Liebe Freunde
es ist schon erstaunlich: die Physik bedient sich seit langer Zeit den Lie Gruppen, um Symmetrienen zu berechnen. Und trotzdem ist das Thema neu aufgerollt, wie man hier sieht:
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mens ... 69,00.html
Netten Gruß
Wilfried
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Neues von den Lie Gruppen
-
wilfried
- Ehrenmitglied
- Beiträge: 2071
- Registriert: 20. Aug 2006, 10:18
- Wohnort: Mitten druff auf d'r Alb
- Kontaktdaten:
Neues von den Lie Gruppen
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
Hallo,
Die Grafik erinnert mich an meine Kindheit. Ich habe ein Blatt Papier und eine große Plastikscheibe (mit Zahnrädern auf der Innenseite) auf eine Korkplatte gepinnt. Mit vielen kleinen Plastescheiben (Zahnräder auf der Außenseite und Löchern für einen Farbstift) konnte man auf diese Weise wahre Kunststücke herstellen...
Gruß, Steffen
Wunderbar - ein Wissenschaftler mit Humor"Wenn die Leute meinen, wir seien verrückt, dann haben sie in gewissem Sinn Recht. Aber das ist Mathematik auf höchster Stufe."
Die Grafik erinnert mich an meine Kindheit. Ich habe ein Blatt Papier und eine große Plastikscheibe (mit Zahnrädern auf der Innenseite) auf eine Korkplatte gepinnt. Mit vielen kleinen Plastescheiben (Zahnräder auf der Außenseite und Löchern für einen Farbstift) konnte man auf diese Weise wahre Kunststücke herstellen...
Gruß, Steffen
Die Demokratie beruht auf drei Grundpfeilern: Der Freiheit der Gedanken, der Freiheit der Rede und der Klugheit, beides nicht zu gebrauchen.
Mark Twain
Mark Twain
Eine Frage zu den Liegruppen - evtl. hat jemand dazu eine Quelle / einen Link:
Eine Liegruppe kann ja häufig als Symmetriegruppe eines Skalarproduktes aufgefasst werden.
Z.B. kann ich die SO(3) als die Symmetriegruppe definieren, die das Skalarproduktes dreidimensionaler Vektorn invariant lässt:
\cdot(O{\bf b}))
Ein sehr einfaches Beispiel ist die U(1), die das "Skalarprodukt" komplexer Zahlen invariant lässt:
^\ast\cdot(e^{-i\alpha} w))
Frage: Funktioniert das für alle Lie-Gruppen? Insbs. für die hier genannten exzeptionellen Gruppen E(6), E(7) und E(8)? Gibt es dazu einen Link?
Für die exzeptionellen Gruppen kenne ich nur eine "Konstruktion" über Octonionen, und die ist nicht wirklich anschaulich
Eine Liegruppe kann ja häufig als Symmetriegruppe eines Skalarproduktes aufgefasst werden.
Z.B. kann ich die SO(3) als die Symmetriegruppe definieren, die das Skalarproduktes dreidimensionaler Vektorn invariant lässt:
Ein sehr einfaches Beispiel ist die U(1), die das "Skalarprodukt" komplexer Zahlen invariant lässt:
Frage: Funktioniert das für alle Lie-Gruppen? Insbs. für die hier genannten exzeptionellen Gruppen E(6), E(7) und E(8)? Gibt es dazu einen Link?
Für die exzeptionellen Gruppen kenne ich nur eine "Konstruktion" über Octonionen, und die ist nicht wirklich anschaulich
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
-
wilfried
- Ehrenmitglied
- Beiträge: 2071
- Registriert: 20. Aug 2006, 10:18
- Wohnort: Mitten druff auf d'r Alb
- Kontaktdaten:
Tag Tom
ich bin mir nicht so ganz sicher, ob Dir dies weiterhilft:
Von der Uni Bonn gibt es gutes Skript:
http://www.math.uni-bonn.de/people/ag/g ... rtrag3.pdf
Von der Uni Düsseldorf:
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~gastel/lie/lie.pdf
Dann etwas exotisch, da sehr tiefgehend und speziell von Uni Duisburg:
http://www.uni-duisburg.de/FB11/LEHRE/W ... /vdt17.pdf
Zum Schluß diese Diskussion, die ja wohl ähnlich Deiner Fragestellung ist:
http://www.focus.de/wissen/wissenschaft ... 54002.html
Gruß
Wilfried
ich bin mir nicht so ganz sicher, ob Dir dies weiterhilft:
Von der Uni Bonn gibt es gutes Skript:
http://www.math.uni-bonn.de/people/ag/g ... rtrag3.pdf
Von der Uni Düsseldorf:
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~gastel/lie/lie.pdf
Dann etwas exotisch, da sehr tiefgehend und speziell von Uni Duisburg:
http://www.uni-duisburg.de/FB11/LEHRE/W ... /vdt17.pdf
Zum Schluß diese Diskussion, die ja wohl ähnlich Deiner Fragestellung ist:
http://www.focus.de/wissen/wissenschaft ... 54002.html
Gruß
Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
Hallo Wilfried,
insbs. das Skript der Uni Düsseldorf passt genau zu meiner Problemstellung. Die spannenden Themen kommen so ca. ab Seite 60 - leider ist es aber auf Seite 65 auch schon wieder zu Ende!
Ich fasse mal zusammen, was in dem Skript steht bzw. was es bedeutet - und was ich dann nicht mehr weiß:
Man geht aus von der Exponentialdarstellung S 15 ff.
Man findet nun einen Zusammenhang zwischen der Exponentialdarstellung mittels gewisser Matrizen, den sogenannten Erzeugenden oder Generatoren und der Lie-Algebra. Für die SU(2) sind die Erzeugenden einfach die Pauli-Matrizen (dividiert durch 2).
Eine Algebra ist zunächst mal ein Vektorraum, d.h. man kann die Vektoren (= die Elemente der Algebra) zunächst mal addieren und mit komplexen Zahlen multiplizieren. Außerdem kann man in einer Algebra auch eine Multiplikation der Elemente untereinander definieren, in unserem Fall ist das die Matrix-Multiplikation.
Außerdem kann man in einem Vektorraum eine Basis definieren (das sind nun genau die Erzeugenden) und somit kann man der Algebra und der Gruppe eine Dimension zuordnen.
Zuletzt kann man unter den Vektoren und insbs. unter den Generatoren ein Skalarprodukt definieren, das dann die Länge eines Vektors sowie den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmt.
Man kann nun verschiedene Darstellungen von Lie-Gruppen untersuchen. Im Allgemeinen ist eine Darstellung definiert über eine Darstellung der Gruppenelemente als Matrizen, die auf einem Vektorraum operieren. Man kann nun Vektorräume verschiedener Dimensionen finden, auf denen eine Darstellung realisiert werden kann.
Für die kleinstmögliche Dimension spricht man von der Fundamentaldarstellung (für die SU(2) sind das Zweier-Vektoren mit komplexen Zahlen sowie die Erzeugenden = den Pauli-Matrizen). Die Gruppenoperation auf dem Vektorraum ist die Multiplikation von Gruppenelement g mit Vektor v, also g*v.
Nun kann man probeweise versuchen, den Vektorraum zu nehmen, der durch die Algebra selbst definiert ist, also die Gruppe operiert auf ihrer eigenen Algebra. Dies funktioniert immer und heißt adjungierte Darstellung. Die Gruppenoperation auf dem Vektorraum führt auf die sogenannte Lie-Klammer bzw. den Kommutator Multiplikation.
[X(g), Y] = XY-YX
ist also die Operation von X auf dem Vektor Y. Hier treten Gruppe bzw. Algebra und Vektorraum symmetrisch auf!
Man kann nun bzgl. dieser Lie-Klammer Eigenvektoren zu den Generatoren finden. Diese Eigenvektoren sind natürlich wiederum Elemente der Algebra selbst.
Dies führt schlussendlich dazu, dass man eine eindeutige Klassifizierung der Generatoren erreicht. Man kann bestimmte Generatoren auszeichnen, die sogenannten Wurzeln.
Man kann nun Skalarprodukte zwischen den Wurzeln betrachten. Diese Wurzeln spannen wiederum einen (jetzt niedriger-dimensionalen) Vektorraum auf. Die Dimension dieses Vektorraums heißt Rang der Gruppe und ist identisch mit der Anzahl der in der bekannten Darstellung diagonalen Matrizen. Für die SU(2) ist nur σ³ symmetrisch, also ist der Rang gleich eins. Für höherdimensionale Gruppen erhält man einen höheren Rang. Für die SU(3) ist der Rang z.B. gleich zwei, man liest dies aus den Generatoren (den Gell-Mann-Matrizen) direkt ab.
