Unendlichkeiten in der Mathematik

[tomS]

Mir ist aufgefallen, dass wir hier immer wieder über ein endliches oder unendliches Universum diskutieren, aber nicht über den (die) Begriff(e) der Unendlichkeit in der Mathematik.

- es gibt z.B. unendlich viele natürliche Zahlen
- es gibt "genausoviele" rationale Zahlen wie natürliche Zahlen
- es gibt "mehr" reelle Zahlen
- es gibt "noch mehr" Funktionen, die die reellen Zahlen wieder auf reelle Zahlen abbilden

Dazu kommt die berühmte Cantorsche Kontinuumshypothese (u.v.a.m.)

[Maclane]

Mag schon sein, dass die Mathematiker beim Begriff Unendlichkeit Unterschiede machen. Wenn es ihnen ihre Arbeit erleichtert, warum nicht?

Nur das Universum ist entweder endlich oder unendlich. D.h. ich könnte dem Volumen oder der Ausdehnung eine Zahl zuordnen oder eben nicht.

Was mich aber mal wirklich interessieren würde, ist wie der Begriff der Unendlichkeit entstanden ist. Ich mein, irgendwer muss ja damit mal angefangen haben.
Weiß jemand, welche Kultur die Unendlichkeit als erstes benutzte - als Begriff oder als Schriftzeichen? Und wofür haben die das gebraucht?
Gerade in den alten Zeiten war doch alles, was der Mensch kannte oder beobachten konnte, endlich. Wie sind die denn dann auf die Unendlichkeit gestoßen?

Gruß Mac

[gravi]

Da stimme ich Mac zu, es wäre wirklich einmal interessant zu erfahren, wie man auf diese "Zahl" gekommen ist.

Und ich frage mich, ob sie überhaupt irgendwo eine praktische Bedeutung hat (Wilfried hat hier an anderer Stelle schon mal einiges erwähnt, vielleicht kennt aber jemand noch andere Anwendungen).

Gruß
gravi

[tomS]

Im Falle der Unendlichkeit scheiden sich die Geister.

Man unterscheidet im wesentlichen das "potentiell Unendliche" z.B. im Sinne eines Grenzwertes vom "aktual Unendlichen" z.B. im Sinne der Anzahl der natürlichen Zahlen = der Mächtigkeit der Menge aller natürlichen Zahlen.

Das "potentiell Unendliche" haben m.W.n. Mathematiker wie Euler, Gauß, Riemann und Weierstrass z.B. im Rahmen der (komplexen) Funktionentheorie relativ bedenkenlos verwendet. Auch heute spielt es in vielen Bereichen der Mathematik eine wesentliche Rolle (Analysis, Geometrie, Funktionentheorie, Differentialgleichungen)

Der Begriff des "aktual Unendlichen" ist der eigentlich interessante, da man hier eben auf unterschiedliche Unendlichkeiten stößt. So kann man die "Unendlichkeit als Anzahl der natürlichen Zahlen" mit der "Anzahl der reellen Zahlen" vergleichen - und man stellt fest, dass es "mehr reelle als natürliche Zahlen" gibt. Man stößt auf eine Hierarchie von Unendlichkeiten, jede echt größer als die andere, die wiederum unendlich weit reicht.

In diesem Zusammenhang muss der Mathematiker Cantor erwähnt werden, der als erster mit diesen Begriffen hantiert hat. Inzwischen sind sie in der abstrakten Mengenlehre allgemein akzeptiert.
Es gibt sogar Sätze über endliche Zahlen und Objekte, von denen beweisbar ist, dass sie ohne Verwendung dieser Unendlichkeiten nicht beweisbar sind, dass sie jedoch unter Verwendung dieser Unendlichkeiten einen endlichen Beweis (= eine endliche Buchstabenfolge mit mathematischen Ableitungen) haben.

