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Deiser Mengenlehre

Mathematische Fragestellungen
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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Mai 2021, 11:19

Pippen hat geschrieben:
16. Mai 2021, 02:57
Eine Injektion f: M -> M, die keinen Wert auslässt
d.h. "surjektiv" ist


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Mai 2021, 11:20

seeker hat geschrieben:
16. Mai 2021, 11:18
Über (i) kann man es nicht zeigen
Hallo zusammen,

andere Ansichten ?


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von seeker » 16. Mai 2021, 11:26

FKM hat geschrieben:
16. Mai 2021, 10:25
(i) Eine U-Bahn kann 1 (oder n=1) Passagiere fassen.
(ii) Wenn eine U-Bahn n Passagiere fassen kann, dann kann sie auch n+1 Passagiere fassen.
Nachtrag:

(i) muss m.E. genauer lauten:

(i) Eine U-Bahn kann mindestens 1 (oder n=1) Passagiere fassen.

... sonst könnte man es auch so verstehen:

(i) Eine U-Bahn kann genau 1 (oder n=1) Passagiere fassen.

... und das soll glaube ich nicht sein.
Grüße
seeker


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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Mai 2021, 11:37

seeker hat geschrieben:
16. Mai 2021, 11:26
Nachtrag:

(i) muss m.E. genauer lauten:

(i) Eine U-Bahn kann mindestens 1 (oder n=1) Passagiere fassen.

... sonst könnte man es auch so verstehen:

(i) Eine U-Bahn kann genau 1 (oder n=1) Passagiere fassen.

... und das soll glaube ich nicht sein.
Hallo seeker,

es geht beides, da es sich um ein "kann" handelt.

Das ist es also nicht, aber Du bist auf dem richtigen Wege, das ganze auch mit (i) zu beweisen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von seeker » 16. Mai 2021, 12:42

Das "kann" verstehe ich so: "es ist Platz für...".

Insofern muss es heißen:
(i) Eine U-Bahn kann mindestens 1 (oder n=1) Passagiere fassen.

Denn im anderen Fall ist man fertig: Bei einer U-Bahn mit n = 1 wären weitere Überlegungen obsolet.
Ansonsten bin ich immer noch der Meinung, dass aus (i) nichts Weiteres folgt (außer dem, was da angegeben wird: mindestens 1 Person passt rein), d.h. es folgt daraus insbesondere weder, dass die U-Bahn endlich viele Leute fassen kann, noch dass sie unendlich viele Leute fassen kann.
Grüße
seeker


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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Mai 2021, 15:13

seeker hat geschrieben:
16. Mai 2021, 12:42
Das "kann" verstehe ich so: "es ist Platz für...".
Hallo seeker,

in der Definition gibt es da nicht viel Raum, etwas individuell zu verstehen :wink:

Im Übrigen hättest Du es Dir da noch einfacher machen können und mit n=0 verankern, denn 0 Personen passen sicher in die U-Bahn.

seeker hat geschrieben:
16. Mai 2021, 12:42
Insofern muss es heißen:
(i) Eine U-Bahn kann mindestens 1 (oder n=1) Passagiere fassen.

Denn im anderen Fall ist man fertig: Bei einer U-Bahn mit n = 1 wären weitere Überlegungen obsolet.
Das ist korrekt, aber nicht der Punkt.

seeker hat geschrieben:
16. Mai 2021, 12:42
Ansonsten bin ich immer noch der Meinung, dass aus (i) nichts Weiteres folgt (außer dem, was da angegeben wird: mindestens 1 Person passt rein), d.h. es folgt daraus insbesondere weder, dass die U-Bahn endlich viele Leute fassen kann, noch dass sie unendlich viele Leute fassen kann.
Oh doch, denn die Peano-Axiome schreiben nicht vor, wo man verankern muss: es muss ein Startelement geben, aber dieses braucht nicht bei 0 oder 1 zu liegen.

Das kannst Du zweimal nutzen, um die von FKM genannte und als Warnung dienende "U-Bahn-Induktion" zu widerlegen.


Oder natürlich (ii) wie Du es getan hast, das geht selbstverständlich auch.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von FKM » 16. Mai 2021, 18:07

ralfkannenberg hat geschrieben:
16. Mai 2021, 11:15
seeker hat geschrieben:
16. Mai 2021, 11:13
Man kann (ii) bei der U-Bahn offensichtlich nicht zeigen, bzw. kann man umgekehrt zeigen, dass (ii) bei der U-Bahn nicht gilt:
Wenn in der U-Bahn max. n Leute Platz finden und schon n Leute darin sind, dann kann sie keine weitere Person aufnehmen, da n < n+1.