Interessanterweise stehen die Wurzeln nicht immer senkrecht aufeinander, es sind bestimmte feste Winkel erlaubt; s. S. 55 ff. Klassifiziert man die erlaubten Wurzelsysteme, so findet man erstaunlicherweise, dass diese von den sogenannten kristallographischen Gruppen bekannt sind, d.h. das Wurzelsystem einer Lie-Algebra entspricht geometrisch bestimmten erlaubten Vektoren in einem (hochdimensionalen) Kristallgitter.
Man wählt nun eine graphische Darstellung für die Wurzelsysteme, die sogenannten Dynkin-Diagramme; S. 60 ff. Darin entspricht jede Wurzel einem Punkt und jeder Winkel zwischen den Wurzeln einem Strich; kein Strich bedeutet dabei 90°. Man kann nun alle möglichen Wurzelsysteme bzw. Dynkin-Diagramme bestimmen; dies entspricht im Wesentlichen geometrischen Bedingungen an Vektoren.
Interessanterweise funktioniert dies auch umgekehrt (nur ich finde nirgendwo eine einfache Beschreibung): man konstruiert ausgehend vom Dynkin-Diagramm das Wurzelsystem und damit die komplette Algebra. Damit hat man gleichzeitig alle möglichen Lie-Algebren klassifiziert.
Den Dynkin-Diagrammen vom Typ A(n), B(n), C(n) und D(n) entsprechen Lie-Gruppen vom Typ SU(n+1), SO(2n+1), Sp(n) und SO(2n). Für jede der zugehörigen Lie-Gruppen hat man eine einfache geometrische Interpretation, im Wesentlichen eine Rotation in einem Vektorraum, auf dem die Fundamentaldarstellung operiert..
Nun kommt der Punkt, wo ich nicht mehr weiterweiß
Für die exzeptionellen Gruppen F(2), G(4), E(6), E(7) und E(8) gibt es keine ähnlich einfache Beschreibung über eine geometrische Operation. Für die E-Serie findet man (S. 65), dass sie Isometrien der „Vektorräume“ der projektiven Ebenen der
Bi-Oktonionen C*O, der
Quatero-Oktonionen H*O und der
Okto-Oktonionen O*O entsprechen.
Ich bin ehrlich – ich weiß nicht, was das sein soll.
Dabei sind die Quaternionen eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen (man kann sie darstellen mittels der vier Matrizen 1, sowie den drei Pauli-Matrizen). Für die Quaternionen gilt dabei kein Kommutativgesetz mehr, d.h.
a*b ≠ b*a
Die Oktonionen sind eine weitere Verallgemeinerung der Quaternionen. Für die Oktonionen gilt auch das Assoziativgesetz nicht mehr, d.h.
a*(b*c) ≠ (a*b)*c
Wegen dieser Eigenschaft existiert für die Oktonionen auch keine Matrixdarstellung mehr!
Aus algebraischen Gründen kann man nun die Oktonionen nicht weiter verallgemeinern - und deswegen gibt es keine Algebra E(9) mehr!
Betrachtet man die Dynkin-Diagramme der D-Serie, so kann man statt aus D(8) die Algebra D(9) zu konstruieren, versuchen, aus D(8) die Algebra E(9) zu konstruieren. Dies bedeutet, man muss zu dem Wurzelsystem von D(8) einen bestimmten Vektor hinzuzufügen, der die Winkelrelationen aus dem Dynkin-Diagramm erfüllt. Man stellt fest, dass dies scheitert! Man findet keinen linear unabhängigen Vektor, der die Relationen sämtlich erfüllt. Stattdessen ist der Vektor für E(9) linear abhängig von denen der E(8) bzw. hat für E(10) und höher negative Norm.
Man kann also auch auf Basis der Dynkin-Diagramme nachweisen, dass es nach der E(8) keine weitere exzeptionelle Gruppe E(9) mehr gibt. Aber man versteht nicht, was dies elementar geometrisch bedeuten soll.
Der Satz
Oben habe ich über die Fundamentaldarstellung einer Gruppe gesprochen, die sozusagen die kleinstmögliche Darstellung ist. Aus dieser kann man die adjungierte Darstellung konstruieren, in der die Gruppe bzw. die Algebra auf sich selbst operiert, d.h. der Vektorraum ist die Algebra selbst. Für die E(8) findet man nun die interessante Eigenschaft, dass die Fundamentaldarstellung und die adjungierte Darstellung identisch sind. D.h. für die einfachste Darstellung der E(8) benötigt man einen Vektorraum, der die E(8) selbst ist!
Ich verstehe also nicht wirklich, warum mit E(8) die Reihe der exzeptionellen Gruppen zu Ende ist. Ich suche nach einer „einfachen“ Darstellung der E(8) bzw. der Symmetrie, die sie beschreibt. Aber ich fürchte, das gibt es nicht.
Ich habe dazu auch mal ein paar Ideen mit dem genannten John C. Baez ausgetauscht. Er kennt auch nur die Darstellung über die Okto-Oktonionen.
insbs. das Skript der Uni Düsseldorf passt genau zu meiner Problemstellung. Die spannenden Themen kommen so ca. ab Seite 60 - leider ist es aber auf Seite 65 auch schon wieder zu Ende!
Ich fasse mal zusammen, was in dem Skript steht bzw. was es bedeutet - und was ich dann nicht mehr weiß:
Man geht aus von der Exponentialdarstellung S 15 ff.
Man findet nun einen Zusammenhang zwischen der Exponentialdarstellung mittels gewisser Matrizen, den sogenannten Erzeugenden oder Generatoren und der Lie-Algebra. Für die SU(2) sind die Erzeugenden einfach die Pauli-Matrizen (dividiert durch 2).
Eine Algebra ist zunächst mal ein Vektorraum, d.h. man kann die Vektoren (= die Elemente der Algebra) zunächst mal addieren und mit komplexen Zahlen multiplizieren. Außerdem kann man in einer Algebra auch eine Multiplikation der Elemente untereinander definieren, in unserem Fall ist das die Matrix-Multiplikation.
Außerdem kann man in einem Vektorraum eine Basis definieren (das sind nun genau die Erzeugenden) und somit kann man der Algebra und der Gruppe eine Dimension zuordnen.
Zuletzt kann man unter den Vektoren und insbs. unter den Generatoren ein Skalarprodukt definieren, das dann die Länge eines Vektors sowie den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmt.
Man kann nun verschiedene Darstellungen von Lie-Gruppen untersuchen. Im Allgemeinen ist eine Darstellung definiert über eine Darstellung der Gruppenelemente als Matrizen, die auf einem Vektorraum operieren. Man kann nun Vektorräume verschiedener Dimensionen finden, auf denen eine Darstellung realisiert werden kann.
Für die kleinstmögliche Dimension spricht man von der Fundamentaldarstellung (für die SU(2) sind das Zweier-Vektoren mit komplexen Zahlen sowie die Erzeugenden = den Pauli-Matrizen). Die Gruppenoperation auf dem Vektorraum ist die Multiplikation von Gruppenelement g mit Vektor v, also g*v.
Nun kann man probeweise versuchen, den Vektorraum zu nehmen, der durch die Algebra selbst definiert ist, also die Gruppe operiert auf ihrer eigenen Algebra. Dies funktioniert immer und heißt adjungierte Darstellung. Die Gruppenoperation auf dem Vektorraum führt auf die sogenannte Lie-Klammer bzw. den Kommutator Multiplikation.
[X(g), Y] = XY-YX
ist also die Operation von X auf dem Vektor Y. Hier treten Gruppe bzw. Algebra und Vektorraum symmetrisch auf!
Man kann nun bzgl. dieser Lie-Klammer Eigenvektoren zu den Generatoren finden. Diese Eigenvektoren sind natürlich wiederum Elemente der Algebra selbst.
Dies führt schlussendlich dazu, dass man eine eindeutige Klassifizierung der Generatoren erreicht. Man kann bestimmte Generatoren auszeichnen, die sogenannten Wurzeln.
Man kann nun Skalarprodukte zwischen den Wurzeln betrachten. Diese Wurzeln spannen wiederum einen (jetzt niedriger-dimensionalen) Vektorraum auf. Die Dimension dieses Vektorraums heißt Rang der Gruppe und ist identisch mit der Anzahl der in der bekannten Darstellung diagonalen Matrizen. Für die SU(2) ist nur σ³ symmetrisch, also ist der Rang gleich eins. Für höherdimensionale Gruppen erhält man einen höheren Rang. Für die SU(3) ist der Rang z.B. gleich zwei, man liest dies aus den Generatoren (den Gell-Mann-Matrizen) direkt ab.