Eine berühmte Fragestellung ist die Cantorsche Kontinuumshypothese. Nach Cantor ist (beweisbar!) die Anzahl bzw. Mächtigkeit der reellen Zahlen echt größer als die der natürlichen Zahlen. Vereinfacht ausgedrückt heißt dies, dass man die reellen Zahlen nicht zählen kann (die rationalen Zahlen, also Brüche, kann man zählen!).
Nun kann man sich die Frage stellen, ob man eine Teilmenge Z der reellen Zahlen R so konstruieren kann, dass sie einerseits immer noch mächtiger als die natürlichen Zahlen N ist, andereseits aber weniger mächtig als die reellen Zahlen R.
Im Falle von endlichen Mengen ist dies einfach. Man kann drei Mengen X={a,b,c}, Y={a} und Z={a,b} definieren, so dass Z zwar weniger mächig als X aber mächtiger als Y ist. Im Falle der reellen Zahlen ist dies nicht mehr so einfach möglich.
Man kann sogar den Begriff der expliziten Konstruktion fallenlassen und lediglich die Frage nach der reinen Existenz einer derartigen Menge Z stellen (so dass eine explizite Konstruktion evtl. nicht mehr möglich sein muss).
Gödel und Cohen haben bewiesen, dass im Standardsystem der Mengenlehre ZFC (= Zermalo-Fränkelsches Axiomensystem ZF plus Auswahlaxiom C; C für "axiom of Choice) die Frage nach der Existenz einer derartigen Menge Z unbeweisbar ist.
D.h. man kann werden beweisen noch wiederlegen, dass ein derartiges Z existiert bzw. dass es nicht existiert.

[breaker]

Da ist die Frage unausweichbar, ob die komplexen Zahlen noch mächtiger sind, als die reellen. Ist das so? Es gibt ja immerhin den Unterschied, dass man doe komplexen Zahlen nicht einmal ordnen kann.


Wenn man nicht beweisen kann, dass so ein Z von oben existiert, wäre es denn trotzdem möglich, eines zu konstruieren (oder durch Zufall zu finden)? Es gibt doch Aussagen, die nicht beweisbar und trotzdem wahr sind.

[msueper]

Hi,
die komplexen Zahlen sind sowas wie:

x_komplex = x_1 + i * x_2

was man auch als Tupel darstellen kann. Bildlich ist diese Menge eine Ebene, wenn die der reellen Zahlen eine Gerade wäre. Rein von der Anschauung her müsste die Zahlenmenge ums Quadrat größer sein. Sozusagen Unendlich^2.

Ein Vorschlag für ein Z wäre die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 2. Offensichtlich ist diese Menge kleiner, weil z.B. 3,1 nicht drinnen ist.

Die Zahlen bieten aber auch innere Unendlichkeiten: http://de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahl

[tomS]

Leider ist das nicht so einfach, denn man kann sehr leicht Abbildungen zwischen verschiedenen Intervallen / Mengen finden, die bijektiv sind, d.h. die jedem Element aus einer Menge genau ein Element aus der anderen Menge zuordnet und umgekehrt.

Zwei Beispiele:

1) Das Intervall ]-1,1[ und die reellen Zahlen ]-∞, +∞[ sind gleich mächtig.
Beweis: die Funktion f(x) = tan(πx/2) bildet die beiden Mengen aufeinander ab, d.h. jeder Zahl in ]-1,1[ entspricht genau eine Zahl in ]-∞, +∞[ und umgekehrt.

2) Das Intervall [0,1[ und das Quadrat [0,1[ • [0,1[ sind gleichmächtig.
Beweis: Man betrachte die Dezimaldarstellung einer Zahl P aus dem ersten Intervall und einer Zahl Q aus dem zweiten Intervall. Diese lauten
P = 0.ab...
Q = 0.xy...
wobei a,b,... und x,y,... jeweils Ziffern 0..9 sind.
Aus P und Q kann man eine neue Zahl R gemäß
R = 0.axby...
bilden, d.h. man mischt die beiden Ziffernfolgen von A und B ineinander
Umgekehrt kann man natürlich jede Zahl R in zwei Ziffernfolgen für A und B zerlegen.

