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Deiser Mengenlehre

Mathematische Fragestellungen
Pippen
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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von Pippen » 24. Mai 2021, 15:18

ralfkannenberg hat geschrieben:
21. Mai 2021, 10:49
Pippen hat geschrieben:
21. Mai 2021, 00:45
Weiterhin g: B -> A -> A‘ -> B = B -> rng(g) = bijektiv, weil in ihr nur bereits bijektive Funktionen verkettet sind.
Vorsicht; das muss ich mir noch anschauen. Ich vermute, dass das stimmt, also dass g: B -> rng(g) bijektiv ist.
Das ist also der noch offene Punkt unseres Beweises, denn wir haben ja schon gezeigt, dass rng(g) eine echte Teilmenge von B ist.

Als erstes wäre die Frage, ob man statt g: B -> A -> A‘ -> B auch schreiben kann g: B -> rng(g). Davon gehe ich hier erstmal aus.

Dann wäre die Frage, ob g: B -> rng(g) bijektiv ist. Nun, surjektiv ist es auf jeden Fall, weil ja rng(g) per Definition von mindestens einem Element aus seiner Domain getroffen wird. Es müsste also g: B-> rng(g) auch injektiv sein und hier hilft uns, dass g: B-> rng(g) nichts anderes ist als g: B -> A -> A‘ -> B, denn trivial sind schonmal die Teile B -> A und A -> A‘ injektiv (weil sie per Voraussetzung bijektiv sind). A‘ -> B ist injektiv, weil A‘ -> A -> B trivial bijektiv und damit auch injektiv wäre und wir jederzeit die Funktionsvorschrift so legen können, dass bei A‘ -> B ein Element a’ ∈ A’ so auf B zielt, als ob es zugleich auf das a ∈ A zielt, was dann letztlich bijektiv auf B zielen würde. Durch diesen Trick „ziehen“ wir die Bijektivität von A -> B und A -> A’ zusammen auf A‘ -> B.

Ich weiß nicht, ob dich das überzeugt, aber selbst wenn dann muss es doch einen eleganteren Weg geben, es aufzuschreiben. Oder wie würdest du die Bijektion g: B -> rng(g) beweisen?

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 24. Mai 2021, 22:51

Pippen hat geschrieben:
24. Mai 2021, 15:18
Das ist also der noch offene Punkt unseres Beweises, denn wir haben ja schon gezeigt, dass rng(g) eine echte Teilmenge von B ist.
Hallo Pippen,

"offen" in dem Sinne ist dieser Punkt nicht, denn wir brauchen das m.E. gar nicht beweisen, es wäre nur interessant zu wissen, ob dem so sei.

Pippen hat geschrieben:
24. Mai 2021, 15:18
Dann wäre die Frage, ob g: B -> rng(g) bijektiv ist. Nun, surjektiv ist es auf jeden Fall, weil ja rng(g) per Definition von mindestens einem Element aus seiner Domain getroffen wird.
Und das ist der Punkt, den ich am Bildschirm übersehen hatte.

Pippen hat geschrieben:
24. Mai 2021, 15:18
Es müsste also g: B-> rng(g) auch injektiv sein
Dass g injektiv ist dürfte ausser Zweifel stehen.

Pippen hat geschrieben:
24. Mai 2021, 15:18
und hier hilft uns, dass g: B-> rng(g) nichts anderes ist als g: B -> A -> A‘ -> B, denn trivial sind schonmal die Teile B -> A und A -> A‘ injektiv (weil sie per Voraussetzung bijektiv sind). A‘ -> B ist injektiv, weil A‘ -> A -> B trivial bijektiv und damit auch injektiv wäre und wir jederzeit die Funktionsvorschrift so legen können, dass bei A‘ -> B ein Element a’ ∈ A’ so auf B zielt, als ob es zugleich auf das a ∈ A zielt, was dann letztlich bijektiv auf B zielen würde. Durch diesen Trick „ziehen“ wir die Bijektivität von A -> B und A -> A’ zusammen auf A‘ -> B.

