Funktionentheorie

[breaker]

Ich habs getan. Ich habe mir ein Buch über Funktionentheorie gekauft.

Die allgemeinen Erklärungen verstehe ich eigentlich ganz gut, aber, jedes Mal, wenn ich mir die Übungsaufgaben dazu anschaue, falle ich fast rückwärts vom Stuhl.
Zum Beispiel kann ich mir bis jetzt absolut nicht vorstellen, wie man eine Gleichung in der komplexen Zahlenebene veranschaulicht.
Die Gleichung [math]Im(#Frac(z-a,b)) = 0[/math]; a,b,z Є C
soll scheinbar eine Gerade sein, aber warum?

Wie kann man überhaupt in der komplexen Zahlenebene etwas darstellen?
Im kartesischen Koordinatensystem kann man alles mit y = ... schreiben. Gibt es da nicht ein ähnliches Patentrezept?

[wilfried]

Lieber breaker

Du machst Dir mal ´wieder das Leben unnütz schwer.

Die komplexen Zahlen, ich erzählte das ja bereits schon mal, sind eine Familie oder Gruppe von zusammengefügten Zahlen, wobei beide Zahlenteile senkrecht zueinander in einem KO erfasst werden.

Dabei ist per Definitionem die waagrechte Achse die der reellen Zahlen der Menge -infinity bis +infinity
Die der senkrechten Achse sind die reellen Zahlen des imaginären Anteils ebenfalls von unten aus der -Unendlichkeit bis nach oben in die +Unendlichkeit gehend.

Damit ist eine komplexe Zahl definiert als:

n*R Antei
k*I Anteil

n und k sind aus der Menge der Reelen Zahlen
R bezeichnet die Reelle (waagrechte
I die komplexe (imaginäre) (senkrechte) Achse

Damit ist ein Punkt der Ebene eine Zusammensetzung aus diesen beiden Teilen.
P(n*R, k*I)

Fragt man nach dem Abstand des Punktes P vom Schnittpunkt des KO S(0,0), so darf man eine Linie zeichnen von diesem Nullpunkt hin zum Punkt P.
Weitere Hilfslinien sind die beiden Projektionen von P aus auf die beiden Achsen. Verfolgst Du nun diese sich vom Nullpunkt über die Achsenschnittpunkte sowie dem Punkt P gebildete Fläche, so erkennst Du, dass die Ortslinie von O nach P diese Fläche teilt und sich damit 2 rechtwinklige Dreiecke ergeben.
Das ist eine Fundamentalerkenntnis einer der Eigenschaften dieser Zahlengruppe:
Ein beliebiger Punkt innerhalb der Ebene der komplexen Zahlen errechnet sich über die Wurzel der Summe der Kathetenflächen.

Verbinde mal folgende Punkte:
Ich benenne Punkte auf der rellen Achse mit einem R vor der Zahl
Punkte auf der komplexen Achse mit einem C vor der Zahl (Complex)

1. R-30 mit R30
2. C-20 mit C5.78
3. (C-40,R2) mit (C(-60,R2)
4. (C-40,R2) mit (C20),R2)
5. (C10,R10) mit C(40,R50)

Was kannst Du darüber aussagen? Wie kannst Du diese Verbindungen mathematisch beschreiben?

Netten gruß

Wilfried

[breaker]

Ich hab deinen Beitrag eben erst gelesen, aber so, ohne groß nachzudenken würde ich sagen,wenn man die Zahlen als Vektoren interpretieren kann, dann ist doch die Verbindung der zwei Pfeilspitzen die Differenz der Vektoren.
Also, spontan würde ich die beiden Zahlen abziehen.

[wilfried]

Lieber breaker

lerne sauber zu trennen:

Zahlen sind Skalare
Vektoren sind gerichtete Größen

Du musst etwas mehr Muße in Deine Überlegungen reinbringen, hektische Schnellschüsse werden Dir das Leben im zukünftigen Studium sehr schwer machen.

Wir Ingenieure und Wissenschaftler sind Leute, die "es langsam angehen" lassen.