Interessanterweise stehen die Wurzeln nicht immer senkrecht aufeinander, es sind bestimmte feste Winkel erlaubt; s. S. 55 ff. Klassifiziert man die erlaubten Wurzelsysteme, so findet man erstaunlicherweise, dass diese von den sogenannten kristallographischen Gruppen bekannt sind, d.h. das Wurzelsystem einer Lie-Algebra entspricht geometrisch bestimmten erlaubten Vektoren in einem (hochdimensionalen) Kristallgitter.
Man wählt nun eine graphische Darstellung für die Wurzelsysteme, die sogenannten Dynkin-Diagramme; S. 60 ff. Darin entspricht jede Wurzel einem Punkt und jeder Winkel zwischen den Wurzeln einem Strich; kein Strich bedeutet dabei 90°. Man kann nun alle möglichen Wurzelsysteme bzw. Dynkin-Diagramme bestimmen; dies entspricht im Wesentlichen geometrischen Bedingungen an Vektoren.
Interessanterweise funktioniert dies auch umgekehrt (nur ich finde nirgendwo eine einfache Beschreibung): man konstruiert ausgehend vom Dynkin-Diagramm das Wurzelsystem und damit die komplette Algebra. Damit hat man gleichzeitig alle möglichen Lie-Algebren klassifiziert.
Den Dynkin-Diagrammen vom Typ A(n), B(n), C(n) und D(n) entsprechen Lie-Gruppen vom Typ SU(n+1), SO(2n+1), Sp(n) und SO(2n). Für jede der zugehörigen Lie-Gruppen hat man eine einfache geometrische Interpretation, im Wesentlichen eine Rotation in einem Vektorraum, auf dem die Fundamentaldarstellung operiert..
Nun kommt der Punkt, wo ich nicht mehr weiterweiß
Für die exzeptionellen Gruppen F(2), G(4), E(6), E(7) und E(8) gibt es keine ähnlich einfache Beschreibung über eine geometrische Operation. Für die E-Serie findet man (S. 65), dass sie Isometrien der „Vektorräume“ der projektiven Ebenen der
Bi-Oktonionen C*O, der
Quatero-Oktonionen H*O und der
Okto-Oktonionen O*O entsprechen.
Ich bin ehrlich – ich weiß nicht, was das sein soll.
Dabei sind die Quaternionen eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen (man kann sie darstellen mittels der vier Matrizen 1, sowie den drei Pauli-Matrizen). Für die Quaternionen gilt dabei kein Kommutativgesetz mehr, d.h.
a*b ≠ b*a
Die Oktonionen sind eine weitere Verallgemeinerung der Quaternionen. Für die Oktonionen gilt auch das Assoziativgesetz nicht mehr, d.h.
a*(b*c) ≠ (a*b)*c
Wegen dieser Eigenschaft existiert für die Oktonionen auch keine Matrixdarstellung mehr!
Aus algebraischen Gründen kann man nun die Oktonionen nicht weiter verallgemeinern - und deswegen gibt es keine Algebra E(9) mehr!
Betrachtet man die Dynkin-Diagramme der D-Serie, so kann man statt aus D(8) die Algebra D(9) zu konstruieren, versuchen, aus D(8) die Algebra E(9) zu konstruieren. Dies bedeutet, man muss zu dem Wurzelsystem von D(8) einen bestimmten Vektor hinzuzufügen, der die Winkelrelationen aus dem Dynkin-Diagramm erfüllt. Man stellt fest, dass dies scheitert! Man findet keinen linear unabhängigen Vektor, der die Relationen sämtlich erfüllt. Stattdessen ist der Vektor für E(9) linear abhängig von denen der E(8) bzw. hat für E(10) und höher negative Norm.
Man kann also auch auf Basis der Dynkin-Diagramme nachweisen, dass es nach der E(8) keine weitere exzeptionelle Gruppe E(9) mehr gibt. Aber man versteht nicht, was dies elementar geometrisch bedeuten soll.
Der Satz
sagt alles aus. Man kann den der E(8) zugrundeliegenden Vektorraum nicht definieren, ohne die E(8) schon definiert zu haben.Anders als die anderen definiert sie E(8) nicht, da keine Definition der projektiven Ebenen der Okto-Oktonionen bekannt ist, für die man E(8) nicht schon kennen muss.
Oben habe ich über die Fundamentaldarstellung einer Gruppe gesprochen, die sozusagen die kleinstmögliche Darstellung ist. Aus dieser kann man die adjungierte Darstellung konstruieren, in der die Gruppe bzw. die Algebra auf sich selbst operiert, d.h. der Vektorraum ist die Algebra selbst. Für die E(8) findet man nun die interessante Eigenschaft, dass die Fundamentaldarstellung und die adjungierte Darstellung identisch sind. D.h. für die einfachste Darstellung der E(8) benötigt man einen Vektorraum, der die E(8) selbst ist!
Ich verstehe also nicht wirklich, warum mit E(8) die Reihe der exzeptionellen Gruppen zu Ende ist. Ich suche nach einer „einfachen“ Darstellung der E(8) bzw. der Symmetrie, die sie beschreibt. Aber ich fürchte, das gibt es nicht.
Ich habe dazu auch mal ein paar Ideen mit dem genannten John C. Baez ausgetauscht. Er kennt auch nur die Darstellung über die Okto-Oktonionen.
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
-
wilfried
- Ehrenmitglied
- Beiträge: 2071
- Registriert: 20. Aug 2006, 10:18
- Wohnort: Mitten druff auf d'r Alb
- Kontaktdaten:
Tag Tom
das was Du ansprichtst ist schon sehr tiefgehend. Ich hoffe ich kann Dir mit etwas weiterführender Literatur weiterhelfen. Ich selber habe diese Berechnungen nicht durchgeführt, wohl weiß ich um die Kriterien.
Da Du in Deiner Interessenliste die G(2) ausgespart hast, ergänze ich diese:
http://www-irm.mathematik.hu-berlin.de/ ... G2-dmv.pdf
Diese Ausnahmen beinhalten die Ordnungsmechanismen wurden erstmalig von Kiilling 1889 durchgeführt und veröffentlicht. Dabei hat er auch einige Fehler gemacht, aber das ist angesichts der sehr komplizierten Mechanismen leicht verzeilich. Ellie Cartan verbesserte und erweiterte dies bereits 1894!
Diese schöne Veröffentlichung von Ilka Agricola weist daruaf hin und zeigt die zugehörigen Verbesserungen auf.
Die Ausnahmen beschreiben eine Störung in den Symmetrien sowohl der reelen als auch der komplexen Gruppen. Dies von mir zitierte paper gefällt mir ausnehmend gut, da einerseit die geschichtliche Abwicklung aufgemalt wird, andererseits auch die wissenschaftliche Schärfe hervorgehoben ist.
Lohnt sich zu studieren!
Zu Deinem Problem: ich vermute einmal Du benötigst Teilinformationen zum Dynkin Diagram. Dazu habe ich Dir ein sehr exotisches paper:
http://www.vordenker.de/toth/a-toth_trialitaet.pdf
Das paper von Prof. Todt beschäftigt sich mit speziellen Algebren: Divisionsalgebren und Schiefkörper Algebren. der Trialität -darunter wird die Symmetrie zwischen Vektoren und Spinoren verstanden (Cartan). Das führt dann zu den trilinearen Abbildungen, die letzlich im Dynkin Diagram sichtbar werden.
Der Punkt ist, daß inder Elementarteilchenphysik alle Partikel außer dem Higgs Boson!!! entweder als vektor oder als Spinor transformiert werden. Vektor Partikel: gauge-boson Deutsch: Eichbosonen. Sie tragen die Kräfte im Standardmodell.
Die Spinor Partikel sind die Fermionen. Sie korrespondieren mit den Materiegrundformen Quarks und Leptonen.
Die Interaktivität dazwischen beschreibt Feynman mit seinen Diagrammen. Annihilation sei hier als Stichwort gegeben (Baez).
Dynkin und Feynman Diagramme sind einander verwandt.
All dies ist in diesem paoer wirklich ausführlich und übersichtlich dargestellt.
Ich bin mir unsicher, Tom, ob Du mit Deinen Punkten die Fragen dieser Symmetrie Störungen ansprichst, denke aber, das dies der von Dir genannte Schwerpunkt ist.
Weitere Deteilveröffentlichungen, in denen diese Fragen mathematisch tiefgehend erörtert werden kenne ich nicht. Besagt aber nicht, daß es selbige nicht gibt.
eventuell wäre an dieser Stelle einmal eine email an die entprechenden Forschungsstellen angebracht. Ich bin mir sicher, daß das weiterhilft.
Gruß
Wilfried
das was Du ansprichtst ist schon sehr tiefgehend. Ich hoffe ich kann Dir mit etwas weiterführender Literatur weiterhelfen. Ich selber habe diese Berechnungen nicht durchgeführt, wohl weiß ich um die Kriterien.