Ich weiß nicht, ob dich das überzeugt, aber selbst wenn dann muss es doch einen eleganteren Weg geben, es aufzuschreiben.
Vielleicht etwas umständlich, aber m.E. elegant genug. Die Injektivität ist bei der Verkettung mehrerer bijektiver Funktionen m.E. ohnehin nicht das Problem, sondern lediglich die Surjektivität, die aber natürlich durch b: B -> rng(g) gegeben ist. Sorry dass ich dieses banale Argument übersehen hatte - es fällt mir einfacher, Beweise auf einem Blatt Papier und nicht am Bildschirm zu führen.
Pippen hat geschrieben:
24. Mai 2021, 15:18
Oder wie würdest du die Bijektion g: B -> rng(g) beweisen?
Über die Verkettung von Bijektionen. Man muss einfach sicherstellen, dass die involvierten Mengen gleich des Definitionsbereiches ("dom(f)") bzw. des Wertebereiches ("rng(f)") sind.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von Pippen » 28. Mai 2021, 18:05

Ok, damit wäre der erste Beweis von Deiser abgehandelt. Wir kommen zum nächsten Beweis, den ich hoffentlich jetzt richtig paraphrasiere, wobei ich eine kritische Passage, bei der ich mir etwas unsicher bin, rot markiert habe:

Satz: Wenn A ⊆ B und A unendlich, dann auch B unendlich.

Beweis: Sei A' ⊂ A und f: A -> A' sei bijektiv, was nach Dedekind aus A als unendlicher Menge folgt. Sei weiter A ⊆ B.
Sei weiter g: f ⋃ idB\A, so dass g(x) = f(x) für x ∈ A und g(x) = x für x ∈ B\A.
Dann ist wieder ein z ∈ A\A' wegen A' ⊂ A, also z ∉ A', weshalb auch z ∉ rng(g), denn rng(g) = A' ⋃ B\A ⊂ B.
Nun ist g: f ⋃ idB\A = B -> rng(g) bijektiv. Denn wegen der Definition von rng(g) ist sie jedenfalls surjektiv. Sie ist auch injektiv, weil beide Teile von g (f und idB\A) bijektiv und damit injektiv.
Also haben wir rng(g) ⊂ B und g: B -> rng(g) ist bijektiv, wodurch nach Dedekind's Definition B unendliche Menge ist. ☐

Ist das so in Ordnung?

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 30. Mai 2021, 00:02

Pippen hat geschrieben:
28. Mai 2021, 18:05
Ist das so in Ordnung?
Hallo Pippen,

sorry, aber mir fehlt für diese Art Beweise das Interesse. Ich habe den einen jetzt durchgekäut, da gibt es immer noch (unwichtige) offene Punkte, aber das genügt mir. Die anderen werden wohl ähnlich angesetzt und durchgeführt werden.

Der Ansatz von Dedekind ist sicher gut und wichtig, nicht nur aus axiomatischer Sicht, sondern beispielsweise auch, wenn man sich mit Masstheorie und Lebesque-Integralen beschäftigt, aber wie gesagt: das tangiert nicht mein Interessensgebiet. Einen Beweis beispielhaft im Detail durchzugehen ist ok, aber für alles weitere bitte ich andere Forenuser, das zu begleiten.

So ist es für mich eigentlich banal, dass wenn gilt A ⊆ B und A unendlich, dass dann auch B unendlich, da die "Übermenge" einer unendlichen Menge ja nicht endlich sein kann. - aber ja: Dedekind benutzt eine andere Definition und da muss man natürlich solche Resultate im Rahmen dieser Definition beweisen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 30. Mai 2021, 00:15

Pippen hat geschrieben:
28. Mai 2021, 18:05
Sei weiter g: f ⋃ idB\A, so dass g(x) = f(x) für x ∈ A und g(x) = x für x ∈ B\A.
Dann ist wieder ein z ∈ A\A'
Hallo Pippen,

ein Frage: auch bei diesem Beweis hast Du einen Satz weggelassen:
Dann ist g injektiv.
Das ist doch wesentlich in der Beweisführung.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 30. Mai 2021, 12:19

Pippen hat geschrieben:
28. Mai 2021, 18:05
g: f ⋃ idB\A = B -> rng(g)
Hallo Pippen,

was ist Dir an dieser Stelle unklar ?

Pippen hat geschrieben:
28. Mai 2021, 18:05
Ist das so in Ordnung?
Wenn ich nichts übersehen habe ist Dein Beweis in Ordnung.


Kannst Du noch einmal kurz zusammenfassen, was die Beweisidee dieser Beweise ist ?