Zu meinen Studenten -Diplomanden, Doktoranden- sage ich immer den Satz, wenn diese mir "mal gschwind" was sagen:

"Ich möchte Ihren Vortrag genießen"

Also: erst mal in Ruhe nachdenken, dann geht es weiter

Gruß

Wilfried

[breaker]

Alles, was ich machen kann, ist, zu versuchen, die gewohnten Methoden aus dem Reellen zu übertragen.
Ich hab jetzt keine mathematische Beschreibung für die Verbindungsstrecken dieser Punkte, aber, bin beim Suchen auf das gekommen:

Also, was ich jetzt schreibe, kann genauso gut kompletter Müll sein:
Ich gehe mal von einer Gerade durch die Punkte 1+i und 5+4i aus.
Wenn ich so tue, als wäre es ein normales kartesisches Koordinatensystem, hätte ich die Punkte (1,1) und (5,4).
Eine Gerade (y = mx+b) da durch hat [math]m=#Frac(3,4) und b=#Frac(1,4), heißt also: y=#Frac(3,4)x+#Frac(1,4).[/math]
Jetzt schauen wir, wie das in der Gauß'schen Ebene aussieht. Alles in y-Richtung ist hier imaginär, also ist y, b und der Zähler der Steigung (delta y).
dann heißt die Gleichung: [math]yi=#Frac(3i,4)x+bi[/math]

oder: [math]4yi-i-3ix=0.[/math]

[wilfried]

Lieber breaker

das ist eine ungewöhnliche Form der Darstellung, die Du da zeigst.
Die Darstellung in der komplexen Zahlenebene folgt durchaus dem Vektorprinzip, aber wie ich ja sagte: es ist kein Vektor oder besser muss keiner sein!!

Du willst zum Zielpunkt vom Anfangspunkt aus. Folge demzufolge der realen Achse, dann der komplexen Achse und Du erhälst

z = a + ib .... ich vermeide dieses "y". Da ist für kartesische gebräuchlich.

Dann kannst Du auch über die Winkelbeziehung gehen.

die Projektion auf der x-Achse ergibt den cosinus
die Projektion auf der y-Achse den sinus ... dran denken: komplexe Achse!!

Du erhälst:

z = cos (alpha) + i sin(alpha)

Jetzt kann es sein dass Du aus irgendwelchen Gründen den Betrag der Strecke Zielpunkt - Anfangspunkt kennst.
Dann kannst Du die Koordinaten ausrechnen:

a = r cos(alpha)
b = r sin (alpha)

Dann kannst Du auch den Winkel alpha mit arccos a/r oder arctan b/a oder arctan (a/b + pi) berechnen

wenn Du dann noch weisst, dass
cos (alpha) + isin(alpha) = e^(i alpha) ist

dann kannst Du schreiben

Z = r e^(i alpha)

Lies mal über komplexe Zahlen. Wie ich ja schon desöfteren sagte:

erst lesen
dann spielen damit, manche sagen üben
dann nachdenken: "was habe jetzt gelernt"
dann anwenden und bei offenen Fragen nach oben gehen und nochmals nachsehen

So wird dann langsam ein Schuh daraus.

Netten Gruß

Wilfried

[AlTheKingBundy]

ich hab mal die aufgabe gelöst. es interessiert dabei gar nicht die darstellung in einem diagramm, sondern die gleichung, die dabei herauskommt:



im letzten schritt habe ich z-a als neue komplexe zahl aufgefasst und das ganze auf beiden seiten in polarkoordinaten transformiert (siehe wilfried). das ergebnis ist eine geradengleichung, in schönerer form, wenn man den einen tan auf y und den anderen auf x setzt.



nächste aufgabe

[breaker]

Äh, langsam. Was meinst du mit 'z-a als neue komplexe Zahl aufgefasst'?

Wenn man nur den Imaginärteil von etwas nimmt, hat man doch automatisch nur noch reelle Zahlen, oder nicht?

Wenn ich mir die Gleichung so anschaue...
Kann man zi-ai als delta(y) und zr-ar als delta(x) interpretieren? Und bi als Wert auf der imaginären Achse und br als Variable?
Dann hätte man ja so eine y = mx - Form, oder?

