d.h. "surjektiv" ist
Freundliche Grüsse, Ralf
Nachtrag:
Hallo seeker,
Hallo seeker,
Das ist korrekt, aber nicht der Punkt.
Oh doch, denn die Peano-Axiome schreiben nicht vor, wo man verankern muss: es muss ein Startelement geben, aber dieses braucht nicht bei 0 oder 1 zu liegen.seeker hat geschrieben: ↑16. Mai 2021, 12:42Ansonsten bin ich immer noch der Meinung, dass aus (i) nichts Weiteres folgt (außer dem, was da angegeben wird: mindestens 1 Person passt rein), d.h. es folgt daraus insbesondere weder, dass die U-Bahn endlich viele Leute fassen kann, noch dass sie unendlich viele Leute fassen kann.
Das (ii) falsch sein muss, darüber braucht man nicht streiten. Die Begründung leuchtet mir allerdings nicht ein.ralfkannenberg hat geschrieben: ↑16. Mai 2021, 11:15Hallo seeker,seeker hat geschrieben: ↑16. Mai 2021, 11:13Man kann (ii) bei der U-Bahn offensichtlich nicht zeigen, bzw. kann man umgekehrt zeigen, dass (ii) bei der U-Bahn nicht gilt:
Wenn in der U-Bahn max. n Leute Platz finden und schon n Leute darin sind, dann kann sie keine weitere Person aufnehmen, da n < n+1.
Man kann (ii) bei der U-Bahn offensichtlich nicht zeigen, bzw. kann man umgekehrt zeigen, dass (ii) bei der U-Bahn nicht gilt.
Ergo: In die U-Bahn passen nur endlich viele Leute bzw. die Menge n an Passagieren, die die U-Bahn max. aufnehmen kann, ist endlich.
korrekt: man kann es nicht für den Schritt von nmax zu nmax+1 zeigen.
Hallo FKM,
Das verstehe ich noch nicht. Was meinst du damit? Dass die U-Bahn auch bei (i) schon voll sein könnte?ralfkannenberg hat geschrieben: ↑16. Mai 2021, 15:13Oh doch, denn die Peano-Axiome schreiben nicht vor, wo man verankern muss: es muss ein Startelement geben, aber dieses braucht nicht bei 0 oder 1 zu liegen.
Das kannst Du zweimal nutzen, um die von FKM genannte und als Warnung dienende "U-Bahn-Induktion" zu widerlegen.
Ich verstehe... OK, schauen wir es uns noch einmal genauer an:FKM hat geschrieben: ↑16. Mai 2021, 18:07Das (ii) falsch sein muss, darüber braucht man nicht streiten. Die Begründung leuchtet mir allerdings nicht ein.
Die blau markierte Aussage "Wenn in der U-Bahn max. n Leute Platz finden" führt eine neue Annahme ein, die dann natürlich die Schlussfolgerung (ii) widerlegt.
(i) Eine U-Bahn kann 1 (oder n=1) Passagiere fassen.
(ii) Wenn eine U-Bahn n Passagiere fassen kann, dann kann sie auch n+1 Passagiere fassen.
(ii) folgt hier nicht zwingend aus (i), ist also unbestimmt (wegen der nicht-festgelegten Zusatzannahme: endlich/unendlich?)(i) Eine U-Bahn kann n Passagiere fassen.
(ii) Wenn eine U-Bahn n Passagiere fassen kann, dann kann sie auch n+1 Passagiere fassen.
(ii) ist hier eindeutig falsch (das "kann genau" ist hier als "kann maximal genau" zu verstehen)(i) Eine U-Bahn kann genau n Passagiere fassen.
(ii) Wenn eine U-Bahn n Passagiere fassen kann, dann kann sie auch n+1 Passagiere fassen.
(ii) ist hier richtig und folgt zwingend aus (i)(i) Eine U-Bahn kann unendlich viele Passagiere fassen, so also auch n Passagiere.
(ii) Wenn eine U-Bahn n Passagiere fassen kann, dann kann sie auch n+1 Passagiere fassen.
Hallo seeker,
Hallo Pippen,
Wie gesagt, ich denke, Du hast das korrekt aufgeschreiben, es kommt darauf an, dass z aus A\A' stammt.
Das ist unzutreffend, das g eine Funktion von B->B ist, d.h. dom(g) kann nicht A' sein.z in dom(g) = A‘ fehlt?
Hallo zusammen,ralfkannenberg hat geschrieben: ↑14. Mai 2021, 11:25Vorsicht übrigens: wenn f nur injektiv vorausgesetzt wird, muss man noch zeigen, dass auch g injektiv ist - dass also für verschiedene x1 und x2 auch g(x1) und g(x2) verschieden sind - auch wenn das intuitiv klar scheint, da h und seine Umkehrfunktion ja bijektiv sind, es also intuitiv schwer vorstellbar ist, wie da zwei verschiedene Urildpunkte auf denselben Bildpunkt fallen können, aber man sollte es eben noch strikte ausformulieren.
Und meine Intuition sagt mir, dass diese Folgerung von mir unzutreffend ist. Bei dieser Verkettung scheint zwar nicht die Injektivität verloren zu gehen, wohl aber die Surjektivität.
