Vom Vektor zum Tensor (Diskussionsordner)

[wilfried]

Liebe Freunde

ich habe den Eindruck, es wäre für einige ganz hilfreich hier eine kleine Einführung der Tensor Rechnung zu geben.

Da dies ein größeres Kapitel werden wird, bite ich von Beginn an folgendes zu berücksichtigen:

1. Ich werde dieses Kapitel in meine Antwort auf diese Ankündigung schreiben. Und nur darin.
Das hilft, die Übersicht zu bewahren. Ich werde versuchen dieses Thema zu strukturieren und eventuell auch kleine Aufgaben stellen und diese natürlich mit ihrer Lösung darlegen.

2. Die Diskussion des Tehmas erfolgt auf unserem normal üblichem Wege, jedoch werden die Antworten knapp bemessen werden (aller Voraussicht nach), denn die Punkte werden in diesem Kapitel geschrieben.

3. Ihr habt damit den kleinen Nachteil -ich denke aber, dieser wird nicht gravierend sein- daß ihr halt blättern müßt und Antworten sich auf Kapitel bzw. Absätze beziehen können.

4. An diejenigen unter Euch, die sich hier aktiv beteiligen möchten sei gesagt: herzlich eingeladen!!

5. @ Werner: ist es eventuell möglich, daß dieser Beitrag auch von anderen editiert werden kann. Ich kann mir vorstellen, daß Tom oder Al gerne ihre Kapitel auch hier hineinstellen wollen und ich möchte gerne die Strukur erhalten wissen. Oder wie können wir dieses organisieren?

Wenn Frage 5 beantwortet ist, lege ich/wir los.

Ich stelle diese einmal unter die Überschrift:

Vom Vektor zum Tensor

Ziel ist es:
daß hier im Forum auf hoffentlich verständliche Weise der Begriff des Tensors erläutert wird.

Diese Abhandlung ist für alle diejenigen gedacht, die als Einsteiger mit Oberstufenwissen Vektorielle Analytische Geometrie VAG vertraut gemacht werden. Es ist und wird kein Lehrbuch sein. Aber es wird eine Menge an Stoff beinhalten, der das Verständnis der Handhabung von Skalaren, Vektoren, Tensoren vertiefen sollte.

Ziel ist es nicht:
Komplizierte Tensorik darzustellen, diese wird zu einem späteren Zeitpunkt ein weiterführendes Thema sein.

Seid ihr mit dieser Idee einverstanden oder habt ihr andere Vorstellung?

Netten Gruß

Wilfried

[wilfried]

Ich habe diesen Beitrag hier gelöscht, da Werner meine Serie in ein eigenes Kapitel gestellt hat und ich diese dort weiterpflege.


Vom VEKTOR zum TENSOR

Ein Kompendium zu den Grundlagen der Tensorrechnung



Gruß
Wilfried

[Maclane]

Super Thema, Wilfried.

Das interessiert mich auch.

Aber ich wollt dich nicht unterbrechen. Mach mal weiter.

Gruß Mac

[tomS]

Ich habe den Eindruck, dass du gerade auf dem Weg vom Skalar zum Vektor bist. Bin auf den Dreh' zum Tensor sehr gespannt :-)

[wilfried]

Lieber Tom und McLane

ich habe ein Riesenproblem mit meinem Server ... und mit TEX.
Das Server Problem werde ich erledigen können. Ich habe jetzt meinen ganz alten DSL router geholt, der etwas moderne ist kaputt!!

Ich habe deshalb den Beginn einfach mit "senden" gestartet. Bitte keine Ungeduld!! Ich werde das schon richtig machen ... hoffe ich.

Aber Du kannst mi eine Hilfe geben:

wie schreibe ich mit TEX Vektoren, Indices (oben/unten). Tät mir das Leben einfacher machen, wenn Du mir diese kryptischen Klauseln schreibst.

Aber: Ja ich bin vom Skalar zum Vektor, ich werde das Verständnis über die Eigenschaften des Transformationsverhaltens, polarer Vektor, Dyade usw. aufbauen.