[AlTheKingBundy]

komplexe zahlen kann man subtrahieren und addieren wie normale zahlen, d.h. man subtrahiert dann die realteile und die imaginärteile der beiden komplexen zahlen. ergebnis ist eine neue komplexe zahl. imaginär- und realteil einer komplexen zahl sind reell, das einzig imaginäre ist das i was in einer komplexen zahl auftaucht.

ich würde die sache nicht komplizierter machen als sie ist. fange nicht mit delta x und delta y an, das bringt dich hier nicht weiter, es wurden einfach zahlen voneinander abgezogen ohne den hintergedanken einer differentiellen betrachtung. in der aufgabe sind alle real- und imaginärteile variablen, der trick an der sache ist, dass man durch die darstellung der komplexen zahlen in radius und winkel, die aufgabe auf zwei winkel reduzieren kann, die du dann x und y nennen darfst.

[breaker]

Ich verstehe die Herleitung der Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen nicht.
In dem Buch, in dem das erklärt ist, ist dieser Abschnitt ziemlich... komplex (kleiner eingebauter Witz, haha.)

Ich weiß eigentlich gar nicht, wie ich fragen soll.
Am Anfang steht die Gleichung Az=lz. Wobei (so wie ich das verstanden habe) A wohl das totale Differential einer Funktion und l die Ableitung sein soll. Falls jemand weiß, was ich meine: was soll die Gleichung jetzt genau?

Und etwas später wird der Funktion eine Matrix zugeordnet, was scheinbar in der reellen Analysis gebräuchlich ist, wovon ich aber auch noch nie was gehört habe. Kennt da jemand vielleicht einen Link, wo das erklärt wird?

[breaker]

Ihr werdet es nicht glauben, aber ich habe ein Problem.
Es gibt eine Aufgabe, in der die Herleitung der Fouriertransformierten von e^-(x²/2) vorkommt.
Die behaupten ganz am Anfang:
integral[e^(-0,5(x+ia)²)]dx = integral[e^-(x²/2)]dx = sqrt(2 pi).
x,a sind reelle Zahlen, beide Integrale gehen von minus unendlich bis unendlich.
Wie in aller Welt kommt man denn darauf? Ich meine, wie kriegen die das a weg? Ich hab schon versucht, Real- und Imaginärteil zu trennen, aber das hat irgendwie nicht zum Erfolg geführt...

[tomS]

Man integriert die Funktion exp -z²/2 entlang eines Rechtecks. Erste Seite ist die x-Achse, gegenüberliegende Seite ist die Parallele zur x-Achse, aber um a in i-Richtung verschoben. Die letzten beiden Seiten liegen im Unendlichen und haben jeweils die Länge a in i-Richtung.

Da die Funktion exp -z²/2 holomorph ist ergibt das Integral entlang des Rechtecks (eine geschlossene Kurve) Null.

Die beiden Integrale entlang der beiden im Unendlichen liegenden Seiten der Länge a ergeben 0, da die Funktion exp -z²/2 gegen Null geht, wenn |Re z| gegen Unendlich geht.

Damit ist aber das Integral entlang der x-Achse + das Integral entlang der gegenüberliegenden Seite gleich 0.

Nun muss man noch berücksichtigen, dass das Integral entlang der gegenüberliegenden Seite von + Unendlich nach - Unendlich durchlaufen wird (entgegengesetzt der Richtung für das Integral entlang der x-Achse). Dreht man nun die Integrationsrichtung um, so dreht sich auch das Vorzeichen um und man sieht, dass beide Integrale identisch sind, d.h. dass der Wert nicht von a abhängt.

[breaker]

Wow, genau das hat mir gefehlt, danke.

[tomS]

Und kennst du auch den Trick, wie man den genauen Wert des Integrals, also sqrt(2 pi), berechnet?

[breaker]

Hm, keine Ahnung. Ich hab schonmal meinen Mathelehrer gefragt, wie man überhaupt diese Fehlerfunktion (Stammfunktion von e^-x²) bekommt, wenn man e^-x² doch nicht integrieren kann. Der hat nur gemeint, man hätte den Flächeninhalt eben angenähert und das dann als Funktionswerte genommen.
Vermuten würde ich, dass erf(x) eben ein Grenzwertverhalten hat, sodass der Wert für x -> ∞ eben gegen √2π geht.

