Fragen

Beitrag von **gradient** » 12. Dez 2008, 22:23

Hallo,

für die erste Abschätzung schreibst du am besten die ersten Zahlen einfach mal hin, dann siehst du, dass sie richtig ist. Die zweite Abschätzung ist nur Ausnutzung der Teleskopsumme.
Es ist $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ .
Hilft das schon weiter? Der Rest ist nicht mehr so schwer, wenn du damit nochmal die Summe ausschreibst und erkennst, dass sich da fast alles aufhebt...

Beitrag von **belgariath** » 13. Dez 2008, 13:53

okay, danke, das mit der Teleskopreihe ist jetzt klar. Die Abschätzung ist mir aber noch nicht 100%ig einleuchtend. Ich hab' mir die Glieder geplottet, aber das heißt ja nicht, dass es für n gegen Unendlich auch noch immer der Fall ist.

Beitrag von **tomS** » 13. Dez 2008, 21:22

Probier's doch mal mit vollständiger Induktion

Beitrag von **belgariath** » 8. Jan 2009, 18:30

:
Mein Problem handelt sich um die Umordnung von unendlichen Reihen.

Es gilt für die alternierende Reihe
$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{\pi}{12}$
(hab's mit Mathematica berechnet)

Wenn man diese Reihe aber umordnet, indem man erst alle positiven Summanden addiert, ergibt sich
$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi}{8}$
(hab's mit Mathematica berechnet)

Nun ist aber doch $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ eine absolut konvergente Reihe. Und laut Umordnungsssatz sollte sie und jede ihrer Umordnungen denselben Grenzwert haben.
Wie passt das mit den beiden Berechnungen zusammen? Wo ist mein Fehler? (Oder hat mich Mathematica verarscht:)

Beitrag von **tomS** » 8. Jan 2009, 21:01

Ich komme durch Umordnung auf eine andere Reihe.

Für die ungeraden Terme schreibe ich n=(2m-1) mit m=1,2, ... und erhalte den Nenner (2m-1)². Für die geraden Terme schreibe ich n=(2m) mit m=1,2, ... und erhalte den Nenner (2m)².

Damit ergibt sich für die Summe

$\sum_{\tiny m=1}^{\tiny \infty}\left((2m-1)^{\tiny -2} - (2m)^{\tiny -2}\right)$

Also glaube ich eher, dass Mathematica recht hat.

Beitrag von **belgariath** » 9. Jan 2009, 17:52

Du meinst also, dass man die ungeraden UND die geraden Glieder berücksichtigen muss, auch wenn es unendlich viele ungerade sind?

In unserem Skript wurde nämlich das was ich oben gemacht habe mit der alternierenden harmonischen Reihe gemacht und gezeigt dass sie umgeordnet werden kann sodass sie nach +unendlich konvergiert:
Bild

Beitrag von **tomS** » 9. Jan 2009, 21:07

Das ist für die harmonische Reihe auch richtig.

Das beliebige Umordnen einer Reihe ist dann erlaubt, wenn die Reihe absolut konvergiert, d.h. wenn neben der Reihe a_n auch |a_n| konvergiert. Dann kann man nämlich leicht zeigen, dass der Grenzwert der Reihe a_n sicher zwischen den Grenzwerten von -|a_n| und +|a_n| liegt. Außerdem kann man zeigen, dass jede beliebige Teilfolge a_n' (wobei die n' nicht alle n umfassen) ebenfalls absolut konvergiert, da deren Grenzwert sicher kleiner dem der a_n ist.

Da Reihen mit ~1/n² alle absolut konvergent sind, gilt für diese das oben gesagte; sicher nicht jedoch für ~1/n, da diese Reihen eben nicht absolut konvergent sind (denn wäre ja gerade die divergente harmonische Reihe).

Beitrag von **wilfried** » 9. Jan 2009, 21:52

Tag Ihr Mathematik besessenen

ich msich mich mal ganz geschwind mit einer Moderatoren Bitte ein.

Dieser soooooooo lllllaaaaaaannnnnnnnggggggggggggeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee Beitrag wird nahaezu unleserlich.

Ich sagte das ja schon einmal. Bitte überlegt Euch, wie man dieses ein wenig besser strukturieren könnte.

Hintergrund ist: dies Frage Antwort Spiel ist sher interessant, so abundzu schaue ich auch hier rein und freue mich über dieses rege Interesse.

Nur: was haben andere davon, wenn die sich durch $\sum_{n=1} ^k n = infinity$ Seiten wühlen müssen um zu sehen, was eigentlich hier gemacht wird.

Überschriften, oder eine Inhaltsangabe eventuell kämen hier als ordnende Mittel in Frage um dieser Vielzahl an Seiten auch das Interesse der anderen, eher außenstehenden, angedeihen zu lassen.

Macht euch bitte (Tom, Belgariath, gradient, breaker) Gedanken darüber, wie ihr Eure Beiträge dem Normal Forenbenutzer besser visualisiert, was ihr da beredet.

Gruß

Wilfried

Beitrag von **tomS** » 9. Jan 2009, 22:45

Hi Wilfried,

ich hab diesen Thread einfach so verstanden, dass wenn gerade jemand ein Problem hat, er das hier ablädt und schaut, ob Hilfe kommt. Ich dachte nie, dass da eine Struktur rein soll.

Aber du hast recht, man kann dazu natürlich auch mal ein neues Thema aufmachen :-)

Beitrag von **wilfried** » 9. Jan 2009, 22:58

Tag Tom

schon, das weiß ich und wir hatten es auch alle so gesehen.

NUR: Diese Beiträge sind alle so interessant und facettenreich, daß ich es schlicht schade finde, daß hierin a) das Suchen so schwer ist und b) damit verbunden auch die Übersicht der Themen nicht mehr da ist.

Ich möchte Euch einfach eimal triggern nachzudenken, was man hierin verbessern könnte, um diese Beiträge übersichtlicher zu gestalten.

Gruß

Wilfried