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Über natürliche Zahlen

Mathematische Fragestellungen
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Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 2. Mai 2021, 00:46

Hallo zusammen,

auch ich möchte den Thread über die Kosmologie nicht überstrapazieren, aber dem Gesagten über die natürlichen Zahlen dennoch zumindest so nicht zustimmen.

Aus diesem Grunde habe ich einen neuen Thread eröffnet - möglich dass es so einen Thread hier schon gibt, ich das das nicht durchsucht.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 2. Mai 2021, 01:31

Hallo zusammen,

nach dem gezeigten YouTube-Film kommt noch einer, nämlich https://www.youtube.com/watch?v=r0_mi8ngNnM, bei dem es um die Frage geht, was "0 hoch 0" ergibt.

Hierzu 2 Anmerkungen:

Es ist richtig, dass limes x->0 (x hoch x) = 1 gilt, jedoch lautet die korrekte Grenzwertbildung limes x->0, y->0 (x hoch y), und das kann zu jeder beliebigen Zahl führen. Somit ist 0 hoch 0 nicht definiert, wohl aber beispielsweise der Grenzwert, bei dem x und y "gleich schnell" gegen 0 gehen, dann erhalten wir 1.

Ganz zum Schluss wird noch die Frage aufgeworfen, wo denn der genau "Wendepunkt" ist. Dass kann man berechnen:

min(x hoch x) mit x in [0,1] = ? finden wir, indem wir die erste Ableitung bilden.

Nun, x hoch x abzuleiten ist nicht so einfach, wohl aber ln(x hoch x), denn das ist x*ln(x).

Die Ableitung ist gemäss Produkteregel ln(x)*1 + x*(1/x), also ln(x) + 1, und da ein Minimum vorliegen soll, soll das also 0 ergeben, was zu ln(x) = -1 und x=1/e ~0.368 führt.

Der "Umkehrpunkt" liegt also wie im Video gesehen zwischen 0.4 und 0.3.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von Skeltek » 2. Mai 2021, 02:51

Ein schönes klassisches Beispiel, das man am Ende durch analytisches Ergänzen löst. Wie oft kommt es am Ende auf unsere Definitionen an. Welche Bedeutung wollen wir der von uns geschriebenen Formel geben - die eingesetzten Zahlen/Parameter sind da auch erstmal sekundär für die semantische Betrachtung.
Und es ist schade, daß solche Links irgendwann einfach so in den Tiefen des Forums verloren gehen oder beim Archivieren und aufräumen dann weg sind... oder einfach praktisch nicht mehr auffindbar.
Vielleicht fällt mir ja nochmal irgendetwas wirklich gutes ein, was ich so in der Vergangenheit gehört hatte.
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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 2. Mai 2021, 14:48

Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2021, 02:51
Ein schönes klassisches Beispiel, das man am Ende durch analytisches Ergänzen löst. Wie oft kommt es am Ende auf unsere Definitionen an.
Hallo Skel,

dem ist zuzustimmen. Allerdings bin ich persönlich der Meinung, dass man nicht zu viel pauschal definieren sollte. So gibt es sicherlich Anwendungen, in denen die Definition 0 hoch 0 = lim x->0 (x hoch x) Sinn macht, doch ist der allgemeine Fall dennoch lim x->0, y->0 (x hoch y).

Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2021, 02:51
Und es ist schade, daß solche Links irgendwann einfach so in den Tiefen des Forums verloren gehen oder beim Archivieren und aufräumen dann weg sind... oder einfach praktisch nicht mehr auffindbar.
Vielleicht fällt mir ja nochmal irgendetwas wirklich gutes ein, was ich so in der Vergangenheit gehört hatte.
Vielleicht ist das gar nicht so schlimm, da vermutlich jeder dieser Links seinen eigenen ganz individuellen Ausgangspunkt hatte.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 2. Mai 2021, 15:04

seeker hat geschrieben:
30. Apr 2021, 16:35
ralfkannenberg hat geschrieben:
29. Apr 2021, 01:21
Die mathematischen Konstanten sind unabhängig von der Natur und vom Urknall; es gibt keine Mathematik, in der die Quadratwurzel aus 2 einen anderen Wert hat oder in der die Euler'sche Zahl und damit die Zahl pi anders ist.
Das kann man so sehen. Man kann es auch so sehen, dass wenn man (irgendjemand, irgendwo) dieselbe mathematische Struktur (mehrmals) konstruiert, dass dann natürlich auch immer dasselbe herauskommt, dieselben math. Konstanten, Ableitungen, Befunde, usw.
Das heißt: Wenn irgendein Wesen in einem anderen Universum dieselbe Mathematik konstruiert wie wir, dass dann auch dort die Wurzel aus 2 = 1,4142... ist. Nur: Warum sollte dieses Wesen ausgrechnet dieselbe math. Struktur wie wir konstruieren und dieselben Interessen haben, dieselben Fragen stellen und nichts anderes? Warum sollte es dieselbe Auswahl treffen?
Hallo seeker,

fragen wir doch einmal umgekehrt: gibt es eine mathematische Struktur, bei der die Quardatwurzel aus 2 von unserer Quadratwurzel aus 2 abweicht ? Gibt es eine mathematische Struktur, in der die Euler'sche Zahl einen anderen Wert hat, oder in der pi einen anderen Wert hat ?

Oder setzen wir weiter "unten" an: gibt es eine mathematische Struktur, bei der die leere Menge etwas anderes ist als die uns bekannte leere Menge ? Bei der die Menge, die nur die leere Menge enthält, etwas anderes ist als bei uns ?

seeker hat geschrieben:
30. Apr 2021, 16:35
So gesehen beweist das dann eben nicht die platonische Sichtweise auf die Mathematik. Diese Sache bleibt unentschieden.
Möglicherweise ist unsere Mathematik nichts anderes als ein Spiegel unseres ganz speziellen Universums und auch unserer damit verbundenen ganz speziellen Natur und Denk-Natur.
Zwar glaube ich nicht, dass dem so ist. Aber wenn dem so wäre, dann wäre sie meines Erachtens schlecht definiert.

Ich persönlich denke eher, dass sie zwar unterschiedlich formuliert sein kann, aber nicht, dass sie sich im mathematischen Inhalt unterscheidet. Also dass sie beispielsweise nicht die Konstante pi, sondern die Konstante 2*pi betrachten.

Und wenn sie eine Funktion suchen, die abgeleitet dieselbe Funktion ergibt, stossen sie auch zwangsläufig "irgendwie" auf die Euler'sche Zahl. Damit da also etwas völlig anderes herauskommt muss der Begriff der "Ableitung" bei denen anders definiert sein, mit der Folge, dass das Tangentenproblem anders betrachtet werden muss, d.h. nun muss auch die Geometrie völlig anders aufgebaut werden.

Die einfachste Fläche, die man sich vorstellen kann, kann man mit 3 Punkten beschreiben, die nicht auf einer Gerade liegen. Damit haben wir ein Dreieck. Dabei ist es unerheblich, ob diese in der Ebene oder in einem höher dimensionalen Raum eingebettet ist, das Deieck als solches ist immer zweidimensional. Und damit haben wir auch eine Winkelsumme und wenn man das Dreieck an einer Achse spiegelt hat man ein Parallelogramm, d.h. man hat Parallelität.