[tomS]

Sag ihm einen schönen Gruß von einem PHYSIKER und frag ihn, für welches Studium er seinen MATHEMATIK-Abschluss bekommen hat.

Lösung für das bestimmte Integral:

es geht um das Integral

∫ dx exp(-x²/2)

von - unendlich bis + unendlich;
wir berechnen stattdessen das Quadrat

[∫ dx exp(-x²/2) ]²

und schreiben das um als

∫ dx exp(-x²/2) ∙ ∫ dy exp(-y²/2) = ∫ dx dy exp(-x²/2 - y²/2)

jetzt machen wir eine Koordinatentransformation von kartesischen auf Polarkoordinaten: aus dx dy wird r rd dφ; r-Integration von 0 bis + unendlich, φ-Integration von 0 bis 2π; aus (-x²/2 - y²/2) wird (-r²/2) , also

∫ r dr dφ exp(-r²/2) = ∫ dφ ∙ ∫ dr r exp(-r²/2)

Die φ-Integration kann man sofort ausführen, da der Integrand nicht von φ abhängt; das ergibt einfach 2π
es bleibt also

2π ∫ r dr exp(-r²/2)

Nun schreibt man

r ∙ exp(-r²/2) = -d/dr exp(-r²/2)

also

2π ∙ ∫ dr (-d/dr) exp(-r²/2) = 2π ∙ 1

da im r-Integral ein totales Differential steht, kann elementar integrieren: die Stammfunktion ist -exp(-r²/2); an den Grenzen 0 bzw. unendlich ausgewertet ergibt das r-Integral somit einfach 1;
insgesamt erhält man also 2π;

da wir zu Beginn das Quadrat des Integrals berechnet hatten (s.o.: [...]²) müssen wir jetzt noch die Wurzel ziehen – voilà.

[breaker]

Gilt die Methode eigentlich nur für das bestimmte Integral von -∞ bis ∞?
Die Schritte sind doch fast alle nicht von den Integrationsgrenzen abhängig.
Kann man damit auch alle einzelnen Funktionswerte ausrechnen (also sowas wie: sqrt(φ∙ ∫ (-d/dr) exp(-r²/2)·dr ) als Stammfunktion)?
Wenn nicht, würde es ja stimmen, dass man im Allgemeinen annähern muss.

[tomS]

Leider funktioniert das Verfahren nur für die genannten Integrationsgrenzen, weil bei anderen Grenzen bereits der Schritt mit der Trf. von kartesischen zu Polarkoordinaten scheitert.

Zwar funktioniert im Integranden alles hervorragend, aber entweder hast du ein Rechteck (in kartesischen Koordinaten einfach, aber in Polarkoordinaten kompliziert zu beschreiben) oder einen Kreis (umgekehrt). D.h. die Abhängigkeit von der Form des Integrationsgebietes kommt über die Integrationsgrenzen wieder rein, du hast dann z.B. winkelabhängige r-Grenzen oder r-abhängige Winkelgrenzen - und damit kannst du nichts mehr analytisch berechnen.

Nur im Falle von Unendlich gilt eben, dass die Grenzprozesse "unendlicher Kreis" und "unendliches Rechteck" zum selben Ergebnis führen.

[breaker]

Zwei kleine Randfragen seien noch erlaubt:

1. Warum kann man das eine x einfach in y umbenennen? (wenn man das nicht machen würde, bekäme man das r ja überhaupt nicht)

2. Warum darf man hier ∫a dx ∙ ∫b dy als ∫a∙b dx dy schreiben?

[tomS]

1. zum Umbenennen:
Es geht ja um ein Integral I bzw. um I². Das x wird "nach außen nicht sichtbar". Deswegen kann in jedem Integral beliebig umbenannt werden, also

∫ dx exp(-x²/2) = ∫ dy exp(-y²/2) = ...