Da Du in Deiner Interessenliste die G(2) ausgespart hast, ergänze ich diese:
http://www-irm.mathematik.hu-berlin.de/ ... G2-dmv.pdf
Diese Ausnahmen beinhalten die Ordnungsmechanismen wurden erstmalig von Kiilling 1889 durchgeführt und veröffentlicht. Dabei hat er auch einige Fehler gemacht, aber das ist angesichts der sehr komplizierten Mechanismen leicht verzeilich. Ellie Cartan verbesserte und erweiterte dies bereits 1894!
Diese schöne Veröffentlichung von Ilka Agricola weist daruaf hin und zeigt die zugehörigen Verbesserungen auf.
Die Ausnahmen beschreiben eine Störung in den Symmetrien sowohl der reelen als auch der komplexen Gruppen. Dies von mir zitierte paper gefällt mir ausnehmend gut, da einerseit die geschichtliche Abwicklung aufgemalt wird, andererseits auch die wissenschaftliche Schärfe hervorgehoben ist.
Lohnt sich zu studieren!
Zu Deinem Problem: ich vermute einmal Du benötigst Teilinformationen zum Dynkin Diagram. Dazu habe ich Dir ein sehr exotisches paper:
http://www.vordenker.de/toth/a-toth_trialitaet.pdf
Das paper von Prof. Todt beschäftigt sich mit speziellen Algebren: Divisionsalgebren und Schiefkörper Algebren. der Trialität -darunter wird die Symmetrie zwischen Vektoren und Spinoren verstanden (Cartan). Das führt dann zu den trilinearen Abbildungen, die letzlich im Dynkin Diagram sichtbar werden.
Der Punkt ist, daß inder Elementarteilchenphysik alle Partikel außer dem Higgs Boson!!! entweder als vektor oder als Spinor transformiert werden. Vektor Partikel: gauge-boson Deutsch: Eichbosonen. Sie tragen die Kräfte im Standardmodell.
Die Spinor Partikel sind die Fermionen. Sie korrespondieren mit den Materiegrundformen Quarks und Leptonen.
Die Interaktivität dazwischen beschreibt Feynman mit seinen Diagrammen. Annihilation sei hier als Stichwort gegeben (Baez).
Dynkin und Feynman Diagramme sind einander verwandt.
All dies ist in diesem paoer wirklich ausführlich und übersichtlich dargestellt.
Ich bin mir unsicher, Tom, ob Du mit Deinen Punkten die Fragen dieser Symmetrie Störungen ansprichst, denke aber, das dies der von Dir genannte Schwerpunkt ist.
Weitere Deteilveröffentlichungen, in denen diese Fragen mathematisch tiefgehend erörtert werden kenne ich nicht. Besagt aber nicht, daß es selbige nicht gibt.
eventuell wäre an dieser Stelle einmal eine email an die entprechenden Forschungsstellen angebracht. Ich bin mir sicher, daß das weiterhilft.
Gruß
Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
Danke.
Zunächst mal sorry für die Verwirrung; ich habe G(4) und F(2) geschrieben, meine aber natürlich G(2) und F(4).
Für meine grundsätliche Fragestellung sind sie aber nicht relkevant, da sie strukturell anders aussehen wie die D- bzw. die E-Serie. Letztere sind eigentlich analog aufgebaut, nur dass eben die E-Serie abbricht, die D-Serie nicht. Für E(n) mit n<9 kann man auch eine direkte Entsprechung zur D-Serie finden.
Nochmal zur Klarstellung, was mein Problem ist (eigentlich sind es zwei)
1) Ich kann jede Liegruppe der A-, B-, C- oder D-Serie als Symmetrie eines einfachen Skalarproduktes von reellen oder komplexen Vektoren auffassen, also als Rotationsgruppe in einem relativ einfachen Vektorraum. Das gelingt mir für die E-Serie nicht, hier rotiere ich irgendwelche Octonionen-Konstrukte. Bei der E(8) rotiere ich im wesentlichen die Algebra e(8) selbst - ist also ein Münchhausen-Problem.
Frage: Gibt es da wirklich nichts einfacheres?
2) wenn man die Dynkin-Diagramme der D-und der E-Serie vergleicht, so findet man bis zu n=8 eine einfache Entsprechung. Man kann zu jedem D(n) ein E(n) finden, einfach indem man einen Wurzelvektor etwas verdreht.
Bsp.: n=8:
In der D(8) hat der achte Vektor einen Winkel von 120° mit dem sechsten; 90° mit allen anderen
In der E(8) hat der achte Vektor einen Winkel von 120° mit dem fünften; 90° mit allen anderen.
D.h. der Übergang zwischen D(n) und E(n) ist lediglich eine bestimmte Drehung des letzten Wurzelvektors.
In der D-Serie kann ich von n zu n+1 einfach dadurch übergehen, dass ich einen weiteren Vektor anfüge, der mit dem ersten Vektor einen 120° Winkel bildet, 90° mit allen anderen.
In der E-Serie funktioniert dies ebenfalls bis zu n=8, ab n=9 kann ich jedoch den neuen Vektor nicht mehr konstruieren.
Frage: was ist der fundamentale Unterschied zwischen E- und D-Serie, so dass ein einfaches Konstrukt in der einen durchläuft, in der anderen nicht?
Zunächst mal sorry für die Verwirrung; ich habe G(4) und F(2) geschrieben, meine aber natürlich G(2) und F(4).
Für meine grundsätliche Fragestellung sind sie aber nicht relkevant, da sie strukturell anders aussehen wie die D- bzw. die E-Serie. Letztere sind eigentlich analog aufgebaut, nur dass eben die E-Serie abbricht, die D-Serie nicht. Für E(n) mit n<9 kann man auch eine direkte Entsprechung zur D-Serie finden.
Nochmal zur Klarstellung, was mein Problem ist (eigentlich sind es zwei)
1) Ich kann jede Liegruppe der A-, B-, C- oder D-Serie als Symmetrie eines einfachen Skalarproduktes von reellen oder komplexen Vektoren auffassen, also als Rotationsgruppe in einem relativ einfachen Vektorraum. Das gelingt mir für die E-Serie nicht, hier rotiere ich irgendwelche Octonionen-Konstrukte. Bei der E(8) rotiere ich im wesentlichen die Algebra e(8) selbst - ist also ein Münchhausen-Problem.
Frage: Gibt es da wirklich nichts einfacheres?
2) wenn man die Dynkin-Diagramme der D-und der E-Serie vergleicht, so findet man bis zu n=8 eine einfache Entsprechung. Man kann zu jedem D(n) ein E(n) finden, einfach indem man einen Wurzelvektor etwas verdreht.
Bsp.: n=8:
In der D(8) hat der achte Vektor einen Winkel von 120° mit dem sechsten; 90° mit allen anderen
In der E(8) hat der achte Vektor einen Winkel von 120° mit dem fünften; 90° mit allen anderen.
D.h. der Übergang zwischen D(n) und E(n) ist lediglich eine bestimmte Drehung des letzten Wurzelvektors.
In der D-Serie kann ich von n zu n+1 einfach dadurch übergehen, dass ich einen weiteren Vektor anfüge, der mit dem ersten Vektor einen 120° Winkel bildet, 90° mit allen anderen.
In der E-Serie funktioniert dies ebenfalls bis zu n=8, ab n=9 kann ich jedoch den neuen Vektor nicht mehr konstruieren.
Frage: was ist der fundamentale Unterschied zwischen E- und D-Serie, so dass ein einfaches Konstrukt in der einen durchläuft, in der anderen nicht?
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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Sir Karl R. Popper
-
wilfried
- Ehrenmitglied
- Beiträge: 2071
- Registriert: 20. Aug 2006, 10:18
- Wohnort: Mitten druff auf d'r Alb
- Kontaktdaten:
Tag Tom und auch ein Gruß an alle anderen
(ich habe einiges an Literatur zu diesem Thema auch in unserem Literaturbereich angegeben, mal dort nachschauen)
das war doch keine Verwirrung. Das hatte ich schon richtig begriffen.
Du mit Deiner E(8) Gruppe...das ist wohl die komplizierteste der Welt. Wir haben es hier mit einem 8 dimensionalem Vektorraum zu tun. Dieser ist reelwertig und muss einige Eigenschaften besitzen:
Klling hat dies 1890 beschrieben und dabei 4 unendliche Klassen der Lie Algebra gefunden. Diese hat er An, Bn, Cn und Dn genannt, wobei n ein Element der ganzen Zahlen ist.
Zusätzlich fand killing 5 weitere Ausnahme: G2, F4, E6, E8.