Man kann (ii) bei der U-Bahn offensichtlich nicht zeigen, bzw. kann man umgekehrt zeigen, dass (ii) bei der U-Bahn nicht gilt.
Ergo: In die U-Bahn passen nur endlich viele Leute bzw. die Menge n an Passagieren, die die U-Bahn max. aufnehmen kann, ist endlich.
Hallo seeker,

korrekt: man kann es nicht für den Schritt von nmax zu nmax+1 zeigen.
Das (ii) falsch sein muss, darüber braucht man nicht streiten. Die Begründung leuchtet mir allerdings nicht ein.
Die blau markierte Aussage "Wenn in der U-Bahn max. n Leute Platz finden" führt eine neue Annahme ein, die dann natürlich die Schlussfolgerung (ii) widerlegt. Das ist ja gerade das Problem, dass man nicht so ohne weiteres eine maximale Anzahl von Passagieren nmax nennen kann, wo man sicher ist dass nmax+1 nicht mehr rein passen. Oder umgekehrt: man kann leicht eine obere Schranke nmin an Passagieren nennen (z.B. 10.000.000.000), die garantiert nicht reinpassen, aber kein nmin, wo nmin - 1 Passagiere noch Platz haben.

Ab einer gewissen Schwelle üben die Passagiere einen mit n zunehmenden Druck aus, gegen den zu bestehen immer schwieriger, aber nicht unmöglich wird, z.B.: YouTube: xD extrem volle U-Bahn in Japan xD

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Mai 2021, 18:36

FKM hat geschrieben:
16. Mai 2021, 18:07
Ab einer gewissen Schwelle üben die Passagiere einen mit n zunehmenden Druck aus, gegen den zu bestehen immer schwieriger, aber nicht unmöglich wird
Hallo FKM,

das ist aber keine mathematische Fragestellung. Da man eine obere Schranke für die Anzahl Leute angeben kann, die in eine U-Bahn hineinpassen, und es nur endlich viele natürliche Zahlen gibt, die kleiner sind als diese, kann man jede einzelne von ihnen prüfen, ob soviele Leute noch in die U-Bahn hineinpaassen oder nicht. Somit kann man also durch nur endlich mal "Ausprobieren" die maximal mögliche Anzahl Passagiere ermitteln.

Und der Induktionsschritt von dort zur nächst-grösseren Zahl klappt dann eben nicht, d.h. die Induktionsannahme, dass die Behauptung bereits für alle n bewiesen sei, ist falsch, denn ab dem maximalen n ist diese Annahme unzutreffend.

Man kann das aber auch ohne (ii) beweisen, indem man (i) für die maximale Anzahl Passagiere verankert und danach für die maximale Anzahl Passagiere + 1 verankert, dann hat man auch seinen Widerspruch, ohne einen Induktionsschritt tätigen zu müssen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von seeker » 17. Mai 2021, 13:12

ralfkannenberg hat geschrieben:
16. Mai 2021, 15:13
Oh doch, denn die Peano-Axiome schreiben nicht vor, wo man verankern muss: es muss ein Startelement geben, aber dieses braucht nicht bei 0 oder 1 zu liegen.

Das kannst Du zweimal nutzen, um die von FKM genannte und als Warnung dienende "U-Bahn-Induktion" zu widerlegen.
Das verstehe ich noch nicht. Was meinst du damit? Dass die U-Bahn auch bei (i) schon voll sein könnte?
FKM hat geschrieben:
16. Mai 2021, 18:07
Das (ii) falsch sein muss, darüber braucht man nicht streiten. Die Begründung leuchtet mir allerdings nicht ein.
Die blau markierte Aussage "Wenn in der U-Bahn max. n Leute Platz finden" führt eine neue Annahme ein, die dann natürlich die Schlussfolgerung (ii) widerlegt.
Ich verstehe... OK, schauen wir es uns noch einmal genauer an:
(i) Eine U-Bahn kann 1 (oder n=1) Passagiere fassen.
(ii) Wenn eine U-Bahn n Passagiere fassen kann, dann kann sie auch n+1 Passagiere fassen.

Nun ja, ich sehe das eben als Modellierung an - und sei es nur einer Gedanken-U-Bahn.
Und eine Zusatzannahme ist notwendig, sonst bekommt man kein Ergebnis, ob die Induktion zulässig oder unzulässig ist bzw. gelingt oder nicht.

