Formalismus der Quantenmechanik

[tomS]

Nachdem ich das immer wieder verwende und es einige Male nachgefragt wurde, hier der Versuch, die quantenmechanische Darstellungstheorie mit Wellenfunktionen und Differentialoperatoren sowie allgemein Vektoren in (unendlichdimensionalen) Hilberträumen und Operatoren zu erklären.

Zuerst eine Warnung: es gibt bis heute keine wirklich echte Begründung für die Vorschrift der sogenannten Quantisierung – außer dass sie funktioniert!

Zunächst ganz kurz zur klassischen Mechanik (ohne viele Formeln, für Fachbegriffe bitte unter Wikipedia nachschauen oder konkrete Fragen an mich, dann liefere ich das nach).

Lagrange-Formalismus
Ausgangspunkt ist die Wirkung S, das ist ein Integral über die Zeit über die sogenannte Lagrange-Funktion L = L[z, ż]. z sind dabei Koordinaten, ż die zugehörigen Geschwindigkeiten. Aus S kann man verschiedene Gleichungen ableiten:
- Euler-Lagrange-Gleichungen führen im Wesentlichen auf die Newtonschen Bewegungsgleichungen
- Symmetrien und Noether-Theorem führen auf „erhaltenen Ladungen“ bzw. „Konstanten der Bewegung“, also z.B. dQ/dt = 0.
Die Euler-Lagrange-Gleichungen erhält man dabei aus der Bedingung, dass die Lösung für die Bahnkurve S minimiert. Das fundamentale Prinzip der kleinsten Wirkung besagt: Lösungen der klassischen Bewegungsgleichungen entsprechen den Minima von S.

Hamilton-Formalismus
Aus S kann man einen sogenannten kanonischen Impuls p ableiten p = dS/dż

Im einfachsten Fall ist p = mż, aber dies muss nicht zwingend so sein. Ist z z.B. eine Winkelvariable, so wird ż so was Ähnliches wie ein Drehimpuls sein.

Außerdem kann man aus L die Hamiltonfunktion H gemäß H = pż – L ableiten. Dabei muss die Gleichung
p = dS/dż nach ż aufgelöst werden, also ż = ż(p,z).
Damit ist schließlich H = H(z,p).

H hat nun im Wesentlichen zwei verschiedene Bedeutungen. Zum einen kann man die Bewegungsgleichungen daraus ableiten; dies sind jetzt jedoch keine Gleichungen für z und ż, sondern für z und p, die sog. Hamiltonschen Bewegungsgleichungen. Zum anderen entspricht H der Energiefunktion. Konkret: Wenn man z und p in H hineinsteckt, dann erhält man H(z,p) = E(z,p), also die Energie entlang der „Bahnkurve“ (z,p). Üblicherweise erfüllen die Bahnkurven die Bedingung, dass die Energie entlang der Bahnkurve konstant ist.

Quantisierung
Es gibt nun Beziehungen in der klassischen Mechanik (Poisson-Klammern), die es nahelegen, aus z und p Operatoren Z und P zu machen, die eine fundamentale Eigenschaft erfüllen, nämlich [Z, P] = ZP - PZ = i.
Dies ist die sog. kanonische Vertauschungsrelation und das Herzstück der Quantisierung.

Außerdem hat man (deBroglie) bereits frühzeitig die Idee gehabt, dass zu Materieteilchen auch entsprechende Materiewellen existieren. Für ebene Wellen (= freie Teilchen) gibt es nun die einfache komplexe Darstellung
ƒ(z) = exp ikz der Materiewellen.

Damit kann man die Quantisierung mittels folgender Operatordarstellung durchführen:
z → Z = z
p → P = -i d/dz

Es gilt
zƒ(z) → Zƒ = zƒ(z)
pƒ(z) → Pƒ = -i d/dz ƒ(z)

[Z, P]ƒ = (ZP – PZ) ƒ = (z (-i d/dz) – (-i d/dz) z) ƒ(z)
= -i z dƒ(z)/dz +i (d/dz)(zƒ(z)) = -i z dƒ(z)/dz +i z dƒ(z)/dz +i ƒ(z) dz/dz = i ƒ(z)

Pƒ = -i d/dz ƒ(z) = -i d/dz exp ikz = k exp ikz = kƒ(z).

z und p stehen zunächst für die klassischen Variablen.
Rechts vom Pfeil stehen dann die allgemeinen quantenmechanischen Operatoren Z und P (von denen wir nicht so genau wissen, was sie bedeuten, außer dass eben [Z,P] = i gilt).
Dann wählen wir eine Darstellung aus, in der aus Z wieder z, aber aus P jetzt –i d/dz wird.
D.h. Z wird einfach durch die reelle Zahl z repräsentiert, P durch die Ableitung nach z mal -i.