Die Erkenntnis daraus ist, dass es die Größe eine Intervalls bzw. die Dimensionalität eines Raumes alleine noch nichts über die Mächtigkeit der zugrundeliegenden Menge aussagt.

Zur Cantorschen Kontinuumshypothese: Sie ist unbeweisbar, d.h. eine naive Konstruktion einer Menge mit den gewünschten Eigenschaften kann nicht funktionieren. Denn wenn man eine derartige Menge konstruieren könnte, dann wäre ja die Negation der Kontinuumshypothese bewiesen. Die Nichtkonstruierbarkeit einer derartigen Menge sagt umgekehrt rein gar nichts über die Kontinuumshypothese aus, denn es bedeutet nur, dass sie nicht explizit konstruierbar ist; man muss jedoch in der Mathematik davon ausgehen, dass Objekte existieren, die man nicht konstruieren kann.

Beispiel dazu:
Man zeigt zunächst, dass es mehr reelle als natürliche Zahlen gibt (das berühmte Cantorsche Diagonalargument).
Dann definiert man grob gesprochen konstruierbar als "algorithmisch berechenbar", d.h. eine Zahl ist dann konstruierbar, wenn es einen Algorithmus gibt, der sie beliebig genau darstellt. Z.B. kann man eine Zahl als Nullstelle einer geeigneten Funktion definieren und dann einen Algorithmus zur Nullstellensuche implementieren.
Nun kann man die Mächtigkeit der Menge aller Algorithmen betrachten. Dazu kann man vereinfachgt gesagt alle möglichen Computerprogramme auflisten und alphanumerisch sortieren. Damit hat man eine Zuordnung von Computerprogrammen zu natürlichen Zahlen.
Man kann beweisen, dass es "genausoviele Computerprogramme wie natürliche Zahlen gibt", d.h. man kann die Computerprogramme "zählen".
ALs erstes haben wir aber gezeigt, dass es mehr reelle als natürliche Zahlen gibt, dass man also die reellen Zahlen nicht zählen kann. Damit muss es also reelle Zalen geben, die durch kein Computerprogramm / keinen Algorithmus darstellbar sind.
Das Ergebnis ist sogar noch schlimmer: die Menge der so berechenbaren reellen Zahlen ist unendlich klein gegenüber der Gesamtheit aller reellen Zahlen. D.h. wenn man irgendwo auf der reellen Zahlengrade zufällig eine Zahl auswählt, dann ist sie mit der Wahrscheinlichkeit von 1 nicht berechenbar. Damit ist sie aber in gewisserweise nicht einmal mehr auswählbar, denn wie soll man eine Zahl auswählen, die man nicht beschreiben kann?

[breaker]

Das Thema ist interessant.
Ich hab vor kurzem in einem LA1-Buch gelesen, dass es immer möglich ist, eine Menge einer noch größeren Mächtigkeit zu konstruieren.
Wie geht denn das? Gibt es da sowas wie ein Bildungsgesetz? Wenn nicht die Dimension entscheident für die Mächtigkeit ist, was dann??

[tomS]

Ja, genauso geht das. Für endliche Mengen sieht das ganz einfach aus:

Man nehme die Menge



und konstruiere daraus die Potenzmenge



Im Falle von unendlichen Mengen mag das schwieriger sein, aber man kann doch einige Eingenschaften beweisen. Z.B. kann man zeigen, dass man die Potentzmenge der natürlichen Zahlen bijektiv auf die reellen Zahlen abgebildet werden kann, dass diese beiden Mengen also gleichmächtig sind.



Die Potenzmenge der reellen Zahlen ist wiederum gleichmächtig mit der Menge aller Funktionen, die die reellen Zahlen auf sich selbst abbilden.

Die Mathematiker haben dafür die Schreibweise



und



eingeführt.