Ich kann hier entweder
a) nichts zusätzlich annnehmen
oder
b) annehmen, die U-Bahn hätte genau n Plätze (damit nimmt man schon an, dass es endlich viele, wenn auch unbestimmt viele sind) - dann bricht die Induktion bei n ab,
oder
c) ich nehme an, die U-Bahn hätte (wie in Hilberts Hotel) unendlich viele Plätze - dann gelingt die vollständige Induktion.

Damit bekomme ich entweder:
(i) Eine U-Bahn kann n Passagiere fassen.
(ii) Wenn eine U-Bahn n Passagiere fassen kann, dann kann sie auch n+1 Passagiere fassen.
(ii) folgt hier nicht zwingend aus (i), ist also unbestimmt (wegen der nicht-festgelegten Zusatzannahme: endlich/unendlich?)

oder ich bekomme:
(i) Eine U-Bahn kann genau n Passagiere fassen.
(ii) Wenn eine U-Bahn n Passagiere fassen kann, dann kann sie auch n+1 Passagiere fassen.
(ii) ist hier eindeutig falsch (das "kann genau" ist hier als "kann maximal genau" zu verstehen)

oder ich bekomme:
(i) Eine U-Bahn kann unendlich viele Passagiere fassen, so also auch n Passagiere.
(ii) Wenn eine U-Bahn n Passagiere fassen kann, dann kann sie auch n+1 Passagiere fassen.
(ii) ist hier richtig und folgt zwingend aus (i)
Grüße
seeker


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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Mai 2021, 16:51

seeker hat geschrieben:
17. Mai 2021, 13:12
Und eine Zusatzannahme ist notwendig, sonst bekommt man kein Ergebnis, ob die Induktion zulässig oder unzulässig ist bzw. gelingt oder nicht.
Hallo seeker,

auch wenn ich Dir inhaltlich recht gebe, so ist die Wortwahl "Zusatzbedingung" irreführend. Letztlich muss bei einem Induktionsbeweis sichergestellt sein, dass die Peano-Axiome erfüllt sind, d.h.

i. ein Startelement vorliegt, z.B. "1 Passagier passt in die U-Bahn"
ii. alle Nachfolgeelemente vorhanden sind, z.B. " seien schon n Passagiere in der U-Bahn, dann passen auch n+1 Passagiere in die U-Bahn"


Im Fall der U-Bahn klappt das nicht, d.h. es gibt aus Induktionssicht nicht eine Zusatzbedingung, sondern beispielsweise (ii) ist nicht erfüllt, weil das Nachfolge-Element der maximalen Anzahl Passagiere in der U-Bahn eben nicht mehr in die U-Bahn passt.

Oder man nimmt als Startelement gerade die maximale Anzahl Passagiere + 1, dann kriegt man den Induktionsbeweis gar nicht verankert.


Das Spiel mit dem Startelement ist übrigens eine interessante Option, denn jede negative ganze Zahl kann als Startelement für die "natürlichen Zahlen" dienen; dennoch eignen sich die Peano-Axiome nur einmal angewendet nicht für die Definition der ganzen Zahlen.


Aufgepasst auch mit diesem Induktionsbeweis:
in einer U-Bahn seien 20 Personen; man zeige per vollständiger Induktion, dass beliebig viele Menschen aussteigen können. Bis zur 0 kommt man, doch dann ist fertig, da wir in der Praxis kein Szenario haben, dass beispielsweise "-2 Personen" in der U-Bahn sind, was man daran erkennen könnte, dass wenn 2 Personen in die U-Bahn einsteigen, diese dann leer wäre.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von seeker » 17. Mai 2021, 17:24

OK :beer:
Grüße
seeker


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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von Pippen » 18. Mai 2021, 01:58

So ich habe jetzt den Beweis nochmal schriftlich fixiert. Wäre schon, wenn ralf und andere Mathematiker mal drüber schauen, ob das so passt. Ich hab nochmal das Bild in besserer Qualität hochgeladen, falls das hier zu blurry ist: https://ibb.co/FsmXCTG.
B74563A8-5DCF-4D2D-AD95-AEC88EC574AB.jpeg
B74563A8-5DCF-4D2D-AD95-AEC88EC574AB.jpeg (142.5 KiB) 1040 mal betrachtet

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von Pippen » 19. Mai 2021, 03:48

Eine Sache ist mir noch aufgefallen: mein h(z) ist mehrdeutig. Ich beziehe es auf die Funktion h: A -> B, aber es könnte damit auch h(z) im Rahmen der Funktionsverkettung gemeint sein. Sollte man das präzisieren? ZB allgemeiner formulieren: (irgend)ein Bild von z ist in B, zB wegen der Funktion h: A->B; (irgend)ein Bild von z kann dagegen nie in rng(g) sein, weil z in dom(g) = A‘ fehlt?