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von Pippen » 31. Mai 2021, 23:20

Ja, die Beweise werden langweilig. Eigentlich sollte die Krönung noch ein Beweis sein, wonach die Wegnahme eines Elements aus einer unendlichen Menge nichts an deren Unendlichkeit ändert. Aber das lasse ich jetzt mal, ich habs bei stackexchange reingestellt: https://math.stackexchange.com/q/4155497, falls es dich interessiert und du des Englischen mächtig bist.

Ich werde jetzt weiterlesen... al sehen, wann ich mich wieder melde. 😊

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von Pippen » 31. Mai 2021, 23:24

ralfkannenberg hat geschrieben:
30. Mai 2021, 12:19
Pippen hat geschrieben:
28. Mai 2021, 18:05
g: f ⋃ idB\A = B -> rng(g)
Hallo Pippen,

was ist Dir an dieser Stelle unklar ?
Reine Symbolik. Es ist also wohl gleich, ob man schreibt f: A -> B oder f: A -> rng(f).

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 1. Jun 2021, 01:52

Pippen hat geschrieben:
31. Mai 2021, 23:24
Reine Symbolik. Es ist also wohl gleich, ob man schreibt f: A -> B oder f: A -> rng(f).
Hallo Pippen,

es ist dann gleich, wenn f surjektiv ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 1. Jun 2021, 01:56

Pippen hat geschrieben:
31. Mai 2021, 23:20
Eigentlich sollte die Krönung noch ein Beweis sein, wonach die Wegnahme eines Elements aus einer unendlichen Menge nichts an deren Unendlichkeit ändert. Aber das lasse ich jetzt mal, ich habs bei stackexchange reingestellt: https://math.stackexchange.com/q/4155497, falls es dich interessiert
Hallo Pippen,

das ist eine gute Übung, stelle es doch hier vor.

Pippen hat geschrieben:
31. Mai 2021, 23:20
und du des Englischen mächtig bist.
Wenn man studiert hat, in einer internationalen Firma arbeitet und zudem immer wieder mal gerne eine Publikation liest, wird man wohl nicht umhin kommen, ein bisschen Englisch zu können ...

Vielleicht ist Dir auch schon aufgefallen, dass ich Artikel in der englischen Wikipedia erstellt habe.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von Pippen » 1. Jun 2021, 02:42

Ok, wie immer: so schreibe ich es mir in mein Notizbuch, um es später erinnern zu können, d.h. so verstehe ich den Beweis halbwegs, während Deisers Superkurz-Version für mich einfach zu viele Lücken hat. Daher ist wichtig, ob meine Formulierungen den Beweis richtig nachzeichnen (nochmal der Link zu Deisers Beweis: https://www.aleph1.info/Resource?method ... ageend=109, dort dann auf S. 106) bzw. aus sich selbst heraus als Beweis standhalten.

Theorem: Be A a (dedekind-) infinite set. Then A∖x is an infinite set too.

Proof:

Be A‘⊂A and f:A→A‘ bijective (since A is dedekind-infinite).
Because of A‘⊂A there is some a∈A∖A‘.
We assume g:f with dom(f)=A∖a. g is injective (f is bijective and therefore injective which isn‘t changed by the takeaway from f‘s domain).
Now, f(a)∉rng(g) because f(a)∈rng(f) and its preimage is a∈A, but such an element is impossible in rng(g) because g forbids a preimage a∈A.
Furthermore, f(a)≠a because of rng(f)=A‘.
Furthermore a∉rng(g) because rng(g)⊆A‘.
Furthermore and trivially a∉A∖a, but f(a)∈A∖a, because f(a)≠a and else rng(f)=A‘⊂A.
Because rng(g)⊆A‘⊂A and because rng(g) misses a,f(a) while A∖a only misses a, we can conclude rng(g)⊂A∖a.
So is g:f with dom(f)=(A∖a→A‘)=(A∖a→rng(g)) bijective?
Yes, because g is injective (see above) and it‘s also surjective because of the very meaning of rng(g) to have at least a pre-image in its domain.
So we have rng(g)⊂A∖a and g:A∖a→rng(g) bijective which makes A∖a dedekind-infinite by Dedekind‘s definition.
But |A\a| = |A\x| where x is an arbitrary element of A.
Therefore A\x is dedekind-infinite too (follows from theorem that if A is infinite and |A| = |B| then also B infinite.
q.e.d.