Nun hat Cantor noch ein axiomatisches Argument gefunden, mit dem er formal eine Reihe derartiger Zahlen



definieren konnte, wobei jede Unendlichkeit echt größer ist als die vorhergehende. Das Problem ist, dass er diese formal definierten Unendlichkeiten und die über die Potenzmenge konstruierten Unendlichkeiten nicht miteinander in Beziehung setzen konnte. Er konnte also nicht angeben, ob seine zweite Unendlichkeit die der reellen Zahlen ist:



Links steht die Mächtigkeit der Potenzmenge der natürlichen (korrigiert!) Zahlen, rechts seine formale zweite Unendlichkeit - sind sie nun gleich oder nicht? Die Cantorsche Kontinuumshypothese (Kontinumm = Menge der reellen Zahlen) behauptet (ohne Beweis) deren Gleichheit.

In späteren Jahren haben Gödel und Cohen herausgefunden, dass diese Frage unentscheidbar im von mir o.g. Zermalo-Fränkelschen Axiomensystem mit Auswahlaxiom (ZFC) ist. D.h. man kann die Hypothese weder beweisen noch belegen. Man kann somit auch kein Beispiel oder Gegenbeispiel konstruieren.

Man könnte also die Frage stellen, ob es eine Menge X gibt, die "mehr" Elemente hat als die natürlichen Zahlen, aber "weniger" als die reellen Zahlen (damit wäre X eine echte Teilmenge der reellen Zahlen).



wobei die Mächtigkeit von X irgendeiner von Cantor beschriebenen Mächtigkeit entspricht



Man kann über die Konstruktion oder die Existenz von X einfach nichts aussagen - und zwar aus prinzipiellen Gründen. Die beiden Reihen von Unendlichkeiten



und



stehen unverbunden nebeneinander.

[tomS]

Ja, du hast natürlich recht.

Welche meiner Formulierungen stimmt denn nicht?

Ich hab's nochmal durchgelesen und keine Fehler gefunden. Evtl. ist eine Formulierung missverständlich. Schreib doch das Zitat rein.

Danke

[tomS]

Ich korrigieren das direkt in dem o.g. Beitrag.

[belgariath]

Oben habt ihr gesagt, dass man aus jeder Menge eine neue Menge (Potenzmenge) konstruieren kann sodass deren Mächtigkeit größer ist als die der alten Menge. Wie ist das denn wenn man von der Leeremenge {} ausgeht? Die Potenzmenge daraus würde doch alle Elemente der Leeremenge enthalten plus die Leeremenge selbst. Das wäre doch dann wieder die Leeremenge, oder? Wenn also die Potenzmenge der Leeremenge immer wieder die Leeremenge ergibt, nimmt die Mächtigkeit nie zu.

[tomS]

Man muss vorsichtig sein, nicht die Elemente und die Teilmengen zu verwechseln. In unserem Fall interessieren nur die Teilmengen, die bzgl. ihrer Bildung alle auf der selben Hierarchiestufe wie die Gesamtmenge selbst stehen.

Für eine beliebige Menge m



folgt für die Potenzmenge M



Sorry für die 0 als leere Menge, ich kriege mit TeX ein leeres Klammerpaar {} nicht angezeigt.

Damit ist der Fall, dass m gleich der leeren Menge selbst ist, bereits eingeschlossen, man muss einfach sämtliche Elemente a, b, ... weglassen. Dann bleibt




Damit gilt aber auch der Satz für die Mächtigkeiten, denn es ist ja




also



Wichtig ist, dass M eine einelementige Menge ist, da die leere Menge zwar selbst kein Elememt enthält, jedoch als eine Menge und damit als ein Elememt von M zählt.

Alles klar?

[belgariath]

ja ich glaube ich hab's. Mein Fehler war also, dass ich die Leeremenge gleichgesetzt hab' mit einer Menge, die die Leeremenge enthält.

Ist eigentlich die bezeichnung "abzählbar unendlich" gleich mit Aleph_0?
Und: Ist "überabzählbar unendlich" dann gleich mit Aleph_1, Aleph_2, Aleph_3, . . . bzw. mit 2^(Aleph_0)?

[tomS]

Ja, genau richtig.

Aleph_0 ist die "erste Unendlichkeit" und die entspricht der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen, also abzählbar unendlich.

Alles Jenseits von Aleph_0, also Aleph_1 usw. ist dann überabzählbar unendlich.