Ok, nun kann es passieren, dass die "Geodäte" zwischen zwei Punkten wegen der Raumkrümmung nicht auf einer Geraden liegt, aber eine Mathematik vermag zwischen beiden Begriffen zu unterscheiden, und wenn sie einfach nur feststellt, dass eine Gerade die kürzest mögliche Geodäte ist, also eine Minimumbildung vorgenommen wird.

Und vermutlich - ich bin mir hier nicht sicher - kann man auch zeigen, dass Winkelsumme im Dreieck = 180° und Geodäten = Geraden axiomatisch äquivalent sind usw usw.

Von der 0 ("Startpunkt") und der 1 ("Nachfolgeoperator"), die sich aus den Peano-Axiomen ergeben, habe ich nun noch nicht gesprochen, wobei man die beiden äquivalent aus der leeren Menge und der Menge, die die leere Menge enthält, herleiten kann und der Nachfolgeoperator letztlich darauf hinausläuft, dass eine weitere "leere Menge" dem bisherigen "Mengenkonstrukt" zugefügt wird.

Das ist jetzt alles hochgradig heuristisch, sollte aber funktionieren.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 2. Mai 2021, 15:36

Skeltek hat geschrieben:
30. Apr 2021, 18:57
ralfkannenberg hat geschrieben:
30. Apr 2021, 16:19
Skeltek hat geschrieben:
30. Apr 2021, 14:33
Die natürlichen Zahlen selbst aber stehen auf wackeligen Beinen.
Wieso ? Die kannst Du sogar mengentheoretisch herleiten: es gibt eine ausgezeichnete Menge, das ist die leere Menge. Dann betrachtest Du die Menge, die die leere Menge enthält, dann die Menge, die die Menge mit der leeren Menge enthält u.s.w.

Das läuft auf die Peano-Axiome hinaus, genauer: ist zu ihnen (weitgehend) äquivalent.
Um den Thread nicht unnötig zu entführen, nur kurz ein Link dazu: https://www.youtube.com/watch?v=KTUVdXI2vng
Hallo Skel,

wie schon im anderen Thread geschrieben: herzlichen Dank für diesen hervoragenden Link. Allerdings geht die Referentin für einen Laien vermutlich etwas gar schnell voran und bei den ersten Minuten muss man aufpassen, dass man den Youtube-Film nicht als "langweilig" ausschaltet. Bei nur rund 12 Minuten Länge lohnt es sich aber, dran zu bleiben. Der Laie sollte sich den Film zweimal anschauen und bei den Äquivalenzklassen für die negativen Zahlen und den Dedekind'schen Schnitten kurz innehalten und sich das vielleicht auf ein Blatt Papier aufschreiben.

Skeltek hat geschrieben:
30. Apr 2021, 18:57
Mengentheorie und Logik fußen eher auf philosophischen Standbeinen.
Ich bin mir nicht sicher: dieser "Logicism", von dem die Rede ist, kann selbstverständlich philosophisch erörtert werden und es lohnt sich auch, das zu tun. Wobei ein Philosoph, der das tut, über ein beachtliches mathematisches Wissen verfügt, das meines Erachtens locker zum Erwerb eines Hochschuldiploms in Mathematik genügt. Es ist also keineswegs so, dass jeder dahergelaufene Laie sich kompetent zu diesem Thema äussern kann, und wenn ein Philosoph das kompetent tut, dann kann der etwas !

Skeltek hat geschrieben:
30. Apr 2021, 18:57
Stichwörter: Axiom of infinity, axiom of choice und darunter sogar noch Zeug wie 'kein unbekanntes Drittest' usw. Der Punkt und Kompromiss, den man gefunden hat, was bei Axiomen ganz unten einen Schlusstrich zu ziehen und einige logische Grundprinzipien als unbewiesene Annahmen hinzunehmen.
Das ist aber letztlich dem Wunsch geschuldet, alles axiomatisch beschreiben zu wollen.

Nicht zuletzt auch aus diesem Grund würde ich zwischen den beiden Disziplinen "Logik" und "Mathematik" unterscheiden. Im normalen täglichen Leben kommst Du mit den beiden Unendlichkeitsbegriffen, die sich aus den Peano-Axiomen und die sich aus den Dedekind'schen Schnitten ergeben oder ganz naiv aus der Geometrie und dem Kontinuum ergeben, völlig aus, und lernt mit Hilfe des Cantor'schen Diagonalbeweises, dass die beiden unterschiedliche Mächtigkeiten haben.

Eine "Mathematik der Mächtigkeiten", die das axiom of infinity, ist in der normalen Mathematik nicht erforderlich.

Beim axiom of choice, also dem Auswahlaxiom, ist es vielleicht etwas anders, weil dieses doch gelegentlich eine Rolle spielt, wie beispielsweise dem Zorn'schen Lemma oder dem Wohlordnungssatz, die ja beide äquivalent zum Auswahlaxiom sind. - Wenn ich mich recht entsinne ist aber die Konsequenz, wenn man das Auswahlaxiom nicht nutzen kann, lediglich die, dass einige ohnehin völlig abstrakte Gleichungen, die mit dem täglichen Leben nichts zu tun haben, nicht nur eine, sondern (abzählbar ?) unendlich viele Lösungen haben.


Freundliche Grüsse, Ralf


EDIT 17:28 Uhr: Typos korrigiert
Zuletzt geändert von ralfkannenberg am 2. Mai 2021, 17:28, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von Skeltek » 2. Mai 2021, 16:06

Also in meinen Augen ergeben sich die ganzen Zahlen erst als Folge-Erscheinung des Kontinuums ohne die Null - in der Natur und Realität gibt es nichts, was eine Größe auf '1' eicht, höchstens Äquivalenz was über eine Interpretation als 'gleich groß' eine Einheit auf der Skala von ]0,unendlich[ festelegen kann. Klar haben wir mit Peano&Co eine von vielen möglichen Interpretationsmöglichkeiten bzw Axiomatischen Herleitungen, aber es ist eben nicht die Einzige.

Übrigens halte ich Pi für eine Zahl wie jede andere auch, nur daß wir eben nicht damit klar kommen, diese nicht in einem ausgezeichneten Ziffernsystem darstellen zu können. Pi ist lediglich ein geometrisches Verhältnis, genauso wie Wurzeln oder andere Relationen. Die Nichtdarstellbarkeit in einem Ziffensystem steht symbolischen Lösungen nicht im Weg.
Unsere Mathematik ist ohnehin zu sehr von unseren weltlichen Anschauungen geprägt was man an der Verwendung von Begriffen wie 'Existenz' usw sehen kann. Statt einer Sache schlicht eine andere Bedeutung oder Geltungssphäre zuzuweisen, streitet man sich darum, ob diese tatsächlich 'existiert', was als Frage an sich bereits einfach nur unsinnig ist.
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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 2. Mai 2021, 18:15

Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2021, 16:06
Also in meinen Augen ergeben sich die ganzen Zahlen erst als Folge-Erscheinung des Kontinuums ohne die Null - in der Natur und Realität gibt es nichts, was eine Größe auf '1' eicht
Hallo Skel,

eine Eichung auf "1" braucht es auch nicht, es genügt, eine von "0" verschiedene Zahl oder geometrisch einem vom Nullpunkt verschiedenen Punkt zu haben.