2. zur Doppelintegration
Ich hab das ganze etwas lax formuliert. Am besten betrachtet man den umgekehrten Rechenweg, also zunächst das Integral

∫ ∫ dO f(r)

Es handelt sich hier um ein Doppelintegral, wobei natürlich noch das Gebiet im R² anzugeben ist, über das integriert wird. Vorausgesetzt, ich kann das Gebiet in Koordinaten p und q beschreiben, dann kann ich das Integral also durch p und q ausdrücken

∫ ∫ dp dq o(p,q) f(p,q)

Dabei ist o das "Flächennmaß" in den Variablen p und q. (Bei kartesischen Koordinaten ist es gleich 1, bei Polarkoordinaten ist es r). D.h. ich kann das formale Flächenelement dO umschreiben als

dO = dp dq o(p,q)

Soweit geht das immer, vorausgesetzt ich kann auch die Integrationsgrenzen in p und q angeben.

Wenn nun zufälligerweise gilt, dass die Funktion f in zwei multiplikative Faktoren zerfällt, also

f(p,q) = f¹(p) f²(q)

und wenn das gleiche für das Flächenmaß gilt, also

o(p,q) = o¹(p) o²(q)

dann habe ich für das Doppelintegral

∫ dp o¹(p) f¹(p) ∫ dq o²(q) f²(q)

denn das p-Integral enthält weder q-abhängigen Terme noch Integrationsgrenzen u.u.

Die letzten Schritte gelten aber eben nur, wenn die multiplikative Zerlegung funktioniert. So ist aber mein ursprüngliches Integral konstruiert.

[breaker]

Ich versuche eigentlich, die meisten Probleme, die sich ergeben, selbst zu ergründen, aber ich muss schonwieder fragen.

Welche Rolle spielt denn die Wahl der Kurve, über die integriert wird, bei der Cauchy'schen Integralformel?
f(z)∙2πi = ∫ f(ζ)/(ζ-z) dζ
Bis jetzt ist mir klar, dass sie eine Kreisbahn sein muss, komplett im Definitionsbereich von f liegen muss und dass z im Innern dieser Kurve liegen muss.
Trotzdem sehe ich immer wieder Integrale über die gleiche Funktion, bei denen sich nur die Kurve unterscheidet (bei der die oben genannten Kriterien erfüllt sind), die unterschiedliche Werte haben.
Welche Rolle spielt die Kurve genau und wie rechnet man das Integral aus? Wenn man die Formel anwendet, muss man die Kurve doch überhaupt nicht einsetzen, das stört mich am meisten.

[tomS]

Die Form der Kurve ist irrelevant; sie wird einfach so gewählt, dass das Integral berechenbar wird. Häufig findet man Kreise oder Halbkreise, bei meiner Rechnung oben war es ein (in einer Richtung) unendliches Rechteck.

Wichtig ist, dass f(z) innerhalb und auf der Kurve ein definiertes, holomorphes = analytisches Verhaltern aufweist. Singularitäten dürfen nie auf der Kurve liegen! Liegen sie im Inneren, so gibt es Formeln, wie man damit umgeht; Singularitäten sind dabei meist sogenannte Pole, d.h. die Funktion verhält sich ähnlich wie 1/x, 1/x², ...

Dann gibt es noch Singularitäten, die aus einer unendlichen Summe von Polen bestehen! Betrachte mal die Funktion
exp (-1/z²)
und jetzt betrachte den Grenzübergang dass z Null wird
- einmal für z rein rell
- einmal für z rein imaginär
und dann versuche mal, ein Taylorentwicklung für z=0 anzugeben

Es gibt auch linienförmige Singularitäten, d.h. dass die Funktion entlang einer Strecke oder Halbgerade nicht definiert ist; derartige Linien dürfen von der Kurve nicht geschnitten werden!
Ein Fall ist der Logarithmus, den man fur Re z < 0 nicht definieren kann.

[breaker]

Okay, hier nochmal:
Wie kann ich den Betrag von einem komplexen Polynom abschätzen, wenn auch negative und komplexe Koeffizienten vorkommen?

[tomS]

ich glaube, so generell gar nicht!

[breaker]

Guten Tag. Nach langer Zeit mal wieder eine Frage von mir hier:

Komplexe Kurvenintegrale. Kann man denn über ein Integral irgendetwas aussagen, wenn Pole auf der Kurve liegen?
Residuensatz und Cauchy'sche Integralformel gelten dann ja meines Wissens nach nichtmehr. Kann/muss man das von Hand ausrechnen?
Oder divergiert das immer?