Wobei es dann eben auf die "Wahrheit" der Kontinuumshypothese ankommt, ob es zwischen den natürlichen und den reellen Zahlen noch weitere Unendlichkeiten gibt. In jedem Falle wären die aber überabzählbar.

Häufig verwendet man überabzählbar unendlich nur bezogen auf die reellen Zahlen, obwohl auch "größere" Mengen natürlich überabzählbar sind.

[Skeltek]

Wir haben die ganzen und rationalen Zahlen. (unenlich und abzaehlbar)
Der Rest ist reele Zahl. (unendlich und nicht abzaehlbar)

Beweisen sie, wieso es nach dieser Definition zwischen rationalen/ganzen Zahlen und den reelen Zahlen keine weiteren Unendlichkeiten gibt >.>
(unendlich, aber weder abzaehlbar noch ueberabzaehlbar)

Zwar sehr einfach ausgedrueckt und auf`s wesentliche reduziert, aber ich fand es damals schon in der Uni recht schwachsinnig, wieso man sich ueber etwas streitet, was man vorher ja bereits per Definition voellig ausgeschlossen hat.

Konstruiere einen Algorythmus, der aus dem gesammten Bereich der reelen Zahlen immer wieder eine zufaellige(!) Zahl heraus zieht.
Aus dieser Aufgabe erkennt man ja sofort, dass das Komplementaer der abzaehlbaren Zahlen sich beliebig weit verkleinern laesst, indem man immer mehr Zahlenfolgen zu den abzaehlbaren Zahlen hinzufuegt.

Entweder ich hab in der Uni damals gross was verpasst, oder ich raff die Frage nicht, ob es zwischen abzaehlbar(unendlich) und seinem Komplementaer nocht weitere Unendlichkeiten gibt.

Grusse, Skel

[tomS]

Der Rest ist reele Zahl. (unendlich und nicht abzaehlbar)

Es ist ja mittels der Potenzmenge der reellen Zahlen möglich, eine Mächtigkeit jenseits der reellen Zahlen zu konstruieren. M.W.n. ist die Menge aller Funktionen, die die reellen Zahlen auf sich selbst abbilden, gleichmächtig zur Potenzmenge der reellen Zahlen (beweisen kann ich das nicht).

Beweisen sie, wieso es nach dieser Definition zwischen rationalen/ganzen Zahlen und den reelen Zahlen keine weiteren Unendlichkeiten gibt

Das verstehe ich nicht.
Zunächst mal sehe ich da keine Definition. Was wird denn definiert?
Dann ist der geforderte Beweis doch genau der Beweis der Cantorschen Kontinuumshypothese - oder verstehe ich da was falsch? Cantors Hypothese besagt doch, dass es keine Teilmenge der reellen Zahlen gibt, deren Mächtigkeit zwischen der der natürlichen Zahlen und der der reellen Zahlen liegt. Seit Cohen und Gödel weiß man aber, dass die Kontinuumshypothese sowie ihre Negation (im Axiomensystem ZFC: Zermalo-Fraenkel + axiom of Choice) unabhängig, d.h. weder beweisbar noch wiederlegbar sind.
Damit würde ich mir die Mühe sparen, diesen Beweis anzutreten, denn gegen Gödel und Cohen hat man eher schlechte Karten ...

Zusammenfassend: Akzeptiert man (zusammen mit praktisch allen Mathematikern) das heute gebräuchliche Axiomensystem der Mengenlehre ZFC, so sind Kontinuumshypothese und ihre Negation unbeweisbar. Zieht man das Auswahlaxiom C in Zweifel (was einige Mathematiker tun - nicht weil es falsch sondern weil es unbefriedigend ist - und statt dessen nach Alternativen suchen) und arbeitet im Axiomensystem ZF, so sind Kontinuumshypothese und ihre Negation weiter unbeweisbar, da ZF schwächer als ZFC ist.

[Skeltek]

Hi tomS!
Was ich kurz sagen wollte war, dass das Kernproblem die Definition ist bzw auch ob man mit oder ohne Auswahlaxiom arbeitet.