Ein E8 System besteht aus allen Vektoren (Wurzeln, besser hier den Englisch Ausdruck "roots" verwenden): a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8 wobei alle Ganze Zahlen (integer numbers) oder ganze Zahlen + 1/2 sind.
Zusätzlich ist deren Summe eine geradzahlige ganze Zahl und eine Summe, deren Quadrat 2 ergibt.
Beispiel: -1,0,1,0,0,0,0,0, und weitere 112 davon. Und für die 1/2 Ganzen Zahlen: 1/2,1/2,-1/2,-1/2,-1/2,1/2,1/2,-1/2 (hoffentlich habe ich mich nicht verzählt!!) und davon gibt es 128 Stück!! E8 hat 240 Wurzeln!!
Die 8 zeigt an, dass wir 8 Koordinaten berücksichtigen müssen.
#zusätzlich kommt noch dazu, dass diese 8 zu einem Wurzel Verbund gehört (english: root lattice), der dadurch gekennzeichnet ist, daß alle Systemwurzeln als wurzelsumme des vektorsystems genommen werden. Wieder dran denken, was ich oben über die GZs und die 1/2 sagte; gilt auch hier! Das wird auch manchmal "diamond lattice" genannt.
Alles in allem folgt aus dem, daß die E8 eine 248 dimensionale Lie Algebra ist. Der Startpunkt sind eben diese 8 Dimensionen und es wird die Koordinate von allen 240 Wurzeln dieses E8 Wurzel Systems dazugepackt. Dieser vektro Raum wird auch als Lie Klammer (Liebracket) bezeichnet. [X,Y]=XY-YX.
Das sind nicht kommutative Multiplikationen.
Nächster Punkt:
Mit dieser Lie Algebra verbunden ist eine komplexe Lie Gruppe, die ebenfalls E8 genannt wird. Diese komplexe Lie Gruppe hat 248 komplexe Dimensionen. Cartan hat 1894 beide, die E8 Algebra und die E8 Gruppe studiert.
Schlussendlich ist die Algebra E8 eine von 3 real Darstellungen der komplexen Lie Gruppe E8. Jede dieser 3 realen Formen hat reale 248 Dimensionen.
Demzufolge meine Antwort:
Ich wüßte auch nicht wie man dieses einfacher gestalten könnte.
Zur 2. Frage:
eventuell hilft diese paper weiter:
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/su ... 1.1.41.604
Dies Düsseldorfer Skript ist "hardcore mathe" pur. Darin solltest Du fündig werden:
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~gastel/lie/lie.pdf
Die Lie Gruppierungen sind recht schwerer Tobak.
Es wird unterschieden in Klassifikationen:
EINFACHE KOMPLEXE LIE ALGEBREN.
An, Bn, Cn,Dn,G2,F4,E6,E7,E8
Klassifikation der reellen, kompakten und einfach zusammenhängenden Lie Gruppen mit einfacher Lie Algebra:
SU(n= mit n>=2
SO~(2n+1) mit n>=3
SP(n) mit n>=3
SO~(2n) mit n>=4
Die exzeptionellen Lie Gruppen mit angegebenen Dimensionen:
Gruppe/Dimension
G2/14, F4/52, E6/78, E7/133, E8,248
Die zugehörige Indizierung letzterer entspricht dem Rang, soll heißen der Dimension eines maximalen Torus (Indizes: 2,4,6,7,8)
Der Unterschied der E-und D Serien zeigt sich deutlich in den Dynkin Diagrammen. Während die D-Serie einfache verbindungen hat wie.
seriell mit"1" bis zu einer enfacher y-förmigen Verzweigung bei n> =4
weist die E-Gruppe (E6) eine T ankopplung in deren Mitte auf,
die E7 an gleicher Stelle, jedoch folgen weitere serielle "1" Teile
die E8, ist eine Wieterführungmit noch mehr seriellen "1" Teilen.
Die E- Serie besitzt an Dimensionen:
E6 = 72
E7 = 133
E8 = 248
Die D-Serie besitzt 2n^2 - n Dimensionen.
eine sehr gute Literatur dazu ist:
http://www.mathematik.uni-karlsruhe.de/ ... ia/lie.pdf
Ich hoffe Dir ein klein wenig geholfen zu haben.
Gruß
Wilfried
(ich habe einiges an Literatur zu diesem Thema auch in unserem Literaturbereich angegeben, mal dort nachschauen)
das war doch keine Verwirrung. Das hatte ich schon richtig begriffen.
Du mit Deiner E(8) Gruppe...das ist wohl die komplizierteste der Welt. Wir haben es hier mit einem 8 dimensionalem Vektorraum zu tun. Dieser ist reelwertig und muss einige Eigenschaften besitzen:
Klling hat dies 1890 beschrieben und dabei 4 unendliche Klassen der Lie Algebra gefunden. Diese hat er An, Bn, Cn und Dn genannt, wobei n ein Element der ganzen Zahlen ist.
Zusätzlich fand killing 5 weitere Ausnahme: G2, F4, E6, E8.
Ein E8 System besteht aus allen Vektoren (Wurzeln, besser hier den Englisch Ausdruck "roots" verwenden): a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8 wobei alle Ganze Zahlen (integer numbers) oder ganze Zahlen + 1/2 sind.
Zusätzlich ist deren Summe eine geradzahlige ganze Zahl und eine Summe, deren Quadrat 2 ergibt.
Beispiel: -1,0,1,0,0,0,0,0, und weitere 112 davon. Und für die 1/2 Ganzen Zahlen: 1/2,1/2,-1/2,-1/2,-1/2,1/2,1/2,-1/2 (hoffentlich habe ich mich nicht verzählt!!) und davon gibt es 128 Stück!! E8 hat 240 Wurzeln!!
Die 8 zeigt an, dass wir 8 Koordinaten berücksichtigen müssen.
#zusätzlich kommt noch dazu, dass diese 8 zu einem Wurzel Verbund gehört (english: root lattice), der dadurch gekennzeichnet ist, daß alle Systemwurzeln als wurzelsumme des vektorsystems genommen werden. Wieder dran denken, was ich oben über die GZs und die 1/2 sagte; gilt auch hier! Das wird auch manchmal "diamond lattice" genannt.
Alles in allem folgt aus dem, daß die E8 eine 248 dimensionale Lie Algebra ist. Der Startpunkt sind eben diese 8 Dimensionen und es wird die Koordinate von allen 240 Wurzeln dieses E8 Wurzel Systems dazugepackt. Dieser vektro Raum wird auch als Lie Klammer (Liebracket) bezeichnet. [X,Y]=XY-YX.
Das sind nicht kommutative Multiplikationen.
Nächster Punkt:
Mit dieser Lie Algebra verbunden ist eine komplexe Lie Gruppe, die ebenfalls E8 genannt wird. Diese komplexe Lie Gruppe hat 248 komplexe Dimensionen. Cartan hat 1894 beide, die E8 Algebra und die E8 Gruppe studiert.
Schlussendlich ist die Algebra E8 eine von 3 real Darstellungen der komplexen Lie Gruppe E8. Jede dieser 3 realen Formen hat reale 248 Dimensionen.
Demzufolge meine Antwort:
Ich wüßte auch nicht wie man dieses einfacher gestalten könnte.
Zur 2. Frage:
eventuell hilft diese paper weiter:
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/su ... 1.1.41.604
Dies Düsseldorfer Skript ist "hardcore mathe" pur. Darin solltest Du fündig werden:
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~gastel/lie/lie.pdf
Die Lie Gruppierungen sind recht schwerer Tobak.
Es wird unterschieden in Klassifikationen:
EINFACHE KOMPLEXE LIE ALGEBREN.
An, Bn, Cn,Dn,G2,F4,E6,E7,E8
Klassifikation der reellen, kompakten und einfach zusammenhängenden Lie Gruppen mit einfacher Lie Algebra:
SU(n= mit n>=2
SO~(2n+1) mit n>=3
SP(n) mit n>=3
SO~(2n) mit n>=4
Die exzeptionellen Lie Gruppen mit angegebenen Dimensionen:
Gruppe/Dimension
G2/14, F4/52, E6/78, E7/133, E8,248
Die zugehörige Indizierung letzterer entspricht dem Rang, soll heißen der Dimension eines maximalen Torus (Indizes: 2,4,6,7,8)
Der Unterschied der E-und D Serien zeigt sich deutlich in den Dynkin Diagrammen. Während die D-Serie einfache verbindungen hat wie.
seriell mit"1" bis zu einer enfacher y-förmigen Verzweigung bei n> =4
weist die E-Gruppe (E6) eine T ankopplung in deren Mitte auf,
die E7 an gleicher Stelle, jedoch folgen weitere serielle "1" Teile
die E8, ist eine Wieterführungmit noch mehr seriellen "1" Teilen.