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Mai 2021, 11:00

Pippen hat geschrieben:
19. Mai 2021, 03:48
Eine Sache ist mir noch aufgefallen: mein h(z) ist mehrdeutig.
Hallo Pippen,

ich habe mir Deinen Beweis gestern einmal ausgedruckt und im Zug gelesen. Dein h(z) erscheint mir eindeutig und insbesondere auch korrekt definiert zu sein.

Pippen hat geschrieben:
19. Mai 2021, 03:48
Ich beziehe es auf die Funktion h: A -> B, aber es könnte damit auch h(z) im Rahmen der Funktionsverkettung gemeint sein. Sollte man das präzisieren?
Wie gesagt, ich denke, Du hast das korrekt aufgeschreiben, es kommt darauf an, dass z aus A\A' stammt.

z in dom(g) = A‘ fehlt?
Das ist unzutreffend, das g eine Funktion von B->B ist, d.h. dom(g) kann nicht A' sein.

Wobei ich momentan nicht den Eindruck habe, dass das Deinen Beweis falsch macht, sondern dass es genügt, diesen Zwischenschritt einfach nur ersatzlos zu streichen.

Ich bin beruflich derzeit sehr stark angespannt und komme hoffentlich morgen abend dazu, mir das wieder etwas genauer anzuschauen.

Was mir aber in Deinem Beweis auffällt: Du nutzt nirgendwo, dass g injektiv ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Mai 2021, 11:17

ralfkannenberg hat geschrieben:
14. Mai 2021, 11:25
Vorsicht übrigens: wenn f nur injektiv vorausgesetzt wird, muss man noch zeigen, dass auch g injektiv ist - dass also für verschiedene x1 und x2 auch g(x1) und g(x2) verschieden sind - auch wenn das intuitiv klar scheint, da h und seine Umkehrfunktion ja bijektiv sind, es also intuitiv schwer vorstellbar ist, wie da zwei verschiedene Urildpunkte auf denselben Bildpunkt fallen können, aber man sollte es eben noch strikte ausformulieren.
Hallo zusammen,

ich fürchte, diese Mühe wird man sich machen müssen.

ralfkannenberg hat geschrieben:
14. Mai 2021, 11:25
Nur im bijektiven Fall ist es wirklich trivial.
Und meine Intuition sagt mir, dass diese Folgerung von mir unzutreffend ist. Bei dieser Verkettung scheint zwar nicht die Injektivität verloren zu gehen, wohl aber die Surjektivität.

Und genau das ist vermutlich der Ansatzpunkt für den Beweis.

Wie gesagt, ich muss mir das mehr in Ruhe überlegen und mir fehlt momentan die Zeit dazu; wenn man das nur rasch oberflächlich tut, so schleichen sich Irrtümer ein.

Was man also wird nutzen müssen:
1. man hat wegen der Gleichmächtigkeit eine Bijektion von A->B; das dürfte die Funktion h sein
2. man hat wegen der Gleichmächtigkeit eine Bijektion von A->A'; dasdürfte die Funktion f sein
3. man hat wegen der echten Teilmengen-Eigenschaft eine nicht-surjektive Injektion von A->A'


Ist (2) und (3) nicht widersprüchlich ?

Nein, nehmen wir als Beispiel IN U {0} und IN.

Die Abbildung n -> n+1 von IN U {0} nach IN ist bijektiv
Die Abbildung n -> n IN U {0} nach IN ist injektiv, aber nicht surjektiv, da die 0 übrig bleibt.


Für unseren Beweis benötigen wir allerdings eine andere Eigenschaft von IN U {0}, nämlich die Abbildung n -> n+1 von IN U {0} auf sich selber, denn diese ist zwar injektiv, aber nicht surjektiv, da die 0 in der Bildmenge kein Urbild hat.