Und das dauert seine Zeit, denn ich muß mich um meine Studenten kümmern (sonst jammern die...) und ich muß meinen Rouer wieder reparieren oder gar neu kaufen und installieren und ich muß diesen Beitrag schreiben...alles in allem Arbeit und für Euch Geduld

Bis dann netten Gruß

Wilfried

[Xathan]

Vektorbeispiel:




Indizes:




So lieber Wilfried, hab dir die geforderten Befehle mal rausgesucht.
Ein Vektorpfeil zeichnest du mit \vec{Vektorname}. Alles in {} bekommt den Pfeil [Beispiel 2].
Einen Index oberhalb erzeugst du mit dem Zeichen ^ gefolgt vom Hochindex. Sollten mehrere Sachen im Hochindex stehen, kommen nach dem ^ wieder {}, die alles einklammern, was hochgestellt werden soll. Das Gleiche gilt für tiefgestellte Indizes mit _ und ggf. wieder mit {}.
Bei einzelnen Indizes reicht einfach r^2 für r² und r_2 für .

Hoffe doch, dass ich dir helfen konnte.

[tomS]

Möchtest du die abstrakte Indexnotation

Code: Alles auswählen

T^{\mu\nu}

oder die explizite Notation mit Klammern und Komponenten

Code: Alles auswählen

\left(\begin{eqnarray}a & b & \cdots & 0 \\ \vdots & & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & z \end{eqnarray}\right)

[Koschi]

Aber: Ja ich bin vom Skalar zum Vektor, ich werde das Verständnis über die Eigenschaften des Transformationsverhaltens, polarer Vektor, Dyade usw. aufbauen.

Ich finde es gut das du da einsteigst dann komme ich auch mit.

[AlTheKingBundy]

Vor dem interessanten Start der Thematik noch eine kurze Anmerkung. Auch Skalare und Vektoren sind Tensoren, streng mathematisch gesehen

[wilfried]

Tag zusammen

Euch allen Danke für die Bemerkungen / Anmerkungen und auch für die Hilfestellungen TEX!! Ich bin kein TEXer, das ist völliges Neuland für mich. Wahrscheinlich werde ich noch manchmal nachfragen, aber im Zug der Übung wird das schon.

Was ich noch zu sagen hätte...


Sollte jemand nicht mehr mitkommen oder Nachholbedarf bestimmter Kapitel haben, bitte melden und das Verständnisproblem möglichst präzise beschreiben. Was dann getan werden kann, entscheidet der Einzelfall.

Netten Gruß

Wilfried

[wilfried]

Tag zusammen

kleine Zwischenfrage so nach etwa 1/4 des Weges:

Kommt ihr soweit mit, sind die Erklärungen in Ordnung oder muß ich das ein oader andere besser erläutern?

Gruß

Wilfried

[Koschi]

Der erste Teil war klar. Den 2ten Teil muß ich mir mal in aller ruhe durchlesen ist ja bissi was.

Gruß Koschi

[wilfried]

Vom VEKTOR zum TENSOR


Ich habe diesen Beitrag hier gelöscht, da Werner meine Serie in ein eigenes Kapitel gestellt hat und ich diese dort weiterpflege.


Gruß

Wilfried

[wilfried]

Tag zusammen

ich möchte eine Info geben über das, was ich in dieser Serie einbringen kann und frage Euch, ob ihr das gerne hättet.

Im Falle nein: wird mein Beitrag die Eigenschaften eines Tensors fertigstellen und das wärs.

Im Fall ja kann ich folgende Kapitel darüber hinaus anbieten (grobe Gliederung):
(Bitte beachten: auch wenn einige Überschriften aus der Vektorrechnung her bekannt sind, hier wende ich diese allgemeiner an!)

A) Bezüglich Grundlagen als Weiterführung des laufenden Kapitels

- Hauptachsentransformationen
- Ebenendarstellungen
--- Ebene durch drei Pumkte
--- Die Hesse'sche Normalenform
- Drehung des Koordinatensystems
- Determinanten
- Theorie der Kristallgitter (wenn Bedarf bzw. Intresse besteht)
- der Spannungstensor

B) Höhere Tensor Analysis

- Differentiation von Vektoren und deren Produkte
- Vektordiffrential Operationen / Integralsätze
---dazu gehören z.B.: gradient, divergenz, rotation, Green'sche Sätze,