Wenn Du eine "Elementarmenge" hast, z.B. die leere Menge {}, und dann die Menge betrachtet, die die leere Menge enthält, also { {} }, so hat letztere eine Anzahl Elemente, also nicht "kein Element". Wie man dieses "nicht kein" bezeichnet ist letztlich unerheblich; wir nennen kein Element mit "null Elemente" und die nächst mögliche konstruierbare Menge als eine Menge mit "einem Element".

Bei dieser Konstruktion kann man keine Menge konstruieren, die da irgendwie "dazwischen" liegt, beispielsweise eine Menge, die nur ein halbes Element hat.

Und wenn man diesen Schritt wiederholt, so erhalten wir { {}, { {} } }, also eine Menge, die "zwei Elemente" enthält.


Wie eichen wir nun auf die "1" ?

Algebraisch geht das ganz banal: dieser Prozess der "Mengen-Akkretion" führt auf die natürlichen Zahlen, diese kann man bis auf Isomorphie eindeutig auf die Gruppe der ganzen Zahlen abschliessen. Man nimmt eine weitere Operation hinzu, indem man Zahlen eine gewisse Anzahl mit sich selber addiert - Vorsicht: zunächst einmal ist 2*3 etwas anderes als 3*2, da die schwarze Ziffer der Gruppe und die blaue Ziffer einer Anzahlbildung, d.h. einem Vielfachenring entstammt, aber das ist nun nur ein Detail und über die Peano-Axiome kann man zeigen, dass 2*3 = 3*2 gilt, wobei die Eindeutigkeit des Nachfolgeoperators zu verwenden ist.

Nun haben wir also einen Ring und hier erfolgt nun die Eichung: Ring-Elemente, die ein multiplikativ Inverses haben, nennt man "Einheiten". Im Ring der ganzen Zahlen gibt es also zwei solche Einheiten, nämlich {-1, 1}.

Im Ring der ganz-komplexen Zahlen, das ist {z+iw mit z,w in IZ}, gibt es übrigens 4 Einheiten, nämlich neben 1 und -1 noch die beiden imaginären Einheiten i und -i.

Insbesondere verwenden wir nirgendwo irgendwelche Abstandsbegriffe !

Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2021, 16:06
, höchstens Äquivalenz was über eine Interpretation als 'gleich groß' eine Einheit auf der Skala von ]0,unendlich[ festelegen kann.
Unendlich ist nicht definiert, folglich ist eine Menge "]0, unendlich[" nicht definiert.

Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2021, 16:06
Klar haben wir mit Peano&Co eine von vielen möglichen Interpretationsmöglichkeiten bzw Axiomatischen Herleitungen, aber es ist eben nicht die Einzige.
Korrekt, aber diese werden schlussendlich äquivalent sein.

Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2021, 16:06
Übrigens halte ich Pi für eine Zahl wie jede andere auch
Aus Sicht der reellen oder der komplexen Zahlen ist sie das auch. Aus Sicht der natürlichen Zahlen oder auch der rationalen Zahlen indes ist sie es nicht, aus Sicht der algebraischen Zahlen übrigens auch nicht. Aber auch nur deswegen, weil sie eben nicht Element dieser Mengen ist.

Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2021, 16:06
, nur daß wir eben nicht damit klar kommen, diese nicht in einem ausgezeichneten Ziffernsystem darstellen zu können.
Ausgezeichnete Ziffernsysteme ist etwas für Ingenieure, nicht für Mathematiker.

Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2021, 16:06
Pi ist lediglich ein geometrisches Verhältnis, genauso wie Wurzeln oder andere Relationen.
Da hat pi noch grosses Glück; die überwältigende Mehrheit der reellen Zahlen lässt sich nicht so ohne weiteres geometrisch definieren.

Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2021, 16:06
Die Nichtdarstellbarkeit in einem Ziffensystem steht symbolischen Lösungen nicht im Weg.
Wie gesagt: Ziffensysteme sind gut und schön und nützlich für die Anwendung, aber das war es dann auch schon. Für Beweise würde ich eher die Finger davon lassen. Kommt hinzu, dass zahlreiche Zahlen gleich zwei solcher Darstellungen haben, beispielsweise die Zahl 1 als 1.0000..... oder als 0.9999....., was Beweisführungen nicht unbedingt vereinfacht.

Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2021, 16:06
Unsere Mathematik ist ohnehin zu sehr von unseren weltlichen Anschauungen geprägt was man an der Verwendung von Begriffen wie 'Existenz' usw sehen kann.
Existenz heisst doch letztlich nur, dass eine Zahl eindeutig konvergiert. Während also 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... existiert, so gilt für 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..., dass sie nicht existiert; in diesem Fall kann man zeigen, dass sie deswegen nicht existiert, weil sie über alle Grenzen anwächst.

Für die stillen Mitleser:

Zur ersten: stelle Dich vor eine Wand. Gehe nun die Hälfte auf die Wand zu. Gehe erneut die Hälfte auf die Wand zu. Immer wieder. Der verbleibende Abstand zur Wand konvergiert gegen 0, d.h. im Grenzwert erreichst Du die Wand.

Zur zweiten: betrachte
(1) 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 = 1/2, d.h. 1/3 + 1/4 > 1/2
(2) 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2, d.h. 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/2
(3) 1/9 + 1/10 + ... + 1/15 + 1/16 > 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 1/2, d.h. 1/9 + 1/10 + ... + 1/15 + 1/16 > 1/2
und von denen gibt es unendlich viele, und unendlich mal 1/2 ist eben unendlich.

Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2021, 16:06
Statt einer Sache schlicht eine andere Bedeutung oder Geltungssphäre zuzuweisen, streitet man sich darum, ob diese tatsächlich 'existiert', was als Frage an sich bereits einfach nur unsinnig ist.
Wie gesagt, ich sehe das Problem eigentlich nicht so schlimm.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von seeker » 3. Mai 2021, 17:21

Hall Ralf,
zu deinem Beitrag, vom 2. Mai 2021, 14:04:

Ich denke, zu zeigst da erwartungsgemäß eine platonische Sichtweise auf die Mathematik, so wie die meisten Mathematiker.
Was du sagst, läuft, soweit ich dich verstanden habe, darauf hinaus, dass unsere Mathematik im Grunde DIE Mathematik sei, dass man sie zwar anders formulieren könne, dass aber ihre Kernstrukturen davon unberührt blieben. Und dass diese Strukturen in irgendeiner universellen, zeitlos-unveränderlichen Weise bedeutungsvoll und wichtig seien, wichtiger als andere Strukturen, die wir nicht geschaffen (bzw. entdeckt) und analysiert haben, sei es, weil sie uns nicht interessieren, sei es, weil wir sie aufgrund unserer Natur und unseren Beschränkungen nicht finden können.

