Führen wir das durch:
Die beiden Lösungen sehen verschiedenartig aus, jedoch: wir sind stets von der gleichen linken Seite ausgegangen. Soll heißen: beide Lösungen müssen identisch sein und damit darf ich beide Lösungen gleich setzen. Also mache ich das:
Was steht denn da? Da steht, daß 4 Vektoren folgendes tun:
1. jeweils 2 davon nämlich a und b sowie c und d spannen ene Ebene auf. Beide Ebenen sind unterschiedlich, jedoch haben sie einen gleichen Fußpunkt, nämlich denjenigen, von dem aus alle 4 Vektoren ausgehen: den Nullpunkt des Koordinatensystems. Die beiden Ebenen liegen mit ihren Winkeln schief in einem rechtwinkligen KS. Die Vektoren E und F stehen jeweils zugehörend auf ihren zugeordnenten Vektoren senkrecht. Soll heißen:
2. E steht senkrecht auf c und d sowie F senkrecht auf a und b steht. Es wird in Folge dieser Multiplikation eine neue Ebene, gebildet aus den Kreuzproduktvektoren E und F gebildet. Diese Ebene steht schief im Raum, wobei jeder Achsenvektore -ich wiederhole mich!- senkrecht auf den entsprechenden Grundebenen steht.
Damit läßt sich sagen: im dreidimensionalen Raum sind stets nur 3 Vektoren linear unabhängig. Über diese letzte Gleichung, die nichts anderes als den Summennullvektor aller 4 Terme beschreibt ist dieses sichergestellt.
Aber
Die Vektoren a, b, c bilden ein schiefwinkliges Bezugssystem. Darauf bezogen wird der 4. Vektor d in seine Komponenten zerlegbar sein. Wir können gemäß der Zerlegung, die ich im Kapitel über das dreifache Vektorprodukt erklärt habe schreiben:
Der erste Teil ist fertiggestellt. Es mag sein, daß das ein oder andere noch dazu kommt, im Wesentlichen ist aber alles in Kurzfassung erklärt, was notwendig ist um das Tensorkalkül verstehen zu können.