C) Vektordifferentialoperationen in höherdimensionalen Räumen

- krummlinige Koordinatensysteme
- dazu gehören:
--- kovariante / kontrravariante Systeme
--- euklid'sche und nicht-euklid'sche systeme
--- das absolute Differential
--- geodätische Linien
--- Christoffel Indizierungen

D) Tensoranalysis

- Differential Invarianten
-- die kovariante Ableitung
---- Krümmungstensor
---- Allgemeine Relativitätstheorie
---- Feldgleichungen der Gravitation (Traditionelle Ansätze..die modernen Ansätze führen sehr sehr
weit über die Möglichkeiten einer einigermaßen geschlossenen Darstellung hinaus. Vielliecht einmal später dazu mehr..oder von Tom?)

---- Planetenbewegungen
---- Erhaltungssätze

Und dann bringe ich Beispiele zu manchen Kapiteln. Denkbar sind:
- Trägheitstensor
- Maxwell Gleichungen
- Hertz Dipol
- Maxwell Spannungstensor

Es liegt an Euch, zu entscheiden inwieweit das Interesse da ist. Wäre sehr schade um die viele viele Arbeit, die es kostet dieses hier im Forum in komprimierter, aber doch -so hoffe ich zumindest- aufbauender Art (von der Schulmathematik zur universitären Mathematik) nachvollziehbaren Weise aufzubereiten.

Ich schätze einmal, daß die Erstellung aller Kapitel gewiß zwischen 1/2 und 1 Jahr dauern wird.

Somit die Schlußfragen:

a) wollt ihr das?
b) ist das bisher dargestellte (Baustelle ist natürlich Teil 2) für Euch nachvollziehbar und verständlich?
c) Sind Lücken vorhanden, so daß ich Euch "nicht mitgenommen" habe? Wenn ja: wo liegen die Verständnisprobleme?

Netter Gruß

Wilfried

[tomS]

Wow, da hast du dir ja einiges vorgenommen.

Ich halte das alles für sehr sinnvoll, würde dir jedoch vorschlagen, sehr frühzeitig konkrete Beispiele zu bringen (auch wenn diese dann noch nicht mathematisch untermauert sind), um die Zielsetzung / Idee / physikalische Motivation rüberzubringen.

Folgende Tensoren inkl. ihrer Bedeutung würde ich diskutieren:
- Metrik
- Vierbein (kein Tensor, aber wichtig!)
- Tensor (Matrix) der Lorentz-Trafo
- Energie-Impuls Tensor
- Riemannscher und Weylscher Krümmungstensor
- Ricci-Tensor (sowie Ricci-Skalar)

Gruß
Tom

[wilfried]

Tag Tom

danke für Deine prompte antwort.

Das ist schon wahr, daß das eine menge Tobak ist, aber ich bin eh dran einiges für meine Studis aufzubereiten und so ist diese Arbeit zwar immer noch mächtig, aber machbar.
Und es macht ja auch Spaß, Voraussetzung ist aber ganz klar:
das Interesse einer doch signifikanten Anzahl an Forenmitgliedern, sonst mache ich mir diese Mühe nicht.

Zu Deinen Beispielen sei zu sagen:

a) ja, das sind sehr brauchbare Beispiele
b) nein, ich bringe diese nicht in meine Abhandlung
c) das isnd Themen, die ich als Zusatz Themen lieber eigenständig, aber unter dieser Rubrik einzubringen sehe.

Zur Begründung von c)

ich möchte mich bemühen einen sagen wir Leitfaden zur Tensorrechnung zu bringen. Soll ein Lehrbuch nicht ersetzen, kann es auch nicht, soll aber den Tensorbegriff aus der "Voraussetzung Abitur Naturwissenschaft Leistungskurs"
(da ist schon Realismus angesagt, denn ohne Abi LK kann dieser Stoff wirklich nicht verstanden werde, bei allem guten Willen, das ist total unrealsitisch).
etwas verständlicher, nachvollziehbarer darstellen.

Die Beispiele habe ich vor (im Detail habe ich noch nicht allzuvie darüber nachgedacht) in einen eigenen oder in mehrere eigene Beiträge einzupflegen, eben um die Kontinuität der mathematischen Lehre nicht zu stören.

Aber mal sehen, vieleicht ändere ich ja meine Meinung darüber noch.