Ich will es einmal anders versuchen zu zeigen, worauf ich hinaus will und vielleicht ein paar Zweifel sähen und hoffentlich erbauliche Denkanregungen geben...

Mathematik kann man ja als diejenige Wissenschaft beschreiben, die durch logische Definitionen selbstgeschaffene abstrakte Strukturen mittels der Logik auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht.

Frage:
Was meinst du, was genau unterscheidet hier unsere Mathematik prinzipiell, im innersten Kern von so etwas wie z.B. Schach?
Das Schachspiel ist ein selbstgeschaffenes logisches System, das nach klar definierten abstrakt-logischen Regeln funktioniert. Man kann in ihm auch allerlei wiederkehrende Muster und Strukturen finden, auch Strategeme wie die Springergabel und den Läuferspieß.

Es erscheint dabei einleuchtend, dass diese Strukturen in gewisser Weise universell und zeitlos sind, denn es ist plausibel, dass auch Wesen in einem ganz anderen Universum, die, wenn sie dasselbe Spiel erfinden würden, auch genau dieselben Muster darin finden würden.
Nur: Es gibt prinzipiell sicher unendlich viele andere logische Spiele, wo das genauso wäre und wo sich jeweils andere Muster finden lassen würden. Warum sollten unsere Wesen ausgerechnet unser Schachspiel 'wiedererfinden', also gerade dieses aus einer Unzahl an möglichen Spielen auswählen?

Was genau ist an der Stelle bei unserer Mathematik anders?
Ist etwas anders? Wissen wir das? Oder können wir das nur vermuten (oder auch nicht)?

Übertragen auf unsere Geometrie:
Wir leben in einem speziellen Universum: Es ist sehr strukturiert und geordnet, es hat genau drei Raumdimensionen und eine asymmetrische Zeitdimension mit Zeitpfeil (und das überall und dauerhaft/stabil), es hat also auch überhaupt Raum und Zeit, usw.
Könnte es nicht sein, dass wir auch deswegen ausgerechnet auf die Idee gekommen sind Kreise zu zeichnen und diese durch eine Gerade zu halbieren und so auf eine Verhältniszahl Pi aus beidem gestoßen sind, weil die eben in unserem Universum -so wie es ist- in unseren Augen eine besondere Bedeutung hat?
Würden Wesen in einem Universum, das völlig anders als das unsere ist, wo es vielleicht keinen stabilen Raum und keine gerichtete Zeit wie bei uns gibt, auch auf die Idee kommen Kreise zu zeichnen - oder überhaupt zu zeichnen? Und wäre Pi für diese Wesen interessant und bedeutungsvoll?
Oder würden sie ganz andere abstrakte Dinge in ihrer Mathematik tun (...die wir uns gar nicht vorstellen können)?

Übertragen auf die Arithmetik dasselbe:
Wir leben in einem Universum, in dem in unseren Augen Einzelgegenstände existieren, die dauerhaft-stabil voneinander unterscheidbar sind und daher sinnvoll gezählt werden können.
Würden Wesen in einem anderen Universum, wo das nicht so ist, auch auf die Idee mit dem Zählen und den Zahlen kommen?
Oder würden sie ganz andere abstrakte Dinge in ihrer Mathematik tun (...die wir uns gar nicht vorstellen können)?

Müssen nicht alle Wesen bei ihren Abstraktionen zunächst von dem abstrahieren, das sie bei sich vorfinden? Und alles andere baut dann darauf notwendig auf, in einer Evolution?
Und bilden sich leistungsfähigere Denkorgane nicht auch zu diesem Zweck, passend zu ihrer speziellen Umgebung heraus?
D.h.: Ist die Art und Weise, wie wir denken und überhaupt denken können, nicht wahrscheinlich in gewisser Weise ein Spiegel der Beschaffenheit unseres Universums, so also auch unsere Mathematik?

Hat die Ansicht, dass unsere Mathematik (also unsere Auswahl) mehr sei, so etwas wie DIE universelle Mathematik, vielleicht etwas Anthropozentrisches, vielleicht sogar Chauvinistisches an sich?

Oder ist dem nicht so, weil wir vielleicht nachweisen können, dass unsere Mathematik schon so verallgemeinert werden konnte, dass damit schon ein Großteil aller Mathematik, die es überhaupt geben kann, schon erfasst ist?
Können wir das nachweisen?
(In diesen letzten beiden Sätzen liegt m.E. die Gretchenfrage bei dieser Geschichte begraben...)
Grüße
seeker


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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 3. Mai 2021, 17:44

Hallo seeker,

das muss ich mir näher anschauen, das kann ich auf die Schnelle nicht beantworten.

Ich würde aber vielleicht einen geringfügig anderen Ansatz wählen:

- gibt es eine Alternative zum Zählen und damit den Peano-Axiomen ?
- gibt es eine Alternative zu Punkten und damit der Geometrie ?


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von seeker » 3. Mai 2021, 23:05

Zu meiner Motivation:
Ich möchte hier einfach nur zum Nachdenken anregen, "über den Tellerand schauen", das Denken etwas an die Grenze bringen und so evtl. etwas erweitern, das ist alles.
ralfkannenberg hat geschrieben:
3. Mai 2021, 17:44
Ich würde aber vielleicht einen geringfügig anderen Ansatz wählen:

- gibt es eine Alternative zum Zählen und damit den Peano-Axiomen ?
- gibt es eine Alternative zu Punkten und damit der Geometrie ?
Solche Dinge kannst du sicher viel besser abschätzen als ich. Ja, ganz grundlegend: Gibt es eine Alternative zum Zählen und zur Geometrie? Gibt es grundlegende Alternativen zu der Art und Weise wie wir denken und verstehen und abstrahieren? Wie würde z.B. ein Wesen denken, das nicht einem linearen Zeitablauf unterliegt? Wie würde eine hyperintelligente KI denken? Welche Mathematik ergäbe sich daraus?
Die Frage ist halt auch, ob wir das überhaupt so direkt angehen können, denn es geht hier ja im Grunde auch darum, etwas wenigstens ein wenig zu erhellen, das wir wohl im Konkreten gar nicht denken können (andere Wesen in anderen Welten aber womöglich schon), daher der indirekte Ansatz der Argumentation.
Grüße
seeker


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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 4. Mai 2021, 00:19

seeker hat geschrieben:
3. Mai 2021, 23:05
ralfkannenberg hat geschrieben:
3. Mai 2021, 17:44
Ich würde aber vielleicht einen geringfügig anderen Ansatz wählen:

- gibt es eine Alternative zum Zählen und damit den Peano-Axiomen ?
- gibt es eine Alternative zu Punkten und damit der Geometrie ?
Solche Dinge kannst du sicher viel besser abschätzen als ich. Ja, ganz grundlegend: Gibt es eine Alternative zum Zählen und zur Geometrie? Gibt es grundlegende Alternativen zu der Art und Weise wie wir denken und verstehen und abstrahieren?
Hallo seeker,

ob ich das wirklich besser abschätzen kann sei einmal dahingestellt, denn letztlich sind wir alle in unserer Welt aufgewachsen und haben die selbstverständlichen mathematischen und logischen Inhalte von frühester Kindheit an gelernt, so dass es schwerfällt, diese zu hinterfragen.