Die E- Serie besitzt an Dimensionen:
E6 = 72
E7 = 133
E8 = 248
Die D-Serie besitzt 2n^2 - n Dimensionen.
eine sehr gute Literatur dazu ist:
http://www.mathematik.uni-karlsruhe.de/ ... ia/lie.pdf
Ich hoffe Dir ein klein wenig geholfen zu haben.
Gruß
Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
Hi,
super, wir sind da auf einer Wellenlänge - leider wissen wir aber beide E8 beide auch nicht weiter.
Danke für die Skripte - insbs. das zweite ist schon ziemlich ausführlich.
Es gibt eine Reihe von Merkwürdigkeiten bei den Lie-Algebren im Allgemeinen und ei der E8 im speziellen. Insbs. ist die Verwandschaft der Algebren mit den kristallographischen Gittern erstaunlich - auf den ersten Blick aben die ja nun wirklich nichts miteinander zu tun. Wegen dieser Verwandtschaft folgt eine zweite Eigenschaft, nämlich die, dass die unimodularen Gitter (die mit jeweils gleich langen Vektoren) etwas mit den dichtesten Kugelpackungen in den jeweiligen Dimensionen zu tun haben.
Die Darstellung der Vektoren von Wilfried kann man wie folgt veranschaulichen: Man nehme ein Schachbrett un setze auf jedes schwarze Feld eine Kugel; die Kugeln berühren sich gegenseitig. Die gleiche Konstruktion mit wechselweise freigelassenen Positionen kann man nun auch in drei und mehr Dimensonen durchführen. Dabei bleibt zwischen den Kugeln immer mehr Platz. In acht Dimensionen sind die Lücken nun so beschaffen, dass in sie hinein genau eine identische Kopie der Kugelpackung passt. Die Mittelpunkte aller Kugeln bilden nun das E8-Gitter.
Also nochmal zu den beiden Fragen: ich sehe formal, dass bei der E8 irgendwie Schluss ist, ich verstehe aber nicht, warum!
super, wir sind da auf einer Wellenlänge - leider wissen wir aber beide E8 beide auch nicht weiter.
Danke für die Skripte - insbs. das zweite ist schon ziemlich ausführlich.
Es gibt eine Reihe von Merkwürdigkeiten bei den Lie-Algebren im Allgemeinen und ei der E8 im speziellen. Insbs. ist die Verwandschaft der Algebren mit den kristallographischen Gittern erstaunlich - auf den ersten Blick aben die ja nun wirklich nichts miteinander zu tun. Wegen dieser Verwandtschaft folgt eine zweite Eigenschaft, nämlich die, dass die unimodularen Gitter (die mit jeweils gleich langen Vektoren) etwas mit den dichtesten Kugelpackungen in den jeweiligen Dimensionen zu tun haben.
Die Darstellung der Vektoren von Wilfried kann man wie folgt veranschaulichen: Man nehme ein Schachbrett un setze auf jedes schwarze Feld eine Kugel; die Kugeln berühren sich gegenseitig. Die gleiche Konstruktion mit wechselweise freigelassenen Positionen kann man nun auch in drei und mehr Dimensonen durchführen. Dabei bleibt zwischen den Kugeln immer mehr Platz. In acht Dimensionen sind die Lücken nun so beschaffen, dass in sie hinein genau eine identische Kopie der Kugelpackung passt. Die Mittelpunkte aller Kugeln bilden nun das E8-Gitter.
Also nochmal zu den beiden Fragen: ich sehe formal, dass bei der E8 irgendwie Schluss ist, ich verstehe aber nicht, warum!
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Mal ne kurze Anmerkung, wo die E8 bei der Stringtheorie eine zentrale Rolle spielt:
Es gibt eine äußerts seltsame Theorie (heterotische Stringtheorie), in der man eine Mischung aus rein bosonischer und echter Superstringtheorie beschreibt. Die bosonische Stringtheorie lebt dabei in 26 Dimensione, die Superstringtheorie in nur 10 Dimensionen. Diese beiden Dimensionen liegen fest, da nur in diesen Dimensionen die sogenannte konforme Anomalie verschwindet. Es handelt sich dabei um einen Zusammenbruch einer klassischen Symmetrie, die die entsprechende Quantentheorie inkonsistent werden lässt.
Konforme Symmetrie bedeutet, dass auf der von den Strings aufgespannten Weltfläche komplexe Koordinaten eingeführt werden können und dass die Theorie invariant unter konformen Transformationen (= Transformationen generiert durch analytische Funktionen einer komplexen Variablen) ist. Die konforme Symmetrie ist ein Spezialfall der Diffeomorphismeninvarianz, also der Invarianz bei Änderung des Koordinatensystems. In zwei Dimensionen verhält sie sich völlig anders, da sie dort durch die Entsprechung mit den komplexen Zahlen nicht durch eine endlichdimensionale sondern durch eine unendlich dimensionale Gruppe beschrieben wird.
Nun hat man zwischen bosonoscher und fermionischer Raumzeitdimensionen einen Unterschied von 16. Diese 16 wird man los, indem man sie kompaktifiziert. Man stelle sich das mal in zwei Dimensionen vor: zeichne eine Raute auf ein Papierschneide sie aus und klebe gegenüberliegende Kanten zusammen; man erhält einen verdrehten Torus (das ist der kompaktifizierte Raum). Auf diesem Torus kann man nun Funktionen und Quantenfelder betrachten. Es ist völlig äquivalent, statt des Ausschneidens die Raute unendlich oft auf das Papier zu zeichen, so dass ein regelmäßiges (zweidimensionales) Gitter entsteht. Die Funktionen und Quantenfelder müssen dann periodisch bezüglich dieses Gitters sein. Im Falle des heterotischen Strings ist das Gitter nun 16- statt zwei-dimensional.
Interessanterweise generiert dieses Gitter eine entsprechende Eichsymmetrie für den heterotischen String, d.h. es entsteht eine Stringtheorie, in der Eichfeldern auf der Stringfläche leben. Das ist der oben beschrieben Rückweg - ausgehend vom Dynkindiagramm über die Wurzelvektoren zur Liealgebra und schließlich zur Liegruppe.
Man kann nun alle möglichen 16-dimensionalen Kristallgitter untersuchen und stellt fest, dass sie alle bestimmte Eichsymmetrien generieren. Dann muss man jedoch prüfen, ob diese Eichsymmetrien mathematisch konsistent sind. Dazu betrachtet man eine bestimmte Form der Wechselwirkung aus Eichbosonen, Fermionen und Gravitonen. Nur für zwei mögliche Eichsymmetrien, nämlich E8*E8 und SO(32) kann die dabei auftretende Anomalie konsistent beseitigt werden. Dies ist der sogenannte Green-Schwarz Mechanismus.
Man erhält also aus den vielen Möglichkeiten genau zwei Eichsymmetrien, die mathematisch konsistent formuliert werden können. Die E8*E8 Symetrie ist dabei besonders interessant, da die E8 eine SO(10) Untergruppe enthält, die man aus den GUT-Theorien kennt, die also alle bekannten WWs (stark und el.-schw.) vereint. Der zweite E8-Faktor ist eine Art Schattenreich, das nur indirekt mit der ersten E8 wechselwirkt. In der zweiten E8 können andere Felder leben als in der "für uns zuständigen".
Aber das ist natürlich alles Spekulation, solange man für die Stringtheorie keine experimentell überprüfbaren Vorhersagen machen kann.
Es gibt eine äußerts seltsame Theorie (heterotische Stringtheorie), in der man eine Mischung aus rein bosonischer und echter Superstringtheorie beschreibt. Die bosonische Stringtheorie lebt dabei in 26 Dimensione, die Superstringtheorie in nur 10 Dimensionen. Diese beiden Dimensionen liegen fest, da nur in diesen Dimensionen die sogenannte konforme Anomalie verschwindet. Es handelt sich dabei um einen Zusammenbruch einer klassischen Symmetrie, die die entsprechende Quantentheorie inkonsistent werden lässt.
Konforme Symmetrie bedeutet, dass auf der von den Strings aufgespannten Weltfläche komplexe Koordinaten eingeführt werden können und dass die Theorie invariant unter konformen Transformationen (= Transformationen generiert durch analytische Funktionen einer komplexen Variablen) ist. Die konforme Symmetrie ist ein Spezialfall der Diffeomorphismeninvarianz, also der Invarianz bei Änderung des Koordinatensystems. In zwei Dimensionen verhält sie sich völlig anders, da sie dort durch die Entsprechung mit den komplexen Zahlen nicht durch eine endlichdimensionale sondern durch eine unendlich dimensionale Gruppe beschrieben wird.
