Skeltek hat geschrieben: ↑2. Mai 2021, 16:06
Also in meinen Augen ergeben sich die ganzen Zahlen erst als Folge-Erscheinung des Kontinuums ohne die Null - in der Natur und Realität gibt es nichts, was eine Größe auf '1' eicht
Hallo Skel,
eine Eichung auf "1" braucht es auch nicht, es genügt, eine von "0" verschiedene Zahl oder geometrisch einem vom Nullpunkt verschiedenen Punkt zu haben.
Wenn Du eine "Elementarmenge" hast, z.B. die leere Menge {}, und dann die Menge betrachtet, die die leere Menge enthält, also { {} }, so hat letztere eine Anzahl Elemente, also nicht "kein Element". Wie man dieses "nicht kein" bezeichnet ist letztlich unerheblich; wir nennen kein Element mit "
null Elemente" und die nächst mögliche konstruierbare Menge als eine Menge mit "
einem Element".
Bei dieser Konstruktion kann man keine Menge konstruieren, die da irgendwie "dazwischen" liegt, beispielsweise eine Menge, die nur ein halbes Element hat.
Und wenn man diesen Schritt wiederholt, so erhalten wir {
{},
{ {} } }, also eine Menge, die "zwei Elemente" enthält.
Wie eichen wir nun auf die "1" ?
Algebraisch geht das ganz banal: dieser Prozess der "Mengen-Akkretion" führt auf die natürlichen Zahlen, diese kann man bis auf Isomorphie eindeutig auf die Gruppe der ganzen Zahlen abschliessen. Man nimmt eine weitere Operation hinzu, indem man Zahlen eine gewisse Anzahl mit sich selber addiert - Vorsicht: zunächst einmal ist 2*
3 etwas
anderes als 3*
2, da die schwarze Ziffer der Gruppe und die
blaue Ziffer einer Anzahlbildung, d.h. einem Vielfachenring entstammt, aber das ist nun nur ein Detail und über die Peano-Axiome kann man zeigen, dass 2*
3 = 3*
2 gilt, wobei die Eindeutigkeit des Nachfolgeoperators zu verwenden ist.
Nun haben wir also einen Ring und hier erfolgt nun die
Eichung: Ring-Elemente, die ein multiplikativ Inverses haben, nennt man "Einheiten". Im Ring der ganzen Zahlen gibt es also zwei solche Einheiten, nämlich {-1, 1}.
Im Ring der ganz-komplexen Zahlen, das ist {z+iw mit z,w in IZ}, gibt es übrigens 4 Einheiten, nämlich neben 1 und -1 noch die beiden imaginären Einheiten i und -i.
Insbesondere verwenden wir nirgendwo irgendwelche Abstandsbegriffe !
Skeltek hat geschrieben: ↑2. Mai 2021, 16:06
, höchstens Äquivalenz was über eine Interpretation als 'gleich groß' eine Einheit auf der Skala von ]0,unendlich[ festelegen kann.
Unendlich ist nicht definiert, folglich ist eine Menge "]0, unendlich[" nicht definiert.
Skeltek hat geschrieben: ↑2. Mai 2021, 16:06
Klar haben wir mit Peano&Co eine von vielen möglichen Interpretationsmöglichkeiten bzw Axiomatischen Herleitungen, aber es ist eben nicht die Einzige.
Korrekt, aber diese werden schlussendlich äquivalent sein.
Skeltek hat geschrieben: ↑2. Mai 2021, 16:06
Übrigens halte ich Pi für eine Zahl wie jede andere auch
Aus Sicht der reellen oder der komplexen Zahlen ist sie das auch. Aus Sicht der natürlichen Zahlen oder auch der rationalen Zahlen indes ist sie es nicht, aus Sicht der algebraischen Zahlen übrigens auch nicht. Aber auch nur deswegen, weil sie eben nicht Element dieser Mengen ist.
Skeltek hat geschrieben: ↑2. Mai 2021, 16:06
, nur daß wir eben nicht damit klar kommen, diese nicht in einem ausgezeichneten Ziffernsystem darstellen zu können.
Ausgezeichnete Ziffernsysteme ist etwas für Ingenieure, nicht für Mathematiker.
Skeltek hat geschrieben: ↑2. Mai 2021, 16:06
Pi ist lediglich ein geometrisches Verhältnis, genauso wie Wurzeln oder andere Relationen.
Da hat pi noch grosses Glück; die überwältigende Mehrheit der reellen Zahlen lässt sich nicht so ohne weiteres geometrisch definieren.
Skeltek hat geschrieben: ↑2. Mai 2021, 16:06
Die Nichtdarstellbarkeit in einem Ziffensystem steht symbolischen Lösungen nicht im Weg.
Wie gesagt: Ziffensysteme sind gut und schön und nützlich für die Anwendung, aber das war es dann auch schon. Für Beweise würde ich eher die Finger davon lassen. Kommt hinzu, dass zahlreiche Zahlen gleich zwei solcher Darstellungen haben, beispielsweise die Zahl 1 als 1.0000..... oder als 0.9999....., was Beweisführungen nicht unbedingt vereinfacht.
Skeltek hat geschrieben: ↑2. Mai 2021, 16:06
Unsere Mathematik ist ohnehin zu sehr von unseren weltlichen Anschauungen geprägt was man an der Verwendung von Begriffen wie 'Existenz' usw sehen kann.
Existenz heisst doch letztlich nur, dass eine Zahl eindeutig konvergiert. Während also 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... existiert, so gilt für 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..., dass sie
nicht existiert; in diesem Fall kann man zeigen, dass sie deswegen nicht existiert, weil sie über alle Grenzen anwächst.
Für die stillen Mitleser:
Zur ersten: stelle Dich vor eine Wand. Gehe nun die Hälfte auf die Wand zu. Gehe erneut die Hälfte auf die Wand zu. Immer wieder. Der verbleibende Abstand zur Wand konvergiert gegen 0, d.h. im Grenzwert erreichst Du die Wand.
Zur zweiten: betrachte
(1) 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 = 1/2, d.h. 1/3 + 1/4 > 1/2
(2) 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2, d.h. 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/2
(3) 1/9 + 1/10 + ... + 1/15 + 1/16 > 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 1/2, d.h. 1/9 + 1/10 + ... + 1/15 + 1/16 > 1/2
und von denen gibt es unendlich viele, und unendlich mal 1/2 ist eben unendlich.
Skeltek hat geschrieben: ↑2. Mai 2021, 16:06
Statt einer Sache schlicht eine andere Bedeutung oder Geltungssphäre zuzuweisen, streitet man sich darum, ob diese tatsächlich 'existiert', was als Frage an sich bereits einfach nur unsinnig ist.
Wie gesagt, ich sehe das Problem eigentlich nicht so schlimm.
Freundliche Grüsse, Ralf