Ich denke, wenn man hier weiterkommen möchte, so muss man sich überlegen, wo konkret etwas anders sein könnte.

Skel hat da noch im Kosmologie-Thread geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:
30. Apr 2021, 18:57
Mengentheorie und Logik fußen eher auf philosophischen Standbeinen. Stichwörter: Axiom of infinity, axiom of choice und darunter sogar noch Zeug wie 'kein unbekanntes Drittest' usw.
Auf die beiden ersten Punkte in ich schon eingegangen, nicht aber auf "kein unbekanntes Drittes", und ich denke, da liegt tatsächlich etwas drin: unsere Logik geht davon aus, dass entweder A oder nicht-A gültig ist. Was aber, wenn es da noch weitere Ausprägungen gibt ?

Gewiss, man könnte sich auf den Standpunkt stellen, dass es dann ein A und diverse verschiedene "teilweise nicht-A" gibt, die man dann logisch wieder zu einem umfassenden nicht-A zusammenfassen könnte und wieder bei der uns vertrauten Situation sind.

Wobei das unabhängig von "A" ist, nehmen wir an, wir haben eine beliebige Menge solcher "teilweise nicht-A" und wählen eines davon als "B" aus und die Gesamtheit aller anderen zusammenfassend als "nicht-B".

Doch sieht man einmal davon ab, dass wir hier rasch mal in eines der "Menge aller Mengen"-Paradoxon hineinfallen können, also letztlich das Russell'sche Paradoxon, so setze ich bei meiner obige Argumentation stillschweigend voraus, dass man das "A" und die "teilweise nicht-A" tatsächlich so "gruppieren" kann (was auch immer "gruppieren" in diesem Kontext heissen mag), dass man zwei disjunkte Mengen erhält.


Ich denke nicht, dass man diese stillschweigende Voraussetzung beweisen kann, d.h. wenn wir eine Logik haben, in der das - aus welchem Grunde auch immer - nicht gilt und die dennoch widerspruchsfrei bleibt, dann brechen uns unsere bekannten logischen Argumentations-Methoden weg. Und schlimmer noch - auch die Wortwahl "widerspruchsfrei" muss dann neu definiert werden und wenn es dumm läuft, dann gibt es in einer solchen Logik so etwas wie eine "Widerspruchsfreiheit" gar nicht.


Also dieses "kein unbekanntes Drittes" wäre m.E. ein Punkt, an dem man mit Aussicht auf Erfolg ansetzen könnte. Wobei sich dann noch eine andere Frage stellt, nämlich ob man in die Beliebigkeit abstürzt - ein Mathematik, in der je nach Gusto 1+1=2 oder auch 1+1= -1 Million gilt ist nicht mehr allzuviel wert.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von seeker » 4. Mai 2021, 08:47

Ja, über solche Dinge kann man nachdenken, so kratzt man wenigstens ein wenig an der Fassade. Danke für den Gedankengang.
Ich selbst kenne mich in dem Gebiet leider zu wenig aus, um dir da weiteren Input geben zu können.

Was mir aber noch eingefallen ist:
Wenn wir uns unsere neuesten KIs anschauen (und die können ja im Grunde noch fast gar nichts, relativ dazu, was dort noch zu erwarten ist), dann fällt mir auf, dass die inzwischen an manchen Stellen schon Probleme lösen können, die wir nicht oder nicht so gut lösen können.
Aber wie sie das genau machen, das bleibt deren Geheimnis; es ist auch ganz "andersartig", obwohl die ja bisher immer noch von uns gebaut sind. Wenn sie das nicht wären, wäre es vermutlich noch krasser. Also ist da scheints etwas.

Mathematik hat, wie mir scheint, ja auch nicht nur mit Definition zu tun, sondern auch mit Mustererkennung und dem Nachweis und der Erfassung dieser Muster. Manchmal könnte es vielleicht auch so sein, dass Definitionen zielgerichtet geschaffen werden, um bestimmte Muster zu erhalten und untersuchen zu können, die man sich daraus erhofft. Also quasi ein "von oben nach unten"-Vorgehen", statt wie gewöhnlich "von unten nach oben" ("unten" wären die Definitionen, "oben" die Muster und Strukturen, die sich damit ergeben).
Und Mathematik hat auch etwas mit Abstraktion zu tun. Warum abstrahieren wir? Weil es damit einfacher wird, weil unser doch sehr begrenztes Denkorgan (und auch unsere Computer) damit dann besser umgehen kann.
Grüße
seeker


Kritisches Denken bedeutet nicht, sich einseitig nur aus kritischen Quellen zu versorgen und die dortigen Darstellungen unkritisch zu übernehmen. Viele überschätzen ihre eigene Medienkompetenz massiv. Dies wird von Verführern ausgenutzt.

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 4. Mai 2021, 11:41

seeker hat geschrieben:
4. Mai 2021, 08:47
Was mir aber noch eingefallen ist:
Wenn wir uns unsere neuesten KIs anschauen (und die können ja im Grunde noch fast gar nichts, relativ dazu, was dort noch zu erwarten ist), dann fällt mir auf, dass die inzwischen an manchen Stellen schon Probleme lösen können, die wir nicht oder nicht so gut lösen können.
Aber wie sie das genau machen, das bleibt deren Geheimnis; es ist auch ganz "andersartig", obwohl die ja bisher immer noch von uns gebaut sind. Wenn sie das nicht wären, wäre es vermutlich noch krasser. Also ist da scheints etwas.
Hallo seeker,

ich will hier jetzt nicht den notorischen Pessimisten spielen, aber dennoch daran erinnern, dass der "frühe" Einsatz von Rechnern in den 1980iger Jahren, also zu meinen Studienzeiten, auch ohne AI in der Lage war, Integrale in einer einfacheren Form herauszufinden als man sie damals in den Tabellen fand.

Wenn man also eine Prognose geben möchte, wozu AI alles fähig sein wird, dann sollte man diese frühen Leistungen der Rechner, die noch keine AI zur Verfügung hatten, ebenfalls berücksichtigen. Auch der Vierfarbensatz wurde übrigens ohne AI mit Rechnerhilfe gelöst und es gibt meines Wissens bis heute Mathematiker, die diesen Beweis nicht anerkennen.


Wobei hier noch ein weiteres Problem dazu kommt: ein Rechner-Beweis kann aufgrund eines Programmierfehlers falsch sein. Hoch-komplexe Beweise über mehrere tausend Seiten bergen indes auch das Risiko, dass sich der Beweisführer geirrt hat und kein Peer Revisor das aus Zeitgründen je herausfinden wird.