So etwas benötigen wir für die wie Deiser es nennt "anders formulierte" Defintion unendlicher Mengen, deren Nachweis ich hier angesprochen hatte.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 19. Mai 2021, 15:11

ralfkannenberg hat geschrieben:
19. Mai 2021, 11:17
Für unseren Beweis benötigen wir allerdings eine andere Eigenschaft von IN U {0}, nämlich die Abbildung n -> n+1 von IN U {0} auf sich selber, denn diese ist zwar injektiv, aber nicht surjektiv, da die 0 in der Bildmenge kein Urbild hat.
... und zwar für die Menge B, keineswegs für die Menge A !!

Und nun fällt uns auf, dass g eine injektive Abbildung von B->B ist :)

Ok, das mit dem injektiv ist noch zu zeigen, aber langsam wird mir klar, in welche Richtung dieser Beweis geht: g ist gerade die für den Beweis gesuchte injektive Funktion.

Wir müssen nun nur noch überprüfen, warum dem so ist, aber das ist primär eine Fleissarbeit. Und das gesucht Element, das "übrigbleibt", liegt nun auch auf dem goldenen Tablett, das wird h(z) mit z in A\A' sein.

Ok, nun braucht man den Beweis nur noch zusammenzusetzen, es sei denn, ich habe etwas Grundlegendes übersehen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von Pippen » 20. Mai 2021, 07:34

Ok, ich habe die Sache mit „dom(g) = A‘“ berichtigt. Ich hoffe das ist jetzt richtiger. Hinsichtlich der Funktion g verstehe ich die Aufregung nicht: sie besteht ausschließlich aus bijektiven Funktionen, weshalb ja auch g: B -> A -> A‘ -> B bijektiv sein muss (was für mich trivial ist und daher nicht noch extra zu beweisen) und g: B -> rng(g) ist dafür nur eine andere Schreibweise.

Ich bin für Anregungen und Kritik von jedermann dankbar.
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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 20. Mai 2021, 12:55

ralfkannenberg hat geschrieben:
13. Mai 2021, 18:47
Wir setzen g = h o f o h−1 : B → B
Was bedeutet das ?

Das ist eine nacheinander-Ausführung der Funktionen, also g = h( f(h−1) )

Stimmt das überhaupt, d.h. ist g wirklich eine Funktion von B → B ?

Sei b in B. Dann muss g(b) ebenfalls in B sein.

g(b) = h( f(h−1(b)) )
Hallo zusammen,

ich habe "den Hund" gefunden:
g = h o f o h−1 : B → B
besagt nur, dass g eine Funktion von B "irgendwie" nach B ist, aber keineswegs, dass dies auch bijektiv zu sein braucht !


Die allgemeine Darstellung lautet:

g = h o f o h−1 : B → rng(g) ⊆ B

d.h. g: B → rng(g) ist m.E. bijektiv, aber g: B → B ist lediglich injektiv.

Die Injektivität folgt meines Erachtens einfach daraus, dass g: B → rng(g) als Nacheinander aufgeführter bijektiver Abbildungen bijektiv ist, aber eben nicht ganz B "getroffen" wird, d.h. die Injektivität haben wir.
Für die Surjektivität indes müsste noch zusätzlich bewiesen werden, dass rng(g) = B ist; dem ist aber nicht so, wie das Gegenbeispiel h(z) mit z in A\A' zeigt.

Damit ist der Beweis abgeschlossen, ich möchte ihn aber dennoch etwas besser ausformulieren.


@Pippen: leider habe ich im Homeoffice nicht die Möglichkeit, Deinen 2.Versuch auszudrucken, und ich komme diese Woche nicht mehr ins Büro.


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S.: "g: B → rng(g) ist bijektiv" muss auch noch strikte gezeigt werden, ich denke aber, dass das zutreffend ist, da g ja injektiv ist.

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von Pippen » 21. Mai 2021, 00:45

Ok, hier nochmal der Beweis als Beitrag, zur besseren Lesbarkeit & Kritisierbarkeit. Wie geschrieben: diesen Beweis verstünde ich, anders als Deiser‘s Kurzbeweis, der einfach einem Anfänger zuviele Zwischenschritte und Klarstellungen vorenthält.

Satz: Seien A, B gleichmächtige Mengen. Wenn A unendlich ist, dann auch B.