Damit erreichen wir zwei Dinge. Zum einen ist die Vertauschungsrelation erfüllt, d.h.

[Z, P]ƒ = [z, -id/dz]ƒ(z) = iƒ

Zum anderen sehen wir, dass die ebene Welle ƒ(z) = exp ikz eine Eigenfunktion mit Eigenwert k zum Impulsoperator P = -id/dz ist. Dies bedeutet, dass ebene Wellen = freie Teilchen feste Impulse haben, was sicher physikalisch sinnvoll ist.

Abstrakte Darstellung, Ortsraumdarstellung, Impulsraumdarstellung
Wichtig ist nun Folgendes:

Zunächst gibt es
- abstrakte Operatoren Z, P
- die Vertauschungsrelation [Z, P] = i
- Zustände |ƒ>
- Eigenwertgleichungen, z.B. für P: P|k> = k|k>

Dann gibt es
- Darstellungen der Operatoren im Ortsraum z, -i d/dz
- die Vertauschungsrelation [z, -i d/dz] = i
- Wellenfunktionen im Ortsraum ƒ(z)
- Eigenwertgleichungen, z.B. für P: -i d/dz ƒ(z) = k ƒ(z) mit der Lösung ƒ(z) = exp ikz

Diese Darstellung (die Ortsraumdarstellung) ist nun nicht die einzig mögliche. Z.B. kann man auch in den Impulsraum transformieren. Dies entspricht im Wesentlichen der Fouriertransformation
ƒ(z) → ƒ˜(p)
Beide Funktionen ƒ und ƒ˜ tragen dieselbe Information!
Die Operatoren müssen im Impulsraum ebenfalls anders dargestellt werden.
P wird trivialerweise zu p (deswegen heißt es Impulsraum; vgl. im Ortraum wird Z zu z).
Z wird zu +i d/dp
Damit gilt wiederum
[Z, P]ƒ = [+i d/dp, p]ƒ˜(p) = iƒ

D.h. dass die abstrakte Darstellung die eigentlich fundamentale ist, und dass sich andere Darstellungen durch die Wahl geeigneter Funktionensysteme ergeben. Zwischen den Darstellungen gibt es unitäre Transformationen (d.h. die einzelnen Darstellungen sind unitär äquivalent). Dies bedeutet, dass für alle Darstellungen ein Skalarprodukt definiert ist, und dass dessen Wert in allen Darstellungen identisch ist.

Der Hilbertraum
Hilberträume sind unendlichdimensionale Vektorräume, in denen verschiedene Vektoren leben. Im oberen Fall sind die Vektoren zunächst die Zustände |ƒ> und es gibt ein ausgezeichnetes System, die sogenannte Basis (also die Basisvektoren) |k>. D.h. alle Eigenzustände für alle Impulse zusammen ergeben die Basis des Hilbertraumes.

Auch die Räume mit den Funktionen ƒ(z) und ƒ˜(p) sind Hilberträume. Im Falle des Ortsraumes sind die Basisvektoren die Funktionen exp ikz.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren |ƒ¹> und |ƒ²> schreibt man als <Dabei> ein „Spaltenvektor“, der Bra <…| ein „Zeilenvektor“ – jeweils unendlichdimensional. ZUsammen ist also <ein>. Man kann jedoch auch oft ohne sie auskommen und ausschließlich mit den abstrakten Objekten Z, P und |ƒ> arbeiten. Häufig werden die Rechnungen kompakter und übersichtlicher.

Man kann zeigen, dass man die Wellenfunktion ƒ(z) als Projektion des Zustandes |ƒ> auf die Ortseigenzustände <z> auf die Impulseigenzustände <p> in <p| - Richtung, genauso, wie man in kartesischen Koordinaten die Komponente eines Vektors bzgl. eines Basisvektors durch Projektion auf diesen Basisvektor erhält. In Formeln:
ƒ˜(p) = <p>
Da nun letzteres wieder ein Skalarprodukt ist, kann man die obige Integralformel anwenden und erhält
ƒ˜(p) = ∫ dz exp (-ipz) ƒ(z)
Dabei entspricht das exp (-ipz) dem ƒ¹*(z).
Wie man sieht, entspricht die Transformation zwischen Orts- und Impulsraumdarstellung, also zwischen ƒ(z) und ƒ˜(p) genau einer Fouriertransformation.