Im Übrigen gibt es hier noch ein anderes Phänomen das auch mir einmal passiert ist, als ich spasseshalber an der Goldbach'schen Vermutung mit Rechnerhilfe gearbeitet habe (ohne AI, ich habe nur die Rechnerleistung genutzt): ich habe da eine Funktion berechnet und das Programm über das Wochenende laufen lassen - so schnell waren die Rechner damals noch nicht und zudem musste ich, da ich grosse Integer-Zahlen genutzt habe, die man in PASCAL bez. Modula-2 zusammensetzen musste, Divisionen zusammengesetzter Integer-Zahlen selber programmieren, was dann auch Rechenleistung verbraucht hat - was noch halbwegs ging, doch als diese Zahlen noch grösser wurden, musste ich noch einen anderen Weg gehen, nämlich die "Ausnahmefälle", bei denen zu grosse Zahlen aufgetreten sind, seperat betrachten, das heisst als solche erkennen und dann eine andere Subroutine zur Berechnung programmieren. - Anfangs waren das ganz wenige, doch je grösser meine Zahlen wurden, desto mehr Ausnahmefälle kamen hinzu und die haben das Programm massiv verlangsamt.

Und bei der Betrachtung dieser Ausnahmefälle ist mir ein Programmierfehler unterlaufen; zwar sah das Ergebnis plausibel aus, aber ich musste leider ein Wochenende später die Berechnung mit der korrigierten Version wiederholen. Und das Interessante war: trotz des Programmierfehlers war das Ergebnis richtig gewesen, d.h. die Wiederholung mit der korrigierten Fassung lieferte keine anderen Ergebnisse.

Was ich sagen will: offenbar sind zahlreiche Situationen so robust, dass das Risiko, dass ein Programmierfehler eine Auswirkung auf das Ergebnis hat, gering ist.

Aber eben: es ist echt grösser als Null und das ist beispielsweise in der Zahlentheorie inakzeptabel.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von Pippen » 4. Mai 2021, 15:19

ralfkannenberg hat geschrieben:
4. Mai 2021, 00:19

Auf die beiden ersten Punkte in ich schon eingegangen, nicht aber auf "kein unbekanntes Drittes", und ich denke, da liegt tatsächlich etwas drin: unsere Logik geht davon aus, dass entweder A oder nicht-A gültig ist. Was aber, wenn es da noch weitere Ausprägungen gibt ?

Unsere klassische Logik ist die Alpha-Omega-Logik, d.h. sie ist die letztendliche Instanz, in der wir denken, d.h. alles muss letztlich in klassische Logik rückübersetzbar sein, sonst ist es bedeutungslos bzw. wirr. Selbst wenn Leute "Logiken" entwickeln, in der A & ~A nicht mehr falsch sei oder in der A = 0.17 wahr, so muss offensichtlich "es ist nicht der Fall, dass A & ~A nicht mehr falsch ist und es ist der Fall, dass A & ~A nicht mehr falsch ist" falsch sein, genau wie "A=0.17 wahr" wahr (dieses! und nicht das Vorhergehende ist das echte Wahrheitsprädikat) sein muss, damit die Ausgangsaussage irgendwas bedeutet. Die beiden Beispiele möge reichen. Es mag andere Logiken geben, es mag sein, dass wir mit einer "falschen" Logik operieren (in der Schlüsse gültig sind, die nicht gültig sind, was wir nur nicht merken), aber es ist die einzige, die wir haben. Der Rest sind Teilmengen aus dem Potential dieser - unserer - klassischen Logik.

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 4. Mai 2021, 16:06

Pippen hat geschrieben:
4. Mai 2021, 15:19
so muss offensichtlich (...) falsch sein
Hallo Pippen,

könntest Du diesen Deiner Meinung nach "offensichtlichen" Beweis bitte konkret ausführen ? - Ich vermute, dass Dir da noch Voraussetzungen vorschweben, die Du stillschweigend als gültig annimmst.

Pippen hat geschrieben:
4. Mai 2021, 15:19
aber es ist die einzige, die wir haben.
Das stimmt so nicht; hier siehst Du ein Beispiel.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von Pippen » 5. Mai 2021, 06:06

Nehmen wir mal die Fuzzylogik. Danach sind Aussagen Y = x-wahr, wobei x eine reelle Zahl im Intervall 0 < x < 1 sei (x = 0/1 wäre als Spezialfall nur die klassische Logik). In einer echten Fuzzylogik (ohne klassische Logik und damit die beiden Spezialfälle) wären alle Aussagen zwischen (nie gleich!) Wahrheit und Falschheit, auch ebenjene Aussage! Was bedeutet aber zB die Aussage A = 0,17-wahr, wenn wiederum ebenjene Aussage, dass A = 0,17-wahr sei, selbst wieder nur 0,99-wahr sei usw. usf.? Da wird alles schwammig. Deshalb braucht auch die Fuzzylogik die klass. Logik als Metalogik, die dann sagt: A mag nur 0,17-wahr sein, aber das wiederum ist 1-wahr.

Zu deinem ersten Punkt. Nehmen wir eine Logik, in der für ein A gilt: A & ~A = wahr. Damit hast du sofort die berüchtigte Explosion (efq), wonach (A & ~A) = falsch. Ja, was nun? Also muss du die Logik umkrempeln und verlierst ganz wichtige Regeln, zB dass du nicht mehr von „X oder Y“ und ~X auf Y schließen darfst, du darfst also nicht mehr von „ralf ist ein mann oder eine frau“ und „ralf ist keine frau“ auf „ralf ist ein mann“ schließen. So denken wir aber. Das führt dann zu Logiken, die - wenn sie wirklich konsequent die klass. Logik ausblenden würden - genauso im Chaos enden, wie oben die Fuzzylogik. Ohne klass. Logik scheint nichts zu gehen.

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 5. Mai 2021, 09:48

Pippen hat geschrieben:
5. Mai 2021, 06:06
Das führt dann zu Logiken, die - wenn sie wirklich konsequent die klass. Logik ausblenden würden - genauso im Chaos enden, wie oben die Fuzzylogik. Ohne klass. Logik scheint nichts zu gehen.
Hallo Pippen,

so gerne ich als reiner Mathematiker Deiner Argumentation folgen würde, so spricht der Erfolg der Fuzzylogik beispielsweise bei künstlicher Intelligenz und der Spracherkennung eine sehr deutliche Sprache und auch das Gehirn funktioniert meines Wissens nach solchen "Mechanismen".

So gesehen könnte ich mir vorstellen, dass intelligente Wesen irgendwo im All ein Axiomensystem aufbauen, welches auf so einer Fuzzylogik basiert, in welchem die klassische Logik "nur" ein extremer Spezialfall ist.

Nehmen wir die Relativitätstheorie und den Homo sapiens hier auf der Erde: natürlich könnte man die Physik anhand der klassischen Physik als Spezialfall der Relativitätstheorien aufbauen, doch wird das heutzutage nicht mehr gemacht, auch wenn auf Schulniveau meist der Spezialfall der klassischen Physik gelehrt wird, weil dieser im täglichen Leben völlig ausreichend und entsprechend einfacher zu lehren ist.

So wie in der Schule ja auch die natürlichen Zahlen naiv definiert werden und die Bruchrechenregeln quasi "bewiesen" werden, obgleich es mathematisch umgekehrt ist, d.h. die Brüche bei der Quotientenkörper-Bildung aus dem Integitätsbereich der ganzen Zahlen via Äquivalenzklassen (Kürzen, Erweitern !) über die Bruchrechenregeln definiert werden.