Beweis (mit Dedekinds Unendlichkeitsdefinition):

Seien A‘ ⊂ A und f: A -> A‘ bijektiv. Weiter sei h: A -> B bijektiv.
Wir setzen g: h o f o h-1 = h(f(h-1(x))) = B -> A -> A‘ -> B.
Insbesondere der Teil „...A‘ -> B“ funktioniert, weil f: A -> A‘ und h: A -> B beide bijektiv, so dass auch A‘ -> B bijektiv ist.
Wegen A‘ ⊂ A existiert ein z ∈ A\A‘.
h(z) ∈ B, weil h: A -> B bijektiv.
h(z) ∉ rng(g), weil z ∉ A‘ = f(h-1(x)), deshalb h(z) ∉ h(f(h-1(x))) = rng(g).
Weil in jedem Fall rng(g) ⊆ B und weil h(z) ∈ B und h(z) ∉ rng(g), so folgt rng(g) ⊂ B.
Weiterhin g: B -> A -> A‘ -> B = B -> rng(g) = bijektiv, weil in ihr nur bereits bijektive Funktionen verkettet sind.
Also: rng(g) ⊂ B und g: B -> rng(g) = bijektiv, was nach Dedekind‘s Definition B als unendliche Menge erweist. ☐

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 21. Mai 2021, 10:49

Pippen hat geschrieben:
21. Mai 2021, 00:45
Ok, hier nochmal der Beweis als Beitrag, zur besseren Lesbarkeit & Kritisierbarkeit. Wie geschrieben: diesen Beweis verstünde ich, anders als Deiser‘s Kurzbeweis, der einfach einem Anfänger zuviele Zwischenschritte und Klarstellungen vorenthält.
Hallo Pippen,

danke schön für Deine Mühe; da sind zwar noch ein paar Ungenauigkeiten (d.h. m.E. Fehler) drin, aber das Ziel ist es ja, am Beweis zu arbeiten. Die Beweisidee hast Du nahezu - vermutlich sogar schon vollständig - erfasst, es gibt aber noch ein paar Kleinigkeiten richtig zu stellen.

Deinen Beweis in der endgültigen Fassung werde ich später nochmals genauer anschauen, nun gilt es erst einmal, die beiden Kleinigkeiten anzusprechen.

Pippen hat geschrieben:
21. Mai 2021, 00:45
Satz: Seien A, B gleichmächtige Mengen. Wenn A unendlich ist, dann auch B.

Beweis (mit Dedekinds Unendlichkeitsdefinition):

Seien A‘ ⊂ A und f: A -> A‘ bijektiv. Weiter sei h: A -> B bijektiv.

Wir setzen g: h o f o h-1 = h(f(h-1(x))) = B -> A -> A‘ -> B.
Bemerkung: der besseren Lesbarkeit zuliebe habe ich eine Leerzeile im Zitat eingefügt.

Ok. - Das ist zwar "nur" abgeschrieben, aber anhand Deiner Wortwahl sehe ich, dass Du das verstanden hast.

Pippen hat geschrieben:
21. Mai 2021, 00:45
Insbesondere der Teil „...A‘ -> B“ funktioniert, weil f: A -> A‘ und h: A -> B beide bijektiv,
Wir haben hier eines der beiden Kernstücke des Beweises, das hast Du sehr schön herausgearbeitet.

Pippen hat geschrieben:
21. Mai 2021, 00:45
so dass auch A‘ -> B bijektiv ist.
Vorsicht: A' -> B ist zunächst einmal nur injektiv, aber das genügt für den Beweis.

Pippen hat geschrieben:
21. Mai 2021, 00:45
Wegen A‘ ⊂ A existiert ein z ∈ A\A‘.
h(z) ∈ B, weil h: A -> B bijektiv.
Korrekt.

Pippen hat geschrieben:
21. Mai 2021, 00:45
h(z) ∉ rng(g), weil z ∉ A‘ = f(h-1(x)),
Dieses A‘ = f(h-1(x)) ist das Herzstück des Beweises, das hast Du sehr schön erkannt !

Pippen hat geschrieben:
21. Mai 2021, 00:45
deshalb h(z) ∉ h(f(h-1(x))) = rng(g).
Das ist richtig, sollte aber noch etwas genauer ausformuliert werden.


Pippen hat geschrieben:
21. Mai 2021, 00:45
Weil in jedem Fall rng(g) ⊆ B und weil h(z) ∈ B und h(z) ∉ rng(g), so folgt rng(g) ⊂ B.
Korrekt, d.h. g ist nicht surjektiv. Das benötigt man für die Dedekind-Definition !