Gruß

Wilfried

[tomS]

Hallo Wilfried,

zu c) hast du absolut recht; es ist besser, dies separat darzustellen; es sollte aber parallel erfolgen, wobei du (man) dann auf den Haupt-Thread verweisen kannst.

Tom

[wilfried]

Tag Tom

die Beispiele werde ich dann bringen, wenn ein Thema fertiggestellt wurde inkl. der Korrekturen.

Danach kommt dann das nächste Thema. Für die Referenzierung muß ich mir noch etwas ausdenken. Ich bin uauch noch unzufrieden mit tex, so ganz gewöhnt habe ich mich noch nicht dara. ich hätte gerne eine Nomenklatur für die Gleichungsnummern. Dann wäre auch eine Referenzierung einfacher.

Du bist aber auch eingeladen Dich hier zu beteiligen. Du hast ja, so wie ich das beurteile ein sehr tiefes Fundament der Mathe und Physik. Sollen wir uns, Voraussetzung: wenn das Forum Interesse signalisiert (wir beide müssen uns nicht mehr gegenseitig "einlernen") diese Arbeit aufteilen?

Gruß

Wilfried

[wilfried]

Lieber tensor

das mache ich gerne. Das dauert aber noch einige Zeit, ich werde das Schritt für Schritt entwickeln.
Du wirst dann Ricci Tensor, Ricci Skalar, Riemann tensor, Einstein Tensor kennenlernen.

Danke für Deine Info und leiben Gruß

Wilfried

[gravi]

Fantastisch, was hier im Forum geboten wird!
Da kann man nur den Hut ziehen

Eines Tages drucken wir das alles aus und machen noch ein Buch daraus...



Gruß
gravi

[Maclane]

Wunderbar, lieber Wilfried!

Ganz unbekannt sind mir die Krümmungstensoren und der Einstein-Tensor zwar nicht, aber ich werde durch Deine Ausarbeitungen sicher einige interessante Aspekte zusätzlich in Erfahrung bringen können.

Ein größeres Lob kannst du nicht kriegen, Wilfried!

Ich freu mich auch drauf und hoffe, dass ich den Ausführungen halbwegs folgen kann. Und wenn nicht... man muss ja nicht alles auf einmal verstehen...

Gruß Mac

[wilfried]

Liebe Freunde

Danke für eure netten Worte, die gehen runter wie ein Bier am Abend!

Ich werde alle Punkte berücksichtigen, auch das Vierbein, das Dreibein habe ich ja bereits im Teil 1 angesprochen.

@Werner:

Darf ich Dich um eine ungewöhnliche Maßnahme bitten:
Damit ich selber den Überblick behalte (ich muß twangsläufig zwischen den einzelnen Kapiteln hin und her springen, wegen referenzeriung, Schreibweise etc) wäre es mir in diesem Fall sehr lieb, wenn Du für meine Artikel in diesem Ordner einen Unterordner einbaust und die beiden Beiträge Teil 1 und Teil 2 dorthin kopierst.

Vorteil die Artikel und die Diskussion sind getrennt, was in diesem Fall die Ordnung und für den Überblick deutlich verbessert. Auch haben die Forenteilnehmer den Vorteil, daß sie dei Beiträge als geschlossene Sektion vor Augen haben. Macht auch deren Navigation leichter.

Ich bednake mich noch einmal für Euer Interesse, bitte Euch aber auch um Geduld, da das Schreiben eine Menge Zeit kostet. Aber ich bleibe dran!

Gruß

Wilfried

[Maclane]

Also ich hab mir den neuen, großen, überarbeiteten Beitrag von Wilfried durchgelesen. Ich bin bis zu einem gewissen Punkt auch mitgekommen.
Was ich jetzt aber wirklich schön fände, wäre wenn die Tensorrechnung mal an einigen konkreten Beispielen und Zahlen erläutert würde. Also im Prinzip einfach mal die Frage beantworten: Was kann man mit Vektoren und Tensoren alles machen? Wofür benutzt man die Tensorrechnung alles? Nur bei der Beschreibung schwarzer Löcher oder gibt es auch einfachere, naheliegendere Anwendungen?

