Beweis f. Gleichheit zweier neutraler Elemente verallgemeinerbar?

[Pippen]

Gerade hab ich mir mal den Beweis dafür angesehen, dass es nur ein neutrales Element gibt, also zB nur eine Null bei der Addition oder nur eine Eins bei der Multiplikation.

Der Beweis geht so: Man nimmt an, e1 und e2 seien zwei neutrale Elemente. Dann blablabla. Am Ende zeigt sich: e1 = e2.

Da denke ich mir, schön, aber was ist mit einem e3, e4, e1542, die ich ja auch alle als neutrale Elemente annehmen kann. Müßte man im Anschluss genau genommen noch per voll. Induktion zeigen, dass die Gleichheit für beliebige e_n gilt, also e1 = e2, e1 = e2 = e3, e1 = e2 = e3 = e4 usw usf. oder ergibt sichd das bereits logisch - und warum?