Pippen hat geschrieben:
21. Mai 2021, 00:45
Weiterhin g: B -> A -> A‘ -> B = B -> rng(g) = bijektiv, weil in ihr nur bereits bijektive Funktionen verkettet sind.
Vorsicht; das muss ich mir noch anschauen. Ich vermute, dass das stimmt, also dass g: B -> rng(g) bijektiv ist.

Pippen hat geschrieben:
21. Mai 2021, 00:45
Also: rng(g) ⊂ B und g: B -> rng(g) = bijektiv, was nach Dedekind‘s Definition B als unendliche Menge erweist. ☐
Ebenfalls korrekt.


Ich habe schon einige Male Deine mathematischen "Herleitungen" in diesem Forum gelesen und war nicht immer begeistert, aber dieser Beweis - trotz noch kleinerer offener Punkte - ist sauber geführt und verdient meinen vollen Respekt - das hast Du sehr gut gemacht ! :well:


Die kleinen offenen Punkte können wir noch genauer anschauen, nicht auszuschliessen, dass ich mich da auch irre.


Freundliche Grüsse, Ralf

Pippen
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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von Pippen » 21. Mai 2021, 22:48

ralfkannenberg hat geschrieben:
21. Mai 2021, 10:49
Vorsicht: A' -> B ist zunächst einmal nur injektiv, aber das genügt für den Beweis.
Das verstehe ich zB nicht. Wenn A -> A' und A -> B bijektiv sind, dann doch auch A' -> B. Denn du kannst gedanklich A' -> B ja immer in A' -> A -> B übersetzen und das ist auf jeden Fall bijektiv. Da kann es keinen Unterschied machen, wenn du das A in der Mitte weglässt.

Vorsicht; das muss ich mir noch anschauen. Ich vermute, dass das stimmt, also dass g: B -> rng(g) bijektiv ist.
Das ist auch für mich noch ein Problem. Klar, g verknüpft nur bijektive Funktionen, also kann g nur selbst bijektiv werden und B -> rng(g) ist ja nichts anderes als g: B -> A -> A' -> B in verkürzter Schreibweise, aber so richtig sicher bin ich mir da nicht, auch weil ich es formal nicht hinschreiben kann.

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 23. Mai 2021, 01:09

Pippen hat geschrieben:
21. Mai 2021, 22:48
ralfkannenberg hat geschrieben:
21. Mai 2021, 10:49
Vorsicht: A' -> B ist zunächst einmal nur injektiv, aber das genügt für den Beweis.
Das verstehe ich zB nicht. Wenn A -> A' und A -> B bijektiv sind, dann doch auch A' -> B. Denn du kannst gedanklich A' -> B ja immer in A' -> A -> B übersetzen und das ist auf jeden Fall bijektiv. Da kann es keinen Unterschied machen, wenn du das A in der Mitte weglässt.
Hallo Pippen,

zwar ist mir auch noch kein Gegenbeweis gelungen, aber A' -> A ist sicher nicht surjektiv, d.h. so wie von Dir getan kann man nicht argumentieren.

Das ist falsch: so ist beispielsweise die Umkehrfunktion von f von A' nach A bijektiv.

Das Problem ist die Surjektivität. Zudem kann der Beweis für jedes zu A gleichmächtige "B" gemacht werden, also auch irgendein B', das eine echte Teilmenge von B ist. Allerdings hat man dann eine andere Funktion h~ und damit andere Wertebereiche.

Wie auch immer: ich wittere hier eine Falle und möchte nicht vorgreifen.


Freundliche Grüsse, Ralf

EDIT 23.5.2021, 11:57 Uhr: corrigenda

Pippen
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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von Pippen » 23. Mai 2021, 16:48

Ich glaube folgendes Zwischenproblem könnte mir weiterhelfen:

Deiser schreibt, dass nach Dedekind eine Menge M unendlich ist, wenn N ⊂ M und f: M -> N bijektiv. Und dann schreibt er, dass das anders formuliert bedeutet, dass M unendlich ist, wenn f: M -> M eine Injektion ist, die mindestens einen Wert nicht trifft, also rng(f) ≠ M. Was ich nicht sehe ist nun die Verbindung, d.h. wie folgt aus der ersten Aussage die zweite? Für mich umschreibt die zweite Aussage lediglich die Bedingung, dass N ⊂ M, hier als rng(f) ⊂ M, aber dann müsste da noch irgendwie die Bijektion M -> rng(f) dazukommen, aber wo/wie passiert das?