Andere Darstellungen
Man wählt die Darstellung immer so, dass sie das zu lösende Problem mathematisch möglichst einfach beschreibt. D.h. falls z.B. Rotationssymmetrie vorliegt, nutzt man keine ebenen Wellen, sondern andere Funktionensysteme als Basis eines anderen Hilbertraumes, wobei diese anderen Funktionensysteme (Kugelflächenfunktionen) sich jetzt aus der Eigenwertgleichung für den Drehimpuls ergeben.
Also statt
P|k> = k|k>
jetzt
L |ℓ, m> = ℓ(ℓ+1) |ℓ, m>

Man ist bei dieser Wahl praktisch völlig frei. Alle relevanten quantenmechanischen Operatoren wie z.B. Z, P, L und auch H haben die Eigenschaft, dass ihre Eigenfunktionen / -vektoren / -zustände immer eine Basis im Hilbertraum bilden, und dass man immer geeignete Transformationen (wie z.B. die Fouriertransformation) finden kann, um zwischen ihnen zu transformieren. Das kann aufwendig sein, ist jedoch zumindest grundsätzlich immer möglich.

Aus der abstrakten Darstellung nach Dirac mit
- abstrakten Operatoren Z, P (und andere z.B. H)
- die Vertauschungsrelation [Z, P] = i
- Zustände |ƒ>
- Eigenwertgleichungen, z.B. für P: P|k> = k|k>
können alle anderen Darstellungen gewonnen werden, indem man ein geeignetes Funktionensystem wählt bzw. auf die Basis projiziert:
ƒ(a) = <a>
Im Falle, dass eine Darstellung mit a sich als geeignet erweist, liegt ein Operator A vor, der eben bestimmte Eigenvektoren |a> hat:
A|a> = a|a>
Umgekehrt kann man sagen, dass wenn ein derartiger Operator A eine zentrale Rolle spielt, dann wird man |a> und auch ƒ(a) konstruieren. Beispiele für A sind eben Z, P, H und L.

[belgariath]

danke tomS für die zusammenfassung. Lässt sich wirklich sehr gut lesen.
Aber einige Fragen hab' ich noch:
1. Warum kommt im Impulsoperator kein hquer vor? Bei uns im SI-System ist da immer -i hquer d/dz Hat das mit dem Einheitensystem zu tun?
2. Woher nimmt man die Behauptung, dass [Z,P]=i gilt? Ist das ein Axiom, oder legt man es (so wie bei den Maxwellgleichungen) als "von Gott gegeben" zugrunde, oder ist es eine Forderung?
3. Warum heißt dein Absatz Quantisierung Quantisierung? Also, was hat das, was du in diesem Absatz beschreibst mit Quantisierung zu tun?

[tomS]

Hi,

zuerst mal danke für das Lob.

zu 1: Erstens kann ich in diesem blöden Web-basierten Editor kein hquer schreiben, und zweitens sind die Physiker oft ziemlich faule Leute und haben sich deswegen ein Einheitensystem ausgedacht, in dem hquer und c = 1 gewählt werden. Man kann dann diese Konstanten zunächst immer weglassen und im Endergebnis durch Betrachtung der Einheiten / Dimensionen wieder rekonstruieren (hab ich vergessen zu erwähen - sorry)

zu 2: Physikalisch motiviert man das durch die Ersetzung
Teilchen → Materiewelle → ƒ(z) = exp ikz
wenn man dann den Impuls bestimmen will, dann muss man eben nach z differenzieren.
Fakt ist, dass es keine echte mathematische Begründung gibt, sondern nur die Erkenntnis, dass man mit Materiewellen Teilchen mit festem Impuls beschreiben kann. Daraus hat man einen gewissen Formalismus entwickelt, der dann zu einem Axiomensystem erhoben wurde und weit über die einfachen Materiewellen hinaus Anwendung findet.

zu 3: gute Frage. Quantisierung könnte zunächst zwei verschiedene Bedeutungen haben. Zum einen die Tatsache, dass bestimmte Größen in der Natur gequantelt vorkommen. Aber zum anderen die von mir in dem Abschnitt beschriebene Vorgehensweise, wie man aus einer gegebenen klassischen Theorie die korrespondierende Theorie innerhalb der Quantenmechanik entwickelt (die dann zu den gequantelten Werten führt). Man verwendet Quantisierung (quantisiert, ...) normalerweise im zweiten Sinne.
Für die erste Bedeutung benutzt man den Begriff Quantelung (gequantelt, ...). Genauer hätte ich "kanonische Quantisierung" schreiben müssen, denn es gibt neben dem von mir beschriebenen Mechanismus noch weitere Quantisierungsmethoden / -vorschriften.
Siehe auch Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Quantisierung_%28Physik%29