Hinzu kommt, dass alle Wurzeln abzaehlbar sind, alle Potenzmengen abzaehlbar sind usw.
Es gibt keinen einzigen reelen Zahlentyp, der mathematisch darstellbar ist, aber sich nicht abzaehlen laesst.

Zu deinem ersten Punkt:
Versteh dich jetzt nicht ganz, ist das nicht Ansichtssache ob die Potenzmenge gleich viele oder mehr Elemente als die reele Menge hat??
Du sagst, dass man mittels der Potenzmenge eine Maechtigkeit ueber der der reelen Zahlen konstruieren kann, aber dass diese gleich maechtig wie die reelen Zahlen ist?

Zum zweiten Punkt:
Hast du genau richtig erkannt. Der Cantorsche Beweis sagt auf den Punkt gebracht genau das aus.
Man definiert eine Menge mit zwei Elementen(abzaehlbar und ueberabzaehlbar) selber und sucht dazwischen ein drittes. Ob ein drittes wirklich existiert ist dann wohl von der eigenen vorigen Definition abhaengig.

[tomS]

Hi,

einige Anmerkunge bzw. Korrekturen:

Versteh dich jetzt nicht ganz, ist das nicht Ansichtssache ob die Potenzmenge gleich viele oder mehr Elemente als die reele Menge hat??

Nein! Es ist exakt beweisbar, dass die Potenzmenge immer eine echt größere Mächtigkeit hat. Das gilt für endliche, abzählbar unendliche sowie überabzählbar unendliche Mengen.
Die Frage ist, es eine Teilmenge der reellen Zahlen gibt, deren Mächtigkeit zwischen der der natürlichen Zahlen und der der reellen Zahlen liegt. Das hat aber nichts mit der Potenzmenge zu tun.

Du sagst, dass man mittels der Potenzmenge eine Maechtigkeit ueber der der reelen Zahlen konstruieren kann, aber dass diese gleich maechtig wie die reelen Zahlen ist?

Nein, diese Mächtigkeit wäre wiederum echt größer. Ein Beispiel ist die Menge aller Funktionen, die R auf R abbilden. Diese Menge hat beweisbar eine größere Mächtigkeit als R.

Man definiert eine Menge mit zwei Elementen(abzaehlbar und ueberabzaehlbar) selber und sucht dazwischen ein drittes. Ob ein drittes wirklich existiert ist dann wohl von der eigenen vorigen Definition abhaengig.

... verstehe ich nicht.

[Skeltek]

M.W.n. ist die Menge aller Funktionen, die die reellen Zahlen auf sich selbst abbilden, gleichmächtig zur Potenzmenge der reellen Zahlen (beweisen kann ich das nicht).

Sorry, ich hatte mich bei dem Satz verlesen, vergiss einfach, was ich dazu geschrieben hab.

[tomS]

Im neuen "Spektrum der Wissenschaft" steht ein Artikel über neuere Untersuchungen zu den verschiedenen "Unendlichkeiten".

Dabei sind die Mathematiker offensichtlich einigen Axiomen auf der Spur, die es erlauben, weitere Erkenntnisse über den Zusammenhang zwischen




und



abzuleiten.

Cantors Problem war, dass er diese formal definierten Unendlichkeiten und die über die Potenzmenge konstruierten Unendlichkeiten nicht miteinander in Beziehung setzen konnte. Er konnte also nicht angeben, ob seine zweite Unendlichkeit die der reellen Zahlen ist:



Die Cantorsche Kontinuumshypothese (Kontinuum = Menge der reellen Zahlen) behauptet (ohne Beweis) deren Gleichheit. In späteren Jahren haben Gödel und Cohen herausgefunden, dass diese Frage im Zermalo-Fränkelschen Axiomensystem mit Auswahlaxiom (ZFC) unentscheidbar ist.

Die neuen Erkenntnisse scheinen nun darauf hinzudeuten, dass es zwischen den natürlichen und den reellen Zahlen genau eine Unendlichkeit liegt! Wenn dies richtig wäre, dann würde



gelten.