... und zwar für die Menge B, keineswegs für die Menge A !!ralfkannenberg hat geschrieben: ↑19. Mai 2021, 11:17Für unseren Beweis benötigen wir allerdings eine andere Eigenschaft von IN U {0}, nämlich die Abbildung n -> n+1 von IN U {0} auf sich selber, denn diese ist zwar injektiv, aber nicht surjektiv, da die 0 in der Bildmenge kein Urbild hat.
Hallo zusammen,ralfkannenberg hat geschrieben: ↑13. Mai 2021, 18:47Was bedeutet das ?Wir setzen g = h o f o h−1 : B → B
Das ist eine nacheinander-Ausführung der Funktionen, also g = h( f(h−1) )
Stimmt das überhaupt, d.h. ist g wirklich eine Funktion von B → B ?
Sei b in B. Dann muss g(b) ebenfalls in B sein.
g(b) = h( f(h−1(b)) )
besagt nur, dass g eine Funktion von B "irgendwie" nach B ist, aber keineswegs, dass dies auch bijektiv zu sein braucht !g = h o f o h−1 : B → B
Hallo Pippen,
Bemerkung: der besseren Lesbarkeit zuliebe habe ich eine Leerzeile im Zitat eingefügt.
Wir haben hier eines der beiden Kernstücke des Beweises, das hast Du sehr schön herausgearbeitet.
Vorsicht: A' -> B ist zunächst einmal nur injektiv, aber das genügt für den Beweis.
Korrekt.
Dieses A‘ = f(h-1(x)) ist das Herzstück des Beweises, das hast Du sehr schön erkannt !
Das ist richtig, sollte aber noch etwas genauer ausformuliert werden.
Korrekt, d.h. g ist nicht surjektiv. Das benötigt man für die Dedekind-Definition !
Vorsicht; das muss ich mir noch anschauen. Ich vermute, dass das stimmt, also dass g: B -> rng(g) bijektiv ist.
Ebenfalls korrekt.
Das verstehe ich zB nicht. Wenn A -> A' und A -> B bijektiv sind, dann doch auch A' -> B. Denn du kannst gedanklich A' -> B ja immer in A' -> A -> B übersetzen und das ist auf jeden Fall bijektiv. Da kann es keinen Unterschied machen, wenn du das A in der Mitte weglässt.ralfkannenberg hat geschrieben: ↑21. Mai 2021, 10:49Vorsicht: A' -> B ist zunächst einmal nur injektiv, aber das genügt für den Beweis.
Das ist auch für mich noch ein Problem. Klar, g verknüpft nur bijektive Funktionen, also kann g nur selbst bijektiv werden und B -> rng(g) ist ja nichts anderes als g: B -> A -> A' -> B in verkürzter Schreibweise, aber so richtig sicher bin ich mir da nicht, auch weil ich es formal nicht hinschreiben kann.
Vorsicht; das muss ich mir noch anschauen. Ich vermute, dass das stimmt, also dass g: B -> rng(g) bijektiv ist.
Hallo Pippen,Pippen hat geschrieben: ↑21. Mai 2021, 22:48Das verstehe ich zB nicht. Wenn A -> A' und A -> B bijektiv sind, dann doch auch A' -> B. Denn du kannst gedanklich A' -> B ja immer in A' -> A -> B übersetzen und das ist auf jeden Fall bijektiv. Da kann es keinen Unterschied machen, wenn du das A in der Mitte weglässt.ralfkannenberg hat geschrieben: ↑21. Mai 2021, 10:49Vorsicht: A' -> B ist zunächst einmal nur injektiv, aber das genügt für den Beweis.
Hallo zusammen,ralfkannenberg hat geschrieben: ↑23. Mai 2021, 01:09zwar ist mir auch noch kein Gegenbeweis gelungen, aber A' -> A ist sicher nicht surjektiv, d.h. so wie von Dir getan kann man nicht argumentieren.
Das ist falsch: so ist beispielsweise die Umkehrfunktion von f von A' nach A bijektiv.
Das Problem ist die Surjektivität.
Hallo Pippen,Pippen hat geschrieben: ↑23. Mai 2021, 16:48Ich glaube folgendes Zwischenproblem könnte mir weiterhelfen:
Deiser schreibt, dass nach Dedekind eine Menge M unendlich ist, wenn N ⊂ M und f: M -> N bijektiv. Und dann schreibt er, dass das anders formuliert bedeutet, dass M unendlich ist, wenn f: M -> M eine Injektion ist, die mindestens einen Wert nicht trifft, also rng(f) ≠ M. Was ich nicht sehe ist nun die Verbindung, d.h. wie folgt aus der ersten Aussage die zweite?
Das schreibt Deise nämlich nicht und es wäre auch falsch, würde er das schreiben: es genügt, dass es mindestens eine echte Teilmenge N mit dieser Eigenschaft gibt.
Wobei ich der besseren Verständlichkeit zuliebe das "und" noch durch "mit" ersetzen würde:Deiser schreibt, dass nach Dedekind eine Menge M unendlich ist, wenn es mindestens ein N ⊂ M gibt und f: M -> N bijektiv.
Ein Beispiel erklärt mehr als 1000 Worte:Deiser schreibt, dass nach Dedekind eine Menge M unendlich ist, wenn es mindestens ein N ⊂ M gibt mit f: M -> N bijektiv.