This theorem even holds for any finite amount of n elements taken away from A because you can just apply the proof technique iteratively: A∖a can be proved to be dedekind infinite and so also (A∖a)∖a and so on for ((A∖a)∖b)...∖n.

Corrollary: Is B (dedekind-) finite then so is B∪a because if B∪a was dedekind-infinite then our above theorem would make B∖a (= B) infinite as well contrary to the assumption.
Zuletzt geändert von Pippen am 1. Jun 2021, 19:34, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 1. Jun 2021, 15:07

Pippen hat geschrieben:
31. Mai 2021, 23:20
ich habs bei stackexchange reingestellt: https://math.stackexchange.com/q/4155497
Hallo Pippen,

hast Du die Dedekind-Definition von unendlichen Mengen dort irgendwo vorgestellt ? Ich als diplomierter Mathematiker kannte diese Definition bislang nicht, auch wenn ich der Meinung bin, dass sie ausgezeichnet ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von Pippen » 1. Jun 2021, 19:52

Eieiei, ich hab da nochmal was ergänzt, sonst hätte mein Beweis nicht gestimmt bzw. nur bewiesen, dass wenn man ein bestimmtes Element a aus A\A‘ entfernt, dann A\a unendlich ist, aber Deiser beweist ja, dass für beliebiges Elemente gilt, dass wenn man eins wegnimmt, dann A seinen Unendlichkeitsstatus nicht verliert.

Zu deiner Frage: ich habe die Dedekind‘sche Unendlichkeitsdefinition dort nicht vorgestellt, es ist ja auch nur eine Definition. Das Geniale an ihr - so finde ich - ist, dass sie Unendlichkeit ohne Zahlen definiert. Allerdings schreibt Deiser, dass sie letztlich heute zu wirkungsschwach ist, da sich viele Theoreme daraus nicht oder nur aufwändig beweisen lassen. Und es bleibt eben eine Definition. Kann auch sein, dass irgendwann jemand eine Menge A findet, die zwar zu einer ihrer echten Teilmengen A‘ bijektiv abbildbar, aber dennoch nicht unendlich ist. Ich würde da meine Hand nicht für ins Feuer legen, immerhin gilt die Definition universal, d.h. für beliebige math. Objekte in Mengenform und wer weiß, was da in Zukunft noch für komische Objekte konstruiert werden.

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 1. Jun 2021, 21:09

Pippen hat geschrieben:
1. Jun 2021, 19:52
Und es bleibt eben eine Definition.
Hallo Pippen,

Dedekind ist ein herausragender Mathematiker und Du kannst ja mal versuchen strikte zu beweisen, dass die naive Unendlichkeitsdefinition und diejenige von Dedekind äquivalent sind.

Pippen hat geschrieben:
1. Jun 2021, 19:52
Kann auch sein, dass irgendwann jemand eine Menge A findet, die zwar zu einer ihrer echten Teilmengen A‘ bijektiv abbildbar, aber dennoch nicht unendlich ist. Ich würde da meine Hand nicht für ins Feuer legen
Das kannst Du doch beweisen, dass eine solche Konstellation gar nicht möglich ist.

Pippen hat geschrieben:
1. Jun 2021, 19:52
immerhin gilt die Definition universal, d.h. für beliebige math. Objekte in Mengenform und wer weiß, was da in Zukunft noch für komische Objekte konstruiert werden.
Damit man nicht solchen mathematischen "Verschwörungstheorien" anhängt ist es wichtig, die Äquivalenz zweier Definitionen zu beweisen. Das sind meistens sehr trockene und sehr langweilige Beweise.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von Pippen » 17. Jun 2021, 18:44

Es folgt ein Äquivalenzbeweis, den ich mir zusammengeschustert habe.

Definition 1: M sei unendlich, wenn es eine echte Teilmenge N zu M gibt, mit der sich eine bijektive Funktion M -> N konstruieren läßt.
Definition 2: M sei unendlich, wenn eine Funktion f: M -> M injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Um den Äquivalenzbeweis zu führen, müssen wir zeigen: Definition 1 <-> Definition 2.