Dummerweise sind aber die neuen Axiome nicht im Bereich der reellen Zahlen formulierbar, sondern sie beziehen sich explizit auf höhere (und teilweise über die o.g. Notation unerreichbare) Unendlichkeiten. D.h. dass es auch kein einfaches Verfahren geben kann, die zwischen N und R liegende Unendlichkeit allein auf Basis der reellen Zahlen R selbst zu konstruieren.

Für mich ist das nicht sehr zufriedenstellend. Ein Axiom soll ja eine "ohne weiteren Beweis einsichtige Wahrheit" sein. Das kann aber doch nicht auf einen Satz zutreffen, über dessen Einsichtigkeit die Mathematiker seit Jahren grübeln. Dann ist er doch nicht unmittelbar einsichtig. Das gleiche gilt aber natürlich bereits für das Auswahlaxiom,auch das ist ja nicht unmittelbar einsichtig.

[breaker]

Hab den Artikel auch gelesen. Sehr interessant, kann ich nur empfehlen.

Besonders die Aussage, die Kontinuumshypothese sei "im Wesentlichen falsch" hat mir gefallen

[tomS]

Ich habe dazu mal an anderer Stelle etwas gelesen, das einem schon einen Schauder über den Rücken laufen lässt.

Ich habe ja oben die Reihe der von Cantor konstruierten Unendlichkeiten aufgelistet. Nun haben diese Unendlichkeiten aber als Index (quasi zur Zählung der Unendlichkeiten) einen natürlich Zahl. Man kommt schnell auf die Idee, als Index wiederum unendliche Zahlen zuzulassen. Die dabei entstehenden Unendlichkeiten sind nach der Konstruktion von Cantor unerreichbar, d.h. "wesentliuch größer" als die "normalen Unendlichkeiten".

Das Interessante ist nun, dass man auf Basis dieser Unendlichkeiten einen Prozess der sogenannten transfiniten Induktion definieren kann (das ist eine Art vollständige Induktion, aber eben nicht über den natürlichen Zahlen sondern über den so verallgemeinerten Indexmengen). Dadurch lassen sich nun alle möglichen fantastischen Beweise durchführen, die alleine auf Basis der vollständigen Induktion über den normalen Zahlen nicht möglich sind. Insbs. gibt es Sätze, die im gewöhnlichen ZFC Axiomensystem nachweislich unbeweisbar sind (nach Gödel), die jedoch über die transfinite Induktion beweisbar werden. Dazu gehören eben auch Sätze über das Kontinuum. Es gibt also Sätze über Mengen X einer bestimmten Mächtigkeit |X|, die in ZFC unbeweisbar sind, die aber beweisbar werden, wenn man auf erweiterte Axiomensysteme ausweicht, die sich auf Mengen mit unendlich größere Mächtigkeit als |X| beziehen.

Man kann nun fragen, ob eine derartige Vorgehensweise sinnvoll erscheint. Zunächst ist natürlich fraglich, ob die neuen Axiome immer noch als "unmittelbar einsichtig gelten können"; für mich ist das bereits beim Auswahlaxiomnicht mehr der Fall.

Dann kann man sich fragen, ob der Ausweg bzgl. der Beweisbarkeit zulässig ist. Dabei möchte ich aber daran erinnern, dass man Ähnliches bereits in der ganz normalen Analysis oder Zahlkentheorie tut. Z.B. gibt es ja eine Formel zur Bestimmung aller Lösungen einer Polynomgleichung dritten Grades. Interessant ist nun, dass auch füpr den Fall, wo alle drei Lösungen reell sind, während der Rechnung mit dieser Formel komplexe Zahlen auftreten, wobei die Imaginärteile aus dem Endergebnis wieder verschwunden sind. Hier tut man etwas Vergleichbares, man weicht nämlich zur Konstruktion einer Lösung auf ein erweitertes Zahlensystem aus, obwohl das Endergebnis wieder im ursprünglichen Zahlensystem liegt.

Vielleicht muss man sich eben nur daran gewöhnen ...