Physik

[breaker]

Ich beginne jetzt mal mit dem Versuch, etwas Ordnung zu schaffen.
Hier soll mal alles mathematische rein, das direkt mit Physik zu tun hat.

[breaker]

Zum Beispiel so etwas wie die Schrödinger-Gleichung, zu der ich gerade ganz zufällig eine Frage hab.
Oder besser gesagt, zu Wellenfunktionen. Ich hab eine sehr gut verständliche PDF-Datei mit dem Weg zur Schrödinger-Gleichung gefunden, aber da werden nur reelwertige Wellenfunktionen behandelt und so wie ich das bis jetzt gesehen hab, sehen da die Operatoren für Energie und Impuls anders aus, als im komplexen.
Meine Frage: Warum werden manche Wellenfunktionen überhaupt komplex?
Und wie kommt die Form A·sin(...)+B·cos(...) zustande?

[gradient]

Also das mit A*sin(...)+B*cos(...) würde mich auch mal interessieren. Ich habe mich das schon länger gefragt, aber bisher noch keine Antwort gefunden.

Aber in dem Skript steht ja:
\fed\mixon\psi (x,t)=f(x)e^(i\phi)
Mit
\fedon\mixone^(i\phi)=cos \phi+i sin\phi
\fedoff
könnte man dann erklären, warum sin und cos vorkommen. Ich weiß aber nicht, ob das der echte Grund ist...

[AlTheKingBundy]

manche lösungen der schrödingergleichung, die ich hier nicht noch mal zitieren möchte, müssen komplex sein. so wird in der regel bei zeitunabhängigen reellen potentialen ein komplexer, energieabhängiger anteil von der wellenfunktion separiert:

psi = f(r)*exp(-i*E*t)

f(r) ist dann eine radienabhängige funktion (meinetwegen noch die winkel, bei kugelkoordinaten). da auf der linken seite der schrödingergleichung die ableitung nach der zeit steht mit einem i davor, wird nach abspaltung des zeitanteils eine reelle eigenwertgleichung aus der schrödingergleichung.

man muss bei den lösungen der schrödingergleichung auch höllisch aufpassen, dass dessen lösungen, bzw. genauer gesagt die erwartungswerte der observablen (das sind die wahrscheinlichkeitsdichte gewichteten integrale der operatoren) reell sind (energie, impuls, ort, drehimpuls...). d.h. nicht jede lösung der schrödingergleichung macht automatisch einen physikalischen sinn. aus diesem grunde müssen die lösungen u.a. auch quadratinegrierbar sein, d.h. man erhält eine normierende randbedingung:

integral ( betrag (psi*psi) ) < unendlich

oder oft = 1, damit die gesamtwahrscheinlichkeit, das teilchen irgendwo anzufinden 1 ist. diese randbedingung lässt nur lösungen für die wellenfunktionen zu, die für r gegen unendlich hinreichend schnell verschwinden.

[breaker]

da auf der linken seite der schrödingergleichung die ableitung nach der zeit steht mit einem i davor, wird nach abspaltung des zeitanteils eine reelle eigenwertgleichung aus der schrödingergleichung.

Ja, genau, wo kommt das i dann her?
In dem Skript wurde nur diese Eigenwertgleichung für die Gesamtenergie hergeleitet.
Die Operatoren für E und p auf deiner Seite haben nicht nur das i, sie sehen auch sonst ganz anders aus, als die reelen.

[AlTheKingBundy]

ganz einfach, nehmen wir mal die klassische energie-impulsbeziehung:

E = 1/(2m) p^2

in der quantenmechanik muss man energie und impuls durch operatoren ersetzen (ich setze mal die planckkonstante 1)

E -> i d/dt
px -> -i d/dx

usw.

dann folgt die operatorgleichung (die natürlich auf einen wellenfunktion wirken muss)

i d/dt = -1/(2m) * (d^2/dx^2 + d^2/dy^2 + d^2/dz^2)

[breaker]

Und wie leitet man diese Operatoren her? Die reellen hat man aus der Wellenfunktion mit A sin(...)+B cos(...) hergeleitet.
Aber, wenn man schon die Schrödinger-Gleichung braucht, um eine komplexe Wellenfunktion zu bekommen, kann man sie ja wahrscheinlich nicht so bekommen, oder?
Wenn doch, wie sieht die Wellenfunktion aus, die man zur Herleitung braucht und wie die Herleitung selber?

[AlTheKingBundy]

es gibt keine strenge herleitung oder einen exakten übergang von der klassischen physik zur quantenmechanik. an einer stelle werden immer die operatoren und die planckkonstante eingeführt, das muss man einfach mal so hinnehmen.

[breaker]

Ich meine, wo hat man denn die komplexen Operatoren her?
Bei den reellen hat man die Forderung gestellt: Mal will einen Operator, der die Wellenfunktion bis auf einen konstanten Faktor unverändert lässt und eine Aussage über z.B. die kinetische Energie macht.
Das erreicht man bei der sin+cos-Funktion durch zweimal ableiten und ein bisschen umstellen. Zack, da hat man den Operator.
Geht das bei einer komplexen Wellenfunktion genau so?

[AlTheKingBundy]

wenns weiter nichts ist, das hast du auch im komplexen mit exp(i*E*t)