Natürlich bevorzuge auch ich die klassische Logik, doch dass wir beide das bevorzugen heisst nicht, dass andere Intelligenzen das anders handhaben.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von Skeltek » 7. Mai 2021, 19:33

ralfkannenberg hat geschrieben:
2. Mai 2021, 18:15
eine Eichung auf "1" braucht es auch nicht, es genügt, eine von "0" verschiedene Zahl oder geometrisch einem vom Nullpunkt verschiedenen Punkt zu haben.
Sorry, es gibt keinen Kontext ohne Semantik. Die unterste Ebene ist, ein Element zu haben, und dieses zur '1' zu deklarieren. Alles andere kommt später.
ralfkannenberg hat geschrieben:
2. Mai 2021, 18:15
Skeltek hat geschrieben:
2. Mai 2021, 16:06
Die Nichtdarstellbarkeit in einem Ziffensystem steht symbolischen Lösungen nicht im Weg.
Wie gesagt: Ziffensysteme sind gut und schön und nützlich für die Anwendung, aber das war es dann auch schon. Für Beweise würde ich eher die Finger davon lassen. Kommt hinzu, dass zahlreiche Zahlen gleich zwei solcher Darstellungen haben, beispielsweise die Zahl 1 als 1.0000..... oder als 0.9999....., was Beweisführungen nicht unbedingt vereinfacht.
Du kannst seit mindestens 20 Jahren jeden anständigen Taschenrechner Formeln symbolisch lösen lassen und kein anständiger Taschenrechner wird eine Aufgabe nichtsymbolisch lösen, wenn du nicht explizit eine numerische Lösung anforderst. Pi ist eine Relation, wie jede andere Zahl auch. Das einzige was daneben ist, ist der krankhafte Versuch alles durch endliche oder periodische Ziffernfolgen darstellen zu wollen.
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  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Mai 2021, 01:46

Skeltek hat geschrieben:
7. Mai 2021, 19:33
ralfkannenberg hat geschrieben:
2. Mai 2021, 18:15
eine Eichung auf "1" braucht es auch nicht, es genügt, eine von "0" verschiedene Zahl oder geometrisch einem vom Nullpunkt verschiedenen Punkt zu haben.
Sorry, es gibt keinen Kontext ohne Semantik. Die unterste Ebene ist, ein Element zu haben, und dieses zur '1' zu deklarieren. Alles andere kommt später.
Hallo Skel,

korrekt. Eine solche "unterste Ebene" ist beispielsweise die leere Menge. Die Menge, die die leere Menge enthält, kann dann beispielsweise als "1" deklariert werden. Allerdings ist es von hier noch ein weiter Weg, bis diese "1" dann auch das Neutralelement der Multiplikation ist.

Skeltek hat geschrieben:
7. Mai 2021, 19:33
Du kannst seit mindestens 20 Jahren jeden anständigen Taschenrechner Formeln symbolisch lösen lassen und kein anständiger Taschenrechner wird eine Aufgabe nichtsymbolisch lösen, wenn du nicht explizit eine numerische Lösung anforderst.
Mag sein, dennoch kann man etwas kompliziertere Beweise auch heutzutage noch nicht mit einem "anständigen Taschenrechner" lösen.

Skeltek hat geschrieben:
7. Mai 2021, 19:33
Pi ist eine Relation, wie jede andere Zahl auch.
Ich vermute, Du meinst das richtige, dennoch würde ich gerne wissen, was Du in diesem Zusammenhang unter einer "Relation" verstehst. Denn pi ist lediglich eine Definition und es ist Aufgabe der Mathematik, sicherzustellen (d.h. zu beweisen), dass die verschiedenen Definitionen von pi zueinander äquivalent sind.

Skeltek hat geschrieben:
7. Mai 2021, 19:33
Das einzige was daneben ist, ist der krankhafte Versuch alles durch endliche oder periodische Ziffernfolgen darstellen zu wollen.
Das verstehe ich nicht: wenn Dir ein solcher Nachweis gelingt, ist das mehr als die "halbe Miete", denn dann weisst Du, dass Du es mit einer abzählbar unendlichen Menge zu tun hast, die im Allgemeinen im Gegensatz zu den überabzählbar unendlichen Mengen einfach beschreibbar sind.


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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von Pippen » 13. Mai 2021, 00:39

ralfkannenberg hat geschrieben:
5. Mai 2021, 09:48
so gerne ich als reiner Mathematiker Deiner Argumentation folgen würde, so spricht der Erfolg der Fuzzylogik beispielsweise bei künstlicher Intelligenz und der Spracherkennung eine sehr deutliche Sprache und auch das Gehirn funktioniert meines Wissens nach solchen "Mechanismen".
Das hat mE nichts damit zu tun, dass Fuzzylogik "am Ende" klassische Logik braucht. Fuzzylogik produziert Aussagen mit reellen Wahrheitswerten zwischen 0 und 1, also

p = 0.56786
q = 0.67885
r = 0.001
s = 1
usw.

Nehmen wir mal als Beispiel das obige "p = 0.56786". Das muss doch wohl seinerseits den Wert 1 bekommen, also "p = 0.56786" = 1, oder? Ich behaupte nun, dass du am Ende immer Aussagen brauchst, wo eine Eins oder Null dahinter steht. Es macht keinen Sinn für uns zu sagen: p = 0.56786 und das ist wieder 0.555 und das wiederum ist 0.999 usw. ad infinitum. Das wäre Brei. Irgendwo brauchen wir immer einen Punkt, der es abschließt, wo wir sagen: diese Aussage mag 0.56786-wahr sein, und die Aussage, dass es 0.56786-wahr sei ist wiederum 0.999 wahr usw. usf., aber dass diese ganze Aussagen diese ganzen reellen Wahrheitswerte haben, das ist 1-wahr. Diesen Punkt brauchen wir immer - und das leistet die klass. Logik. Deshalb behaupte ich, dass jede vernünftige Logik immer klass. Logik als Metalogik braucht (d.h. in sie eingebettet ist), damit sie Bedeutung hat.

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von Skeltek » 13. Mai 2021, 07:50