<-: Wir nehmen an, f: M -> M sei injektiv, nicht surjektiv (Definition 2). Doch dann ist f: M -> rng(f) bijektiv und damit rng(f) ⊂ M, weil f nicht surjektiv und damit mind. ein Element von M nicht von f getroffen wird, d.h. nicht in rng(f) drin ist, und i.Ü. mindestens gilt: rng(f) ⊆ M, also haben wir mit rng(f) ⊂ M und f: M -> rng(f) die Definition 1.

->: Wir nehmen an, N ⊂ M und ein f: M -> N bijektiv (Definition 1). Weil nun N ⊂ M und damit ein zusätzliches x ∈ M\N, was in f kein Ziel ist, so kann f: M -> M nicht mehr bijektiv sein, sondern muss ein Element in der Zielmenge auslassen, also f: M -> M injektiv, nicht surjektiv, mithin Definition 2.

Ich bin eigentlich recht selbstbewußt, dass dieser Beweis stimmt, obwohl ich ihn selbst erstellt habe. Aber man weiß ja nie. Würde mein Beweis in einer Mathe-Übung durchgehen oder würde der Mathe Prof. hier merken, dass das ein Beweis von einem Nicht-Mathematiker ist?

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Jun 2021, 19:49

Pippen hat geschrieben:
17. Jun 2021, 18:44
Ich bin eigentlich recht selbstbewußt, dass dieser Beweis stimmt, obwohl ich ihn selbst erstellt habe. Aber man weiß ja nie. Würde mein Beweis in einer Mathe-Übung durchgehen oder würde der Mathe Prof. hier merken, dass das ein Beweis von einem Nicht-Mathematiker ist?
Hallo Pippen,

leider habe ich kurz vor meinen offline-Ferien keine Zeit mehr, mir das näher anzuschauen, aber zumindest auf den ersten (und auch zweiten) Blick sieht Dein Beweis vernünftig aus.

Soll heissen: er ist richtig angesetzt und verwendet die richtige Terminologie. Auch Deine Beweisidee scheint mir richtig zu sein.


Natürlich kann da im Detail noch ein Fehler stecken, den ich so auf die Schnelle übersehen habe, aber sagen wir es einmal so: ich wäre zumindest überrascht, wenn Dein Beweis falsch wäre.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von Pippen » 3. Jul 2021, 03:02

Es geht wieder um einen Äquivalenzbeweis, diesmal von zwei Abzählbarkeitsdefinitionen. Ich würde wieder alle Interessierten bitten, sich anzuschauen, ob mein Beweisvorschlag in Ordnung geht o. irgendwelche Fehler/Fehlvorstellungen beinhaltet.

Definition 1: Eine Menge M sei abzählbar gdw. |IN| = |M| (also f: IN -> M bijektiv) oder wenn |n ∈ IN| = |n ∈ M| (gemeint ist hier, dass wenn M nur n-viele Elemente hat, sie dann einfach entsprechend n-vielen Elementen von IN zugeordnet werden).

Definition 2: Eine Menge M sei abzählbar gdw. |M| ≤ |IN| (g: M -> IN injektiv)

Äquivalenzbeweis: (|IN| = |M| oder |n ∈ IN| = |n ∈ M|) <=> (|M| ≤ |IN|)

=> trivial
<=

Fall 1: |M| ≤ |IN| und rng(g) ist endlich, dann |rng(g)| = |n ∈ IN| = |n ∈ M|, weil sowieso |rng(g)| = |n ∈ M|.
Fall 2: |M| ≤ |IN| und rng(g) ist unendlich, und weil rng(g) ⊆ IN, so „erntet“ rng(g) die Eigenschaften von IN, u.a. die Wohlordnung und damit hat jede Teilmenge von rng(g) ein minimales Element und man kann konstruieren:

amin. ∈ rng(g)
bmin. ∈ rng(g)\ amin.
cmin. ∈ rng(g)\ amin., bmin.
…usw. unendlich fort

Man sieht schnell die Struktur der natürlichen Zahlen, so dass man eine bijektive Funktion rng(g) -> IN aufstellen könnte und damit |rng(g)| = |IN|. Weiterhin ist|rng(g)| = |M|, weil wegen der Definition von rng eine Funktion existiert: rng(g) -> M, die surjektiv ist und aus der Voraussetzung |M| ≤ |IN|folgt, dass eine Funktion M -> rng(g) injektiv wäre, also |IN| = |M|.

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