Wenn man mal ein einfaches und vielleicht noch ein mittelschweres Beispiel hätte, könnte man das Ganze mit Hilfe von Wilfrieds Ausführungen vielleicht noch besser nachrechnen und nachvollziehen.

Nur mal so eine Idee.

Gruß Mac

[wilfried]

Tag zusammen

Was ich jetzt aber wirklich schön fände, wäre wenn die Tensorrechnung mal an einigen konkreten Beispielen und Zahlen erläutert würde. Also im Prinzip einfach mal die Frage beantworten: Was kann man mit Vektoren und Tensoren alles machen? Wofür benutzt man die Tensorrechnung alles? Nur bei der Beschreibung schwarzer Löcher oder gibt es auch einfachere, naheliegendere Anwendungen?

Wenn man mal ein einfaches und vielleicht noch ein mittelschweres Beispiel hätte, könnte man das Ganze mit Hilfe von Wilfrieds Ausführungen vielleicht noch besser nachrechnen und nachvollziehen.

genau das habe ich vor und werde auch Beispiele bringen. Nur bitte habt ein wenig Geduld, denn:
a) ich bereite zunächst die Mathematik bin hin zu einem gewissen Punkt vor...kostet Zeit ... für Euch Geduld
b) die Beispiele werde ich in einem eigenen Ordner anlegen, wie gravi das mit "meinem" Ordner vorexerziert hat.

Zum gewissen Punkt

Ich werde im aktuellen file noch folgende Unterkapitel fertig schreiben:

- Symmetrieaspekte
- Einheitstensor & reiproker Tensor
- Hauptachsentransformation
- Invarianten des Tensors

Dann folgen Beispiele

Diese Beispiele werden aus der geometrie sein:
- Kegelschnite
- Drehungen von Koordinatensystemen
- Drehungen starrer Körper
- Kristallgitter
- Spannungstensor

Danach wird es in die Vektoranalysis gehen ...

Ist das so in Ordnung?

Zeitbedarf zur Fertigstellung des Theorieteils, sag ich mal spätestens Jahresende, vieleicht auch etwas früher, so daß spätestens im Januar eine der Packen "erste Anwendungen" kommt.

Weitere Anmerkung zu Beispielen:

Beispiele zu den Analysis Themen werden sein:

- das begleitende Dreibein (Tom hat das schon angesprochen ....Vierbein folgt entsprechend dem Theoriefortschritt später)
- Kepler Bahnen
- Trägheitstensor
- Elektromagnetisches Feld (induktion ect. aber ganz anders, als es die meisten von der Schule oder ihrer Vorlesung her kennen...es sei denn, sie haben spezial Vorlesungen im Diplomkurs oder in Doktorandenseminaren besucht...also hier wird es schon sehr anspruchsvoll)
- Maxwell Spannungstensor


So, mehr kann ich heute noch nicht sagen, wird sich auch mit der zeit entwickeln. Ich werde aber meinen Skizzen folgen, sofern nicht Veto eurerseits eingelegt wird.

Der zweite Hauptteil wird mit der Theorie etwa im Februar anfangen, im März hoffe ich die Anwendungen bringen zu können. Ich denke bis April, Mai wird dieses erledigt sein.

Und danach geht es dann -weiter ansteigendes Niveau- weiter mit
- vektoriellen Differentialoperatoren: grad, div, rot auch in höher dimensionalen Räumen
- die Tensoranalysis wird behandelt
aber das habe ich ja bereits alles angekündigt. Und das liegt auch für mich noch weit in der Zukunft, ist Futur II und ich habe mir bis lang noch kein Konzept für die Darstellungen zurechtgelegt und weiß auch noch nicht welche Beispiele ich hier bringe. Auf alle Fälle werde euren Wünsche berücksichtigt:
Tom: begleitendes Vierbein
Tensor: Krümmungsvektoren/Skalare (Ricci, Riemann, Einstein)

Aber das wird erst im Herbst 2009 nach meinem Urlaub passieren.

Ich hoffe ihr habt Verstndnis für diese Zeitplanung.

netten Gruß

Wilfried
-

[Maclane]

Wilfried, wenn du möchtest, dass in deinen Ausführungen nicht diskutiert wird, dann sperre deine Threads doch einfach. Als Moderator solltest du das können.

Gruß Mac