ralfkannenberg hat geschrieben:
9. Mai 2021, 01:46
korrekt. Eine solche "unterste Ebene" ist beispielsweise die leere Menge. Die Menge, die die leere Menge enthält, kann dann beispielsweise als "1" deklariert werden. Allerdings ist es von hier noch ein weiter Weg, bis diese "1" dann auch das Neutralelement der Multiplikation ist.
Hi Ralf,
so unterscheiden sich nun die Ansichten. Meiner Meinung nach ist der Begriff 'Menge' bereits ein recht komplexes Produkt. Ich weiss nicht, wie man das als elementar bezeichnen kann.
ralfkannenberg hat geschrieben:
9. Mai 2021, 01:46
Skeltek hat geschrieben:
7. Mai 2021, 19:33
Du kannst seit mindestens 20 Jahren jeden anständigen Taschenrechner Formeln symbolisch lösen lassen und kein anständiger Taschenrechner wird eine Aufgabe nichtsymbolisch lösen, wenn du nicht explizit eine numerische Lösung anforderst.
Mag sein, dennoch kann man etwas kompliziertere Beweise auch heutzutage noch nicht mit einem "anständigen Taschenrechner" lösen.
Darum ging es mir da nicht. Es ging darum, daß die Dezimalzahldarstellung für den semantischen Kontext von Pi keinerlei Relevanz ist.
ralfkannenberg hat geschrieben:
9. Mai 2021, 01:46
Skeltek hat geschrieben:
7. Mai 2021, 19:33
Pi ist eine Relation, wie jede andere Zahl auch.
Ich vermute, Du meinst das richtige, dennoch würde ich gerne wissen, was Du in diesem Zusammenhang unter einer "Relation" verstehst. Denn pi ist lediglich eine Definition und es ist Aufgabe der Mathematik, sicherzustellen (d.h. zu beweisen), dass die verschiedenen Definitionen von pi zueinander äquivalent sind.
Ein Verhältniss eben... am Ende geht es doch einfach nur darum, dass zwei unterschiedliche Dinge gleich gross sind oder ihre Größen so im Laufe einer Veränderung ändern, daß ihre beiden observierbaren 'Werte' zu einem Zeitpunkt äquivalent sind. Daraus ergibt sich dann auch erst alles weitere, wenn man mehrere solche Dinge hat, die jeweils paarweise identisch sind, oder sich in mehrere paarweise identische Abschnitte aufteilen lassen.
Die Herangehensweise eine Sequentialität bei der Verschachtelung von Mengen anzuwenden, um Elemente unterschiedliche Identität zu definieren, ist mir bekannt, liegt aber doch eher im Bereich der theoretischen Informatik als dem der mathematischen Elementarität.
Was für verschiedene Defintionen von Pi? Wovon sprichst du hier genau?
ralfkannenberg hat geschrieben:
9. Mai 2021, 01:46
Skeltek hat geschrieben:
7. Mai 2021, 19:33
Das einzige was daneben ist, ist der krankhafte Versuch alles durch endliche oder periodische Ziffernfolgen darstellen zu wollen.
Das verstehe ich nicht: wenn Dir ein solcher Nachweis gelingt, ist das mehr als die "halbe Miete", denn dann weisst Du, dass Du es mit einer abzählbar unendlichen Menge zu tun hast, die im Allgemeinen im Gegensatz zu den überabzählbar unendlichen Mengen einfach beschreibbar sind.
Pi hat wohl offensichtlich keine Periodizität und kein bevorzugtes Ziffernsystem zur Darstellung.

Sorry, ich kann wie auch immer nicht zustimmen, dass die leere Menge in irgendeiner Form elementar sein soll. Alleine bei dem Begriff 'Menge' ist man doch schon etliche Stufen oberhalb elementarer Logik, geschweige denn elementarer Begriffe.
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  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 13. Mai 2021, 10:38

Skeltek hat geschrieben:
13. Mai 2021, 07:50
Sorry, ich kann wie auch immer nicht zustimmen, dass die leere Menge in irgendeiner Form elementar sein soll. Alleine bei dem Begriff 'Menge' ist man doch schon etliche Stufen oberhalb elementarer Logik, geschweige denn elementarer Begriffe.
Hallo Skel,

hier sind die Sicherungen rausgeflogen und der Akku meines Notebook ist beschränkt. Zudem ist das Internet auch sehr instabil.

Deshalb nur kurz: die Idee, die leere Menge als nicht-elemenar zu bezeichnen, gefällt mir sogar sehr gut :)

Auf die anderen Punkte gehe ich später ein, wenn ich wieder Strom und stabiles Internet habe.


Was wäre denn Deiner Meinung nach mehr elementar ?


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von Skeltek » 14. Mai 2021, 02:10

ralfkannenberg hat geschrieben:
13. Mai 2021, 10:38
Was wäre denn Deiner Meinung nach mehr elementar ?
Würde am ehesten darauf tippen, daß zwei unterschiedliche Dinge dieselbe Größe annehmen - also Gleichheit bzw Äquivalenz im selben Kontext zu haben. Da kann man dann den Zustand als Ursprung '1' eichen.
Ich finde es etwas annormal, daß man das neutrale Element der Addition und die Addition als axiomatische Herleitungsgrundlage für die natürlichen Zahlen nimmt und nicht die Multiplikation mit der 1 als neutralem Element. In meinen Augen ist hier die Reihenfolge vertauscht - der Begriff der Größenordnungen/Verhältnisse ist mir elementarer als der der Addition.
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Re: Über natürliche Zahlen

Beitrag von ralfkannenberg » 14. Mai 2021, 11:57

Skeltek hat geschrieben:
14. Mai 2021, 02:10
Würde am ehesten darauf tippen, daß zwei unterschiedliche Dinge dieselbe Größe annehmen - also Gleichheit bzw Äquivalenz im selben Kontext zu haben. Da kann man dann den Zustand als Ursprung '1' eichen.
Ich finde es etwas annormal, daß man das neutrale Element der Addition und die Addition als axiomatische Herleitungsgrundlage für die natürlichen Zahlen nimmt und nicht die Multiplikation mit der 1 als neutralem Element. In meinen Augen ist hier die Reihenfolge vertauscht - der Begriff der Größenordnungen/Verhältnisse ist mir elementarer als der der Addition.
Hallo Skel,

an dieser Stelle würde ich noch anders vorgehen und -oo als Neutralelement des Nachfolgeoperators ("n(++_1)") als noch elementarer ansehen.

Allerdings kann man dann einen noch elementareren Nachfolgeoperator "2.Stufe" betrachten, der - unter geeigneten Voraussetzungen - ein noch "kleineres" Neutralelement "n(++_2)" als -oo aufweist, und wenn man das induktiv fortsetzt, dann kommt man in die Situation, dass der Nachfolgeoperator "unendlichster" Stufe kein widerspruchsfreies Neutralelement ("a(oo)") haben kann; dieses a(oo) operiert dann nur noch als universelles Absorptionselement, so wie 1^x = 1, 0*x=0, -oo+x=-oo u.s.w. für alle "genügend grossen" x gilt.

Was ich sagen will: "1" als elementares Element anzunehmen erscheint mir nicht als sinnvolle Option; wenn, dann die alle gleich elementar anzusehen, also {a(oo), ..., n(++_m), ... n(++_2), -oo als n(++_1), 0 bis und mit 1. Zwanglos anschliessen würden sich dann die natürlichen Zahlen >= 2 - eine solche Menge erscheint mir insgesamt elementarer zu sein als die auf additiver "Abstandsmessung" beruhende Menge der ganzen Zahlen.


Ich will das nun aber nicht vertiefen - so etwas wird in der Mathematik aus guten Grunde nicht betrachtet, ganz zu schweigen davon, dass diese Nachfolgeoperatoren m.-ter Stufe beispielsweise weder assoziativ noch kommutativ noch überhaupt abgeschlossen sind und der ganze Metrik-Begriff über den Haufen geworfen wird - ein meines Erachtens zu hoher Preis; kommt hinzu, dass ich keinerlei praktische Anwendung für diese Neutralelemente <= -oo und das a(oo) sehe.


Freundliche Grüsse, Ralf

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