Nun hat man zwischen bosonoscher und fermionischer Raumzeitdimensionen einen Unterschied von 16. Diese 16 wird man los, indem man sie kompaktifiziert. Man stelle sich das mal in zwei Dimensionen vor: zeichne eine Raute auf ein Papierschneide sie aus und klebe gegenüberliegende Kanten zusammen; man erhält einen verdrehten Torus (das ist der kompaktifizierte Raum). Auf diesem Torus kann man nun Funktionen und Quantenfelder betrachten. Es ist völlig äquivalent, statt des Ausschneidens die Raute unendlich oft auf das Papier zu zeichen, so dass ein regelmäßiges (zweidimensionales) Gitter entsteht. Die Funktionen und Quantenfelder müssen dann periodisch bezüglich dieses Gitters sein. Im Falle des heterotischen Strings ist das Gitter nun 16- statt zwei-dimensional.
Interessanterweise generiert dieses Gitter eine entsprechende Eichsymmetrie für den heterotischen String, d.h. es entsteht eine Stringtheorie, in der Eichfeldern auf der Stringfläche leben. Das ist der oben beschrieben Rückweg - ausgehend vom Dynkindiagramm über die Wurzelvektoren zur Liealgebra und schließlich zur Liegruppe.
Man kann nun alle möglichen 16-dimensionalen Kristallgitter untersuchen und stellt fest, dass sie alle bestimmte Eichsymmetrien generieren. Dann muss man jedoch prüfen, ob diese Eichsymmetrien mathematisch konsistent sind. Dazu betrachtet man eine bestimmte Form der Wechselwirkung aus Eichbosonen, Fermionen und Gravitonen. Nur für zwei mögliche Eichsymmetrien, nämlich E8*E8 und SO(32) kann die dabei auftretende Anomalie konsistent beseitigt werden. Dies ist der sogenannte Green-Schwarz Mechanismus.
Man erhält also aus den vielen Möglichkeiten genau zwei Eichsymmetrien, die mathematisch konsistent formuliert werden können. Die E8*E8 Symetrie ist dabei besonders interessant, da die E8 eine SO(10) Untergruppe enthält, die man aus den GUT-Theorien kennt, die also alle bekannten WWs (stark und el.-schw.) vereint. Der zweite E8-Faktor ist eine Art Schattenreich, das nur indirekt mit der ersten E8 wechselwirkt. In der zweiten E8 können andere Felder leben als in der "für uns zuständigen".
Aber das ist natürlich alles Spekulation, solange man für die Stringtheorie keine experimentell überprüfbaren Vorhersagen machen kann.
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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Sir Karl R. Popper
Nochmal ein paar Sätze zum E(8)-Gitter.
Man betrachte zunächst ein D(N)-Gitter. Dazu denke man sich ein N-dimensionales Schachbrett, jeder Hyperwürfel wird abwechselnd schwarz und weiß gefärbt. Man platziere nun in die Mitte jedes weißen Würfels eine Kugel maximalen Radius', so dass sie die benachbarten Kugeln gerade berührt. Die Konstruktion mit dem Schachbrett bedeutet in Koordinatenschreibweise, dass man alle Punkte
_{n=1..N})
betrachtet, wobei die Bedingung gilt, dass die Summe der ganzzahligen Koordinaten
gerade ist. Also sind z.B. die Vektoren (1,1,0,...,0), (1,-1,0,...,0) erlaubt, der Vektor (1,0,...,0) dagegen verboten.
Berechnet man nun den minimalen Abstand der Gittervektoren, so findet man z.B. für den Abstand d des ersten o.g. erlaubten Vektors zum Ursprung:
Dies ist das D(n)-Gitter.
Man kann nun versuchen; eine Kopie dieses Gitters in das Giter selbst hineinzulegen. Dazu verschiebt man es um 1/2 in jede Koordinatenrichtung. Summe der ganzzahligen oder halbzahligen Koordinaten ist wieder gerade.
Also sind z.B. die neuen Vektoren (1/2, 1/2, ... 1/2), (1/2, ... 1/2, -1/2, ..., -1/2,-) erlaubt, der Vektor (1,...1, 1/2, ... 1/2) dagegen verboten, da nich alle Koordinaten ganz- bzw. halbzahlig sind.
An die neuen Gitterpunkte werden nun wiederum Kugeln so eingepasst, dass sie sich und die bereits vorhandenen Kugeln gerade berühren. Die Frage ist nun, in welcher Dimension dieses neue Gitter so eingepasst werden kann, dass die neuen Kugeln genauso groß sind wie die alten Kugeln. Berechnet man nun den minimalen Abstand eines neuen Gittervektors zum Ursprung, so findet man z.B. für den Abstand d des ersten erlaubten Vektors (1/2, 1/2, ... 1/2):
^2 + (1/2)^2 + ... } = \sqrt{N \cdot 1/4})
Setzt man nun N=8, so erhält man wiederum
Dies ist die Konstruktion des E(8)-Gitters.
Leider hilft auch diese Konstruktion nicht weiter, um zu verstehen,warum in höheren Dimensionen keine ähnlichen Gitter bzw. Lie-Algebren existieren.
Man betrachte zunächst ein D(N)-Gitter. Dazu denke man sich ein N-dimensionales Schachbrett, jeder Hyperwürfel wird abwechselnd schwarz und weiß gefärbt. Man platziere nun in die Mitte jedes weißen Würfels eine Kugel maximalen Radius', so dass sie die benachbarten Kugeln gerade berührt. Die Konstruktion mit dem Schachbrett bedeutet in Koordinatenschreibweise, dass man alle Punkte
betrachtet, wobei die Bedingung gilt, dass die Summe der ganzzahligen Koordinaten
gerade ist. Also sind z.B. die Vektoren (1,1,0,...,0), (1,-1,0,...,0) erlaubt, der Vektor (1,0,...,0) dagegen verboten.
Berechnet man nun den minimalen Abstand der Gittervektoren, so findet man z.B. für den Abstand d des ersten o.g. erlaubten Vektors zum Ursprung:
Dies ist das D(n)-Gitter.
Man kann nun versuchen; eine Kopie dieses Gitters in das Giter selbst hineinzulegen. Dazu verschiebt man es um 1/2 in jede Koordinatenrichtung. Summe der ganzzahligen oder halbzahligen Koordinaten ist wieder gerade.
Also sind z.B. die neuen Vektoren (1/2, 1/2, ... 1/2), (1/2, ... 1/2, -1/2, ..., -1/2,-) erlaubt, der Vektor (1,...1, 1/2, ... 1/2) dagegen verboten, da nich alle Koordinaten ganz- bzw. halbzahlig sind.
An die neuen Gitterpunkte werden nun wiederum Kugeln so eingepasst, dass sie sich und die bereits vorhandenen Kugeln gerade berühren. Die Frage ist nun, in welcher Dimension dieses neue Gitter so eingepasst werden kann, dass die neuen Kugeln genauso groß sind wie die alten Kugeln. Berechnet man nun den minimalen Abstand eines neuen Gittervektors zum Ursprung, so findet man z.B. für den Abstand d des ersten erlaubten Vektors (1/2, 1/2, ... 1/2):
Setzt man nun N=8, so erhält man wiederum
Dies ist die Konstruktion des E(8)-Gitters.
Leider hilft auch diese Konstruktion nicht weiter, um zu verstehen,warum in höheren Dimensionen keine ähnlichen Gitter bzw. Lie-Algebren existieren.
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
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Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
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wilfried
- Ehrenmitglied
- Beiträge: 2071
- Registriert: 20. Aug 2006, 10:18
- Wohnort: Mitten druff auf d'r Alb
- Kontaktdaten:
Tag Tom
ich habe den Eindruck, Du suchst hier nach Symmetrien, die aber bei diesen Konstruktionen nicht vorhanden sind.
Ist halt so, das müssen wir offensichtlich erst mal akzeptieren. Aber nur Mut mein Freund, vieleicht findest Du ja irgendwann eine Symmetrie, nur dann -und da bin ich mir sehr sicher- schreibst Du auch diese Gruppenkonstruktionen um. Dann werden aus den Ausnahme Gruppen plötzlich reguläre Gruppen und Dein Weltbild stimmt wieder.
Gruß mit etwas Ironie und Schadenfreude
Wilfried
ich habe den Eindruck, Du suchst hier nach Symmetrien, die aber bei diesen Konstruktionen nicht vorhanden sind.
Ist halt so, das müssen wir offensichtlich erst mal akzeptieren. Aber nur Mut mein Freund, vieleicht findest Du ja irgendwann eine Symmetrie, nur dann -und da bin ich mir sehr sicher- schreibst Du auch diese Gruppenkonstruktionen um. Dann werden aus den Ausnahme Gruppen plötzlich reguläre Gruppen und Dein Weltbild stimmt wieder.
