Die Cantor-Menge - ein einfaches Fraktal

[tomS]

Hier eine Kleinigkeit zu einem einfachen "Fraktal", der sogenannten Cantormenge. Man nehme die reellen Zaheln zwischen 0 und 1, 0 und 1 inklusive; das ganze sieht graphisch wie folgt aus
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Dann entfernt man das mittlere Drittel:
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Von den beiden übriggebliebenen Streckenabschnitten entfernt man wiederum das mittlere Drittel:
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Es ist klar, wenn man das so weitertreibt, bleibt schließlich "nichts mehr übrig", oder?
Erster Versuch: Man berechnet die Längen der blauen Streckenabschnitte

\fed\mixonL_0 = 1
\fed\mixonL_1 = 2/3
\fed\mixonL_2 = 2/3 * 2/3
\fed\mixon...
\fed\mixonL_n = (2/3)^n

Strebt n gegen unendlich, so bleibt schließlich
\fed\mixonL_\inf = 0

Bleibt wirklich nichts übrig???????
Zweiter Versuch:

Man stellt die Zahlen aus dem Intervall [0,1] im Dreiersystem dar; also z.B.
\fed\mixon0.122... = 0 +1*(1/3) + 2*(1/3)^2 + 2*(1/3)^3 + ...

So, nun betrachtet man die oben weggenommenen Strecken. Das mittlere Drittel enthält alle Zahlen, die in der Dreiersystemdarstellung eine 1 an der ersten Stelle haben (die weggenommenen Zahlen starten ja bei 1/3), also
\fed\mixon0.1...

Die im nächsten Schritt weggenommenen Zahlen haben alle eine 1 an der zweiten Stelle, also
\fed\mixon0.01...
und
\fed\mixon0.21...
Die
\fed\mixon0.11...
haben wir schon im ersten Schritt weggenommen.

Führt man dies fort, so findet man leicht, dass die übriggebliebenen Zahlen keine 1 mehr enthalten, an keiner Stelle, dass aber 0 und 2 erlaubt sind. Also ist z.B.
\fed\mixon0.00202020020220200202002...
erlaubt (wir wissen nun nicht auf Anhieb, wo sich diese erlaubte Zahl genau befindet, aber das macht nichts).

OK, ein bisschen was bleibt also doch übrig...

Für die übriggebliebenen Zahlen mit ausschließlich 0 und 2 bedient man sich eines Tricks. Man geht zum Zweiersystem über, d.h. man ersetzt jede 2 durch eine 1 und in der obigen Rechnung jedes 1/3 durch 1/2. Also z.B.
\fed\mixon0.00101010010110100101001...

Nun ist es aber so, dass diese Darstellung im Zweiersystem alle Zahlen im Intervall [0,1] umfasst; es fehlt keine!!! Man hat also eine eins-zu-eins-Abbildung der "übriggebliebenen" Zahlen auf die ursprünglich vorhandenen Zahlen. D.h. nach dem Wegnehmen ist noch genauso viel übrig, wie zu Beginn.

Dabei handelt es sich nicht um Mogelei, sondern nur um eine verblüffende Eigenschaft aller Mengen, die unendlich viele Zahlen anthalten, und letztendlich um eine Eigenschaft der reellen Zahlen selbst.