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 23. Mai 2021, 17:10

ralfkannenberg hat geschrieben:
23. Mai 2021, 01:09
zwar ist mir auch noch kein Gegenbeweis gelungen, aber A' -> A ist sicher nicht surjektiv, d.h. so wie von Dir getan kann man nicht argumentieren.

Das ist falsch: so ist beispielsweise die Umkehrfunktion von f von A' nach A bijektiv.

Das Problem ist die Surjektivität.
Hallo zusammen,

Ihr mögt Euch verwundern, dass ich so darauf herumreite.

Tatsächlich ist es so, dass man zwar eine Funktion f: A -> B, d.h. von A nach B definieren, kann, aber das heisst zunächst nur, dass:

f: dom(f) -> rng(f) definiert ist, mit dom(f) ⊆ A und rng(f) ⊆ B.

Und es kann eben durchaus sein, dass eine oder auch beide der Teilmengen echt sind, wie wir im Beispiel der obgen Funktion g gesehen haben.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Deiser Mengenlehre

Beitrag von ralfkannenberg » 23. Mai 2021, 17:35

Pippen hat geschrieben:
23. Mai 2021, 16:48
Ich glaube folgendes Zwischenproblem könnte mir weiterhelfen:

Deiser schreibt, dass nach Dedekind eine Menge M unendlich ist, wenn N ⊂ M und f: M -> N bijektiv. Und dann schreibt er, dass das anders formuliert bedeutet, dass M unendlich ist, wenn f: M -> M eine Injektion ist, die mindestens einen Wert nicht trifft, also rng(f) ≠ M. Was ich nicht sehe ist nun die Verbindung, d.h. wie folgt aus der ersten Aussage die zweite?
Hallo Pippen,

ich habe diese Frage bereits hier aufgeworfen, aber vermutlich hast Du damals den zugehörigen Kontext noch nicht gesehen.

Das ist gar kein Problem - man kann und soll auch nicht alle Punkte von Anfang an in allen Details betrachten, ich merke nun aber anhand Deiner Frage, dass Du nun, also nach Durchführung der bisherigen Überlegungen, den zugehörigen Kontext siehst, und das ist nun auch ein sehr guter Zeitpunkt, auf diesen Kontext einzugehen.

Auch das habe ich bereits angesprochen, und zwar hier bei der Betrachtung der Frage, ob (2) und (3) nicht widersprüchlich sind.

Nun können wir diese Überlegungen zusammensetzen.

Als erstes siehst Du, wie wichtig es ist, korrekt zu zitieren:
Pippen hat geschrieben:
23. Mai 2021, 16:48
Deiser schreibt, dass nach Dedekind eine Menge M unendlich ist, wenn N ⊂ M und f: M -> N bijektiv.
Das schreibt Deise nämlich nicht und es wäre auch falsch, würde er das schreiben: es genügt, dass es mindestens eine echte Teilmenge N mit dieser Eigenschaft gibt.

So wie Du es zitiert hast wäre eine Menge M unendlich, wenn gilt N ist eine echte Teilmenge von M und beide gleichmächtig sind.

Dem ist nicht so, denn M kann auch echte Teilmengen N haben, die nicht gleichmächtig zu M sind, ohne dadurch seine Eigenschaft, unendlich zu sein, zu verlieren. Beispiel: {1,2,3} ⊂ IN, aber sicher nicht gleichmächtig zu IN.

Korrekt lautet Dein Zitat also wie folgt:
Deiser schreibt, dass nach Dedekind eine Menge M unendlich ist, wenn es mindestens ein N ⊂ M gibt und f: M -> N bijektiv.
Wobei ich der besseren Verständlichkeit zuliebe das "und" noch durch "mit" ersetzen würde:
Deiser schreibt, dass nach Dedekind eine Menge M unendlich ist, wenn es mindestens ein N ⊂ M gibt mit f: M -> N bijektiv.
Ein Beispiel erklärt mehr als 1000 Worte:

sei f: IN -> IN U {0} definiert als n -> n-1, also 1->0, 2->1, 3->2 u.s.w. Das ist offensichtlich eine Bijektion.

Betrachte nun die Funktion g: IN -> IN U {0} definiert als n -> n, also 1->1, 2->2, 3->3 u.s.w.
g ist injektiv, denn aus x1 ≠ x2 folgt g(x1) ≠ g(x2). Aber g ist nicht surjektiv, denn der Bildpunkt 0 hat keinen Urbildpunkt.


Freundliche Grüsse, Ralf

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