Gruß mit etwas Ironie und Schadenfreude
Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
An den schadenfrohen Wilfried:
Ja, ich suche nach einer zusätzlichen "Symmetrie". Dabei handelt es sich aber nicht um eine normale Symmetriegruppe, sondern um die Möglichkeit, eine Konstruktion zu erweitern, die manchmal klappt, manchmal auch nicht:
Bisher sieht die Konstruktion wie folgt aus
Was ich versuche ist, herauszufinden, warum die Konstruktion für die E-Serie mit Gruppenrang 9, 10 und höher zusammenbricht. Ich gehe davon aus, dass es dafür einen mathematischen Grund geben muss. Wie ich weiter oben schon geschrieben habe, liegt angeblich folgender Grund vor: man erhält Rang 6, 7 und 8 der E-Serie aus den komplexen Zahlen, Quaternionen und Octonionen. Da letztere die letzte Divisonsalgebra sind (d.h. diese Konstruktion nicht weiter verallgemeinert werden kann), bricht die Reihe ab. Ich denke aber, es muss eine einfachere Begründung geben, da man es ja mit "einfachen" Kristallgittern in höheren Dimensionen zu tun hat. Deren Existenz oder Nichtexistenz sollte geometrisch ohne Rückgriff auf die Octonionen zu verstehen sein.
KLassifiziert man die Algebren / Gitter nach ihren Dynkin-Diagrammen, so stellt man fest, dass für die D-Serie folgende Konstruktion immer funktioniert:
D.h. man nach nach links beliebig viele weitere Wurzelvektoren anfügen.
Für die E-Serie dagegen bricht die Konstruktion mit n=8 ab; n+1=9 ist nicht mehr erlaubt!
Da es sich in diesen Diagrammen lediglich um Winkelbeziehungen zwischen Vektoren handelt, sollte man herausfinden können, warum die E-Serie bei n=8 endet, ohne auf Octonionen Bezug nehmen zu müssen.
Weiter oben habe ich geschrieben, dass der Übergang von n nach n+1 darin besteht zu dem Wurzelsystem einen neuen Vektor hinzuzufügen, der die Winkelrelationen aus dem Dynkin-Diagramm erfüllt. Man stellt fest, dass dies eben für E(9) scheitert! Man findet keinen linear unabhängigen Vektor, der die Relationen sämtlich erfüllt. Stattdessen ist der Vektor für E(9) linear abhängig von denen der E(8) bzw. hat für E(10) und höher negative Norm.
Wenn man mal diese Beziehung akzeptiert, dann steltl sich sofort die Frage, was es denn bedeutet, ein Dynkindiagramm zu haben, in dem ein Vektor dafür sorgt, dass das Gesamtsystem der Wurzeln linear abhängig wird bzw. dass Wurzeln mit negativer Norm auftreten. Was würde passieren, wenn man versucht, dazu wiederum eine Liealgebra zu rekonstruieren? welches Gebilde würde man erhalten?
Ja, ich suche nach einer zusätzlichen "Symmetrie". Dabei handelt es sich aber nicht um eine normale Symmetriegruppe, sondern um die Möglichkeit, eine Konstruktion zu erweitern, die manchmal klappt, manchmal auch nicht:
Bisher sieht die Konstruktion wie folgt aus
Was ich versuche ist, herauszufinden, warum die Konstruktion für die E-Serie mit Gruppenrang 9, 10 und höher zusammenbricht. Ich gehe davon aus, dass es dafür einen mathematischen Grund geben muss. Wie ich weiter oben schon geschrieben habe, liegt angeblich folgender Grund vor: man erhält Rang 6, 7 und 8 der E-Serie aus den komplexen Zahlen, Quaternionen und Octonionen. Da letztere die letzte Divisonsalgebra sind (d.h. diese Konstruktion nicht weiter verallgemeinert werden kann), bricht die Reihe ab. Ich denke aber, es muss eine einfachere Begründung geben, da man es ja mit "einfachen" Kristallgittern in höheren Dimensionen zu tun hat. Deren Existenz oder Nichtexistenz sollte geometrisch ohne Rückgriff auf die Octonionen zu verstehen sein.
KLassifiziert man die Algebren / Gitter nach ihren Dynkin-Diagrammen, so stellt man fest, dass für die D-Serie folgende Konstruktion immer funktioniert:
D.h. man nach nach links beliebig viele weitere Wurzelvektoren anfügen.
Für die E-Serie dagegen bricht die Konstruktion mit n=8 ab; n+1=9 ist nicht mehr erlaubt!
Da es sich in diesen Diagrammen lediglich um Winkelbeziehungen zwischen Vektoren handelt, sollte man herausfinden können, warum die E-Serie bei n=8 endet, ohne auf Octonionen Bezug nehmen zu müssen.
Weiter oben habe ich geschrieben, dass der Übergang von n nach n+1 darin besteht zu dem Wurzelsystem einen neuen Vektor hinzuzufügen, der die Winkelrelationen aus dem Dynkin-Diagramm erfüllt. Man stellt fest, dass dies eben für E(9) scheitert! Man findet keinen linear unabhängigen Vektor, der die Relationen sämtlich erfüllt. Stattdessen ist der Vektor für E(9) linear abhängig von denen der E(8) bzw. hat für E(10) und höher negative Norm.
Wenn man mal diese Beziehung akzeptiert, dann steltl sich sofort die Frage, was es denn bedeutet, ein Dynkindiagramm zu haben, in dem ein Vektor dafür sorgt, dass das Gesamtsystem der Wurzeln linear abhängig wird bzw. dass Wurzeln mit negativer Norm auftreten. Was würde passieren, wenn man versucht, dazu wiederum eine Liealgebra zu rekonstruieren? welches Gebilde würde man erhalten?
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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Sir Karl R. Popper
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wilfried
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- Registriert: 20. Aug 2006, 10:18
- Wohnort: Mitten druff auf d'r Alb
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Lieber Tom
ja danke für diese sehr interessante Antwort bzw. Ideenskizzierung!
im grunde sind diese Dynkin Diagramme ja nichts anderes als geometrische bzw. kombinatorische Gitter, in denen Codes verbunden werden.
In unseren Ing.Kreisen eher bekannt: Hamming Code.
Ich brauch jetzt hier nicht näher drauf eingehen, sondern ich sende Dir einen link zu einem sehr guten Skript von Prof Nebe und Dr. Künze von der RWTH Aachen.
http://www.math.rwth-aachen.de/~nebe/Vo ... Gitter.pdf
Das herausragende an diesem Skript sind 2 Dinge:
1. er erklärt die Lemma
2. er erklärt die Codierungen
Ich denke, diese systematische Vorgehensweise hilft Dir Deine Aufgabe eventuell verstehen zu können. Ich vermute zur Lösung wird es noch ein Weilchen brauchen, eher glaube ich, Du wirst uns berichten können, warum diese Lie Gruppen Ausnahme Gruppen sind.
Ich hoffe diese Literatur ist das, was Du brauchen kannst.
Gruß
Wilfried
ja danke für diese sehr interessante Antwort bzw. Ideenskizzierung!
im grunde sind diese Dynkin Diagramme ja nichts anderes als geometrische bzw. kombinatorische Gitter, in denen Codes verbunden werden.
In unseren Ing.Kreisen eher bekannt: Hamming Code.
Ich brauch jetzt hier nicht näher drauf eingehen, sondern ich sende Dir einen link zu einem sehr guten Skript von Prof Nebe und Dr. Künze von der RWTH Aachen.
http://www.math.rwth-aachen.de/~nebe/Vo ... Gitter.pdf
Das herausragende an diesem Skript sind 2 Dinge:
1. er erklärt die Lemma
2. er erklärt die Codierungen
Ich denke, diese systematische Vorgehensweise hilft Dir Deine Aufgabe eventuell verstehen zu können. Ich vermute zur Lösung wird es noch ein Weilchen brauchen, eher glaube ich, Du wirst uns berichten können, warum diese Lie Gruppen Ausnahme Gruppen sind.
Ich hoffe diese Literatur ist das, was Du brauchen kannst.
Gruß
Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
Hallo Wilfried,
danke für die Literatur. Ich weiß nicht, ob sie bei der speziellen Fragestellung weiterhilft - interessant ist sie auf jeden Fall.
Wenn ich was neues weiß, poste ich es auf jeden Fall hier im Forum.
Viele Grüße
danke für die Literatur. Ich weiß nicht, ob sie bei der speziellen Fragestellung weiterhilft - interessant ist sie auf jeden Fall.
Wenn ich was neues weiß, poste ich es auf jeden Fall hier im Forum.
Viele Grüße
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper